Ë Õ Ù ãò Ö Øá âñ Ø Õ Ù Ô Ö ãñ Ö Ô Ö Ø µ Classe de 3 ème (Décembre 2014) Année scolaire 2014 2015 L arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres. On l appelle plus généralement la «science des nombres». Autrefois, l arithmétique se limitait à l étude des propriétés des nombres entiers naturels, des entiers relatifs, des nombres rationnels et aux propriétés des opérations sur ces nombres. Cette discipline fut élargie par la suite. Des outils de l arithmétique (outils vus au lycée) sont utiles pour l emploi de clés de contrôle dans certains codes de la vie. Clé des codes barres (UPC : Universal Product Code) Clé du numéro INSEE (le code INSEE est formé d un nombre formé de 13 chiffres porteur de certaines informations sur l état civil (sexe, date, lieu de naissance,...) La cryptographie est la science qui s occupe de chiffrer et déchiffrer des messages à l aide d une clé. Certaines notions d arithmétique sont très utiles pour la cryptographie. Collège Juliette DODU 1 sur 8
Activité 1 : les nombres On donne une liste de nombres : 2 4 2012 13 5 9 1. Qu appelle-t-on un nombre entier relatif? 34 4 π 7 1, 746 1 6 Un nombre entier relatif est Entourer en bleu les entiers relatifs dans la liste de nombres ci-dessus. Un nombre entier naturel est un nombre entier positif 2. Entourer en rouge les entiers naturels dans la liste de nombres ci-dessus. 3. Qu appelle-t-on un nombre décimal? Un nombre décimal est Entourer en vert les nombres décimaux dans la liste de nombres ci-dessus. 4. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s écrire sous la forme d un quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul. Entourer en jaune les nombres rationnels dans la liste de nombres ci-dessus. 5. Les nombres de cette liste qui ne sont pas entourés sont appelés nombres irrationnels. Quels sont les nombres irrationnels dans cette liste de nombres? 6. Entourer la réponse exacte (VRAI ou FAUX). Affirmation Réponse : VRAI (V) Réponse : FAUX (F) Tout nombre entier naturel est V F un nombre entier relatif Tout nombre entier relatif est V F un nombre entier naturel Tout nombre entier relatif est V F un nombre décimal Tout nombre décimal est V F un nombre rationnel Tout nombre rationnel est V F un nombre décimal Collège Juliette DODU 2 sur 8
Exercice 1 : EXERCICES 1. Montrer que A est un nombre entier naturel. A 1 5 + 11 20 + 1 4 2. Montrer que le nombre B est un nombre entier relatif. B 7 5 14 40 3. Montrer que le nombre D est un nombre rationnel. Exercice 2 : Extrait du DNB 2012 D 24 10 5 10 7 28 (10 1 ) 2 1. Quelle est l écriture décimale du nombre 105 + 1 10 5? 2. Antoine utilise sa calculatrice pour calculer le nombre suivant : 1015 + 1 10 15. Le résultat affiché est 1. Antoine pense que ce résultat n est pas exact. A-t-il raison? Exercice 3 : Extrait du DNB 2009 1. Calculer A A 8 + 3 4 1 + 2 1, 5 2. Pour calculer A un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches ci-dessous : 8 + 3 4 1 + 2 1. 5 Expliquer pourquoi il n obtient pas le bon résultat. Activité 2 : multiples et diviseurs Collège Juliette DODU 3 sur 8
Première partie : Division euclidienne 1) Effectuer la division euclidienne de 13 par 4. Quelle égalité peut-on écrire? 2) Considérons deux nombres entiers et positifs a et b avec a>b. Ecrire la division euclidienne de a par b. Quelle égalité peut-on écrire? Deuxième partie : multiple, diviseur 1) Que peut-on écrire si lors la division euclidienne de a par b (b étant un nombre différent de 0), le reste r est nul? 2) Nous pouvons à présent donner la définition d un diviseur d un entier. Définition : Dire que b est un diviseur de a signifie que a b est un nombre entier. a) Est-ce que 6 est un diviseur de 30? Justifier. b) Est-ce que 2 est un diviseur de 7? Justifier. 3) Vocabulaire : Au lieu de dire : «b est un diviseur de a», on dit aussi que : b a a est un de b a est par b Activité 3 : critère de divisibilité Un critère de divisibilité est une règle permettant de savoir si un nombre entier est divisible (ou n est pas divisible) par un nombre entier non nul sans effectuer de division. a) Compléter : Collège Juliette DODU 4 sur 8
