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Classe prépa PCSI MPSI PTSI Électrocinétique Tout le cours Bernard Gendreau Professeur de chaire supérieure en classes préparatoires à l École nationale de Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) à Paris Christophe Gripon Professeur en classes préparatoires à l École nationale de Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) à Paris

Sommaire Circuit électrique en régime stationnaire - Définitions... 4 - Courant électrique Intensité Loi des nœuds... 5 3 - Tension aux bornes d un dipôle Loi des mailles... 6 4 - Conventions d orientation pour un dipôle Dipôle actif, dipôle passif... 6 5 - Conducteur ohmique Loi d Ohm... 7 6 - Sources d énergie électrique Modélisation d un dipôle actif... 8 7 - Point de fonctionnement d un circuit... 9 8 - Voltmètre et ampèremètre... 0 savoir résoudre les exercices... Puissance en régime stationnaire - Puissance électrocinétique reçue par un dipôle... 8 - Caractéristiques d un conducteur ohmique... 9 savoir résoudre les exercices... 0 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent - Association en série... 4 - Association en parallèle... 7 3 - Équivalence des représentations de Thévenin et de Norton d un générateur... 9 4 - Potentiel et loi des nœuds en termes de potentiels... 30 5 - Méthodes d étude d un circuit... 3 savoir résoudre les exercices... 33 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension - Circuit C série... 39 - Circuit L série... 44 3 - Circuit LC série... 47 4 - Établissement d un régime périodique forcé dans un circuit soumis à une tension périodique... 5 5 - Approximation des régimes quasi permanents (AQP)... 53 savoir résoudre les exercices... 54 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé - Introduction... 63 - Utilisation des nombres complexes... 66 3 - Impédances complexes... 66 4 - Théorèmes généraux... 69 5 - Lois d association... 7 6 - Étude d un circuit LC, résonances... 75 savoir résoudre les exercices... 8 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

6 Puissance en régime sinusoïdal forcé - Puissance instantanée et puissance moyenne... 89 - Aspects énergétiques de l étude du circuit LC série... 9 savoir résoudre les exercices... 95 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre - Fonction de transfert d un quadripôle linéaire Filtre... 99 - Diagramme de Bode d un filtre... 0 3 - Filtre passe-bas du premier ordre... 0 4 - Filtre passe-haut du premier ordre... 05 5 - Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d un filtre... 08 6 - Équation différentielle d un système du premier ordre Stabilité... 09 7 - Caractère intégrateur ou dérivateur d un filtre... 0 savoir résoudre les exercices... 8 Filtres du deuxième ordre - Filtre passe-bas du deuxième ordre... 6 - Filtre passe-bande du deuxième ordre... 9 3 - Filtre passe-haut du deuxième ordre... 3 4 - Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d un filtre... 34 5 - Équation différentielle d un système du deuxième ordre Stabilité... 34 savoir résoudre les exercices... 37 Index... 49

retenir l essentiel Circuit électrique en régime stationnaire Un système est en régime stationnaire quand les grandeurs physiques qui le décrivent sont indépendantes du temps. Définitions Un circuit électrique est un ensemble de conducteurs reliés entre eux par des fils de jonction et dans lequel circule un courant électrique. Un dipôle est un composant électrique limité par deux bornes. Un nœud est un point commun à plus de deux dipôles. Une maille est une partie d un circuit électrique formant un contour fermé. Une branche est une suite de dipôles entre deux nœuds consécutifs. Fig. A B C D D 3 D D 6 D 4 emarque L orientation arbitraire de la branche BCDE est donnée par la flèche. L intensité I est positive si les porteurs de charge positive se déplacent dans le sens choisi arbitrairement. 4 D 5 F E D I Le circuit est constitué des dipôles D, D, D 3, D 4, D 5 et D 6 reliés par des fils de jonction. Par exemple dans la figure : B et E sont des nœuds du circuit. La maille ABEFA est constituée des dipôles D, D 6, D 5, et D. Les contours fermés ABCDEFA et BCDEB sont les deux autres mailles du circuit. BCDE, EFAB et EB sont les branches du circuit. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Courant électrique Intensité Loi des nœuds.. Courant électrique Le courant électrique est un déplacement de porteurs de charge (électrons, ions) dans un conducteur. Le sens conventionnel du courant est celui du déplacement des porteurs de charge positive. C est donc aussi le sens opposé au déplacement des porteurs de charge négative... Orientation d une branche elation entre charge et intensité Avant d étudier un réseau électrique, chaque branche doit être orientée arbitrairement (voir figure ) en plaçant une flèche sur le trait représentant le fil de jonction surmontée de la lettre I pour l intensité. L intensité I du courant qui traverse un conducteur est un débit de charge. C est une grandeur algébrique. Elle est mesurée à l aide d un ampèremètre. Soit dq la charge qui traverse dans le sens positif choisi arbitrairement une section de conducteur pendant une durée élémentaire dt. L intensité s écrit : I dq ------ dt I en ampère (A) q en coulomb (C) t en seconde (s) Après calcul, c est le signe de la valeur de l intensité I qui donne le sens réel du courant : I 0 signifie que les porteurs positifs se Fig. déplacent dans le sens choisi arbitrairement ; A I 3 A B I 0 signifie que les porteurs positifs se déplacent dans le sens inverse du sens choisi. Ici, le sens réel du courant est de B vers A. Attention L intensité en amont d un dipôle est égale à sa valeur en aval ; le courant «ne s use pas» dans un dipôle..3. Loi des nœuds En régime stationnaire, il n y a ni accumulation ni disparition de charge ; il y a conservation de la charge. La loi des nœuds traduit la loi de conservation de la charge. Loi des nœuds La somme des courants arrivant à un nœud est égale à la somme des courants qui en partent : I + I I 3 I 4 0 ε k I k 0. I I 3 ε k +, si l intensité est orientée vers le nœud ; N ε k, si l intensité est orientée à partir du nœud. Conséquence : l intensité est la même en tout point d une branche car elle ne contient pas de nœud. Fig. 3 I I 0 I I 0 Circuit électrique en régime stationnaire I I 4 5

retenir l essentiel 3 Tension aux bornes d un dipôle Loi des mailles 3.. Tension aux bornes d un dipôle La tension entre deux points d un dipôle est la grandeur électrique mesurée entre ces deux points par un voltmètre. Elle est représentée par une flèche. C est une grandeur algébrique et elle s exprime en volt (symbole V). Fig. 4 A Dipôle U B 3.. Loi des mailles On choisit arbitrairement un sens de parcours (sens horaire ou anti-horaire). Attention Les résultats obtenus en appliquant la loi des mailles sont indépendants du sens de parcours choisi. La somme des tensions aux bornes des dipôles d une maille est nulle : le longd une maille ε k U k 0. ε k +, si la flèche tension U k est dans le sens du parcours ; ε k, si la flèche tension U k est dans le sens opposé à celui du parcours. Sur la figure ci-dessus : maille parcourue dans le sens horaire : U + U + U 3 U 4 + U 5 0 ; maille parcourue dans le sens anti-horaire : U U U 3 + U 4 U 5 0. D U D D 3 U U 5 D 5 U 3 U 4 D 4 4 Conventions d orientation pour un dipôle Dipôle actif, dipôle passif 4.. Convention récepteur et convention générateur Conseil Il faut systématiquement représenter sur les schémas électriques les sens d orientation des branches (sens de l intensité) et les sens choisis pour les flèches tension. 6 Le circuit étant orienté (sens du courant I défini), on peut choisir arbitrairement pour la tension U : le même sens que celui de I (flèches dans le même sens) ; c est la convention générateur ; ou le sens opposé (flèches de sens opposé) ; c est la convention récepteur. Fig. 5 Conventions d orientation d un dipôle Convention générateur U I Convention récepteur U I Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

