1/43 : comparaison de l analyse technique et des méthodes mathématiques Université Montesquieu Bordeaux IV GREΘA et IMB CHRISTOPHETTE BLANCHET (Université de Nice) RAJNA GIBSON (Université de Zurich) ETIENNE TANRÉ et DENIS TALAY (INRIA Sophia Antipolis) Séminaire MBF 3 avril 2007
Plan 2/43 1 2 de travail 3 Etude de la fonction 4
Plan 3/43 1 2 de travail 3 Etude de la fonction 4
4/43 Investissement Approche fondamentale principes économiques Analyse technique comportement passé des prix Approche mathématique modèles mathématiques Objectif Comparer les performances de l analyse technique et de l approche mathématique
Analyse technique 5/43 Anticiper les hausses et les baisses à partir de l analyse graphique du cours cours de l euro en dollars US, juillet 2003 mai 2004 source : http ://www.rcforexonline.com
Analyse technique Moyenne mobile 6/43 Moyenne mobile M δ t = 1 δ t t δ Si S t > M δ t S u du achat Si S t < Mt δ vente cours du dollar US en francs suisses, 23 avril 2004 5 mai 2004 toutes les heures moyennes mobiles 7 heures, 17 heures, 34 Optimiser heures source : http ://www.rcforexonline.com la taille de la fenêtre δ les instants de décision
Approche mathématique 7/43 Marché : Actif sans risque Actif risqué S 0 t S t Objectif stratégie π t [0, 1] proportion de la richesse investie dans l actif risqué richesse W π t richesse correspondant à la stratégie π Modéliser la dynamique de S t Résoudre le problème d optimisation sup E[U(WT π )] π
Approche mathématique Modélisation 8/43 Actif sans risque ds 0 t = S 0 t rdt Actif risqué ds t = µ(t)s t dt + σs t db t B mouvement Brownien standard µ(t) {µ 1, µ 2 } indépendant de B, µ 1 < r < µ 2
Travaux précédents Modèle 9/43 BLANCHET, DIOP, GIBSON, KAMINSKI, TALAY, TANRÉ (2005) Un seul changement de dérive µ(t) = µ 1 si t < τ µ(t) = µ 2 si t τ avec P(τ > t) = e λt Stratégie détecter τ 1.17 1.13 1.09 1.05 1.01 0.97 0.93 9 5 0.2 0.4 0.6 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 µ 1 = 0.2, µ 2 = 0.2, σ = 0.15, λ = 2.
Travaux précédents 10/43 Etude théorique du problème d optimisation Etude théorique de la détection de rupture détection bien calibrée détection mal calibrée moyenne mobile Conclusion Moyenne mobile meilleure si paramètres mal calibrés Taux d erreur à partir duquel c est vrai
Plan 11/43 1 2 de travail 3 Etude de la fonction 4
de travail 12/43 Marché : Actif sans risque Actif risqué dst 0 = St 0rdt ds t = µ(t)s t dt + σs t db t µ(t) {µ 1, µ 2 }, avec plusieurs changements de valeur coûts de transaction
Nouveau modèle 13/43 Plusieurs changements de dérive (ξ 2n+1 ) iid Exp(λ 1 ) (ξ 2n ) iid Exp(λ 2 ) τ 0 = 0, τ n = ξ 1 + + ξ n { µ1 if τ µ(t) = 2n t < τ 2n+1 µ 2 if τ 2n+1 t < τ 2n+2 Coûts de transaction g 01 coût d achat g 10 coût de vente 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.4 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 µ 1 = 0.2, µ 2 = 0.2, σ = 0.15, λ 1 = λ 2 = 2.
