TP MICRO : Séance 1 Le Consommateur

TP MICRO : Séance 1 Le Consommateur A. Choix individuel Description des préférences 1. * Qu est-ce qu une courbe d indifférence? 2. (Rappel 1 ère candi) Le capitaine Chester n aime que le whisky pur, l eau minérale ne lui apporte aucune satisfaction. Tintin, quant à lui, ne boit pas d alcool, mais exclusivement de l eau minérale. Le capitaine Haddock, par contre n apprécie que le mélange de whisky et d eau minérale tel qu il y a dix fois plus de whisky que d eau minérale, les mélanges réalisés en d autres proportions n étant pas à son goût. Jacky Ickx ne considère ces deux boissons que comme deux liquides équivalents dont la seule fonction possible est de remplir le radiateur de sa voiture. Représentez sur quatre graphes différents les courbes d indifférence eau-whisky de ces personnages. Préférences normales 3. * Quand peut-on dire que les préférences sont «normales»? (formulez et discutez les axiomes et leur implication sur la forme des courbes d indifférence) 4. * Soit un consommateur caractérisé par les relations de préférences suivantes : a. X=(50,50) Y=(51,50) b. X=(10,30) Y=(30,10) Z=(20,20) A partir de chacune de ces relations (prise une à une), peut-on conclure que ses préférences ne sont pas normales? 5. * Randy Ratpack déteste étudier l histoire aussi bien que l économie. Plus il passe de temps à travailler chacune de ces deux matières, moins il est heureux. Mais Randy a des préférences convexes. Comment sont ses courbes d indifférence? + 6. (examen juin 2005) Luc ne fait que deux choses dans la vie : jouer à la console et étudier. Il aime jouer à la console mais n aime pas étudier. Luc a des préférences strictement convexes. Tracez une courbe d indifférence quelconque pour Luc et montrez à l aide d une flèche dans quelle direction il atteint des courbes d indifférence plus élevées. + Issus de Exercices de Microéconomie, vol 1, Bergstrom et Varian, traduction de la 5 édition américaine, De Boeck université

B. Consommation et marché Contrainte budgétaire 7. * Que se passe-t-il au niveau de la droite de budget si le prix du bien 2 augmente mais que le prix du bien 1 et le revenu restent inchangés? 1 8. Si le prix du bien 1 double et que le prix du bien 2 triple, la pente de la droite de budget augmente-t-elle ou diminue-t-elle en valeur absolue? 1 9. Que se passe-t-il au niveau de la droite de budget si tous les prix et le revenu augmentent dans la même proportion? (par exemple de 30%) 10. * Considérons la droite de budget suivante : p 1 x 1 + p 2 x 2 = m. Le gouvernement décide d imposer une taxe forfaitaire de u, une taxe à l unité sur le bien 1 d un montant t, et un subside à l unité sur le bien 2 d un montant s. Quelle est l expression de la nouvelle droite de budget? 1 Choix optimal du consommateur (représentation graphique) 11. * Si le prix des deux seuls biens d une économie est p 1 et p 2, représentez le choix optimal d un individu disposant d un revenu R qui a les courbes d indifférence suivantes : a) préférences convexes et monotones x 2 x 1 1 Exercice extrait du chapitre 2 de H.R. Varian, Introduction à la microéconomie,5 ème édition De Boeck Université (traduction de la 6 ème édition américaine).

b) préférences concaves et monotones x 2 c) substituts parfaits x 1 x 2 (0,1) (1,0) x 1 d) compléments parfaits x 2 x 1 12. Représentez les choix optimaux des personnages décrits dans l exercice 2 (chacun dispose d un revenu m, et est confronté à des prix p w et p e )

Choix optimal du consommateur : détermination analytique 13. * Les préférences d un consommateur pour les biens 1 et 2 sont représentées par la fonction d utilité u(x 1, x 2 ) = x 1 2.x 2 a) Calculez les fonctions de demande pour les biens 1 et 2. Quelles variables influencent la demande de chaque bien? Est-ce que cela vous paraît intuitif? b) Quel est le panier de biens (x 1, x 2 ) qui maximise la satisfaction du consommateur s il dispose d un revenu m = 10 et si les prix des biens sont p 1 = 1 = p 2? 14. Montrez que si u(x 1,x 2 ) = x 1 + (x 1.x 2 ), on trouve x 1 * = x 1 * (p 1,p 2,R). Est-ce que le rôle de chaque variable exogène (p 1, p 2 et R) dans la détermination de la demande de bien 1 est intuitive? 15. (Examen septembre 2005) Supposons qu un consommateur prenne toujours 2 morceaux de sucre avec chaque tasse de café. Si le prix d un morceau de sucre s élève à p 1 et celui d une tasse de café à p 2 et que le consommateur dépense m dollars pour le sucre et le café, combien de café sucré pourra-t-il consommer? ** 16. Gaspard consomme du cacao et du fromage. Son revenu est de 16. Le cacao est vendu de manière inhabituelle. Il y a seulement un vendeur et plus on lui achète de cacao, plus il augmente le prix à payer par unité. Ainsi, x unités de cacao coûteront à Gaspard x 2. Le fromage est vendu comme d habitude et coûte 2 l unité. La droite de budget de Gaspard est par conséquent x 2 +2y = 16, x étant la consommation de cacao et y représentant le fromage. La fonction d utilité de Gaspard est U(x,y) = 3x + y. a. Faites un graphique. Tracez les limites de l ensemble budgétaire de Gaspard en bleu. En rouge, dessinez 2 ou 3 de ses courbes d indifférence. b. Comment Gaspard allouera-t-il son budget entre les 2 biens à l optimum? La détermination des prix dans une économie d échange 17. * On considère une économie d échange (pur) composée de deux consommateurs A et B, dont les fonctions d utilité, définies sur les deux biens 1 et 2, sont respectivement U A (x 1,x 2 ) = x 1 3/4 x 2 1/4 U B (x 1,x 2 ) = x 1 7/8 x 2 1/8 On en déduit que les fonction de demande du consommateur A est donnée par : x A 1* = 3R A /4p 1 x A 2* = R A /4p 2, et celles du consommateur B par : x B 1* = 7R B /8p 1 x B 2* = R B /8p 2 La répartition initiale des biens disponibles est la suivante: ϖ A =(ϖ A 1, ϖ A 2 ) = (4,0) ϖ B =(ϖ B 1, ϖ B 2 ) = (0,4) ** Exercices extrait du chapitre 5 et 6 de H.R Varian, Introduction à la microéconomie, 5 ème édition De Boeck Université (traduction de la 6 ème édition américaine).

a) Le vecteur de prix (p1,p2) = (2,1) rend-il compatibles les plans de consommation des deux individus? b) Calculez le système de prix relatif qui garantit l'équilibre concurrentiel. Comparez la satisfaction des individus avant et après échange. c) Justifiez la valeur du prix relatif que vous obtenez en b) en observant attentivement les fonctions d utilité des deux individus. d) Les dotations de l individu B changent : il est initialement propriétaire de 4 unités supplémentaires de bien 2 (ϖ B =(ϖ B 1, ϖ B 2 ) = (0,8)). Calculez le nouveau prix relatif (p 1 /p 2 ) * qui équilibre le marché. Expliquez pourquoi celui-ci change. 18. A partir d une même répartition initiale du stock de ressources que celle de l exercice 17, comment se modifient les prix et les quantités échangées à l équilibre si les fonctions d utilité sont : U A (x 1,x 2 ) = x 1 2 x 2 U B (x 1,x 2 ) = x 1 x 2 2 (Commencez par calculer les fonctions de demande de chaque bien!)

Exercices non résolus de la séance 1 2. eau eau Chester Tintin whisky whisky eau eau Haddock Ickx 2 2 1 1 10 20 whisky 1 2 whisky 6. Les courbes d indifférence de Luc peuvent être représentées comme ceci : étude C B A console Explication : La CI de Luc est croissante (partant de A sur le dessin, si A~B sur le dessin, B doit être en haut à droite de A). En effet, si on fait étudier Luc plus, pour garder son U constante il faut le laisser jouer plus longtemps aussi. La CI est donc toujours croissante si un des biens est

désirable, l'autre pas. Définissons C = αa+(1-α)b. On peut dire que C? A~ B vu que Luc a des préférences strictement convexes. Pour que C soit sur une courbe d indifférence plus élevée que A ou B, il faut que la courbure de la courbe d indifférence soit comme sur le graphe. 8. Elle diminue en valeur absolue (pente moins forte) 9. rien 12. Les Courbes d indifférence (CI) sont en noir. Les Contraintes Budgétaires (CB) sont en orange et le choix optimal est un petit cercle. eau eau Chester Tintin whisky whisky eau eau Haddock Ickx 2 2 1 1 10 20 whisky 1 2 whisky Le choix optimal du capitaine Haddock est tel que tout son revenu est dépensé et qu il achète exactement 10 fois plus de whisky que d eau. En d autres termes, le choix optimal du Capitaine Haddock sera toujours le coude d une de ses courbes d indifférence (le point où la dérivée n est pas définie). Pour Jacky Ickx, son choix optimal dépendra des prix. Vu qu il veut simplement le plus de liquide possible, il achètera le liquide le moins cher. Deux cas sont distingués sur le graphe : la CB orange représente une situation où l eau est moins chère et la CB rose représente le cas où le whisky est moins cher! Remarquez que si le prix des deux substances est identique, la CB de Jacky Ickx se confond avec une de ses courbes d infférence et il est indifférent entre

tous les points de la frontière de sa contrainte budgétaire (il y a une infinité de choix optimaux). Si vous ne voyez pas ceci, travaillez avec un exemple : Supposez que le revenu de Jacky Ickx est de 2 et que le prix d 1 litre d essence = 1 = prix d 1 litre d eau. On en déduit que sa CB est confondue avec sa CI qui passe par les points (2,0) et (0,2). Avec son revenu, il peut acheter les paniers (eau, essence) = (0,2) ; (1,1) ; (2,0) ; (0,5,1,5), On constate que tous les paniers qui sont tels que tout son revenu est dépensé lui donne une quantité totale de liquide identique, égale à 2. Il est donc indifférent entre toutes ces possibilités. 14. En maximisant la fonction d utilité sous la contrainte budgétaire, on trouve x 1 * = (p 2 + R) / 2p 1 Intuitif car p 2 et R affectent positivement x 1 *, contrairement à p 1. 15. Notons le café par c et le sucre par s (et donc p c est le prix du café et p s, le prix du sucre). A l optimum on doit avoir c = s/2. (cette condition impose que s il achète 1 café, il doit acheter 2 sucres). En utilisant cette relation et la contrainte budgétaire, on trouve aisément que c * = R/(p c +2p s ) ; s * = 2c * et la quantité de café sucré = c * 16. En maximisant la fonction d utilité sous la contrainte budgétaire, on trouve : x * = 3 ; y * = 3,5 18. Les fonctions de demande sont : x A 1* = 8/3 x A 2* = 4p 1 / 3p 2 x B 1* = 4p 2 / 3p 1 x A 2* = 8/3 On en déduit que (p 1 /p 2 ) * = 1

A. Détermination de l équilibre MICRO - TP 2 : L Equilibre Général Concurrentiel * 1. Déterminez l équilibre concurrentiel de l économie d échange suivante : Deux biens (1et 2) et deux consommateurs (C et D) dont les fonctions d utilité et les dotations sont: U C (x 1,x 2 ) = x 1 x 2 U D (x 1,x 2 ) = x 1 + x 2 ϖ C =( ϖ C 1, ϖ C 2 ) = (2,0) ϖ D =( ϖ D 1, ϖ D 2 ) = (0,2) Conseil : utilisez la boîte d'edgeworth 2. Déterminez l équilibre concurrentiel de l économie d échange suivante : Deux biens et trois consommateurs, dont les fonctions d utilité et les dotations sont : U A (x 1,x 2 ) = U B (x 1,x 2 ) = U C (x 1,x 2 ) = x 1 x 2 ϖ A = (2,0) ; ϖ B = ϖ C =(0,2). 3. Considérez l'économie d'échange constituée de deux biens et deux consommateurs, définie par: U A (x 1,x 2 ) =α x 1 + x 2 et U B (x 1,x 2 ) = x 1 +α x 2 ϖ A = (1,0) ; ϖ B = (0,1). Déterminez le(s) équilibre(s) concurrentiel(s) de cette économie d'échange a) si α vaut 0 b) si α vaut ½ c) si α vaut 2. * 4. Soit une économie au sein de laquelle les deux seuls biens 1 et 2 sont disponibles dans les quantités suivantes : ϖ 1 = 3 et ϖ 2 = 2. Les deux consommateurs, A et B, ont les fonctions d utilité suivantes : U A (x 1,x 2 ) = x 1 U B (x 1,x 2 ) = x 2 Déterminez l équilibre concurrentiel de cette économie d'échange dans les cas suivants : a) ϖ A = (3,0) et ϖ B = (0,2) b) ϖ A = (0,2) et ϖ B = (3,0) c) ϖ A = (3,1) et ϖ B = (0,1) * 5. Dans une économie d'échange, il existe deux consommateurs, C et D, dont les fonctions d utilité sont identiques : U i (x 1,x 2 ) = min (x 1,x 2 ) i = C, D Déterminez l équilibre concurrentiel de cette économie d'échange dans les cas suivants :