4.. Dipôle actif, dipôle passif La caractéristique d un dipôle est la courbe U f ( I ) donnant la tension U à ses bornes en fonction de l intensité I du courant qui le traverse, ou la courbe I g( U ). Un dipôle passif est un dipôle dont la caractéristique passe par l origine. Un dipôle actif est un dipôle dont la caractéristique ne passe pas par l origine. Fig. 6 a) Caractéristique d un dipôle actif. b) Caractéristique d un dipôle passif. U U O I O I 5 Conducteur ohmique Loi d Ohm 5.. Conducteur ohmique Un conducteur ohmique est un dipôle dans lequel le passage d un courant provoque un effet thermique appelé effet Joule. On lui donne souvent le nom de résistor. 5.. Loi d Ohm Un conducteur ohmique est caractérisé par sa résistance et satisfait à la loi d Ohm. Loi d Ohm pour un conducteur ohmique en convention récepteur : Conseil Orienter de préférence un conducteur ohmique en convention récepteur et appliquer la loi U I. Si le conducteur ohmique est orienté en convention générateur, la relation devient U I. U I U tension aux bornes d un conducteur ohmique (V) résistance d un conducteur ohmique en ohm (Ω) I intensité du courant qui traverse le conducteur (A) La caractéristique d un conducteur ohmique est une droite. C est un dipôle passif. La conductance G est l inverse de la résistance ; elle s exprime en siemens (symbole S). Fig. 7 O U I U I I Circuit électrique en régime stationnaire 7

retenir l essentiel 6 Sources d énergie électrique Modélisation d un dipôle actif Attention Ne pas oublier que la tension E est indépendante de l intensité I du courant débité. Attention Ne pas oublier que le courant débité I 0 est indépendant de la tension U aux bornes. 6.. Sources idéales d énergie 6... Source ou générateur idéal de tension C est un dipôle actif qui impose une tension constante E, appelée force électromotrice (noté f.é.m.), entre ses bornes. 6... Source ou générateur idéal de courant C est un dipôle actif qui impose un courant constant d intensité I 0, appelé courant électromoteur (noté c.é.m.), dans la branche dans laquelle il est placé. Fig. 8 a) Générateur idéal de tension en convention générateur U E E I O U E quel que soit I b) Générateur idéal de courant en convention générateur U I I 0 I I 0 quel que soit U I 0 I O U 6.. Modélisation linéaire de Thévenin et de Norton d un dipôle actif 8 Dans de nombreuses applications l expérience montre qu on peut modéliser un générateur réel par l association : d un générateur idéal de tension et d un conducteur ohmique en série dont la résistance est appelée résistance interne du générateur ; c est le modèle linéaire de Thévenin. ou d un générateur idéal de courant et d un conducteur ohmique en parallèle dont la conductance est appelée conductance interne du générateur ; c est le modèle linéaire de Norton. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Fig. 9 + I Conseil Pour la modélisation de Thévenin, la flèche tension correspondant à la f.é.m. doit être orientée du pôle du générateur vers le pôle +. Pour la modélisation de Norton, la flèche courant correspondant au c.é.m. doit être orientée du pôle du générateur vers le pôle +. eprésentation de Thévenin U E Caractéristique r ri I U eprésentation de Norton U g r ---- r U E ri U I I 0 gu, soit I I 0 ---- r U I 0 gu Caractéristique I E emarque Les deux représentations sont équivalentes, ce qui impose : r r et E ri 0. (voir chapitre 3.) O Modélisation linéaire de Thévenin d un dipôle actif (générateur de tension) I 0 I O Modélisation linéaire de Norton d un dipôle actif (générateur de courant) I 0 I 7 Point de fonctionnement d un circuit Le point de fonctionnement d un circuit comportant deux dipôles est le point d intersection des caractéristiques de ces deux dipôles. Fig. 0 Point de fonctionnement d un circuit En noir, caractéristique du dipôle () En couleur, caractéristique du dipôle () I p U () Dipôle en convention générateur Up Dipôle en convention récepteur Up P () I p I O Circuit électrique en régime stationnaire 9

retenir l essentiel Attention Les voltmètres et ampèremètres sont toujours considérés comme idéaux dans les exercices, sauf indication contraire. On ne doit pas tenir compte de leur présence dans les calculs. 8 Voltmètre et ampèremètre 8.. Mesure des tensions La tension U aux bornes d un dipôle D se mesure en plaçant un voltmètre en parallèle. Un voltmètre est idéal si son branchement ne modifie pas la tension aux bornes du dipôle dont il mesure la tension. Un voltmètre idéal n est traversé par aucun courant ; sa résistance est infinie. 8.. Mesure des intensités L intensité I qui traverse un dipôle D se mesure en plaçant un ampèremètre en série avec le dipôle. Un ampèremètre est idéal si son introduction ne modifie pas l intensité du courant qui traverse le dipôle. D A La tension aux bornes d un ampèremètre idéal est nulle ; sa résistance est nulle. U D V I 0 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

savoir résoudre les exercices Caractéristique d un générateur non linéaire On considère le générateur ci-contre. En faisant débiter un générateur dans des résistances réglables, on a obtenu la caractéristique ci-dessous. I U U (V) 0 9 8 7 6 5 4 3 0 0,05 0, 0,5 0, I (A) Caractéristique du générateur On considère que la caractéristique est linéaire tant que l intensité du courant est inférieure à 0,0 A. En précisant son domaine de validité en intensité, déduire des mesures les modèles linéaires du générateur : a. modèle linéaire de Thévenin ; calculer la force électromotrice E et la résistance interne r ; b. modèle linéaire de Norton ; calculer le courant électromoteur I 0 et la résistance interne r. Ce générateur alimente un résistor de résistance. Déterminer la valeur limite lim du domaine linéaire. 3 Déterminer graphiquement le point de fonctionnement quand le générateur alimente un résistor de résistance 0 Ω. résolution méthodique On lit sur la courbe caractéristique du générateur (page suivante) les coordonnées du point limite de linéarité : ( 0,0 A ; 4,0 V) Le générateur peut donc être considéré comme linéaire tant que la tension U est supérieure à 4,0 V. a. En respectant les pôles du générateur, la modélisation linéaire de Thévenin donne : U E U r E ri () U E pour I 0 ; on obtient par lecture graphique sur la figure suivante : E 9,0 V. Circuit électrique en régime stationnaire

savoir résoudre les exercices U (V) 0 9 8 7 6 5 4 3 0 0,05 0, 0,5 0, I (A) Caractéristique du générateur r est l opposé de la pente de la droite ; pour la calculer on considère les points (0 ; 0,9 V) 9 4 et (0,0 A ; 4,0 V). Il vient r -----------, soit : 0, r 50 Ω I + I + r U E U r b. En respectant les pôles du générateur, la modélisation de Norton donne : I r r I + I + U U I 0 U Faire attention aux sens d orientation des f.é.m. et c.é.m. : les flèches correspondantes doivent être dirigées du pôle négatif du générateur vers le pôle positif. L application de la loi des nœuds conduit à I I r + I 0 U U r I donc I --- + I () r 0 U r I 0 r I r étant l opposé de la pente de la droite, sa valeur est celle de r calculée plus haut. Cherchons à retrouver ce résultat d une autre manière : U r I 0 pour I 0, on en déduit graphiquement que r I 0 9,0 V. I I 0 pour U 0. On obtient en prolongeant la droite correspondant à la partie linéaire de la caractéristique la valeur I 0 0,8 A. r I 0 9,0 V et I 0 0,8 A r 50 Ω. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