Contrôle Stochastique 14/43 Variable d état du système : la richesse W t évoluant suivant une dynamique probabiliste Processus de contrôle π t : la proportion de la richesse investie dans l actif risqué valeur choisie à tout instant en fonction de l information disponible à cet instant influence la dynamique de W t : W π t = π t S t + (1 π t )S 0 t Critère de performance à maximiser : espérance de l utilité U de la richesse au temps terminal T U(x) = x α, 0 < α < 1
Contrôle Stochastique 14/43 Variable d état du système : la richesse W t évoluant suivant une dynamique probabiliste Processus de contrôle π t : la proportion de la richesse investie dans l actif risqué valeur choisie à tout instant en fonction de l information disponible à cet instant influence la dynamique de W t : W π t = π t S t + (1 π t )S 0 t Critère de performance à maximiser : espérance de l utilité U de la richesse au temps terminal T U(x) = x α, 0 < α < 1
Contrôle Stochastique 14/43 Variable d état du système : la richesse W t évoluant suivant une dynamique probabiliste Processus de contrôle π t : la proportion de la richesse investie dans l actif risqué valeur choisie à tout instant en fonction de l information disponible à cet instant influence la dynamique de W t : W π t = π t S t + (1 π t )S 0 t Critère de performance à maximiser : espérance de l utilité U de la richesse au temps terminal T U(x) = x α, 0 < α < 1
Optimisation 15/43 Objectif V = sup E[WT π ] π Déterminer la fonction valeur Trouver un contrôle optimal (s il en existe)
Stratégies admissibles 16/43 Stratégie : π t {0, 1} proportion de la richesse investie dans l actif risqué Observations : cours de l actif risqué Problème deux sources d aléa indépendantes le mouvement brownien la dérive = Reformuler le problème de contrôle avec une seule source brownienne d aléa.
Filtrage 17/43 Projection optionnelle : F t = P(µ(t) = µ 1 S u, 0 u t) Nouveau mouvement brownien : B t = 1 σ ( log S t S 0 Etat : couple (W t, F t ) Dynamique : t 0 ( µ1 F s + µ 2 (1 F s ) σ2 ) ) ds 2 dw π t W π t = ( π t (µ 1 F t + µ 2 (1 F t )) + (1 π t )r ) dt + π t σd B t g 01 δ( π t = 1) g 10 δ( π t = 1) df t = ( λ 1 F t + λ 2 (1 F t ) ) dt + µ 1 µ 2 F t (1 F t )d σ B t,
Filtrage 17/43 Projection optionnelle : F t = P(µ(t) = µ 1 S u, 0 u t) Nouveau mouvement brownien : B t = 1 σ ( log S t S 0 Etat : couple (W t, F t ) Dynamique : t 0 ( µ1 F s + µ 2 (1 F s ) σ2 ) ) ds 2 dw π t W π t = ( π t (µ 1 F t + µ 2 (1 F t )) + (1 π t )r ) dt + π t σd B t g 01 δ( π t = 1) g 10 δ( π t = 1) df t = ( λ 1 F t + λ 2 (1 F t ) ) dt + µ 1 µ 2 F t (1 F t )d σ B t,