a) ϖ C = (11,0) et ϖ D = (0,11) b) ϖ C = (10,0) et ϖ D = (0,11) B. Equilibre Concurrentiel et Optima de Pareto 6. Robinson (que nous appellerons l'individu R) et Vendredi (l'individu V) sont les seuls habitants d'une île. Robinson dispose de 28 unités de bien 1 et Vendredi de 14 unités de bien 2. Il s'agit là de leurs seules possessions. Connaissant les goûts de chacun pour le bien 1 et le bien 2, on peut s'attendre à ce qu'ils s'échangent une partie des biens qu'ils détiennent initialement afin d'accroître leurs satisfactions respectives. Ils décident pour cela d'utiliser un système de prix qui les mettra d'accord sur les quantités à échanger. Sachant que leurs préférences pour les biens 1 et 2 sont reflétées par des fonctions d'utilité Cobb-Douglas : U R (x 1,x 2 ) = x 1 2 x 2 5 U V (x 1,x 2 ) = x 1 3 x 2 4 a) Calculez les quantités de chaque bien qui seront échangées et le rapport de prix qui permet cet accord sur l'échange. b) Représentez cela de manière aussi complète que possible dans une boîte d'edgeworth c) La répartition des biens, après échange, est-elle Pareto optimale? d) Calculez l'équation de la courbe qui reprend toutes les répartitions Pareto Optimales des deux biens. Représentez son allure dans la boîte d'edgeworth dessinée au point 2. * 7. On considère deux consommateurs, A et B, et deux biens dont les quantités disponibles dans l'économie sont ϖ 1 = 10 = ϖ 2. Les fonctions d utilité des consommateurs sont : U A (x 1,x 2 ) = (x 1 ) 1/2 (x 2 ) 1/2 U B (x 1,x 2 ) = (x 1 )(x 2 ) a) Calculez les utilités des deux consommateurs pour des états de l économie tels que les quantités de biens 1 et 2 attribuées au consommateur 1 sont: Q 1 = (10 ; 10), Q 2 = (4 ; 6), Q 3 = (3 ; 3), Q 4 = (1 ; 9), Q 5 = (4.5 ; 2), Q 6 = (0 ; 0). Classez les états Q i, ( i=1, 2,, 6) selon le critère de Pareto. b) Représentez également les états Q i, ( i=1, 2,, 6) dans une boîte d'edgeworth. Quels sont ceux qui appartiennent à la courbe des contrats? 8. Dans une économie où les deux seuls biens 1 et 2 sont disponibles en quantités suivantes: ϖ 1 = 20 et ϖ 2 = 10, il existe deux consommateurs, C et D, dont les fonctions d utilité sont U C (x 1,x 2 ) = (x 1 )(x 2 ) 1/2 U D (x 1,x 2 ) = (x 1 )(x 2 ) a) Déterminez les optima de Pareto de cette économie et tracez la courbe de contrat. b) Vérifiez que la distribution qui attribue le panier (x 1,x 2 )= (15,6) au consommateur C (et le solde au consommateur D) est un optimum de Pareto.

Solutions TP 2 2. Vous devez résoudre cet exercice analytiquement (calculez les fonctions de demande des 3 individus (elles sont identiques) et puis trouvez p1/p2 qui garantit que offre = demande sur 1 des 2 marchés! Remarque : la demande sur 1 marché est la somme des demandes individuelles des trois consommateurs) (p 1 /p 2 ) * = 2 ; x A 1* = 1 ; x A 2* = 2 ; x B 1* = ½ = x C 1* ; x B 2* = 1 = x C 2*. 3. Utilisez la boîte pour répondre à cette question (je ne refais pas toutes le étapes que lon a fait au tp mais si vous le faites, vous trouverez: a) (p1/p2) * = 1 ; x A 1* = 0 ; x A 2* = 1 ; x B 1* = 1 ; x B 2* = 0. b) (p1/p2) * = 1 ; x A 1* = 0 ; x A 2* = 1 ; x B 1* = 1 ; x B 2* = 0. c) Pour tout 2> (p 1 /p 2 ) * > ½, il y a équilibre concurrentiel sans échange. 4. Remarquez que dans chacun des cas, le choix optimal de A sera toujours d acheter uniquement du bien 1 alors que B n achètera que du bien 2. Autrement dit, on aura systématiquement x A 1* =R A /p 1 ; x A 2* =0 ; x B 1* =0 ; x B 2* =R B /p 2. a) Pour tout p 1 >0 et p 2 >0, on a R A = 3p 1 et R B = 2p 2 et donc on a un équilibre concurrentiel sans échange. b) R A = 2p 2, R B = 3p 1. Pour avoir un équilibre concurrentiel, il faut que x A 1* +x B 1* = w A 1 +w B 1 (ou que x A 2* +x B 2* = w A 2 +w B 2 d après la loi de Walras). Le rapport des prix p 1 /p 2 = 2/3 satisfait cette équation. c) Pour éviter que x A 1* > 3, il faut que p2 =0. Cependant, lorsque p 2 =0, x B 2* =. Il n y a donc jamais d EC dans ce cas. 5. a) X 2 D X 1 C X 1 W=(11,0)= (0,11) X 2 Graphiquement, le choix optimal d un individu ayant ce type de courbe d indifférence est le point de la frontière de sa courbe de budget qui touche le coude d une de ses courbes d indifférence. Pour tout p1, p2, le choix optimal de chaque individu sera le même point dans la boîte (le point d intersection entre la contrainte budgétaire de chaque individu et la diagonale

représentée sur ce graphique. Par exemple, si p1 = p2, x C 1* = 5,5 ; x C 2* = 5,5 ; x D 1* = 5,5 ; x D 2* = 5,5. D une manière générale, ce type de courbe d indifférence implique x C 1* = x C 2* (idem pour D) (vu que votre utilité est le minimum des 2, ça ne sert à rien d acheter plus d un bien!). En injectant cette relation d équilibre dans votre contrainte budgétaire, vous trouvez x C 1* = x C 2* = R A /(p 1 +p 2 ) = 11p 1 /(p 1 +p 2 ). De même, pour l individu D, on trouve x D 1* = x D 2* = 11p 2 /(p 1 +p 2 ). Vous obtenez donc D 1 = x C 1* + x D 1* = 11 pour tout p 1, p 2, ce qui correspond à l offre de bien 1. Tout rapport de prix garantit donc qu un équilibre concurrentiel existe. Remarque : même p1=0 et p 2 > 0 (ou l inverse) garantit qu un EC existe! En effet, a) Que fait l individu C? R C = 0. Il ne pourra donc pas s acheter de bien 2. Par contre il pourra s offrir une quantité illimitée de bien 1 vu que celui-ci est gratuit. Sa contrainte budgétaire est notée CB C sur le graphe. Parmi les points de sa contrainte budgétaire, tous sont sur la même courbe d indifférence (associée à une utilité de 0 vu qu il n a jamais de bien 2). Il est donc indifférent entre tous les points de sa contrainte budgétaire. b) Que fait l individu D? R D = 11p 2. Il pourra donc s acheter au plus 11 unités de biens 2 et y rajouter une quantité illimitée de bien 1. Sa contrainte budgétaire est notée CB D sur le graphe. Parmi les points de la frontière de sa contrainte budgétaire, tous ceux qui lui donnent au moins 11 unités de biens 1 sont des paniers optimaux (associés à une utilité de 11). Il existe donc un point qui est tel que pour p1=0 et p2>0, chaque individu maximise son utilité étant donné sa contrainte budgétaire et les marchés sont équilibrés (dans le sens où z 1 = 0 = z 2 ). Ce point est l origine, de coordonnée (0,0) pour l individu C [ou (11,11) pour l individu D] X 2 D X 1 CB D C X 2 W=(11,0)= (0,11) X 1 CB C Si p 1 >0 et p 2 =0, la logique est la même. L équilibre aurait été dans ce cas le point (11,11) du point de vue de l individu C [ou (0,0) pour l individu D].

5.b) X 2 D X 1 C X 1 W=(10,0)= (0,11) - Dans ce cas-ci, vous pouvez vérifiez à l aide de quelques exemples que tant que les prix sont positifs, il n y a pas d équilibre concurrentiel (le choix optimal de chaque individu n est pas le même point dans la boîte!). - Si p1=0, C sera indifférent entre tous les points de sa contrainte budgétaire (vu qu il ne pourra pas s acheter de bien 2, sa satisfaction vaudra 0 quel que soit sa consommation de bien 1!). Par contre lorsque p1 = 0, D voudra acheter (recevoir!) au moins 11 unités de bien 1 pour que son utilité soit maximisée. Or il n y a pas 11 unités de bien 1 disponible dans l économie. - Si p2 = 0, D sera indifférent entre tous les points de sa contrainte budgétaire (vu qu il ne pourra pas s acheter de bien 1, sa satisfaction vaudra 0 quel que soit sa consommation de bien 2!). Par contre lorsque p1 = 0, C voudra acheter (recevoir!) au moins 10 unités de bien 2 pour que son utilité soit maximisée. Ceux-ci sont disponibles. p 2 = 0 et p 1 >0 garantit donc qu un EC existe. Les consommations d équilibre sont x C 1* = 10; x C 2* = 10+t ; x D 1* = 0 ; x D 2* = t ; pour tout 0 t 1. X 2 6.1. (p1/p2) * = 3/10 ; x R 1* = 8 ; x R 2* = 6 ; x V 1* = 20 ; x V 2* = 8. 6.3. Oui, voir premier théorème du bien-être. 6.4. Pour trouver la courbe des contrats (ensemble des points Pareto optimaux), vous devez trouver l ensemble des points où il y a tangence entre les courbe d indifférence de R et celles de V (dans ce cas vu que les courbe d indifférence sont convexes). Pour rappel, la pente d une courbe d indifférence est le tms. On cherche donc l ensemble des points où les tms sont égaux pour les 2 individus. Définition: Tms = -Um1/Um2, où Um1 est l utilité marginale associée à la consommation de bien 1.

Tms R = - 2 x R 1 (x R 2 ) 5 / 5 (x R 1 ) 2 (x R 2 ) 4 = - 2x R 2 / 5x R 1 Tms V = - 3x V 2 / 4x v 1 Il faut maintenant utiliser la relation x v 1 = 28-x R 1 (ce que V consomme en bien 1, c est l offre totale à laquelle on retire ce que R consomme de ce bien), et x V 2 = 14-x R 2 (idem pour le bien 2). 1 En égalisant les tms, on trouve alors : x R = 32 x 2 R / (30 - x 2 R ). Remarquez que la courbe des contrats passe toujours par les extrémités de la boîte lorsque les fonctions d utilité sont des Cobb-Douglas (si un seul individu [disons l individu A] a une fonction Cobb-Douglas, la courbe des contrats passera par l origine de cet individu). 1 Vérifiez donc tjs que cette propriété est vérifiée. Dans cet exercice, elle passe bien par les points (x 1 R,x 2 R ) = (0,0) et (x 1 R,x 2 R ) = (28,14). 7. a) U A U B Q1 10 0 Q2 24 1/2 24 Q3 3 49 Q4 3 9 Q5 3 44 Q6 0 100 Selon le critère de Pareto, Q 3 domine Q 5 qui à son tour domine Q 4. D autre part, Q 2 domine Q 4. C est tout ce que l on peut dire du point de vue de la dominance au sens de Pareto. c) La courbe des contrats a pour équation x A 1 = x A 2 (pour trouver ce résultat, vous devez procéder comme à l exercice 6. Vous devez donc calculer le Tms de chaque joueur, ensuite utiliser les relations x B 1 = 10-x A 1 et x B 2 = 10-x A 2 dans Tms B et puis poser Tms A = Tms B. Les points Q 1, Q 3 et Q 6 appartiennent donc à la courbe des contrats. 8. a) On calcule la courbe des contrats en appliquant la même méthode qu à l exercice 6. Cela nous donne l équation x c 1 = 40 x c 2 / (10+x c 2 ). b) Il suffit de vérifier que si x c 2 = 6, alors la courbe des contrats prédit effectivement que x c 1 doit être égal à 15. Ce qui est le cas. 1 Cela s explique par le fait que l utilité de A est nulle si il possède une quantité nulle d au moins un des deux biens (disons x A 1 = 0). La situation dans laquelle il possède une quantité positive de l autre bien (x A 2 >0) est donc Pareto dominée par celle où il possède une quantité nulle des deux biens si l individu B retire une satisfaction à augmenter sa consommation de bien 2 au point (x B 1,x B 2 ) = (w 1,w 2 - x A 2 ).