emarque : En comparant les relations () et () on constate que r r et r I 0 E, ces relations sont générales et seront utilisées au chapitre 3. Les modélisations linéaires de Thévenin et de Norton des générateurs réels ne sont que des approximations. Selon la précision recherchée dans la détermination des valeurs de fonctionnement, ces approximations sont valables dans un domaine plus ou moins étendu. Ajoutons sur le graphe la caractéristique du résistor (convention récepteur sur le schéma ci-contre) à celle du générateur (figure ci-dessous). I U Le tracé d une caractéristique n a de sens que si les grandeurs correspondantes, U et I, sont définies sur un schéma. U (V) 0 9 8 7 6 5 4 3 0 40 Ω 40 Ω 0,05 0, 0,5 0, I (A) La caractéristique du générateur n est plus linéaire pour I I lim 0,0 A et U U 4,0 V. À la limite, lim --------- lim 40 Ω. Il faut donc que : U lim I lim lim 40 Ω 3 La résistance étant inférieure à lim, on est en dehors du domaine linéaire ; il faut donc utiliser la méthode graphique de résolution. Ajoutons sur le graphe la caractéristique du résistor à celle du générateur (figure suivante). Elle passe par le point (0,0 A ;,0 V) et entre deux points de la caractéristique du générateur. Le point de fonctionnement est le point d intersection du segment qui relie ces deux points avec la caractéristique du résistor. On lit directement ses coordonnées sur les axes : 0,3 A et,4 V La détermination graphique est toujours entachée d erreurs, ici de l ordre de 0 %. Circuit électrique en régime stationnaire 3

savoir résoudre les exercices La résolution graphique s impose quand le comportement d un ou de plusieurs dipôles d un circuit est non linéaire. U (V) 0 9 8 7 6 5 4 3 0 point de fonctionnement 0,05 0, 0,3 0,5 0, I (A) Caractéristique du générateur en conclusion La flèche tension correspondant à la f.é.m. d un générateur, ou la flèche courant correspondant au c.é.m., doit être orientée du pôle négatif vers le pôle positif du générateur. Les modélisations linéaires de Thévenin et de Norton des générateurs réels ne sont que des approximations. Selon la précision recherchée dans la détermination des valeurs de fonctionnement, ces approximations sont valables dans un domaine plus ou moins étendu. La résolution graphique s impose quand le comportement d un ou de plusieurs dipôles d un circuit est non linéaire. Modélisation d une diode Soit U D la tension aux bornes d une diode à jonction et I l intensité du courant qui la traverse selon les conventions de la figure ci-contre. En unités légales : I 0 si U (on dit que la diode est bloquante) ; I D 0,60 V U D 0I + 0,60 si I 0 (on dit que la diode est passante). U Le domaine d utilisation de la diode est D U D U Dmin 3,0 V et I I max 0,0 A. Montrer que, selon les valeurs de la tension U D, la diode est équivalente à un interrupteur ouvert ou à un résistor en série avec un générateur idéal de tension. Tracer la caractéristique I f( U D ). 4 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

3 La diode est insérée dans le circuit ci-contre, qui comprend un générateur réel, de résistance interne r 5,0 Ω et de f.é.m. E ajustable, et un résistor de résistance 5 Ω. Quand on ajuste la f.é.m. à la valeur E 0,0 V, on constate qu un courant traverse le circuit. Calculer l intensité I, la tension U D et la tension U G aux bornes du générateur. I U G 4 Calculer la valeur en deçà de laquelle la diode est bloquante. E min U D 5 Exprimer la relation simple entre les tensions U D et U G quand la diode est bloquante. 6 Tracer la courbe U D fu ( G ). résolution méthodique Pour U D 0,60 V, l intensité qui traverse la diode est nulle. La diode est équivalente à un interrupteur ouvert. Pour I 0, on peut écrire la tension U D sous la forme U Par identification, on a : I D r I+ E. E 0,60 V et r 0 Ω La diode est équivalente à l association série d un générateur idéal de tension et d un résistor (figure ci-contre). E 0,60 V U D r 0 Ω Il faut faire attention à l orientation du circuit et aux sens respectifs des flèches représentant la force électromotrice E et la tension U D. Pour I 0, la caractéristique est le segment compris entre les points ( 3,0 V ; 0) et (0,60 V ; 0). Pour I 0, la caractéristique est le segment d équa- I (A) 0, 0,08 U D tion I ------ 0,060, de pente 0,0 Ω compris 0 entre les points (0,60 V ; 0) et (,6 V ; 0,0 A). Elle est limitée au point : (U Dmax 0,60 + 0 0,,6 V ; 0,0 A). La caractéristique est une courbe continue (figure ci-contre). 3 U D 0,06 0,04 0,0 U G (V) 0 0,60 U D max,6 V 3 Un courant traverse le circuit, la diode est donc passante ; la diode est modélisable par l association série du générateur idéal de tension E et du résistor r. eprésentons le circuit équivalent. Circuit électrique en régime stationnaire 5

savoir résoudre les exercices Orientons le circuit (flèche indiquant le sens arbitraire choisi pour I) et choisissons la convention récepteur pour chacun des résistors. Il faut systématiquement représenter sur les schémas électriques les sens d orientation des branches (sens de l intensité) et les sens choisis pour les flèches tension avant d appliquer la loi des mailles et la loi des nœuds. Diode E r I r ri r U G U D I E I Générateur En choisissant le sens de parcours indiqué sur la figure ci-dessus pour appliquer la loi des mailles, il vient : 9,4 E I r I E ri 0 E E ( + r+ r )I I ------ 0,333. 30 I 0,3 A D où U D E + r I 0,60 + 0 9,4 ------ 3,7333. 30 U D 3,7 V et U G E ri 8,4 V Les calculs intermédiaires doivent être conduits sans être arrondis. Ainsi le calcul précédent de la tension doit-il être conduit avec la valeur fractionnaire de I. 4 Le modèle utilisé est valide tant que la diode est passante ; la valeur E min de la f.é.m. est celle pour laquelle l intensité s annule. D après la relation E E ( + r+ r )I, il vient immédiatement : E min E et U Gmin E min 0,60 V En deçà de cette valeur la diode est bloquante. Une application de la relation E E ( + r+ r )I avec E E conduirait à une valeur négative de l intensité, en dehors du domaine de validité du modèle de la diode. La valeur de l intensité (ou de la tension) obtenue par l utilisation d un modèle de dipôle doit appartenir au domaine des intensités (ou des tensions) dans lequel ce modèle est valide. 6 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

5 La diode est équivalente à un interrupteur ouvert quand elle est bloquante, ce qui est le cas quand U G U Gmin 0,60 V. eprésentons le circuit équivalent (ci-dessous). Les tensions aux bornes des résistors sont nulles ; il vient immédiatement : Diode ri 0 r U D U G U G U D I 0 E Générateur I 0 6 Calculons les valeurs extrêmes E min et E max de la tension E imposée par les conditions aux limites de fonctionnement de la diode : U Gmin U Dmin 3,0 V ; U Gmax E + ( + r )I max, soit U Gmax 3, V. Quand la diode est bloquante U D U G. Pour ce régime, la courbe U D fu ( G ) est le segment de pente unitaire compris entre les points ( 3,0 V ; 3,0 V) et (0,60 V ; 0,60 V) Quand la diode est passante, on peut écrire : U G I U D 0 et U D E + r I, d où : U D (V) U r D + ---- r E + r U E + ---U,6 V G U D ---------------------------- G + r 9 + 0U G A.N. : U D -----------------------. 0,60 V 5 Pour ce régime, la courbe U D fu ( G ) est 3 0,60 V 3, V U le segment de pente 0,40 compris entre les G (V) points (0,60V ; 0,60 V) et (3, V ;,6 V). La courbe complète est tracée ci-contre. C est une courbe continue qui présente une rupture de pente quand la diode passe du régime bloquant au régime passant. 3 en conclusion Il faut systématiquement représenter sur les schémas électriques les sens d orientation des branches (sens de l intensité) et les sens choisis pour les flèches tension avant d appliquer la loi des mailles et la loi des nœuds. La valeur de l intensité (ou de la tension) obtenue par l utilisation d un modèle de dipôle doit appartenir au domaine des intensités (ou des tensions) dans lequel ce modèle est valide. Circuit électrique en régime stationnaire 7