Filtrage 17/43 Projection optionnelle : F t = P(µ(t) = µ 1 S u, 0 u t) Nouveau mouvement brownien : B t = 1 σ ( log S t S 0 Etat : couple (W t, F t ) Dynamique : t 0 ( µ1 F s + µ 2 (1 F s ) σ2 ) ) ds 2 dw π t W π t = ( π t (µ 1 F t + µ 2 (1 F t )) + (1 π t )r ) dt + π t σd B t g 01 δ( π t = 1) g 10 δ( π t = 1) df t = ( λ 1 F t + λ 2 (1 F t ) ) dt + µ 1 µ 2 F t (1 F t )d σ B t,
Plan 18/43 1 2 de travail 3 Etude de la fonction 4
Définition 19/43 Si π t = 0 Si π t = 1 J 0 (t, x, f, π) = E[U(W π T ) W π t = x, F t = f ] J 1 (t, x, f, π) = E[U(W π T ) W π t = x, F t = f ] valeur V 0 (t, x, f ) = sup J 0 (t, x, f, π) π V 1 (t, x, f ) = sup J 1 (t, x, f, π) π
Régularité 20/43 Comparaison Continuité Pour tous i {0; 1} 0 t,ˆt T x, ˆx > 0 0 f,ˆf 1 : V i (ˆt, ˆx,ˆf ) V i (t, x, f ) V 0 (t, x, f ) V 1 (t, (1 g 01 )x, f ) V 1 (t, x, f ) V 0 (t, (1 g 10 )x, f ) C(1 + x α 1 + ˆx α 1 ) ( ˆx x + x( ˆf f + ˆt t 1/2 ) )
Principe de la Programmation Dynamique 21/43 Principe de la Programmation Dynamique Pour tout temps d arrêt θ tel que 0 t θ T et pour tous x, f, i : V i (t, x, f ) = sup π E[V π θ (t, W θ,x,f,π θ, F t,f θ )]
Equations d Hamilton Jacobi Bellman 22/43 Dépendance en x : V i (t, x, f ) = sup π t,x,f,π E[U(WT )] = x α V i (t, 1, f ) Equations d Hamilton Jacobi Bellman { max { V 0 t + L 0 V 0 ; V 0 (t, f ) + (1 g 01 ) α V 1 (t, f ) } = 0 max { V 1 t + L 1 V 1 ; V 1 (t, f ) + (1 g 10 ) α V 0 (t, f ) } = 0 L 0 ϕ(t, f ) = αrϕ(t, f ) + ` λ 1 f + λ 2 (1 f ) ϕ f (t, f ) + 1 µ1 µ 2 2f 2 (1 f ) 2 2 ϕ 2 σ f 2 (t, f ) L 1 ϕ(t, f ) = α µ 1 f + µ 2 (1 f ) + +α(µ 1 µ 2 )f (1 f ) ϕ f (t, f ) + 1 2 (α 1)σ2 2 µ1 µ 2 σ ϕ(t, f ) + ` λ 1 f + λ 2 (1 f ) 2f 2 (1 f ) 2 2 ϕ f 2 (t, f )
Schéma numérique pour le calcul des fonctions valeur 23/43 Initialisation ˆV 0 (T, f ) = ˆV 1 (T, f ) = 1 Itération Avec la partie EDP de HJB, calculer V 0 (t, ) et V 1 (t, ) à partir de ˆV 0 (t + dt, ) et ˆV 1 (t + dt, ) Comparaison si V 0 (t, f ) (1 g 01 ) α V 1 (t, f ), prendre ˆV 0 (t, f ) = V 0 (t, f ) sinon ˆV 0 (t, f ) = (1 g 01 ) α V 1 (t, f ) si V 1 (t, f ) (1 g 10 ) α V 0 (t, f ), prendre ˆV 1 (t, f ) = V 1 (t, f ) sinon ˆV 1 (t, f ) = (1 g 10 ) α V 0 (t, f )
Schéma numérique pour le calcul des fonctions valeur 23/43 Initialisation ˆV 0 (T, f ) = ˆV 1 (T, f ) = 1 Itération Avec la partie EDP de HJB, calculer V 0 (t, ) et V 1 (t, ) à partir de ˆV 0 (t + dt, ) et ˆV 1 (t + dt, ) Comparaison si V 0 (t, f ) (1 g 01 ) α V 1 (t, f ), prendre ˆV 0 (t, f ) = V 0 (t, f ) sinon ˆV 0 (t, f ) = (1 g 01 ) α V 1 (t, f ) si V 1 (t, f ) (1 g 10 ) α V 0 (t, f ), prendre ˆV 1 (t, f ) = V 1 (t, f ) sinon ˆV 1 (t, f ) = (1 g 10 ) α V 0 (t, f )