Un nombre entier est divisible par 2 Un nombre entier est divisible par 3 Un nombre entier est divisible par 5 Un nombre entier est divisible par 9 Un nombre entier est divisible par 10 EXERCICE : Vrai ou faux? Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse? Justifier a) 27 est divisible par 5 b) 178 est divisible par 3 c) 6 est un diviseur de 228 d) 259 est un multiple de 9 e) 728 est divisible par 9 4. Liste des diviseurs d un nombre entier Dressons, par exemple, la liste des diviseurs de 48 : La liste des diviseurs de 48 est : {...,...,...,...,...,...,...,...,...,...} 48...... 48...... 48...... 48...... 48...... Exercice : Déterminer, dans votre cahier d exercices, la liste des diviseurs de 39 et la liste des diviseurs de 45. Collège Juliette DODU 5 sur 8
Activité 4 : DIVISEURS COMMUNS, NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX Considérons deux entiers naturels non nuls a et b. 1. Définition : diviseurs communs Un diviseur commun aux nombres a et b est un nombre (entier naturel non nul) qui divise à la fois a et b. EXERCICE : Déterminer les diviseurs communs de 36 et 60 36 Les diviseurs de 36 sont : 60 Les diviseurs de 60 sont : Les diviseurs communs de 36 et 60 sont : 2. Définition : nombres premiers entre eux Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres qui ont un unique diviseur commun : le nombre entier 1. EXERCICE : Montrer que les nombres 56 et 25 sont deux nombres premiers entre eux. Faire l activité 3 page 51 (livre) Collège Juliette DODU 6 sur 8
åü Ö ê Ù Ö Ð Õ Ù ãò Ó Ø Ó Ö ¾¼½ V Exercice 1 : Exercice 51 page 59 (livre) M. MORICEAU 3 ème reunionammaths.pagesperso-orange.fr/ V Exercice 2 : Déterminer dans les cas suivants si les deux nombres proposés sont premiers entre eux. (SANS CALCULER LE PGCD des deux nombres) a) 63 et 26 b) 8 et 22 c) 105 et 90 V Exercice 3 : Définition : Deux entiers naturels a et b sont dits amiables si la somme des diviseurs du nombre a est égale à la somme des diviseurs du nombre b. Montrer que les nombres 220 et 284 sont amiables. V Exercice 4 : Exercice 55 page 60 (livre) V Exercice 5 : 1)a) Déterminer le PGCD de 14 et 15 b) Que peut-on dire de ces deux nombres? 2)a) Déterminer le PGCD de 99 et 55 b) Que peut-on dire de ces deux nombres? V Exercice 6 : Exercice 73 page 61 (livre) V Exercice 7 : Le Nombre d Or I) Le nombre d Or est un nombre spécial. Ce nombre fascine depuis très longtemps.on le voit partout, dans la philosophie, la spiritualité, l art, l économie et... dans les mathématiques. Ce nombre d Or est souvent noté ϕ la valeur exacte de ϕ est : ϕ 1 + 5 2 1) Donner une valeur approchée du nombre d Or au millième près. 2) a) Calculer ϕ 2 (ne pas utiliser de valeur approchée) Collège Juliette DODU 7 sur 8
b) Démontrer que ϕ 2 ϕ + 1 c) Démontrer que 1 ϕ ϕ 1 d) Démontrer que ϕ 3 2ϕ + 1 e) Démontrer que ϕ 4 3ϕ + 2 II) Dans le cadre de l histoire des arts, faire une recherche sur le nombre d Or et l Art. V Exercice 8 : confidentiel... Tim veut essayer un message à son ami Marc. Dans ce message, un des mots doit rester confidentiel. Tim souhaite que Marc soit le seul qui puisse comprendre ce mot. Tim décide de coder ce mot. Il choisit de coder ce mot confidentiel avec la fonction de «hachage» La méthode est la suivante : On assimile les lettres de l alphabet français A, B,..., Z aux nombres 0, 1,..., 25 On code par la suite ces nombres par la fonction de «hachage» f f : x f(x) où x désigne le nombre associé à la lettre à coder. f(x) est le reste de la division euclidienne de 17x + 22 par 26. Tim veut écrire le mot JEUX dans son message et il code ce mot. Faites comme Tim et coder ce mot. Collège Juliette DODU 8 sur 8