retenir l essentiel Puissance en régime stationnaire Attention La relation UI n est applicable qu en convention récepteur. Puissance électrocinétique reçue par un dipôle La puissance électrocinétique reçue par un dipôle en convention récepteur est : UI puissance du dipôle en watt (W) U tension aux bornes du dipôle (V) I intensité du courant qui traverse le dipôle (A) Conséquences La puissance reçue par un dipôle en convention générateur est : UI. La puissance fournie par un dipôle est égale à l opposée de la puissance reçue. Conseil Choisir de préférence la convention générateur pour un dipôle de caractère générateur et la convention récepteur pour un dipôle de caractère récepteur. 8.. Signe de la puissance reçue et caractère d un dipôle La puissance reçue par un dipôle est une grandeur algébrique. Son signe indique le caractère générateur ou récepteur du dipôle. Un dipôle a un caractère récepteur si la puissance qu il reçoit est positive. Il transforme l énergie qu il reçoit en une autre forme d énergie (thermique, mécanique, lumineuse ) Un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu il reçoit est négative. Il transforme en énergie électrique une autre forme d énergie. Il est équivalent d écrire : (i) un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu il fournit est positive ; (ii) un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu il reçoit est négative. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

.. Bilan de puissance dans un circuit La puissance reçue est l énergie reçue par unité de temps. Comme l énergie, la puissance se conserve. La somme des puissances fournies par les dipôles générateurs d un circuit est égale à la somme des puissances reçues par les dipôles récepteurs de ce circuit. On peut aussi écrire : la somme des puissances reçues par les dipôles d un circuit est nulle. Caractéristiques d un conducteur ohmique.. ésistance d un conducteur ohmique homogène et de section constante La résistance d un conducteur ohmique homogène et de section constante (fig. ) est : Fig. ρ L -- S : résistance d un conducteur ohmique en ohm (Ω) ρ : résistivité du matériau conducteur (Ω m) L : longueur du conducteur (m) S : section du conducteur (m ) Section d aire S longueur L est une caractéristique du matériau conducteur. Elle dépend de la tempé- La résistivité ρ rature... Effet Joule dans un conducteur ohmique Le passage du courant dans un résistor provoque une dissipation d énergie thermique dans ce dernier ; c est l effet Joule. La puissance dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique est (convention récepteur) : UI I U ------- : résistance en ohm (Ω) I : intensité en ampère (A) U : tension aux bornes en volt (V) Puissance en régime stationnaire 9

savoir résoudre les exercices Transfert de puissance On considère un générateur de f.é.m. E 0 V et de résistance interne r 5,0 Ω alimentant un résistor de résistance 5,0 Ω. i Déterminer la tension U aux bornes du résistor et l intensité I du courant qui le traverse. r U Calculer les puissances dissipées par effet Joule. E 3 Calculer la puissance reçue par le générateur idéal de tension. 4 Faire un bilan de puissance pour l ensemble du circuit. résolution méthodique Orientons le circuit et la tension U comme l indique le schéma de l énoncé. Le générateur est en convention générateur et le résistor est en convention récepteur. Ce choix des orientations est «naturel» car nous «devinons» qu il conduira à des valeurs positives de l intensité I et de la tension U. Nous pourrions aussi en choisir d autres, les résultats seraient les mêmes. La tension U s écrit de deux manières : U D où 0 5I 5I. Ce qui conduit à : I et U E ri. I,0 A et U 5,0 V On peut aussi appliquer la loi des mailles pour un sens de parcours donné (voir figure) : i E ri U 0, avec U I. On arrive au même résultat. I r U E Il y a effet Joule dans les deux résistors et r. Le résistor étant en convention récepteur, il reçoit la puissance UI I. D où : Le résistor r étant en convention récepteur, il reçoit la puissance : 5,0 W 0 r U r I ri 5,0 W Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Vérifier que les dipôles sont en convention récepteur avant d appliquer la relation reçu UI ; U et I sont orientés en sens opposés. 3 Le générateur idéal de tension est en convention générateur ; il reçoit la puissance : EI 0 W. E Il fournit donc la puissance + 0 W, résultat attendu puisque c est la source d énergie. Pour les calculs de puissance, il faut faire attention au dipôle considéré. On calcule ici la puissance reçue par le générateur idéal de tension, à ne pas confondre avec la puissance reçue par le générateur qui s écrit : UI ( E I)I 5,0 W. gén 4 La puissance fournie par le générateur idéal (0 W) est entièrement dissipée par effet Joule pour moitié dans le résistor r (5,0 W) et pour moitié dans le résistor (5,0 W). en conclusion La relation reçu UI ne s applique que si U et I sont orientés en sens opposés (convention récepteur). Adaptation d impédance On considère un générateur de force électromotrice E et de résistance interne r qui alimente un radiateur électrique modélisable par un dipôle résistif de résistance. L effet du passage du courant est thermique ; c est l effet Joule. r U Exprimer la puissance reçue par le radiateur en fonction de E, de r et de. E Quelle est la valeur de la puissance quand 0? Quelle est la valeur de la puissance quand la résistance est très grande? Que peut-on en déduire? 3 Déterminer la valeur 0 de pour laquelle la puissance dissipée dans le radiateur est maximale? eprésenter l allure de la courbe donnant la puissance en fonction de. Puissance en régime stationnaire

savoir résoudre les exercices 4 Dans le cas où le radiateur a la résistance 0, exprimer la puissance thermique 0 dissipée dans le radiateur et la puissance thermique r 0 dissipée dans le générateur en fonction de E et de? Faire un bilan de puissance. 0 5 Pour quelle valeur de r le rendement est-il maximal? En déduire le type de générateur qu il faut utiliser pour alimenter un radiateur électrique. résolution méthodique On choisit les sens d orientation définis sur le schéma ci-contre. La loi d Ohm permet d écrire : i U r ri et U I. Avec le sens de parcours choisi, la loi des mailles s écrit : E U + E U r 0, d où I -----------. r+ Le résistor étant en convention récepteur, la puissance qu il reçoit est : U r E r U UI I ( 0) 0 E ------------------ ( r + ) La résistance r est négligeable devant quand est très grand, d où : E ( r) ---------- E ------ 0 et infini ; il existe donc (au moins) un maxi- est toujours positive, nulle pour 0 mum de la puissance. Prendre l habitude de confronter ses résultats à une analyse physique élémentaire. Une analyse trop rapide, faite à partir de l expression I conduirait à proposer que est maximale quand est infini! Ce serait oublier que I dépend également de. 3 Point Maths. Une fonction f( x) de la variable est extrémale (minimale ou maximale) quand la df dérivée ----- par rapport à x est nulle. dx Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