Schéma numérique pour le calcul des fonctions valeur 23/43 Initialisation ˆV 0 (T, f ) = ˆV 1 (T, f ) = 1 Itération Avec la partie EDP de HJB, calculer V 0 (t, ) et V 1 (t, ) à partir de ˆV 0 (t + dt, ) et ˆV 1 (t + dt, ) Comparaison si V 0 (t, f ) (1 g 01 ) α V 1 (t, f ), prendre ˆV 0 (t, f ) = V 0 (t, f ) sinon ˆV 0 (t, f ) = (1 g 01 ) α V 1 (t, f ) si V 1 (t, f ) (1 g 10 ) α V 0 (t, f ), prendre ˆV 1 (t, f ) = V 1 (t, f ) sinon ˆV 1 (t, f ) = (1 g 10 ) α V 0 (t, f )
valeur V 0 Tracé 24/43 Paramètres : T = 3, µ 2 = 0.2, µ 1 = 0.21, λ 1 = λ 2 = 2, σ = 0.15, g 01 = g 10 = 1 1.0450 0.5 V(t,f) 1.0200 1.0 0.9950 1.5 0.2 0.4 0.6 f 3.0 1.0 2.5 2.0 temps
valeur V 0 Régularité I 25/43 Coûts de transaction g 01 = g 10 = 1 Zoom entre t = 2.5 et t = 3 = T V(t,f) 1.018 1.016 1.014 1.012 1.010 1.008 1.006 1.004 1.002 1.000 0.998 0.1 0.2 0.3 0.4 f 0.5 0.6 0.7 0.9 3.000 1.0 2.817 2.633 temps 2.450
valeur V 0 Régularité II 26/43 Coupe en f = 5 1.045 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 Coupes en t = 2.90, t = 2.91, t = 2.92, t = 2.93, t = 2.94, t = 2.95, 1.0035 1.0030 1.0025 1.0020 1.0015 1.0010 1.0005 1.0000 0.9995 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9 1.0
Plan 27/43 1 2 de travail 3 Etude de la fonction 4
Stratégie 28/43 Calculer ˆV 0, ˆV 1 Estimer ˆF t à partir de cours de l actif risqué Comparer ˆV 0 (t, ˆF t ) et ˆV 1 (t, ˆF t ) : achat si ˆV 0 (t, ˆF t ) = (1 g 01 ) α ˆV 1 (t, ˆF t ) vente si ˆV 1 (t, ˆF t ) = (1 g 10 ) α ˆV 0 (t, ˆF t ) 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.4 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 buying zone selling zone Estimated F µ 1 = 0.2, µ 2 = 0.2, σ = 0.15, λ 1 = 2, λ 2 = 2, T = 3
Comparaison stratégie / fonction valeur 29/43 Calcul de la fonction valeur : pas de discrétisation en temps 10 6 pas de discrétisation en espace 10 3 10 5 simulations de Monte Carlo de la stratégie F 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ˆV 0 1.061 1.057 1.053 1.049 1.045 1.043 Stratégie 1.061 1.056 1.052 1.049 1.045 1.043 F 0 0.6 0.7 0.9 1 ˆV 0 1.041 1.039 1.038 1.037 1.036 Stratégie 1.040 1.039 1.038 1.037 1.036
des performances 30/43 Simulation du cours de l actif risqué avec les vrais paramètres : µ 1 = 0.2, µ 2 = 0.21, σ = 0.15, λ 1 = 2, λ 2 = 2. Calcul des zones de transaction et de F t avec plusieurs jeux de mauvais paramètres Mise en oeuvre pour T = 3, U(x) = x, δ = pour la moyenne mobile. Coûts de transaction : 0.25%, 0.5%, 1%.