Une introduction au modèle de Cournot TP 3. Economie industrielle 1. * Soit deux producteurs produisant un même bien au moyen d'une même technologie représentée par la fonction de coût suivante : C(q)=2q La demande pour ce bien est donnée par : Q D (p)= 20-p a) Déterminez l'équilibre de Cournot. b) Supposez que 2 producteurs identiques aux 2 premiers entrent sur le marché. Déterminez l équilibre de Cournot dans ces nouvelles condition de concurrence. c) A partir de vos réponses en a) et en b), déduisez une formule générale pour décrire la production d une firme si N firmes dont la fonction de coût est donnée par l équation ci-dessus sont présentes sur le marchés. Que vaut alors l offre de marché? Au fur et à mesure que le nombre de firme, observez que l offre de marché se rapproche de l offre qui prévaudrait sur un marché concurrentiel. 2. Soit un duopole de Cournot où la fonction de demande est donnée par : P D (q) = 10 - (q A +q B ) et les fonctions de coût total de chaque firme sont : C(q A ) = 2q A C(q B ) = 4q B. Déterminez l'équilibre de Cournot. Une introduction au modèle de Stackelberg 3. * Soit deux producteurs produisant un même bien au moyen d'une même technologie représentée par la fonction de coût suivante : C(q)=2q La demande pour ce bien est donnée par : Q D (p)= 20-p a) Déterminez l'équilibre de Stackelberg. b) Comparez le résultat obtenu avec celui de l exercice 1. 4. On considère le marché d un bien sur lequel deux entreprises sont confrontées à une multitude d acheteurs dont la fonction de demande totale est : D(p) = 100 - p. Les entreprises ont des fonctions de coût total : C(q A ) = 20 + 2q A 2 C(q B ) = 10 + 3 q B 2. Déterminez le prix du marché, ainsi que les quantités produites et les profits réalisés à l équilibre par chaque entreprise, en supposant que : a) La firme A est leader dans un duopole à la Stackelberg b) La firme B est leader dans un duopole à la Stackelberg ;

Cournot : l instabilité des cartels 5. Georges est l unique propriétaire d une source d eau minérale d où jaillit à coût nul autant d eau minérale qu il désire mettre en bouteille. La mise en bouteille de cette eau coûte 2 par bouteille. La courbe de demande d eau minérale est q = 100-5p, où p désigne le prix d un litre d eau et q, le nombre de litres vendus. a) Exprimez le profit de Georges en fonction de q. Trouvez le choix de q qui maximise le profit de Georges. b) Quel est le prix d un litre d eau minérale si Georges produit la quantité d eau qui maximise son profit? A combien s élève le profit de Georges? c) Supposons à présent que le voisin de Georges, Grégoire, trouve une source d eau minérale qui produit une eau aussi bonne que celle de Georges, mais le coût du pompage et de la mise en bouteille est 6 par litre. La demande totale du marché reste la même qu auparavant. Supposons que Georges et Grégoire pensent chacun que la décision de production de l autre est indépendante de la leur. A combien s élève la production de Grégoire à l équilibre de Cournot? Quel est le prix d équilibre de Cournot? d) Qu implique l hypothèse adoptée à la question c selon laquelle «Georges et Grégoire pensent chacun que la décision de production de l autre est indépendante de la leur.» 6. * Une industrie est composée de deux firmes. Chacune détermine simultanément et une fois pour toute, les quantités mises sur le marché. Les deux quantités sont notées q 1 et q 2. Le coût de production de chacune de ces firmes est nul. La demande du marché est P(Q) = 1-Q, où Q représente les quantités totales. a) Calculez les fonctions de meilleures réponses des deux firmes. Représentez-les dans l espace (q 1, q 2 ) b) Calculez l équilibre de Cournot et les quantités totales mises sur le marché. c) Si les firmes forment un cartel et maximisent leurs profits joints, quelles sont les quantités offertes individuellement? Notez-les q 1 c et q 2 c. d) Pourquoi ces quantités sont-elles plus faibles que dans le cas de concurrence à la Cournot? e) Montrez que si la firme 1 produit q 1 c, alors q 2 c n est pas la meilleure réponse de la firme 2. f) La cartel est-il soutenable? Pourquoi? (1 ligne) 7. Considérez un marché avec deux firmes qui produisent un bien homogène dont la demande est donnée par Q=130-p. Le coût marginal de chaque firme est et constant et égal à 10. a) Déterminez analytiquement et graphiquement l équilibre de Cournot. Calculez aussi le profit de chaque firme à l équilibre b) Supposez que les deux vendeurs décident de se comporter de manière collusive et de maximiser leur profit joint. Déterminez l équilibre et le profit de chaque firme en considérant qu elles le partagent de manière égale. c) Que peut-on conclure à partir des résultats obtenus au point b) d) L équilibre obtenu au point b) est-il stable?

Bertrand : Le modèle de concurrence en prix entre 2 firmes homogènes 8. *Dans le modèle de Bertrand où deux firmes identiques (dont les fonctions de coût sont pour chacune C(q)=cq) se font une concurrence en prix, l équilibre p 1 * = p 2 * = c correspond à un équilibre de Nash. Aucune déviation unilatérale n est profitable à partir de cet équilibre. En effet, considérons les déviations possible du producteur 1 : S il diminue son prix de vente, il attire toute la clientèle mais vend à perte vu que p<c (et donc π = pq-cq < 0). Si par contre il augmentait son prix de vente, il ne vendrait plus rien car toute sa clientèle s adresserait alors à son concurrent. Il n a donc aucune déviation profitable. Par symétrie, l individu 2 n a pas non plus de déviations profitables. La paire de stratégies (p 1, p 2 ) = (c,c) constitue donc bien un équilibre de Nash. Montrez que p 1 = c = p 2 est en fait le seul équilibre de Nash de ce jeu. Pour cela, montrez que dans tous les autres cas, au moins un joueur a un intérêt à modifier unilatéralement sa stratégie. Pour envisager tous les cas possibles, considérez les cas suivants : a) pi < c, i {1,2} b) p 1 > p 2 > c (si p 1 > p 2 > c n est pas un équilibre de Nash, alors remarquez que par symétrie p2>p1>c n est pas un équilibre de Nash non plus) c) p1> p2 = c (et par symétrie p2>p1=c) d) p1 = p2 > c. Hotelling 9. * Dans une ville linéaire, un nombre très élevé de consommateurs sont uniformément répartis (avec une densité égale à 1). Une variable x (x [0,1]) désigne la localisation de chaque consommateur sur ce segment. Deux firmes produisent un bien homogène mais ces deux firmes se situent à des endroits différents le long du segment. On suppose que chaque firme se situe à une extrémité de ce segment (c est-à-dire, la firme 1 à x = 0 et la firme 2 à x = 1). On suppose que chaque consommateur achète une unité de ce bien. Dans cette version simplifiée du modèle où les positions des firmes sur le segment sont fixes, le problème des firmes consiste à choisir les prix qu elles vont pratiquer. On suppose également que les firmes choisissent leur prix p 1 et p 2 simultanément. Les consommateurs, lorsqu ils achètent le bien, subissent des «coûts de transports», t, proportionnels à la distance qui les sépare de la firme auprès de laquelle ils choisissent d acheter le bien. Ainsi, un consommateur situé au point x de ce segment subit un coût de déplacement égal à tx s il achète de la firme 1 et (1-t)x s il achète à la firme 2. a) On considère initialement que les coûts marginaux des deux firmes sont identiques, c est-à-dire, c1 = c2 = c. Trouvez les fonctions de demande qui s adressent à chacune des firmes. b) Trouvez l équilibre dans ce jeu lorsque les firmes choisissent simultanément leurs prix de vente. Quel est le profit de chaque firme à l équilibre? c) Comment varient le prix d équilibre et le profit des firmes lorsque les coûts de transport changent? d) Représentez graphiquement l équilibre dans ce jeu. e) Recalculez l équilibre pour c 1 = c > 0 et c 2 = 0. Que se passe-t-il si les coûts de transport diminuent?

10. Considérez le problème précédent en supposant que les coûts de déplacement des consommateurs vers les firmes sont une fonction quadratique de la distance parcourue, alors qu ils étaient linéaires dans la question précédente. Le coût de déplacement est donc égal à tx 2 si le consommateur achète de la firme 1 et à t(1-x) 2 s il décide d acheter de la firme 2. a) Calculez l équilibre de ce jeu en considérant que les coûts marginaux des deux firmes sont identiques, c est-à-dire c 1 = c 2 = c. b) Comparez les résultats obtenus dans ce modèle avec ceux obtenus avec coûts de transport linéaires. 11. Considérez le problème 9 en supposant que les consommateurs se déplacent plus facilement vers la droite que vers la gauche, ce qui implique qu ils supportent un coût de déplacement unitaires de t2 lorsqu ils se déplacent vers la droite et de t1 lorsqu ils se déplacent vers la gauche avec t2<t1. a) Trouvez l emplacement du consommateur qui est indifférent entre acheter à la firme 1 et à la firme 2. b) Quel prix choisiront les 2 firmes? c) Quel firme possède la plus grande part de marché? 12. Supposez que l orientation politique de chaque électeur peut être résumée par un nombre compris entre 0 et 1 (où 0 représente une idéologie fortement marquée à gauche et 1 représente une idéologie fortement marquée à droite). Notons le positionnement idéologique de l électeur j par le nombre x j (x j est compris entre 0 et 1). De plus, supposez que les électeurs sont répartis de façon uniforme et continue entre ces deux extrêmes. Le jeu peut être décrit comme suit : Chaque politicien (ou candidat) i choisit simultanément et de manière non coopérative une idéologie comprise entre 0 et 1, notée X i de manière à maximiser le nombre total de voix reçues (leur seul but : être élus) Chaque électeur j choisit le candidat qui est le plus proche de sa propre idéologie et lui apporte ainsi une voix. Si plusieurs candidats annoncent la même idéologie, ils s attendent à recevoir le même nombre de voix. Le candidat qui obtient le plus de voix emporte l élection. Mathématiquement, l électeur j vote pour le politicien A plutôt que le politicien B si : x j - X A < x j - X B x j [0 ;1] et le politicien i a un bien-être de π>0 s il est élu et un bien-être de 0 sinon. Supposez qu il n y a que 2 candidats en lice (i=a,b) a) Supposez que chaque candidat choisit une position idéologique différente, par exemple X A = 1/3 et X B = 2/3. Le candidat A n aurait-il pas intérêt à choisir une autre idéologie que X A ou va-t-il se satisfaire de celle-ci? b) Supposez plutôt que chaque candidat choisit la même position idéologique assez marquée à droite, à savoir X A = X B = ¾. Ces stratégies peuvent-elles former un équilibre de Nash? Justifiez brièvement. c) Supposez que chaque candidat choisit la même position idéologique, à savoir X A = X B = ½. Est-ce un équilibre de Nash?

Solutionnaire tp 3 2) La fonction de réaction de la firme A est q a * = (8-q b )/2. Celle de la firme b est q b * = (6-q a )/2 A l équilibre, on a q a * = (8-q b * )/2 et q b * = (6-q a * )/2 On remplaçant, on trouve q a * = 10/3 et q b * = 4/3 4) a) La firme anticipe la réaction optimale de B (il calcule la fonction de réaction de B) : q b * =(100-q a )/8. A maximise son profit en remplaçant qb par la valeur anticipée de qb, ce qui la conduit à produire q a * = 15,21. B se comporte comme A l a anticipé et produit q b * =10,59. P = 74,2 A = 645,9 B = 439,25 b) qb* = 10,87, qa* = 14,85 P = 74,28 A = 642,01 B = 442,95 5) a) q * = 45 b) p = 11; = 405 c) q Gr = (70-q Ge )/2 ; q Ge = (90-q Gr ) / 2 ; q Gr * = 50/3 ; p = 9,3 d) Lors de la maximisation, cette hypothèse implique qu un producteur considère le choix de l autre comme une constante. 6) a) q 1 * = (1-q 2 )/2 ; q 2 * = (1-q 1 )/2 b) q 1 * = q 2 * =1/3 c) En cartel, les firmes choisissent ensemble la quantité totale (Q = q a +q b ) qui maximise la somme des profits ((1-Q).Q). On trouve Q * =1/2 et on suppose qu elles se répartissent cette production de manière égale. Donc q 1 c = ¼ = q 2 c. d) Pour maintenir un prix élevé. En général, les firmes limitent leur production étant donnée la relation inverse entre production et prix. En cartel, elles limitent leur production davantage car elles se soucient également du profit du concurrent. e) Si q 1 = ¼, q 2 * = 3/8 f) Non. Comme on l observe en e), si la firme 2 pense que son concurrent respecte le cartel, elle a intérêt à produire 3/8 et non pas ¼. 7) q 1 = q 2 = 40 1 = 2 = 1600 b) Max Q = (130 - Q)Q 10Q Q * = 60 donc chaque firme produit 30 unités et fait un profit de 1800. c) Il est plus profitable pour les firmes de coopérer que de décider indépendamment

leur production. d) Non, chaque firme a intérêt à dévier de la quantité de Cartel. 10) a) x m résout : p 1 +tx m 2 = p 2 + t(1-x m ) 2, ce qui donne x m = (p 2 -p 1 +t)/2t. On obtient alors p 1 * = t+c = p 2 * b) Dans ce cas particulier où les firmes sont situées aux extrémités du segment, les résultats du modèle sont identiques que les coûts soient linéaires ou quadratiques. 11) p 1 * =c+(t 1 +2t 2 )/3 ; p 2 * =c+(2t 1 +t 2 )/3. La firme la plus accessible propose un prix plus élevé D 1 * = (t 1 +2t 2 )/3(t 1 +t 2 ) ; D 2 * = (2t 1 +t 2 )/3(t 1 +t 2 ). La firme la plus accessible a une plus grande part de marché (malgré son prix plus élevé). Forcément, son profit sera également plus important. 12) a) Chaque électeur choisit le politicien le plus proche de lui. Les politiciens veulent obtenir le plus grand nombre de voix pour être élus. extrême gauche: 0 1: extrême droite x A = 1/3, x B = 2/3. Chaque candidat obtient les voix des électeurs entre lui et l extrême plus la moitié de ceux entre lui et l autre candidat. Si le candidat B ne bouge pas de 2/3, le candidat A a-t-il intérêt à changer de position? Oui: il a intérêt à se rapprocher de B pour attirer les votes des électeurs entre lui et B. Il se rapproche jusqu à être juste à gauche de B. b) x A = x B = 3/4 Aucun des candidats ne veut dévier vers la droite: il perdrait les électeurs de gauche. Par contre, ils préfèrent tous les deux dévier vers la gauche pour obtenir les voix des électeurs de gauche. c) x A = x B = 1/2 C est bien un équilibre de Nash: aucun des candidats ne veut dévier. Les candidats ont donc tendance à exprimer des idées modérées pour attirer un maximum d électeurs (lorsqu ils ne sont que deux).