étant une fonction de, sa valeur est extrémale (minimale ou maximale) quand sa dérivée par rapport à est nulle. d ---------- E d ----------------------------------------------- ( r+ ) ( r+ ) ( r + ) d ---------- 0 si r+ 0 d 0 r Cette condition est appelée «adaptation d impédance». Il n existe qu un extremum ; c est un maximum. d Point Maths. Une fonction f( x) est maximale quand la dérivée seconde f ------- par rapport à x est dx négative au point où elle est extrémale. d Vérifions qu il en est bien ainsi pour la puissance : ------------- d --------- < 0. 8 3 E 0 4 0 0 I E -------- et ; donc : 4 r ri 0 I E E -------- 0 4 0 r -------- 0 4 0 La puissance reçue par le générateur de tension s écrit E EI --------. 0 Bilan : + r + E 0 ou E + r. La puissance fournie par le générateur de tension est dissipée par effet Joule, pour moitié dans le générateur réel et pour l autre moitié dans le radiateur. E 5 De façon générale le rendement η est le rapport entre ce que l on récupère (ce qui nous «intéresse») et ce que l on fournit (ce que l on «dépense»). Ici, il s agit de transférer de l énergie électrique du générateur au radiateur. Le rendement s écrit donc : 0 E η -------- -- 50 % I η ------ I -------- ----- -----------. Le rendement est une fonction décroissante de r ; il est E EI E + r maximal quand r 0! Le rendement est alors égal à 00 %. On voit, et le résultat était attendu, que pour obtenir un bon rendement, on doit alimenter un radiateur avec un générateur de faible résistance interne. en conclusion En général, quand on cherche la valeur d un paramètre pour laquelle une grandeur physique est extrémale, il faut calculer la dérivée de la grandeur par rapport au paramètre. Prendre l habitude de confronter ses résultats à une analyse physique élémentaire. Puissance en régime stationnaire 3

retenir l essentiel Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent Conseil Pour savoir si des dipôles sont en série, toujours se poser la question : sont-ils tous parcourus par le même courant? En complément de la loi des nœuds et de la loi mailles, l étude d un circuit électrique en régime permanent se fait à l aide «d outils» dont le choix facilite la résolution de problèmes. Association en série Des dipôles voisins sont en série quand ils ont une seule borne en commun. Ils sont traversés par le même courant... Association de résistors en série... Loi d association N résistors de résistance (,,, N ) associés en série sont équivalents à un seul résistor de résistance éq égale à la somme des résistances de chacun d eux : éq + + + N () Fig. Association série de trois résistors I 3 I éq + + 3 U U U 3 U U + U + U 3 U 4 Démonstration : U U + U + U 3 I+ I+ 3 I ( + + 3 )I éq I. L intensité du courant étant la même en tout point de la branche, rien n est modifié si l on permute les positions des résistors. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Fig. I I I 3 E 3 4 et ne sont pas en série ( I I ). et 3 ne sont pas en série ( I I 3 ). Seuls et 4 sont en série (le courant I qui traverse est le même que celui qui traverse 4 ). On peut appliquer éq + 4. Fig. 3 Attention Si les flèches correspondant à U ou U ne sont pas dans le même sens que celle correspondant à U, il faut mettre un signe dans leurs expressions. Il ne faut pas appliquer ces relations lorsque les deux résistors ne sont pas en série. Par exemple sur le schéma de la figure, et (ou et 3 ) ne forment pas un diviseur de tension. Seuls et 4 forment un diviseur de tension.... Diviseur de tension La figure 3 représente un diviseur de tension : deux résistors en série sont soumis à une tension U. On cherche les tensions U et U aux bornes de chacun d eux. Diviseur de tension U U ------------------ et U U + ------------------ + U Démonstration : U ( + )I I ------------------ + U I U U ---------------- et U + I U.. Association de générateurs en série U U On considère N générateurs associés en série, caractérisés par leurs f.é.m. et résistances internes ( E ; r ), ( E ; r ),, ( E N ; r N ). Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de f.é.m. E éq et de résistance interne r éq. E éq ε E + ε E + + ε k E k + + ε N E N r éq r + r + + r N ε k + si les pôles du générateur ( E k ; r k ) sont placés dans le même sens que les pôles du générateur ( E éq ; r éq ) (la flèche correspondant à E p est dans le même sens que celle de E éq ) ; ε k dans le cas contraire. I U ------------------. + U Fig. 4 emarque : les résistances s associent comme énoncé au... Association série de trois générateurs E ; r E ; r E 3 ; r 3 E éq ; r éq + + + I + I E E E 3 E éq E éq E + E E 3 r éq r + r + r 3 Démonstration : Pour les associer, on les modélise en utilisant la représentation de Thévenin (fig. 5) : 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent 5

retenir l essentiel Fig. 5 Conseil Pour associer des générateurs en série, commencer par modéliser tous les générateurs en représentation de Thévenin. Modélisation de générateurs en série r r r 3 r éq E E E 3 E éq U U E + r I+ E + r I+ r 3 I E 3 E éq E + E E 3 U E éq + r éq I r éq r + r + r 3 I U I.3. Loi de Pouillet Conseil Pour un circuit à une maille, utiliser directement la loi de Pouillet pour calculer l intensité du courant qui y circule. Trouver le résultat en appliquant la loi des mailles fait perdre du temps. Fig. 6 Cette loi permet d obtenir l intensité circulant dans une maille constituée de N résistors (,, N ) et N générateurs caractérisés par leurs f.é.m. et résistances internes ( E ; r ), ( E ; r ),, ( E N ; r N ). ε I E + ε E + + ε k E k + + ε N E -------------------------------------------------------------------------------------------- N r + r + + r N + + + + N ε k + si la flèche correspondant à E k est dans le même sens que celle correspondant à l orientation de I ; ε k dans le cas contraire. Maille constituée de trois générateurs et de trois résistors E ; r E ; r E 3 ; r 3 + + + E E E 3 Attention Ne pas appliquer ces relations pour un circuit constitué de plusieurs mailles. Il est erroné d écrire pour la figure que : I 3 E ------------------ +. 3 3 E E E 3 Pour la figure 6, on obtient I ---------------------------------------------------------------. r + r + r 3 + + + 3 Démonstration : On utilise la représentation de Thévenin pour les générateurs. Les lois d association série pour les générateurs et résistors conduisent au circuit équivalent de la figure 7 : I Fig. 7 eprésentation d un circuit équivalent E éq ; r éq + I E éq U r éq r éq I E éq E + E + E 3 éq + + 3 r éq r + r + r 3 éq éq 6 U éq Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Par exemple, en appliquant la loi des mailles dans le sens anti-horaire, on obtient : U éq + U réq + E éq 0 r éq I et U éq éq I E éq E I -------------------- E E 3 ---------------------------------------------------------------. r éq + éq r + r + r 3 + + + 3 U réq Conseil Pour savoir si des dipôles sont en parallèle, toujours se poser la question : sont-ils tous soumis à la même tension? Association en parallèle Des dipôles sont en parallèle (ou en dérivation) quand tous les dipôles ont leurs deux bornes en commun. Ils sont soumis à la même tension... Association de résistors en parallèle... Loi d association Fig. 8 N résistors de conductance ( G, G,, G N ) associés en parallèles sont équivalents à un seul résistor de conductance G éq égale à la somme des conductances de chacun d eux : G éq G + G + + G N () G éq ------- ----- + ----- + + ------ éq N Association parallèle de trois résistors I I I I G éq G + G + G 3 G éq -------- ------ + ------ + ------ éq 3 I 3 3 U U U U U Démonstration : I I + I + I 3 ----- + ----- + ----- ( G + G + G 3 )U G éq U. La tension U étant la même aux bornes de chaque résistor, rien n est modifié si l on permute les positions des résistors 3 Fig. 9 U U E 3 U 3 4 U 4 n est pas en parallèle avec 3 ( U U 3 ) 3 n est pas en parallèle avec 4 ( U 3 U 4 ) Seuls 3 et l ensemble ( + 4 ) sont en parallèle ( U 3 U + U 4 ) ------- ----- éq + 3 ( ----------------------- + 4 ) 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent 7