Jeux de mauvais paramètres 31/43 µ 1 µ 2 λ 1 λ 2 σ Vrais 0.2 0.21 2 2 0.15 Jeu 1 0.2 0.21 0.5 1 0.15 Jeu 2 0.2 0.21 2 2 0.30 Jeu 3 0.3 0.17 2 2 0.15 Jeu 4 0.2 0.21 0.5 1 0.30 Jeu 5 0.3 0.17 0.5 1 0.15 Jeu 6 0.3 0.17 2 2 0.30 Jeu 7 0.3 0.17 0.5 1 0.30
Coûts de transaction 0.25% Zones de transaction 32/43 Vrais paramètres : µ 1 = 0.2, µ 2 = 0.21, σ = 0.15, λ 1 = 2, λ 2 = 2. Faux paramètres : µ 1 = 0.3, µ 2 = 0.17, σ = 0.30, λ 1 = 0.5, λ 2 = 1. 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 2 : mauvaise volatilité 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 bons parametres mauvais parametres Jeu 1 : mauvais λ 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 3 : mauvaises dérives
Coûts de transaction 0.25% Stratégie mal calibrée vs Moyenne mobile 33/43 T = 3, δ = 1000 simulations Monte Carlo 1.045 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 1.045 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 2 : mauvaise volatilité 1.045 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 0.995 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 1 : mauvais λ 1.005 1.000 0.995 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 3 : mauvaises dérives
Coûts de transaction 0.25% Zones de transaction 34/43 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 4 : mauvais λ et volatilité 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 5 : mauvais λ et dérives 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 6 : mauvaises volatilité et dérive 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 7 : tout mauvais
Coûts de transaction 0.25% Stratégie mal calibrée vs Moyenne mobile 35/43 1.045 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.045 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 4 : mauvais λ et volatilité 1.045 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 5 : mauvais λ et dérives 1.010 1.005 1.000 0.995 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 6 : mauvaises volatilité et dérive 1.045 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 7 : tout mauvais
Coûts de transaction 0.5% Zones de transaction 36/43 Vrais paramètres : µ 1 = 0.2, µ 2 = 0.21, σ = 0.15, λ 1 = 2, λ 2 = 2. Faux paramètres : µ 1 = 0.3, µ 2 = 0.17, σ = 0.30, λ 1 = 0.5, λ 2 = 1. 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 1 : mauvais λ 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 2 : mauvaise volatilité 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 3 : mauvaises dérives
Coûts de transaction 0.5% Stratégie mal calibrée vs Moyenne mobile 37/43 T = 3, δ = 1000 simulations Monte Carlo 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 1 : mauvais λ 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 2 : mauvaise volatilité 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 3 : mauvaises dérives
Coûts de transaction 0.5% Zones de transaction 38/43 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 4 : mauvais λ et volatilité 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 5 : mauvais λ et dérives 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 6 : mauvaises volatilité et dérive 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 7 : tout mauvais
Coûts de transaction 0.5% Stratégie mal calibrée vs Moyenne mobile 39/43 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 4 : mauvais λ et volatilité 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 5 : mauvais λ et dérives 1.000 0.995 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 6 : mauvaises volatilité et dérive 1.040 1.035 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 7 : tout mauvais
Coûts de transaction 1% Zones de transaction 40/43 Vrais paramètres : µ 1 = 0.2, µ 2 = 0.21, σ = 0.15, λ 1 = 2, λ 2 = 2. Faux paramètres : µ 1 = 0.3, µ 2 = 0.17, σ = 0.30, λ 1 = 0.5, λ 2 = 1. 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 1 : mauvais λ 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 2 : mauvaise volatilité 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 3 : mauvaises dérives
Coûts de transaction 1% Stratégie mal calibrée vs Moyenne mobile 41/43 T = 3, δ = 1000 simulations Monte Carlo 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 0.990 0.985 0.980 0.975 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 1 : mauvais λ 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 0.990 0.985 0.980 0.975 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 2 : mauvaise volatilité 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 0.990 0.985 0.980 0.975 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 3 : mauvaises dérives
Coûts de transaction 1% Zones de transaction 42/43 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 4 : mauvais λ et volatilité 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 5 : mauvais λ et dérives 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 6 : mauvaises volatilité et dérive 1.0 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 7 : tout mauvais
Coûts de transaction 1% Stratégie mal calibrée vs Moyenne mobile 43/43 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 0.990 0.985 0.980 0.975 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 4 : mauvais λ et volatilité 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 0.990 0.985 0.980 0.975 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 5 : mauvais λ et dérives 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 0.990 0.985 0.980 0.975 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 6 : mauvaises volatilité et dérive 1.030 1.025 1.020 1.015 1.010 1.005 1.000 0.995 0.990 0.985 0.980 0.975 Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 7 : tout mauvais