Chapitre 1 : L incertitude Exercices 1. Un agent dispose d'une richesse de 20. Il a la possibilité d'acheter un actif risqué dont le prix est de 10, et qui rapporte 5 avec une probabilité de 0.6, et 30 avec une probabilité de 0.4. Montrez que le choix d'acheter ou non cet actif revient à choisir entre les loteries (1,20) et ((0.6,15),(0.4,40)). Calculez l'espérance de ces deux loteries. 2. * L'autorité fiscale sait par expérience que 20 pour cent des firmes lui déclarent un bénéfice moindre que le bénéfice réel. En moyenne, lorsque les comptes d'une firme sont vérifiés et que l'évasion fiscale est avérée, la firme paye 200 à l'autorité fiscale. Sachant que le coût d'audit d'une firme est de 40 pour l'administration fiscale, décrivez les loteries auxquelles fait face cette dernière au moment de choisir d'auditer ou non une firme. 3. Dans un graphe à deux dimensions où les axes correspondent à la richesse finale d'un agent si l événement 1 se produit (axe horizontal) et à sa richesse finale si l événement 2 se produit (axe vertical), représentez les loteries ((0.5,0),(0.5,20)), ((0.5,10),(0.5,20)), ((0.25,10),(0.75,20)), et (1,16). Représentez la droite des loteries de même espérance et de même probabilités que la loterie ((0.5,10),(0.5,20)), et ensuite faites de même avec la loterie ((0.25,10),(0.75,20)). 4. Un agent dispose d'une richesse de 50. Il a la possibilité d'acheter un actif risqué dont le prix est de 20, et qui rapporte 10 avec une probabilité de 0.6, et 60 avec une probabilité de 0.4. Appelons 1 l'événement qui mène à un gain de 10, et 2 celui qui mène à un gain de 60. Dans un graphe à deux dimensions où les axes correspondent à la richesse finale de cet agent si l'événement 1 se produit (axe horizontal) et sa richesse si 2 se produit (axe vertical), représentez les deux loteries entre lesquelles il doit choisir. Représentez graphiquement la droite des loteries de même espérance que la loterie consistant à ne pas acheter cet actif, et la droite des loteries de même espérance que la loterie consistant à acheter l'actif. En supposant que l'agent présente de l'aversion au risque, et qu'il est indifférent entre les deux loteries, représentez une de ses courbes d'indifférence dans cet espace. 5. Dans un graphe à deux dimensions où l'axe horizontal représente la richesse finale d'un agent, et l'axe vertical l'utilité qu'il dérive de cette richesse, représentez la fonction d'utilité d'un agent qui serait indifférent entre les loteries (1,20) et ((0.25,10),(0.75,30)). 6. Dans un graphe à deux dimensions où l'axe horizontal représente la richesse finale d'un agent, et l'axe vertical l'utilité qu'il dérive de cette richesse, représentez la fonction d'utilité d'un agent qui présente de l'aversion pour le risque et qui serait indifférent entre les loteries ((0.5,15),(0.5,25)) et ((0.25,10),(0.75,30)). 7. * Vous jouez à pile ou face avec un ami. Si vous perdez, vous lui devez 1 et si vous gagnez, il vous donne 1. a) Représentez les gains associés à cette loterie dans l espace «gain si pile ; gain si face». b) Tracez l ensemble des points qui procure la même espérance de gain que le jeu. 1

c) Quelle est la pente de cette droite? d) Si vous présentez de l aversion pour le risque, choisissez-vous de participer à ce jeu? Montrez le graphiquement. e) Tracez l ensemble des points qui procure la même espérance de gain que le jeu si les paiements associés à la victoire et à la défaite sont respectivement (+1 ;- 0,5). Un joueur qui présente de l aversion extrême pour le risque acceptera-t-il de participer à ce jeu? Tracez la courbe d indifférence de ce joueur pour répondre à cette question? 8. (exam juin 2006) Un joueur fait face à deux loteries où son gain est tiré à pile ou face. Ces deux loteries ont les valeurs suivantes : loterie a : le gain est de 10 si pile est gagnant, et 20 si face est gagnant, loterie b : les gains sont de 5 et 30 respectivement. Représentez graphiquement les préférences de cet agent, à l aide d une ou plusieurs courbes d indifférence, sachant qu il présente de l aversion pour le risque, et est indifférent entre les deux loteries. 9. Un joueur qui apprécie extrêmement le risque acceptera-t-il de participer au jeu si les paiements associés à la victoire et à la défaite sont respectivement (+1 ;-2)? Tracez la courbe d indifférence de ce joueur pour répondre à cette question? 10. Pierre dispose initialement des actifs pour une valeur de 35000, mais il y a un risque qu il perde 10000 si sa voiture se fait voler. Pierre évalue la probabilité que cet événement se produise à 1 chance sur 100. a) Définissez la loterie qui décrit la richesse de Pierre b) Supposez qu il existe un contrat d assurance qui garantisse un versement de 100 si le vol se produit, en échange d une prime de 1. Définissez la loterie qui décrit la richesse de Pierre s il achète k de cette assurance, avec k 100. c) Sans assurance, quelle est l espérance de gain de Pierre d) Quelle est son espérance de gain lorsqu il s assure contre le vol (pour tout niveau d assurance k 100? e) Tracez la droite qui relie les loteries dont l espérance de gain est identique à celle identifiée en a). Que vaut la pente de cette droite? f) Si Pierre présente de l aversion pour le risque, pour quel montant voudra-t-il s assurer sachant que la prime est de 1? Même question s il est neutre au risque et s il apprécie le risque. Illustrez vos réponses à l aide d un graphe. 11. On offre à un individu qui manifeste de l aversion pour le risque le choix entre un jeu qui rapporte 1000 avec une probabilité de 25% et 100 avec une probabilité de 75% et un paiement immédiat de 325. Que va-t-il choisir? 12. Considérez un agent qui apprécie toute augmentation de sa richesse, qui présente de l'aversion au risque, et dont les préférences peuvent être représentées par une fonction d'utilité de vonneuman-morgenstern. Que pouvez-vous dire sur ses préférences possibles envers ces différentes loteries: ((0.25,10),(0.75,20)), ((0.5,10),(0.5,20)), ((0.25,15),(0.75,15)), ((0.5,15),(0.5,15)), ((0.25,10),(0.75,15)) et ((0.5,10),(0.5,25))? Classez ces loteries depuis celle qu'il préfère jusqu'à celle qu'il va aimer le moins, en faisant apparaître, s'il en existe, des paires de loteries entre lesquelles vous ne pouvez connaître a priori ses préférences. Exercice basé sur un exemple issus de Hal.R. Varian, chapitre 12. 2

13. Considérez un agent dont les préférences peuvent être représentées par une fonction d'utilité de vonneuman-morgenstern. Montrez que s'il est indifférent entre les loteries ((0.25,10),(0.75,20)) et (1,15), alors il est aussi indifférent entre les loteries ((0.4,10),(0.6,20)) et ((0.2,10),(0.8,15)). 14. Un investisseur dispose d'une richesse de M qu'il peut investir soit dans un actif non risqué, la monnaie, qui ne rapporte rien, soit dans un actif risqué, où, avec une probabilité 0.5 sa mise sera divisée par deux, et avec une probabilité 0.5 sa mise sera multipliée par 8. Soit M 1 et M 2, les quantités de richesse qu'il investit dans ces deux actifs respectivement. Si l'on suppose qu'il a des préférences représentables par une fonction vnm et que son aversion pour le risque est correctement évaluée par une fonction d'utilité du gain u(m)=log(m), quel est son choix optimal de portefeuille? 15. Un entrepreneur dispose d'un budget de B. Il a la possibilité de se lancer dans la production d'un nouveau type de gants. Il doit décider aujourd'hui combien de paires de gants produire, sans connaître le prix auquel il pourra les vendre. Le coût de production est de 2 euros par paire. Si l'hiver est rigoureux, ce dont la probabilité est de 0.5, chaque paire se vendra 4 euros. Si l'hiver n'est pas rigoureux, le prix sera de 1 euro. Si l'on suppose que cet entrepreneur a des préférences représentables par une fonction vnm et que son aversion pour le risque est correctement évaluée par une fonction d'utilité du gain u(m)=m 1/2, montrez qu'il investira tout son budget dans la production de gants. Montrez aussi que si, par contre, la probabilité d'un hiver rigoureux n'est plus que d'un tiers, alors il n'investira pas dans la production de ce bien. 16. Ecrivez analytiquement l expression suivante : «l utilité d une loterie vaut l espérance de l utilité des gains.» Comment appelle-t-on les fonctions d utilité qui satisfont cette propriété? 17. Ecrivez analytiquement l expression suivante : «l utilité d une loterie vaut l espérance des gains.» Que peut-on dire du degré d aversion au risque d un individu qui aurait ce type de préférence? 18. Tracez une fonction d utilité qui correspond à un comportement de goût pour le risque pour de petits jeux et d aversion pour le risque pour des jeux plus importants. # 19. Supposons que vous envisagiez la possibilité d investir 100 dans deux sociétés différentes, une qui produit des lunettes solaires et une qui produit des imperméables. Les prévisions météorologiques indiquent que l été prochain a autant de chance d être pluvieux qu ensoleillé. Les actions des deux sociétés sont actuellement vendues à un prix unitaire de 10. Si l été est pluvieux, une action de la société qui produit des imperméables vaudra 20 et un action de l autre compagnie ne vaudra que 5. Si, au contraire l été est ensoleillé, les résultats seront inversés : une action de la société qui produit des lunettes solaires vaudra 20 et une action de l autre société ne vaudra que 5. a) Si vous êtes averse au risque, allez-vous investir? Si oui, quelle fraction de vos 100 allez-vous investir? Comment votre investissement se répartira entre les 2 sociétés? 3

b) Pourquoi un individu qui présente une aversion extrême au risque souhaite-t-il investir tout son argent équitablement dans les deux actifs risqués? 20. Un investisseur dispose d une richesse de M qu il peut investir soit dans un actif non risqué, la monnaie, qui lui rapporte un taux d intérêt de 40% sur 5 ans, soit dans un actif risqué, où, avec une probabilité 0,25 sa mise sera entièrement perdue, et avec une probabilité 0,75 sa mise sera multipliée par 5 dans 5 ans. Soit M1 et M2, les quantités de richesse qu il investit dans ces deux actifs respectivement. Si l on suppose qu il a des préférences représentables par une fonction vnm et que son aversion pour le risque est correctement évaluée par une fonction d utilité du gain u(m) = ln(m), quel est son choix optimal de portefeuille? 21. * Même question que 20 mais avec u(m) = m. 22. Même question que 20 si l individu aime le risque. Répondez à l aide d un graphe. 23. Un investisseur dispose d une richesse de M qu il veut investir dans des actifs risqués. Le premier lui rapporte 50% de son investissement avec une probabilité de 0,5 mais lui fait perdre 50% de son investissement le reste du temps. Le second lui rapporte 100% de son investissement avec une probabilité de 0,5 mais lui fait perdre la totalité de son investissement dans le cas contraire. Supposez d autre part que le cours des deux actifs proposé n est pas corrélé. Soit M1 et M2, les quantités de richesse qu il investit dans ces deux actifs respectivement. Si l on suppose qu il a des préférences représentables par une fonction vnm et que son goût pour le risque est correctement évaluée par une fonction d utilité du gain u(m) = ln(m), quel est son choix optimal de portefeuille? 4