retenir l essentiel Fig. 0 Attention Si I ou I ne sont pas dans le sens de I, il faut faire intervenir un signe dans leurs expressions. Il ne faut pas appliquer ces relations lorsque les deux résistors ne sont pas en parallèle. Par exemple sur la figure 9, où et 3 ne forment pas un diviseur de courant, seuls 3 et l ensemble forment un diviseur de courant. ( + 4 )... Diviseur de courant La figure 0 représente un diviseur de courant : deux résistors en parallèle sont soumis à un courant d intensité totale I. On cherche les intensités I et I parcourant chacun d entre eux. Diviseur de courant I I I G I ------------------- G + G G I ------------------- G + G I ------------------ + I ------------------ + Démonstration : U I I et I I + I I ( I I ) I I ------------------ et + ( I I ) I I.. Association de générateurs en parallèle On considère N générateurs associés en parallèle, caractérisés par leurs courants électromoteurs c.é.m. et conductances internes ( I 0 ; g ), ( I 0 ; g ),, ( I 0N ; g N ). Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de c.é.m. I éq et de conductance interne g éq. I éq ε I 0 + ε I 0 + + ε k I 0k + + ε N I 0N g éq g g g N ----- --- + --- + + ---- + + + r éq r r r N ε k + si les pôles du générateur ( E k ; r k ) sont placés dans le même sens que les pôles du générateur ( E éq ; r éq ) (la flèche correspondant à I 0k est dans le même sens que celle de I 0éq ) ; ε k dans le cas contraire. emarque : les conductances s associent comme énoncé au... I I U I ------------------ + Fig. Association parallèle de trois générateurs I 0 ; r 0 + I 0 ; r 0 I 0éq ; r éq + I 03 ; r 03 + + I I 0éq I 0 I 0 + I 03 g éq g g g 3 ----- --- + --- + --- + + r éq r r r 3 8 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Démonstration : Pour les associer, on les modélise en utilisant la représentation de Norton (fig. ) : Fig. Conseil Pour associer des générateurs en parallèle, commencer par modéliser tous les générateurs en représentation de Norton. Cas a) Cas b) r I 0 r I I I r éq I éq I I 0 r 3 I 3 I 0éq U I 03 U Démonstration : U r I r I r 3 I 3 U r éq I éq Cas a) Cas b) I I + I 0 + I I 0 + I 3 + I 03 I I éq + I 0éq U U U U I éq + I 0éq I + I 0 + I I 0 + I 3 + I 03 ----- + I 0éq --- + I 0 + --- I 0 + --- + I 03 Par identification entre les deux membres de l égalité, on obtient : r éq I 0éq +I 0 I 0 + I 03 ----- --- + --- + --- ( g r éq r r r éq g + g + g 3 ) 3 r r r 3 3 Équivalence des représentations de Thévenin et de Norton d un générateur Un générateur de tension de Thévenin (E ; r) est équivalent à un générateur de E courant de Norton ( I 0 ; g) où I 0 -- et g --. r r Fig. 3 a) générateur de tension de Thévenin b) générateur de courant de Norton g -- r E ri 0 r -- g I gu I 0 E --- r I I 0 gu U E ri U 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent 9

retenir l essentiel Démonstration : Figure 3 a) : U E ri I E -- U ---. r r Or figure 3 b) : I I 0 gu. Par identification entre les deux expressions de I, on obtient : E I 0 -- et g --. r r 4 Potentiel et loi des nœuds en termes de potentiels 4.. Tension et potentiel Entre deux points A et B quelconques d un circuit la tension U s écrit sous la forme de la dif- A B AB Fig. 4 férence des potentiels en A et en B : U AB V A V B. La flèche est dirigée du point B U AB vers le point A (fig. 4). Si U AB est positif, V A V B et la flèche tension est dans le sens des potentiels croissants. Les potentiels V sont définis à une constante près, seule la tension ou différence de potentiel, que l on mesure avec un voltmètre, a un sens physique. 4.. Masse d un circuit En électronique, la masse est un point d un circuit à laquelle on attribue arbitrairement un potentiel nul. Il sert de référence des potentiels. Le symbole est : emarque : on appelle aussi «masse» la carcasse métallique d un appareil électrique qui a vocation à être reliée à la terre par l intermédiaire de la prise de terre. La Terre étant conventionellement au potentiel nul, cette carcasse électrique peut servir de référence de potentiel. 4.3. Loi des nœuds en termes de potentiels Théorème de Millman Considérons L résistors de résistance (,, L ) ayant un nœud commun N. Soit ( I, I, I L ) les intensités circulant dans chacun des résistors et orientés vers le point N (fig. 5). Soit V N le potentiel du nœud N et V, V, V L les potentiels de l autre borne du dipôle considéré. La loi des nœuds s exprime alors par : I + I + + I L 0, Fig. 5 V U U L I L I L I 3 N I V N U 3 3 U V V 3 30 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

V et peut s écrire sous la forme : V ------------------ N V ------------------ V N VL + + + ------------------ V N 0, Conseil Il est souvent très utile pour simplifier les calculs, quand aucune masse n apparaît sur un circuit, d en choisir une, placée de façon pertinente, en un point donné du circuit. Cela ne pose aucun problème car le potentiel est défini à une constante près. ou G ( V V N ) + G ( V V N ) + + G L ( V L V N ) 0 (3) emarque : la relation (3) est indépendante des sens d orientation choisis pour les différentes intensités. La relation (3) conduit à l expression du théorème de Millman : V N V V ----- ----- V L + + + ----- L G -------------------------------------------- ou ----- ----- V V + G V + + G L V N ----------------------------------------------------------------- L + + + ----- G + G + + G L L emarque : Si certaines branches arrivant en N contiennent des sources de courant, il suffit de tenir compte de leurs c.é.m. dans l expression de la loi des nœuds. 5 Méthodes d étude d un circuit On considère un circuit comportant plusieurs mailles. Que valent les intensités des courants et tensions dans une ou plusieurs branches? 5.. Loi des nœuds en termes de potentiels Lorsqu un circuit est constitué de plusieurs branches partant de points de potentiel imposé (par exemple une ligne de masse) et aboutissant à un même nœud N, la loi des nœud en terme de potentiel (ou le théorème de Millman) permet d obtenir très rapidement le potentiel de N. On peut alors facilement en déduire l intensité circulant dans chacune des branches. 5.. éduction du circuit La méthode, décrite ci-dessous étape par étape, est particulièrement performante si on cherche uniquement l intensité du courant qui circule dans une branche particulière du circuit (ou la tension à ses bornes). Si l on doit calculer des intensités ou des tensions correspondant à d autres branches, il faut à nouveau appliquer la méthode, branche par branche. Conseil Inclure la branche AB dans les associations de dipôles est une erreur fréquente. Il faut absolument distinguer formellement cette branche du reste du circuit. re étape. Isoler sur le schéma électrique la branche à travers laquelle circule l intensité que l on veut calculer, par exemple en la repérant entre des points A et B et en entourant tout le reste du circuit. Si le sens de I n est pas imposé, le choisir de façon arbitraire. Fig. 6 este du circuit I U AB A Dipôle (ou association série de dipôles) quelconque B 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent 3

retenir l essentiel e étape. Associer l ensemble des générateurs et/ou résistors situés dans le «reste du circuit» (lois d associations série et/ou parallèle des générateurs et/ou résistors) afin de se ramener à un circuit simple (par exemple un résistor ou un générateur en représentation de Norton ou de Thévenin). On dit qu on a «réduit le circuit». 3 e étape. Si le circuit simple obtenu est : un générateur en représentation de Norton, alors il suffit d appliquer la relation du diviseur de courant pour obtenir l intensité I ; un résistor ou bien un générateur en représentation de Thévenin, alors on a un circuit équivalent à une seule maille et il suffit d appliquer la loi de Pouillet pour obtenir l intensité I. Ayant I on peut alors facilement en déduire la tension U AB. emarques Si N cette méthode aboutissant à une inconnue et une équation donne la loi de Pouillet. Cette méthode conduit à des calculs assez lourds dès que N. En pratique, elle est surtout utile lorsque l on cherche l ensemble des intensités et tensions de chaque branche. 5.3. Utilisation directe des lois de Kirchhoff On englobe sous le nom de lois de Kirchhoff la loi des nœuds et la loi des mailles. Cette méthode conduit à des calculs lourds et ne doit être appliquée que si les méthodes précédentes ne sont pas applicables. re étape. eprésenter tous les générateurs en représentation de Thévenin : on a alors un circuit à N mailles indépendantes. e étape. À chaque maille, associer un courant I k orienté de façon arbitraire. On a ainsi N inconnues. 3 e étape. Appliquer la loi des nœuds à chaque nœud. On obtient l intensité qui circule dans chaque branche en fonction des N différents I k. 4 e étape. Appliquer la loi des mailles pour chaque maille. On obtient N équations. 5 e étape. ésoudre le système de N équations à N inconnues. 3 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

savoir résoudre les exercices Étude d un circuit simple par trois méthodes On considère le circuit suivant. Déterminer l intensité du courant qui circule dans les diverses branches en utilisant d abord la loi des nœuds en terme de potentiel, la méthode de réduction du circuit et enfin la méthode d utilisation directe des lois de Kirchoff. Conclure. r E résolution méthodique On choisit un sens arbitraire pour les différentes intensités circulant dans les trois branches, mais les choix retenus ici sont assez «naturels», c est-à-dire que l on s attend, lorsque E 0, à des valeurs positives pour I, I et I r. Méthode : loi des nœuds en termes de potentiels Aucune masse n apparaît sur le schéma de l énoncé, il faut en placer une en un point donné afin de simplifier les calculs. Il va de soi que le résultat obtenu est indépendant du point choisi. On peut prendre comme référence le potentiel du fil représenté par la ligne inférieure du schéma (masse) : V M 0 et E V A V M V A. Le théorème de Millman donne directement : V N V ------ M On en déduit : V M V A + ------ + ----- r ---------------------------------- ----- + -- + ----- r V N Er ( ) ------------------------------------------. r+ r+ V I N Er ------ --------------------------------------- r+ r+ V I N E r ------ ------------------------------------------ r+ r+ V N E I --------------- Er ( + ) ------------------------------------------ r + r+ I N I r r E M A I Prendre l habitude de vérifier, quand on a une expression sous la forme d une fraction, que le dénominateur ne contient pas de différences. En effet, dans ce cas, pour des valeurs particulières de résistances, on pourrait aboutir à une valeur infinie, ce qui n a pas de sens physique. 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent 33

savoir résoudre les exercices Méthode : réduction du circuit Calcul de I On isole la branche NM dans laquelle circule I (voir schéma ci-dessous). On cherche à transformer la partie du circuit encadrée en une seule branche. On reconnaît l association parallèle de deux résistors. r En introduisant e --------------, r+ on a l équivalence ci-dessous entre les deux circuits. N N r E e E M I M I Il suffit alors d appliquer la loi de Pouillet et on obtient : I E ---------------------- I + éq Er ( + ) ----------------------------------------- ( r+ ) + r En réduisant le circuit, on a perdu l information concernant I, différemment pour avoir I. Calcul de I On isole donc la branche CM dans laquelle circule I : il faut donc le réduire Quand on réduit un circuit, il faut toujours se poser la question : en associant tel ou tel dipôle, quelle est l information perdue? En ai-je besoin? C C I I r E r E ---- M M Figure Figure On reconnaît (fig. ) dans la partie du circuit qui alimente le dipôle CM un générateur de force électromotrice E et de résistance interne (représentation de Thévenin encadrée en pointillés) en parallèle avec le résistor r. Puisqu ils sont en parallèle, il faut utiliser la représentation de Norton du générateur pour les associer. C est sous cette forme que ce dernier apparaît sur la fig. dans le cadre en pointillés. Quand un générateur est en parallèle avec un autre dipôle, il faut utiliser la représentation de Norton. 34 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

On associe les deux résistors en parallèle (fig. 3), r soit e --------------. r+ C Il y a alors deux possibilités. Première possibilité : on applique la formule du diviseur de courant, ce qui conduit à : I E ----- G ------------------- E ----- e r -------------------- avec G e + G e + e -------------- r+ I Er r ------------------------------------------- + + r. I M e Figure 3 E ---- Deuxième possibilité : on poursuit la réduction du circuit à une seule maille en transformant la représentation de Norton du générateur encadré en pointillés sur la figure 3 en représentation de Thévenin (fig. 4). Il suffit alors d appliquer la loi de Pouillet : I E e ------------ r --------------------, avec e + e --------------. r+ I Er ------------------------------------------- r + + r Calcul de I r Il ne faut pas reprendre la méthode générale utilisée pour I et pour I, pour ce circuit à deux mailles indépendantes. La simple application de la loi des nœuds en N donne : E I r I I ------------------------------------------- r+ r+ I C M e Figure 4 E e --------- Méthode 3 : utilisation directe des lois de Kirchoff Le circuit est composé de deux mailles indépendantes, par exemple ( ; r) et ( r ; ; E ). On pourrait penser à tort que le circuit est constitué de trois mailles en considérant aussi la maille ( ; ; E) mais cette dernière n est pas indépendante des deux autres. En revanche, au lieu de choisir les deux mailles ( ; r) et ( r ; ; E), on pourrait tout aussi bien choisir ( ; r) et ( ; ; E) ou encore ( r ; ; E) et ( ; ; E), cela ne changerait rien au résultat. Méthode : re étape. La représentation de Thévenin est déjà utilisée pour le générateur ( E ; ) e étape. Les sens arbitraires pour les intensités ont été choisis précédemment. 3 e étape. Appliquer la loi des nœuds au point N, ce qui donne l intensité du courant I r dans la branche contenant r. 4 e étape. Choisir un sens pour les flèches de tensions, un sens de parcours pour chacune des deux mailles et appliquer la loi des mailles. 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent 35

savoir résoudre les exercices U I ; U I ; U r ri ( I ) U N I I U () r U r () E Maille () : U E + U r 0 I + ri ( I ) E 0 Maille () : 0 U U r I ri ( I ) 0 () I () I 5 e étape. ésoudre le système de deux équations à deux inconnues. ri + E () I -----------------. + r En injectant cette expression de dans l expression (), on arrive à : Et on en déduit : I I Er --------------------------------------- r + + r E(r+ I ) --------------------------------------- +r + r E I r I I ------------------------------------------- r+ r+ emarque : Les trois méthodes conduisent aux mêmes résultats. en conclusion Vérifier, quand on a une expression sous la forme d une fraction, que le dénominateur ne contient pas de différences. Quand on réduit un circuit, il faut toujours se poser la question : en associant tel ou tel dipôle, quelle est l information perdue? En ai-je besoin? La loi des nœuds en terme de potentiel est bien adaptée ici pour trouver rapidement l ensemble des intensités recherchées. La réduction du circuit est une méthode lourde ici car on cherche I et I. Toutefois si l on ne cherchait que l une ou l autre de ces valeurs, cette méthode nécessite moins de calculs que l utilisation directe des lois de Kirchoff. 36 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Étude d un circuit comportant un potentiomètre Considérons un réseau constitué de générateurs A idéaux de f.é.m. E et E alimentant une même I résistance r. Le circuit est fermé par l intermédiaire d un potentiomètre CD et muni d un cur- r E seur B réalisant un contact mobile dont la position est caractérisée par un paramètre réel B x [ 0 ; ]. La résistance totale de la branche C C et D est, le curseur sépare la partie CB (résistance x), de la partie BD (résistance ( x)). Calculer l intensité I du courant circulant dans la branche centrale du x ( x ) circuit. D E résolution méthodique On ne cherche que la valeur d une seule intensité, la méthode de réduction du circuit est donc bien adaptée. On pourrait aussi utiliser la loi des nœuds en terme de potentiel mais nous ne la traitons pas dans cette correction. On isole tout d abord la branche AB à travers laquelle circule l intensité que l on veut calculer. Pour cela, on retrace le circuit en mettant clairement en évidence les associations en parallèle et en série. On reconnaît en effet les associations suivantes : le générateur de f.é.m. E et le résistor x sont en série ; le générateur de f.é.m. E et le résistor ( x) sont en série ; les générateurs de Thévenin ( E ; x) et ( E ; ( x)) sont en parallèle. Prendre l habitude de refaire les schémas pour : faire apparaître clairement les associations série et parallèle ; distinguer clairement la branche AB du réseau qui l alimente. E A G E r E C D x I ( x ) F B H 3 Méthodes d étude d un circuit électrique en régime permanent 37