Introduction au modèle : Chapitre 2 : La tarification par un monopoleur Exercices - 2 secteurs, x 1 en monopole et x 2 représentant la monnaie que l on peut dépenser dans tous les autres secteurs. - U(x1,x2) = v(x1) + x2 - La fonction de coût du monopoleur est C(x1) = c.x1 - La tarification du monopoleur peut être multiple. Nous nous centrerons sur 2 types de contrats : l abonnement, suivi d un prix constant : F(x 1 ) = F 0 +px 1 et l offre à prendre ou à laisser : (x 1*,F(x 1* )) Un Consommateur, un producteur, information complète 0. (rappel mathématique) On suppose qu'il y a deux biens: le bien 1 et le bien 2; un consommateur a des préférences représentées par une fonction d'utilité U(x 1,x 2 ) qui est strictement croissante en chacun de ses arguments: δu(x 1,x 2 )/δx 1 > 0 et δu(x 1,x 2 )/δx 2 >0. Ce consommateur fait face à une tarification du bien 1 et du bien 2 représentée par les fonctions F 1 (x 1 ) et F 2 (x 2 ) qui sont strictement croissantes: δf 1 (x 1 )/ δx 1 > 0 et δf 2 (x 2 )/ δx 2 > 0. Il dispose d'un revenu de y, de sorte que sa contrainte de budget s'écrit F 1 (x 1 ) + F 2 (x 2 ) y. - Ecrivez le Lagrangien du problème de maximisation de ce consommateur. - Ecrivez les conditions du premier ordre. - Démontrez que la contrainte de budget doit être liante. 1. * Dans le graphe ci-dessous, identifiez les points (0,0) et (-5, 3). A quoi correspondent-ils? x 1 3-10 x 2

2. * Qu appelle-t-on la contrainte de participation du consommateur? Identifiez une offre à prendre ou à laisser qui la satisferait. x 1 x 2 3. * Supposons que le coût unitaire de production (c) est de 0,5 euro. Un consommateur a une richesse de y et des préférences sur ces deux biens représentées par la fonction d'utilité suivante: u(x 1,x 2 )= ln (x 1 +1) + x 2. Si le producteur choisit de tarifier à l aide d un forfait (F 0 ) et d un prix payé à l unité consommée (p 1 ) de sorte que la consommation de x 1 unités de bien 1 coûte au consommateur F 0 + p 1 x 1, a) En supposant que le consommateur achète une certaine quantité du bien produit par le monopoleur (on suppose que sa contrainte de participation est satisfaite), identifiez cette quantité. b) Résolvez le problème du producteur. Quelle quantité veut-il mettre en vente? Quel prix doit-il fixer pour atteindre cet objectif? Quel sera son profit? (Attention, on ne suppose pas que la contrainte de participation est satisfaite ici, vous devez imposer cette condition!) c) Représentez l équilibre graphiquement 4. Un consommateur a des préférences quasi-linéaires sur deux biens, 1 et 2, représentées par la fonction d'utilité suivante: u(x 1,x 2 )= x 1 1/2 + x 2. ll dispose d'une richesse y et fait face aux prix p 1 et p 2, et l'on suppose que p 2 =1 (le bien 2 est le numéraire, et on peut le considérer comme de la monnaie). Vérifiez que la demande pour le bien 1 s'écrit: x 1 (p 1,y)= 1/4p 1 2. Retrouvez-vous la propriété des fonctions d'utilité quasi-linéaires? Vérifiez que le gain d'utilité (mesuré en quantité de numéraire) lié à l'achat de bien 1 est de 1/4p 1. 5. Un consommateur a des préférences quasi-linéaires sur deux biens, 1 et 2, représentées par la fonction d'utilité suivante: u(x 1,x 2 )=ln x 1 + x 2. ll dispose d'une richesse y et fait face aux prix p 1 et p 2, et l'on suppose que p 2 =1. Vérifiez que la demande en bien 1 ne dépend pas de la richesse.

6. Un consommateur a des préférences quasi-linéaires sur deux biens, 1 et 2, représentées par la fonction d'utilité suivante:u(x1,x2)=(-1/x 1 ) +x 2. ll dispose d'une richesse y et fait face aux prix p 1 et p 2, et l'on suppose que p 2 =1. Calculez la demande en bien. Que pouvez-vous dire du surplus engendré par l'achat du bien 1 par ce consommateur? 7. Le coût unitaire de production est de 0.5 euro. Un consommateur a une richesse de y et des préférences sur ces deux biens représentées par la fonction d'utilité suivante: u(x 1,x 2 )= ln (x 1 +1) + x 2. a. Si ce consommateur était seul dans l'économie et disposait de la technologie de production, combien choisirait-il de produire? b. Supposons maintenant qu'il y a deux agents dans cette économie, ce consommateur, et le propriétaire de la firme qui produit le bien 1. Si un planificateur omniscient et bienveillant souhaite maximiser le surplus total de cette économie, combien choisirait-il de produire? c. En l'absence d'un tel planificateur, supposons que le producteur du bien 1 est un monopoleur, et qu'il connaît les préférences de son consommateur. Il souhaite maximiser son profit. Il va proposer le menu (x 1,F) au consommateur, ce qui signifie qu'il lui propose la quantité x 1 de bien en échange d'un montant F d'euros. i. Ecrivez la fonction de profit du monopoleur. ii. Ecrivez la contrainte de participation du consommateur. iii. Montrez que la quantité proposée par le monopoleur sera de 1. iv. Quel sera le profit du monopoleur? 8. Même question que supra, lorsque u(x1,x2)= x 1 1/2 + x 2 (attention: la quantité optimale n'est peut-être plus la même) Deux types de consommateurs, information parfaite 9. * Supposons que le monopoleur fait face à 2 types de consommateurs différents, ceux de type a ayant un goût plus prononcé pour le bien produit par le monopoleur que ceux de type b. Si le producteur peut distinguer le type de chaque individu et lui proposer une offre spécifique, quelle proposition fera-t-il aux individus de type a et aux individus de type b si il propose des abonnements? Deux types de consommateurs, information imparfaite 10. * Montrez que si le producteur propose les mêmes offres qu en 9), les individus de type a ont intérêt à se faire passer pour des individus de type b. 11. * Dans chacun des cas suivant, montrez que si le producteur propose l offre à prendre ou à laisser (O), il serait profitable pour lui de proposer un autre type de contrat tout en conservant le premier.

a) x 1 O -1/c CI a CI B x 2 π A = π B b) x 1 O CI a -1/c CI B x 2 π A = π B c) CI a CI B x 1 O -1/c x 2 π A = π B

12. On compte deux types de consommateurs, a et b, en proportion 0.5 et 0.5, ayant la même richesse y, et tels que leurs préférences sont décrites par les courbes d'indifférence du graphe ci-dessous (les agents de type a sont prêts à payer plus pour le bien 1: leurs courbes d'indifférence sont moins verticales). Le coût de production du bien est également indiqué sur le graphe par deux courbes d'isoprofit (une de ces courbes est tangente à une courbe d'indifférence d'un agent a, l'autre d'un agent b). Pour les paires de menus suivants, dites si les contraintes de participation et/ou de compatibilité avec les incitants sont satisfaites (le premier élément de la paire indique quel contrat est proposé aux agents a): (z 9,z 9 ), (z 11,z 12 ), (z 9,z 13 ), (z 4,z 13 ), (z 1,z 11 ), (z 11,z 3 ), (z 2,z 10 ). Si l'information est incomplète, et que chaque consommateur a le choix entre acheter du bien et ne pas en acheter, et, s'il en achète, a le choix entre les deux menus proposés par le monopoleur, quel profit sera attaché à chacune des paires de menus suivants (rangez-les par ordre décroissant de profit): (z 4,z 9 ), (z 2,z 12 ), (z 2,z 9 ), (z 1,z 8 ), (z 10,z 10 ), (z 8,z 8 ). z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 z 10 z 11 z 12 z 13

13. Il y a deux types de consommateurs, a et b, en proportion 0.5 et 0.5 ayant la même richesse y, et tels que leurs préférences sont décrites par u a (x 1 a,x 2 a ) =2ln (x 1 a +1) + x 2 a, u b (x 1 b,x 2 b )= ln (x 1 b +1) + x 2 b. Le monopoleur peut maintenant proposer deux menus aux consommateurs, (x 1 a,f a ) et (x 1 b,f b ). a) Ecrivez la fonction de profit du monopoleur. b) Ecrivez la contrainte de participation de chacun des types de consommateurs. c) Calculez les menus optimaux du monopoleur lorsqu'il est en mesure d'identifier le type de chaque consommateur. Calculez son profit. d) Supposez maintenant que le monopoleur ne reconnaît pas le type de ses clients. Montrez que la contrainte de compatibilité avec les incitants des agents de type a revient à ln(x 1 a +1)-ln(x 1 b +1} (F a -F b )/2 e) Ecrivez le programme de maximisation du planificateur. f) Montrez que le monopoleur a intérêt à proposer un contrat (0,0) aux agents de type b (attention, il s'agit d'une solution de coin). g) Montrez que le contrat optimal proposé aux agents de type a prévoit une quantité de bien 1 égale à 3. Y a-t-il une rente informationnelle dans ce cas-ci? Qui perd, qui gagne, par rapport à la situation d'information complète?

Solutions TP4 1 Chapitre 1 1. Une loterie est définie par des gains monétaires et la probabilité de les obtenir: ((p 1, m 1 ), (p 2, m 2 ),..., (p n, m n )) Chaque couple (probabilité, gain) correspond à un état du monde réalisé avec la probabilité p i où l on obtient un gain m i : Si l agent n achète pas l actif, il conservera avec certitude (c est à dire avec une probabilité égale à 1) sa richesse de 20. Dans ce cas là, la loterie à laquelle il fait face est bien (1,20). Dans le cas défavorable l actif ne rapporte que 5 alors qu il coûte 10 au départ. S il achète cette actif, il lui restera au final 20 10 + 5 = 15. Lorsque les choses sont favorables, la valeur finale de l actif est de 30 et la richesse finale sera 20 10 + 30 = 40. Le premier évènement a une probabilité de 0.6 alors que la probabilité du second est 0.4. La loterie est bien ((0.6, 15), (0.4, 40)). L espérance est la moyenne des gains pondérées par la probabilité qui leur est associée. Pour la première loterie, cette espérance est trivialment 20(= 1 20). Pour la seconde, nous obtenons 0.6 15+0.4 40 = 25. 3. Le point a représente la loterie ((0.5, 0), (0.5, 20)). Le point c représente la loterie (1, 16). Un point sur ce graphe représente les gains associés aux deux évènements mais ne fournit pas d information sur la probabilité de ces évènement, ce qui fait que les loteries ((0.5, 10), (0.5, 20)) et ((0.25, 10), (0.75, 20)) sont représentées par le même point b. Les droites des loteries de même espérance et de même probabilité, elles, dépendent des probabilités des évènements. Nous savons que les droites que l on nous demande de tracer passent par c et que leur pente est égale à p 1 p 2 ce qui donne respectivement des pentes de 1 (droite continue) et 0.25 (droite en pointillés). 1

20 16 a b c évènement 2 10 16 évènement 1 4. La loterie à laquelle l agent fait face s il n achète pas l actif est (1, 50) qui est équivalente à ((0.6, 50), (0.4, 50)). Cette loterie est représentée par le point a. En cas d achat, la loterie devient ((0.6, 50 20+10), (0.4, 50 20 + 60)) ou ((0.6, 40), (0.4, 90)). Le point b représente cette loterie. Les droites des loteries de même espérance ont une pente de 0.6 0.4 = 1.5. On peut dessiner une courbe d indifférence qui passe par les deux loteries vu que l agent est indifférent entre les deux. On sait par ailleurs que l adversité au risque implique que cette courbe d indifférence est tangente en a à la droite des loteries de même espérance que a (a se situe sur la droite à 45 des loteries sans risque). 2

b évènement 2 a évènement 1 5. L espérance de gain de la deuxième loterie est égale à 25 qui est supérieur au gain de la première. La première est sans risque alors que la seconde en comporte. L agent est donc adverse au risque, sa fonction sera donc concave. Vu l indifférence entre les deux loteries, nous savons que 0.25v(10) + 0.75v(30) = v(20) 3

Utilité v(30) = 4 3 v(20) 1 3 v(10) v(20) v(10) = 4v(20) 3v(30) 10 20 30 Richesse 6. La fonction d utilité sera dans ce cas-ci également concave. Cette fois, les points doivent satisfaire la relation suivante 0.5v(15) + 0.5v(25) = 0.25v(10) + 0.75v(30) 8. Placer les points représentants les deux loteries est simple. Pour les courbes d indifférence, vous devez faire attention à (a) les courbes d indifférence sont convexes par rapport à l origine vu l aversion au risque (b) une courbe d indifférence passe par les deux lotteries vu que le joueur est indifférent entre les deux loteries (c) toutes les courbes d indifférence on une tangente égale à -1 lorsqu elle croisent la droite à 45 (la droite des loteries sans risque). Ceci est du à l aversion au risque et à l équaprobabilité des deux évènements 9. Les courbes d indifférence sont d une certaine manière l inverse de celles d une personne extrêmement adverse au risque. Cette fois, la seule chose qui intéresse l agent est le gain dans la situation la plus favorable. Si le point représente la loterie associée au gain (+1, 2), on voit sur le graphe que ne pas jouer, le point (0, 0) se trouve en dessous à gauche en-dessous de la courbe d indifférence qui passe par la loterie associée au jeu. Dès lors, l agent préfèreras prendre part au jeu. 4

10. La loterie qui décrit la richesse de Pierre est ((0.01, 25000), (0.99, 35000)). S il achète k euros de cette assurance, la loterie devient ((0.01, 25000 k + 100k), (0.99, 35000 k)). Sans assurance, l espérance de gain de Pierre est 0.01 25000 + 0.99 35000 = 34900. En cas d assurance, cette espérance devient 0.01 25000 + 0.99 35000 k + 0.01 100k = 34900. La pente de la droite que l on vous demande de tracer en e) vaut 1/99 (si l évènement vol se situe sur l axe horizontal, autrement vous auriez 99). En achetant cette assurance, il ne perd rien en terme d espérance de gain mais peut réduire le risque, il achètera donc cette assurance tant qu il y a du risque. On égale les gain dans les deux situations 25000 k+k 100 = 35000 k pour obtenir la quantité d assurance qu il achète et nous obtenons k = 100. S il est neutre au risque, il sera indifférent à la quantité de k. S il aime le risque, il choisira k = 0 (pour peu que l on se limte au k positifs). 11. Remarquez que les deux loteries ont la même espérance. Dès lors, 5

l agent adverse au risque choisira le paiement immédiat car cela implique moins de risque (en fait, il n y en a pas) que l autre loterie. 12. Vu qu elles ont le même risque et la même espérance de gain on a ((0.25, 15), (0.75, 15)) ((0.5, 15), (0.5, 15)) Par adversité au risque, on a ((0.25, 10), (0.75, 20)) ((0.5, 10), (0.5, 25)) ((0.5, 15), (0.5, 15)) ((0.5, 10), (0.5, 20)) Par le fait que avec le même risque, l agent préfère une plus grande espérance, on a ((0.25, 15), (0.75, 15)) ((0.25, 10), (0.75, 15)) ((0.25, 10), (0.75, 20)) ((0.25, 10), (0.75, 15)) ((0.5, 10), (0.5, 25)) ((0.5, 10), (0.5, 20)) 13. Vu que l agent est indifférent entre ((0.25, 10), (0.75, 20)) et (1, 15), nous savons que, par définition d une fonction d utilité de vonneuman- Morgenstern, nous avons l égalité suivante 0.25v(10) + 0.75v(20) = 1v(15) (1) L indifférence entre ((0.4, 10), (0.6, 20)) et ((0.2, 10), (0.8, 15)) revient à l égalité suivante 0.4v(10) + 0.6v(20) = 0.2v(10) + 0.8v(15) (2) Il faut donc montrer que (1) implique (2). Multipliez (1) par 0.8, additionez des deux côtés de l égalité 0.2v(10), vous obtenez alors (2) comme demandé par l exercice. 14. Le programme de maximisation est le suivant : max 0.5 ln(m 1 + M 2 M 1,M 2 2 ) + 0.5 ln(m 1 + 2M 2 ) s.c.q M 1 + M 2 M Comme il n y a pas d autres alternatives comme utilisation de M, nous savons que la contrainte se réduit à une égalité et nous pouvons réécrire le problème comme max 0.5 ln( M + M 1 ) + 0.5 ln(2m M 1 ) M 1 2 6

Nous calculons alors la condition de premier ordre : 0.5 1 2 M+M 1 2 1 0.5 = 0 2M M 1 1 1 = M + M 1 2M M 1 (2M M 1 ) = (M + M 1 ) M 1 = 1 2 M M 2 = 1 2 M 15. Si nous notons n le nombre de paires de gants produits, le programme de maximisation est le suivant max n p 1 B 2n + n + p2 B 2n + 4n s.c.q 2n B La condition du premier ordre donne : p 2 1(B + 2n) = 4p 2 2(B n) Si nous remplaçons, p 1 et p 2 par 0.5 et 0.5, nous obtenons n = B 2. Alors que si la probabilité d un hiver rigoureux n est que de un tiers, cette égalité devient n = 0. 16. U((p 1, m 1 ), (p 2, m 2 ),..., (p n, m n )) = (p i v(m i )) Ce sont des fonctions d utilité de von-neumann-morgenstern (VNM). 17. U((p 1, m 1 ), (p 2, m 2 ),..., (p n, m n )) = (p i m i ) Cet individu est indifférent au risque. 18. Une adversité au risque se traduit par une fonction d utilité concave alors qu un goût pour le risque est représenté par une fonction d utilité convexe. La fonction d utilité sera donc convexe pour des petits gains et deviendra concave pour des gains importants. 7

Utilité Richesse 19. Les deux actifs offrent une même espérance de gain positive. Un agent adverse au risque, s il investit, cherchera à minimiser le risque. Remarquez qu un portefeuille composé d un même nombre de chaque actif est sans risque. L espérance de gain étant positive, tout agent, quelque soit son aversion au risque, investira 50=C dans chacune des sociétés. 20. La résolution de l exercice est semblable à celle pour aux exercices 12, 13 et 21 entre autres. Au final, nous obtenons M 1 = 5 4 3.6 M M 2 = M M 1 22. Les courbes d indifférence sont du même type que dans l exercice 8. Le point a représente le fait de tout investir dans l actif non risqué alors que b représente un investissement de toute la richesse dans l actif risqué. La droite reliant les deux points représente tous les cas intermédiaires entre ces deux extrêmes. Très clairement, la plus haute courbe d indifférence est atteinte en b. L agent va donc investir toute sa richesse dans l actif risqué. 8

a b 23. Nous pouvons écrire les informations concernant les deux actifs sont la forme suivantes : Actif 1: ((0.5, 1.5m 1 ), (0.5, 0.5m 1 )) Actif 2: ((0.5, 2m 2 ), (0.5, 0)) Il y a 4 cas possibles : (gagne, gagne)(gagne, perd)(perd, gagne)(perd, perd) Chaque état du monde se réalise avec une probabilité 0.5 0.5 = 0.25. L utilité dérivée d un investissement dans les deux actifs est donnée par U(m 1, m 2 ) = 0.25 ln(1.5m 1 + 2m 2 ) + 0.25 ln(1.5m 1 ) +...... +0.25 ln(0.5m 1 + 2m 2 ) + 0.25 ln(0.5m 1 ) On remplace m 2 par M m 1 (contrainte budgétaire) pour maximiser U(m 1 ) en fonction de m 1 : U(m 1 ) = 0.25 ln(1.5m 1 + 2(M m 1 )) + 0.25 ln(1.5m 1 ) +...... +0.25 ln(0.5m 1 + 2(M m 1 )) + 0.25 ln(0.5m 1 ) La condition du premier ordre est 1.5 2 1.5 0.5 2 0.25 + 0.25 + 0.25 1.5m 1 + 2(M m 1 ) 1.5m 1 0.5m 1 + 2(M m 1 ) 9 + 0.25 0.5 0.5m 1 = 0

En isolant m 1, nous obtenons : m 1 = 24 ± 192 M 12 La solution avec + donne une fraction supérieur à 1, ce qui n a pas de sens au niveau de l interprétation économique. Nous retenons dès lors comme solution unique la racine avec. 2 Chapitre 2 0. Le Lagrangien s écrit L = U(x 1, x 2 ) λ[f 1 (x 1 ) F 2 (x 2 ) y] Les conditions à satisfaire pour avoir un maximum sont L = 0 x 1 (3) L = 0 x 2 (4) λ[f 1 (x 1 ) F 2 (x 2 ) y] = 0 (5) Lorsque λ est égal à 0, la contrainte n est pas liante. montrer que λ 0. L équation 3 peut se réécrire Il faut donc U x 1 F 1 x 1 = λ Par hypothèse, les dérivées sont différentes de zéro, dès lors λ 0. 4. La demande est obtenue en maximisant l utilité. En tenant compte que la contrainte budgétaire est liante (x 2 = y px 1 ), la condition du premier ordre peut effectivement s écrire x 1 = 1. Cette demande est effectivement indépendante de la richesse y (propriété des fonctions d utilité p 2 1 quasi-linéaire). Le gain d utilité est donné par u( 1 1, y p 4p 2 1 ) u(0, y). 1 4p 2 1 5. Le calcul est identique à celui de l exercice précédent. Au final, nous obtenons x 1 = 1 p 1 qui est bien indépendante de y. 1 6. Toujours la même technique pour obtenir x 1 = Dans ce cas, le gain d utilité est infini. Il suffit de calculer u(( 1 p 1 ) 1 2, y p 1 ( 1 p 1 ) 1 2 ) u(0, y) et de remarquer que l on obtient un terme + 1 0. 10 p 1.

7. (a) Que nous pouvons réécrire max ln(x 1 + 1) + x 2 x 1,x 2 s.c.q. 0.5x 1 + x 2 = y max x 1 ln(x 1 + 1) + y 0.5x 1 (6) La condition du premier ordre donne x 1 = 1. (b) Le planificateur effectuera le même choix x 1 = 1. En effet, il maximise la somme de l utilité du consommateur ln(x 1 + 1) + y F et du profit du producteur F 0.5x 1. Son programme de maximisation est donc exactement le même que (6). (c) i. ii. Π(x 1, F ) = F cx 1 u(x 1, y F ) u(0, y) ln(x 1 + 1) + y F ln(1) + y ln(x 1 + 1) F 0 iii. Il s agit de maximiser le profit de telle manière que la contrainte de participation soit satisfaite. Tenant compte que cette dernière sera liante, cela revient au programme suivant max x 1 ln(x 1 + 1) cx 1 iv. Très clairement, nous obtenons x 1 = 1. Π(x 1, F ) = F cx 1 = ln(x 1 + 1) cx 1 = ln(2) 0.5 8. La méthode de résolution est identique à l exercice précédent. On obtient x 1 = 1, F = 1 et Π = 0.5. 11

11. (a) N importe quel contrat à la gauche de O compris entre les deux courbes d indifférence serait accepté par a et offrirait un meilleur profit. b continuant à préférer et à accepter le contrat initial. (b) N importe quel contrat à la gauche de O compris entre la courbe d indifférence de a et la droite d isoprofit serait accepté par a et offrirait un meilleur profit. b continuant à préférer et à accepter le contrat initial. (c) N importe quel contrat à la droite de O compris entre la courbe d indifférence de b et la droite d isoprofit serait accepté par b et offrirait un meilleur profit. a continuant à préférer et à accepter le contrat initial. 12. La contrainte de participation (CP) est satisfaite pour un agent si le contrat qui lui est proposé se situe sur ou au-dessus de sa courbe d indifférence qui passe par l origine. Pour un agent, la compatibilité des incitants (CI) est respectée si le contrat proposé à l autre agent se situe sur ou en-dessous de sa courbe d indifférence passant par le contrat qui lui est proposé. (z 9, z 9 ) est un cas limite vu que cela se réduit à un seul contrat. CP est satisfaite et CI l est trivialement. (z 11, z 12 ) : CP est satisfaite CI ne l est pas, les agents a préfèrent le contrat z 12. (z 9, z 13 ) et (z 4, z 1 3) : CI et CP sont satisfaites. (z 1, z 11 ) : CI est satisfaite mais CP ne l est pas pour les agents b. (z 11, z 3 ) : CP n est pas satisfaite pour les agents b et CI ne l est pas pour les agents a. (z 2, z 10 ) : CI n est pas satisfaite pour les agents a et CP est satisfaite. Pour les contrats (z 4, z 9 ),(z 2, z 12 ) et (z 10, z 10 ), CI et CP sont satisfaites. Les agents prendront les contrats qui leur sont proposés. Pour (z 2, z 9 ), CI n est pas satisfaite mais CP l est, ce qui implique que tous les agents choisissent z 9. (z 1, z 8 ) et (z 8, z 8 ) reviennent au même. En effet, dans les deux cas, CP n est pas satisfaite pour les agents b qui n achètent rien alors que CI ne l est pas pour le premier menu, ce qui fait que, dans les deux cas, les agents a achètent z 8. Les profits sont égaux à la distance entre l origine et le point d intersection de la droite d isoprofit passant par le contrat avec la droite horizontale. Les droites d isoprofit sont parallèles entre elles. Nous supposons qu il y a un point de tangence entre une droite d isoprofit et une courbe 12

d indifférence des agents a en z 1, z 2 et z 4. De même, nous supposons un point de tangence entre une droite d isoprofit et une courbe d indifférence des agents b en z 8, z 9 et z 10. Ceci nous permet de dire qu en terme de profit z 1 > z 7 > z 2 > z 8 > z 3 > z 4 > z 9 > z 5 > z 10 > z 6. Nous pouvons également dire que z 9 > z 12 > z 10. Le graphe n est pas vraiment assez précis pour dire plus. Nous ne saurons dès lors pas classer toutes les paires de menus proposées. Nous pouvons dire (z 2, z 12 ) > (z 1, z 8 ) = (z 8, z 8 ). L égalité est évidente alors que l inégalité est due à z 2 > z 8 (profit sur les agents a) et z 12 > 0 (profit sur les agents b). Nous savons également (z 4, z 9 ) > (z 2, z 9 ) > (z 10, z 10 ). La première inégalité est due à z 4 > z 9 (profit sur les agents a). La seconde est due au fait que z 9 > z 10 (profit sur les deux types d agents). Finalement, on peut montrer que (z 2, z 12 ) > (z 10, z 10 ) vu que z 2 > z 12 > z 10. 13. Il manque une information dans l énoncé. Nous supposons que le coût marginal de production c est constant et égale à 0.5. (a) (b) (c) Π = F a + F b c(x a 1 + x b 1) 2 ln(x a 1 + 1) + y F a 2 ln(1) + y = y ln(x b 1 + 1) + y F b y max Π x a 1,xb 1,F a,f b sous contrainte que les conditions écrite en (13b) soient satisfaites. A l optimum, ces contraintes seront liantes, dès lors Ce qui permet de récrire F a = 2 ln(x a 1 + 1) F b = ln(x b 1 + 1) max 2 ln(x a x a 1 + 1) + ln(x b 1 + 1) c(x a 1 + x b 1) 1,xb 1 13

Les conditions du premier odre donnent alors Ce qui implique x a 1 = 2 c 1 x b 1 = 1 c 1 F a = 2 ln( 2 c ) F b = ln( 1 c ) (d) Ceci est obtenu en écrivant u a (x a 1, x a 2) u a (x b 1, x b 2) et en développant. (e) Ici, on remplace la question par récrivez le programe du monopoleur lorsqu il ne reconnaît pas le type de ses clients. max Π x a 1,xb 1,F a,f b sous contrainte que les conditions écrite en (13b) et en (13d) soient satisfaites. Remarquez que si la condition en (13d) ainsi que la deuxième en (13b) sont satisfaites, alors la première condition de (13b) l est aussi. (f) Nous savons que la condition en (13d) ainsi que la deuxième en (13b) seront liantes. Nous en déduissons : F b = ln(x b 1 + 1) F a = 2 ln(x a 1 + 1) ln(x b 1 + 1) Le programme de maximisation se réécrit max 2 ln(x a x a 1 + 1) c(x a 1 + x b 1) 1,xb 1 La dérivée de la fonction objectif par rapport à x b 1 est égale à c < 0. Ceci signifie que plus x b 1 est petit, plus le profit est important. Vu que l on ne peut pas produire de quantité négative, x b 1 optimal sera égale à 0. On en déduit que F b = 0. (g) Nous prenons la condition de premier ordre par rapport à x a 1 et nous obtenons x a 1 = 2 c c qui vaut bien 3 quand c = 0.5. 14

Le monopoleur perd par rapport à la situation d information parfaite vu qu il propose le même contrat aux agents a et qu il ne vend plus rien au agents b. Néanmoins, dans ce cas-ci, il n y a pas de consommateurs qui profitent de rente informationnelle. Tous les consommateurs atteignent la même utilité que celle qu ils atteignaient en information parfaite. 15

Chapitre 3: Le marché de l assurance - exercices April 17, 2008 * Considérons un agent qui dispose d un revenu de y, et qui risque, avec une probabilité de 50 pour cent, d encourir une perte de L. Il présente de l aversion pour le risque, de telle sorte qu une de ses courbes d indi érence est représentée sur le graphe ci-dessous. Une compagnie d assurance, neutre par rapport au risque, est prête à assurer cet agent. Supposons qu elle lui propose le contrat (F; z) tel que décrit dans le graphe. acc. 6 y L F+z s y L s` y F y - pas d acc. 1. Tracez la droite des loteries de même espérance que la situation initiale (c est-à-dire sans assurance) de cet agent. 1

2. Identi ez l ensemble de tous les paniers possibles, dans l espace représenté sur le graphe, où à la fois l agent et la compagnie d assurance sont mieux que dans la situation initiale. 3. Ecrivez le contrat d assurance qui assure complètement l agent et dont l espérance de gain pour la compagnie est nulle. Identi ez le panier de consommation, sur le graphe, correspondant à ce contrat. 4. Identi ez, sur le graphe, un panier où l agent est complètement assuré, mais où cet agent préfère strictement rester sans assurance. 5. Tracez la courbe d indi érence de l agent passant par le panier correspondant au contrat (F; z). Quelle est la pente de cette courbe au point où elle croise la droite à 45 degré? 6. Identi ez un panier sur ce graphe correspondant à un contrat où la compagnie d assurance fait le même pro t qu avec le contrat (F; z) mais où l agent est moins bien couvert contre le risque. * Considérons un agent qui dispose d un revenu de 100, et qui risque, avec une probabilité de 50 pour cent, d encourir une perte de 64. Il présente de l aversion pour le risque, et ses préférences sont représentables par une fonction d utilité de type vnm dont la fonction d utilité du revenu est donnée par: u(m) = p m: Une compagnie d assurance, neutre par rapport au risque, est prête à assurer cet agent. Supposons qu elle lui propose le contrat (F; z). 1. Ecrivez la contrainte de participation de l agent. 2. Ecrivez la fonction de pro t de la compagnie. 3. Montrez que la compagnie proposera le contrat (36; 64) si elle possède un pouvoir de monopole. Quel est son pro t? Même question que ci-dessus, avec un revenu de 100, une probabilité de 1 de perdre 75, et une fonction d utilité 3 u(m) = 1 m : 2

* Considérons maintenant qu il y a deux types d agents, ceux de type a qui ont un risque relativement élevé d encourir la perte, et ceux de type b, au risque plus faible. Le graphe ci-dessous représente une courbe d indi érence pour chaque type d agent. Cette courbe d indi érence passe par la loterie que ces agents vont consommer" s ils ne s assurent pas. Placez sur ce graphe les paires de contrats ayant les propriétés suivantes. 1. Une paire de contrats où la compagnie d assurance fait un pro t nul sur chaque contrat, où les contraintes de participation des deux types d agents sont satisfaites, mais où les contraintes de compatibilité avec les incitants ne sont pas satisfaites. 2. Une paire de contrats où la compagnie d assurance fait un pro t nul sur chaque contrat, où les contraintes de compatibilité avec les incitants des deux types d agents sont satisfaites. Est-il possible que les agents de type a soient entièrement couverts? Est-il possible que les agents de type b soient entièrement couverts? acc. 6 s` - pas d acc. Considérons le même type d économie que ci-dessus, où tous les agents ont un revenu de 100, où les agents de type b ont un risque de 50 pour cent d encourir la perte de 50, alors que les agents de type a ont un risque de 75 pour cent. Leur fonction d utilité est de u(m) = 1 m : 3

1. Ecrivez les contraintes de participation des deux types d agents. 2. Ecrivez les contraintes de compatibilité avec les incitants. 3. Ecrivez le programme de maximisation de la compagnie d assurance, sous l hypothèse qu elle jouit d un pouvoir de monopole. 4

TP 5 : Information privée et décision collective A. La manipulation des règles de décision collective 1. Qu appelle-t-on une règle de décision manipulable? 2. Qu est-ce que le principe d unanimité (ou d efficacité au sens de Pareto)? 3. * Est-ce que la règle de décision suivante est manipulable pour l individu 1? Et pour l individu 2? 1\2 bac bca abc a b cba c b 4. * Même question pour la règle de décision suivante : 1\2 acb bca abc a b bac b b cab c b 5. Les règles suivantes sont-elles efficaces? anonymes? non-manipulables? 1\2 abc bac bca cba abc a a a a bac a b b b bca a b b b cba a b b b 1\2 abc bac bca cba abc a b b b bac a b b b bca a b b b cba a b b c 1\2 abc bac bca cba abc a a a c bac a b b c bca a b b c cba c c c c

6. * Si possible, complétez le tableau suivant afin que la règle de décision ne soit pas manipulable. 1\2 acb bca abc a b cba c 7. Même question pour le tableau suivant 1\2 acb bca abc a b cba b 8. * Un ensemble de 3 agents {1, 2, 3} doivent choisir une alternative parmi un ensemble d options possibles. Le problème peut être représenté par le choix d un point x dans l intervalle [0,1]. Les agents ont des préférences u i «single-peaked» sur l ensemble des alternatives (c est-à-dire, chaque agent i {1,2,3} a une alternative qu il préfère dans l intervalle -que l on note p(u i )- et sa satisfaction diminue à mesure qu il s éloigne de ce point), mais les préférences ne sont pas connues du planificateur de sorte qu il va devoir leur demander de les révéler. Est-ce que la règle suivante est manipulable : si l alternative préférée de chaque individu est différente, alors l alternative de l agent médian est choisie. Si plusieurs agents choisissent la même alternative, alors l alternative qui est choisie par le plus grand nombre d individus est choisie. 9. *Un ensemble de 5 agents {1, 2, 3, 4, 5} doivent choisir une alternative parmi un ensemble d options possibles. Le problème peut être représenté par le choix d un point x dans l intervalle [0,1]. Les agents ont des préférences u i «single-peaked» sur l ensemble des alternatives (c est-à-dire, chaque agent i {1,2,3,4,5} a une alternative qu il préfère dans l intervalle -que l on note p(u i )- et sa satisfaction diminue à mesure qu il s éloigne de ce point), mais les préférences ne sont pas connues du planificateur de sorte qu il va devoir leur demander de les révéler. Montrez que la règle suivante est manipulable : si l alternative préférée de chaque individu est différente, alors l alternative de l agent médian est choisie. Si plusieurs agents choisissent la même alternative, alors l alternative qui est choisie par le plus grand nombre d individus est choisie, et en cas d ex-aequo, l alternative médiane est choisie. 10. Un ensemble de deux agents, {1,2} doivent choisir une alternative parmi {x,y,z}.ils ont des préférences strictes par rapport aux alternatives, mais tout classement est possible. Montrez que la règle suivante est manipulable. Si une seule alternative est efficace, alors elle est sélectionnée. Si x et y sont efficaces (indépendamment de si z l est ou non), alors l alternative préférée de l agent 1 entre x et y est choisie. Si x est inefficace, mais que y et z sont efficaces, alors l alternative que 2 préfère entre y et z est choisie. Si y est inefficace, mais que x et z sont efficaces, alors l alternative que 2 préfère entre x et z est sélectionnée. 13. Soit la règle suivante: il y a deux agents, trois alternatives, et toutes les préférences sont possibles. Si a est efficace, alors a est choisi. Si a n et pas efficace mais b est efficace, alors b est choisi. Si ni a ni b ne sont efficaces, alors c est choisi. Montrez que seul un agent de type cab peut avoir intérêt à manipuler. Montrer que si toutes les préférences sont possibles sauf cab, alors la règle est efficace, anonyme et non-manipulable.

Solutions TP5 La marché de l assurance La contrainte de participation de l agent s écrit 2 1 3 100 + 1 1 3 25 2 1 3 100 F + 1 1 3 25 F + z L espérance de profit de la firme est égale à 2/3F + 1/3(F z). Vu que le monopoleur pourra extraire tout le surplus, il essayera de le maximiser. Le surplus est maximisé lorsque l assurance est complète. Dès lors, nous savons que z = 75. La contrainte de participation de l agent sera liante en cas de monopole. Nous en tirons que F = 50. 1. 1 1 + 1 1 1 1 2 100 F b 2 50 F b + z b 2 100 + 1 1 2 50 1 1 + 3 1 1 1 4 100 F a 4 50 F a + z a 4 100 + 3 1 4 50 (1) (2) 2. 1 1 + 1 1 1 1 + 1 1 (3) 2 100 F b 2 50 F b + z b 2 100 F a 2 50 F a + z a 1 1 + 3 1 1 1 + 3 1 (4) 4 100 F a 4 50 F a + z a 4 100 F b 4 50 F b + z b 3. Le programme d optimisation du monopoleur est 1 max F a,f b,z a,z b 4 F a + 3 4 (F a z a ) + 1 2 F b + 1 2 (F b z b ) sous les contraintes de participation et de compatibilité des incitants exprimées ci-dessus. 1

Information privée et décision collective 1. On dit qu une règle de décision est manipulable si, dans ne fut-ce qu un cas possible, c est-à-dire pour un profil donné des préférences des autres agents, un agent gagne en ne révélant pas ses véritables préférences. 2. Le principe d unanimité (ou efficacité au sens de Pareto): si tout le monde préfère l option a à l option b, alors b ne peut être choisi. 5. Une règle anonyme est telle que le résultat ne dépend pas de qui exprime telle ou telle opinion, mais seulement des opinions elles-mêmes. Dans cette exercice, une règle sera anonyme si le tableau est symétrique par rapport à la diagonale descendante de gauche à droite. Le première règle est anonyme, non manipulable et n est pas efficace. Pour être efficace, il faudrait que lorsque deux agents du type cba se rencontrent, le choix soit c. La deuxième règle est efficace, non-manipulable et n est pas anonyme. En effet, la décision entre un agent abc et un bac dépendra de qui est l agent 1 et qui est l agent 2. La troisième règle est manipulable, anonyme et efficace. Un agent bca a, face à un agent du type abc, intérêt à se déclarer du type cba. 7. Quelque soit la manière de complèter le tableau, la règle est non manipulable. Remarquez que si on complète avec b, la règle est inefficace. 8. * Supposons que p(u 1 ) > p(u 2 ) > p(u 3 ) (comme sur le graphe cidessous). Selon la règle, p(u 2 ) est choisi. L agent 2 n a aucune incitation à annoncer autre chose. Pour l agent 1, modifier son vote n a aucune influence tant que ce qu il annonce est supérieur à p(u 2 ). Si il annonce p(u 1 ) < p(u 2 ) alors p = max( p(u 1 ), p(u 3 )) est choisi et dans tous les cas p(u 1 ) p > p(u 1 ) p(u 2 ) (clairement sur le graphe, plus on s éloigne de p(u 1 ) vers la gauche, plus u 1 prend une valeur petite, c-à-d, une plus faible satisfaction pour l agent 1). L agent 1 n a donc pas intérêt à mentir. Un raisonnement similaire aboutit à la même conclusion pour l agent 3. 2

satisfaction u 2 u 1 u 3 0 p(u 3 ) p(u 2 ) p(u 1 ) 1 Supposons maintenant que p(u 1 ) = p(u 2 ) > p(u 3 ). Selon la règle p(u 1 ) = p(u 2 ) sera choisi. Les agents 1 et 2 n ont pas d intérêt à vouloir manipuler le résultat. Quoiqu il fasse, l agent 3 sera minoritaire et n a pas la capacité d influencer le choix final. Le cas p(u 1 ) = p(u 2 ) = p(u 3 ) est trivial. Toutes les autres possibilités sont similaires à un des trois cas considérés. La règle n est donc pas manipulable. 9. * Supposons p(u 1 ) > p(u 2 ) > p(u 3 ) > p(u 4 ) > p(u 5 ). Selon la règle, p(u 3 ) est choisi. Si l agent 1 annonce p(u 1 ) = p(u 2 ), le choix selon la règle sera p(u 2 ). Ce résultat est meilleur pour l agent 1 (vu que p(u 1 ) p(u 3 ) > p(u 1 ) p(u 2 ) ), la règle est dès lors manipulable. 10. La règle peut-être représentée par le tableau suivant 1/2 xyz xzy yxz yzx zxy zyx xyz x x x x z x xzy x x x x z z yxz y y y y y z yzx y y y y z z zxy x x x y z z zyx y x y y z z Il y a un certain nombre d exemples qui prouve que cette règle est manipulable. Par exemple, un agent 1 du type xzy a intérêt à se déclarer du type xyz lorsqu il est confronté à un agent 2 du type zyx. 3

13. Le tableau correspondant à la règle est le suivant si tous les types sont possibles 1/2 abc acb bac bca cab cba abc a a a a a a acb a a a a a a bac a a b b b b bca a a b b b b cab a a b b c c cba a a b b c c Pour les agents de types abc et acb, ils obtiennent ce qui est le mieux pour eux et n ont donc aucun intérêt à mentir. Pour les autres confrontés à des agents de types abc et acb, il n y a pas moyen d influencer le résultat final. Les agents de types bac et bca obtiennent le mieux pour eux dans les autres situations. Confrontés à des agents du type cba et cab, un agent du type cba obtient ce qu il préfère. Face à des agents du types bac ou bca, il obtient b. En mentant, il peut obtenir a mais il préfère b à a. Reste cab qui en mentant face à un agent du type bac ou bca peut obtenir a qu il préfère par rapport à b. Si on est dans une situation ou tous les types d agent ne sont pas possible, il est clair qu il n y a pas de possibilité supplémentaire de manipulation. La règle est efficace par construction. prouve la symétrie du tableau. Elle est anonyme comme le Le fait que la règle est efficace, anonyme et non-manipulable en absence d agents du type cab est évident étant donné toutes les considérations précédentes. 4

TP 6 Le contrat de travail A. Rappel théorique - Deux niveau d efforts : {0,e}, 0<e - Deux états du monde : l état normal n où le surplus vaut s et l état exceptionnel où le surplus vaut S. - Si l employé choisit un niveau d effort nul, alors le surplus vaut s dans tous les cas. S il choisit e, le surplus vaut s avec probabilité 0,5 et S avec probabilité 0,5. - y n et y b, les salaires versés par l employeur dans les deux états possibles du monde, sont les variables endogènes du modèle. En outre, on a y n + π n = s et y b + π b = S. - U(y,e) = v(y)-e. De plus U est VNM. - Donc, U(y,0) = v(y n ) alors que U(y,e) = ½ v(y n ) + ½ v(y b )-e - S il n est pas engagé, l utilité du travailleur vaut v 0. - Définition : y 0 est le salaire que l individu reçoit avec certitude qui le laisse indifférent entre travailler sans fournir d efforts et ne pas travailler : y 0 est tel que v(y 0 ) = v 0. - Définition : y e 0 est le salaire que l individu reçoit avec certitude qui le laisse indifférent entre travailler en fournissant un effort élevé et ne pas travailler : y e 0 est tel que v(y e 0 ) e = v 0. - Le profit espéré de l employeur vaut π = s - y n si 0 π = ½ (s-y n ) + ½ (S-y b ) si e 1. Qu est-ce que l aléa moral? Dans le reste des questions, supposez que : v 0 = 2 (l utilité que le travailleur a sans travailler) ; le niveau d effort e ={0,1} ; v(y) = ln(y) de sorte que la fonction d utilité du travailleur est U(y,e=1) = ½ ln(y n )+½ ln(y b )-1 alors que U(y,e =0) = ln(y n ). Supposez en plus que s = 50 et S = 100. 2. * a) Que vaut y 0, le salaire certain qui garantit que l individu ne fournissant pas d efforts accepte de travailler? b) Que vaut y 0 e, le salaire certain qui garantit que l individu fournissant un effort élevé accepte de travailler. 3. Que vaut le profit attendu de l employeur? a) si e = 0 b) si e = 1 B. Le contrat optimal en information complète L employeur observe l effort et peut choisir trois niveaux de salaire : (y n 0, y n e, y b e ) 4. * Identifiez les contrainte de participation de l employé 5. Si vous voulez inciter le travailleur a fournir un niveau d effort élevé, quelles inégalités devez-vous satisfaire? 6. * Proposez un salaire y n 0 qui garantit que le travailleur n a pas intérêt à accepter l emploi et fournir un niveau d effort nul. 7. * Supposez que y n 0 <2 de sorte que si l employé accepte de travailler, il fournira un niveau d effort élevé. Quel est le programme de l employeur? Résolvez-le. 8. Comparez le résultat obtenu en 7 et celui identifié en 2.b)

9. * Comparez l utilité de l employé au travail avec celle qu il obtient hors du travail. Comment expliquez-vous ce résultat? Pensez-vous que ce résultat changerait si une autre firme pouvait proposer un contrat de travail au seul employé, qui pourrait donc choisir entre les 2 contrats proposés? C. Le contrat optimal en information incomplète L effort n est plus observable. Le contrat se réduit à (y n,y b ) 10. * Supposez que l employeur propose de verser un salaire indépendant de l état du monde : y n = y b = e 3. Quel effort va fournir le travailleur? Quid si y n = y b = 100? 11. * Dans le monde réel, si un employé est engagé pour une période d essai de 1 an, et que le patron ne peut observer son effort mais détiens de l information sur le résultat de la cellule dans lequel le travailleur a été engagé. Pensez-vous que si le salaire du travailleur ne dépend pas du résultat de la cellule, le travailleur choisira toujours de fournir un niveau d effort faible? Pourquoi? Peut-on dire pour autant que le résultat du modèle n est pas intéressant? Quel mécanisme économique identifie-t-on à l aide du modèle? 12. Que vaut le profit d un employeur qui se contenterait d un effort niveau d effort faible? 13. Soul quelles conditions l employé choisira-t-il de fournir un effort élevé? 14. * Que pouvez-vous dire sur les relations entre U(y n, e = 0) ; U(y n, y b ; e=1) et v 0 si le contrat proposé est un point des zones hachurées des graphes suivant? a) n Rappel : y o est tel que ln(y 0 ) = v o y 0 b b) n Rappel : y o e est tel que ln(y 0 e ) - e = v o y 0 e y 0 e b

c) n y 0 e y 0 y 0 e b d) n y 0 e y 0 y 0 e b 15. * Parmi les 5 contrats suivants : a) Lesquels garantissent que le travailleur accepte de travailler tout en fournissant un effort élevé? b) Lequel maximise le salaire espéré de l employé? c) Lequel maximise le profit de l employeur s il souhaite que le travailleur fournisse un effort élevé? n y 0 e 1 y 0 y 0 e 2 3 4 5 b

16. Comment l employeur doit-il fixer y n et y b pour maximiser son profit tout en incitant l employé à fournir un effort élevé (e=1). a) Identifiez le problème de maximisation sous contrainte à résoudre. b) Définissez le Lagrangien qui permet de résoudre ce problème et calculez les conditions de premier ordre (δl/δyb ; δl/δyn ; δl/δλ ; δl/δµ)). c) Sur base des deux équations δl/δλ et δl/δµ, identifiez la valeur numérique de y n et y b qui maximise le profit de l employeur. 17. Reprenez les données du modèle vu au cours et reproduisez le graphe représentant la solution optimale de second rang en supposant que la probabilité d un bon état est de 2/3 au lieu de 1/2. 18. Reprenez le modèle vu au cours, et supposez que v(y) = y 1/2, e = 5, v 0 =10, s = 100 et S = 500. Démontrez que yb = 400. Calculez le profit espéré de l employeur. 19. Même question que supra, en supposant cette fois que v(y) = ln(y), v 0 = 0, e = 1/2, s = 1 et S = exp(2).

Solutionnaire TP6 2) a) ln(y 0 )=2 y 0 = e 2 b) y 0 e = e 3 3) E(π) = 50 y n E(π) = 1/2(100 yb) + ½ (50-yn) 4) ½ v(y n e ) + ½ v(y b e ) 1 2 v(y n 0 ) v 0 5) ½ v(y n e ) + ½ v(y b e ) 1 2 ½ v(y n e ) + ½ v(y b e ) 1 v(y n 0 ) 6) y n 0 < e 2 7) Max yn,ye 1/2(100 yb) + ½ (50-yn) scq ½ v(y n e ) + ½ v(y b e ) 1 2 L 1/2(100 yb) + ½ (50-yn) λ [½ v(y n e ) + ½ v(y b e ) 1-2] δl/δy e n = 0-1/2 - λ/2y e n = 0 (1) δl//δy e b = 0-1/2 - λ/2y e b = 0 (2) δl//δy e b = 0 ½ v(y e n ) + ½ v(y e b ) 1 = 2 (3) (1) et (2) y e e n = y b (4) et (3) y e e n = y b = e 2 (4) 8) Ce sont les mêmes 9) La firme a un monopole et est donc en mesure d extraire tous le surplus. 10) En information imparfaite, l effort fourni sera faible si le revenu est indépendant de l état du monde. 11) En réalité, ce n est pas toujours le cas que si le salaire est indépendant du résultat de l entreprise, l employeur fournira un niveau d effort faible. Une des raisons à cela est que tous les travailleurs n ont pas une désutilité à l effort! Il existe malgré tout des secteurs où les mécanismes du modèle sont observés. 12) 50- e 2 13) ½ ln (y b ) + ½ ln(y n ) -1 2 ½ ln (y b ) + ½ ln(y n ) -1 ln(y n )

16) a) Max yb,yn 1/2(100 yb) + ½ (50-yn) scq ½ ln (y b ) + ½ ln(y n ) -1 2 ½ ln (y b ) + ½ ln(y n ) -1 ln(y n ) c) y n = e 2, y b = e 4 17) y n y 0 e y 0 A -2 y 0 e y b La pente de la droite d espérance de gain vaut p1/p2 = -2 dans ce cas. La courbe d indifférence de l individu (neutre au risque) et tangente à la droite d espérance de gain constant lorsque y b = y n. Le point A est le choix optimal de l employeur lorsque l information est imparfaite. 18) Max ½ (500-yb)+1/2(100-yn) scq 1/2 1/2 ½ y b + 1/2y n -5 = 10 (CP) 1/2 1/2 1/2 1/2y b + 1/2y n -5 = y n (CCI) (Les contraintes de participation et de Compatibilité avec les incitants sont liantes à l équilibre). En fait, uniquement sur base des deux contraintes, vous pouvez trouver votre y b. Ceci s explique par le fait que vos deux contraintes satisfaites avec égalité vous donne une situation où vous êtes indifférent entre le travail avec effort, le travail sans effort et le chômage, c est à dire un point tel que A sur le graphe de l exercice précédent. En effet, mathématiquement, la contrainte de participation peut se réécrire y n 1/2 = 30 - y b 1/2 (CP ) Lorsque vous injectez CP dans la CCI, vous obtenez y b =400. On en déduit que y n = 100 en remplaçant y b = 400 dans CP.

Donc le profit espéré du producteur est ½ (500-400)+1/2 (100-100) = 50 19) Max ½ (e 2 -yb)+1/2(1-yn) scq ½ lny b +1/2 lny n -1/2 = 0 (CP) ½ lny b +1/2 lny n -1/2 = lny n (CCI) D après CP, on trouve 1/2 lny n =1/2 - ½ lny b (CP ) On utilise CP dans CCI, et on trouve ln(y n ) = 0 et donc y n = 1 En utilisant yn = 1 dans CP, on trouve y b = e Le profit vaut alors ½ (e 2 -e)