savoir résoudre les exercices Pour mieux séparer la branche AB du reste du circuit, on permute les positions des branches AB et GH, cela facilite le travail de réduction à un générateur équivalent du réseau alimentant AB. E G A E E r C D x ( x ) I F H B On peut positionner les trois branches en parallèle EF, AB et GH dans n importe quel ordre car cela ne modifie pas les propriétés du circuit. En effet, les points E, A et G sont tous les trois au même potentiel, de même que F, B et H. Il est souvent utile de le faire. Puisque les générateurs de Thévenin ( E ; x) et ( E ; ( x)) sont en parallèle, on peut directement les associer en utilisant les formules vues en cours ; ces deux générateurs sont équivalents à un seul générateur de c.é.m : et de résistance interne : E E I 0éq ------ x ( --------------------- x), I 0éq r éq A r I B éq ( x) ( x) --------------------------------- x + ( x) x ( x ). On reconnaît un diviseur de courant, d où : I I 0éq éq ---------------- + r E I ( x) xe ------------------------------------- x( x) + r éq en conclusion eprésenter différemment un schéma électrique pour faciliter les associations de dipôles. () Quand un générateur est en série avec un autre dipôle, il faut utiliser la représentation de Thévenin du générateur pour les associer. () Quand un générateur est en parallèle avec un autre dipôle, il faut utiliser la représentation de Norton du générateur pour les associer. 38 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

retenir l essentiel Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension Quand on connecte les différents éléments d un circuit, les grandeurs électriques telles que l intensité et la tension évoluent au cours du temps. On dit que le régime est transitoire. Il dépend des conditions initiales. Après une durée suffisamment longue, théoriquement infinie, l évolution est indépendante des conditions initiales ; le régime est permanent. Un régime permanent continu est un régime indépendant du temps. Les grandeurs constantes seront notées en lettres majuscules ; les grandeurs variables seront notées en lettres minuscules. Circuit C série.. Caractéristiques d un condensateur Un condensateur est un dipôle constitué de deux conducteurs (les armatures) séparés par un matériau isolant. Les condensateurs sont faiblement conducteurs. Dans les exercices, en l absence d indication particulière, un condensateur est considéré comme idéal, c est-à-dire qu aucun courant ne traverse le matériau isolant. La capacité C d un condensateur lie la tension aux bornes et la charge des armatures. 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 39

retenir l essentiel emarque On peut retenir la relation sous la forme q A Cu AB, équivalente à q B Cu BA. q charge de l armature A en coulomb (C). A B u v A v B tension aux bornes en volt (V). i q q q Cu C capacité du condensateur en farad (F). En convention récepteur : u dq q charge d une armature en coulomb (C). i ----- C----- du dt dt i intensité du courant arrivant sur l armature portant la charge q en ampère (A). Un condensateur stocke de l énergie électrique entre ses armatures. Le stockage est réversible. u tension aux bornes du condensateur en volt (V). w C --Cu énergie stockée dans le condensateur en joule ( J). -- q ---- w C C C capacité du condensateur en farad (F). Démonstration de l expression de l énergie à partir de la puissance p reçue : dw C p ui ---------- dw dt C uc----- du C---- d u ----- w dt dt C --Cu. (L énergie est nulle quand la tension est nulle.) Une variation instantanée de l énergie stockée impliquerait une puissance infinie, ce qui est physiquement impossible. L énergie, la tension aux bornes et la charge d un condensateur sont des fonctions continues du temps ; elles ne peuvent pas subir de discontinuité... Circuit C série soumis à un échelon de tension... Montage d étude L interrupteur K est dans la position (a) (fig. ). L intensité du courant et la tension aux bornes du condensateur sont nulles. Fig. a) Circuit C soumis à un échelon de tension (interrupteur dans la position (b)). b) Échelon de tension. (b) e (a) K i E E e C u O t 40... Échelon de tension Quand on bascule l interrupteur K de la position (a) à la position (b), la tension e passe instantanément de la valeur nulle à la valeur E. On dit que le circuit C est soumis à un échelon de tension (figure b)). Dans la suite nous supposerons que l interrupteur bascule à la date t 0. À la date t 0, il est dans la position (a). À la date t 0 +, il est dans la position (b). Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

emarque La constante τ est aussi appelée temps de relaxation, ou durée (ou temps) caractéristique...3. Équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur. Constante de temps Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s écrit : i + u E. L équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur d un circuit C série soumis à un échelon de tension E est : τ ----- du + u E. dt τ C est la constante de temps du circuit C...4. ésolution de l équation différentielle. Évolution de la tension L équation différentielle de la tension est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre non nul. Point méthode. ésolution de l équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre non nul.. ésoudre l équation différentielle sans second membre en introduisant une constante.. echercher la solution particulière de l équation différentielle complète. 3. Écrire la solution générale de l équation différentielle complète avec la constante. 4. Déterminer la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir : continuité de la tension aux bornes d un condensateur ; continuité de l intensité du courant qui traverse une bobine. APPLICATION DE LA MÉTHODE. ésolution de l équation différentielle sans second membre Point maths. Écrire l équation caractéristique de l équation différentielle : τr + 0. Exprimer la solution r de l équation caractéristique : r --. τ Exprimer la solution en introduisant une constante : u ssm t -, u ssm Ae rt Ae τ avec A constante. τ----- du + u 0. dt Attention Il faut d abord écrire la solution complète de l équation différentielle avant de déterminer la constante.. Solution particulière u p de l équation différentielle complète : u p E. 3. Solution générale u u ssm + u p de l équation différentielle complète : t -- τ u Ae + E. 4. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de la tension aux bornes du condensateur : u t 0 + u t 0. Il vient : A+ E 0 A E. La solution de l équation différentielle complète s écrit : t -- u E e τ...5. Courbe normalisée de l évolution de la tension t u Introduisons les variables réduites (sans dimension) x - et y --- ; on dit qu on effectue τ E une réduction canonique, ou que les grandeurs sont normalisées. 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 4

retenir l essentiel dy L équation différentielle normalisée est ----- + y. La solution normalisée est y e dx x La courbe normalisée donnant y en fonction de x est donnée (figure a). dy Pente à l origine de la courbe normalisée : -----. dx 0. i..6. Courbe normalisée de l évolution de l intensité t C du E ----- --- e - τ i. La courbe normalisée est celle de ----- t en fonction de - (figure 3b). dt E τ Fig. Courbes normalisées des évolutions de la tension (a) et de l intensité (b) pour un circuit C soumis à un échelon de tension. a) b) u --- i ----- E E 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0, t - τ 0 4 6 8 0 4 6 8 a) emarquer la continuité de la tension à t 0. b) emarquer la discontinuité de l intensité à t 0. 0,4 0, t - τ u ( 5τ)..7. égime permanent continu Le régime permanent continu est atteint au bout d une durée infinie. En réalité il est pratiquement atteint, à % près, au bout d une durée 5τ puisque --------- E 0,99. La constante de temps caractérise l évolution du régime transitoire. En régime permanent continu : E ; I p 0 ; Q p CE. U p Du point de vue des courants et des tensions, un condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert en régime permanent continu (figure 3). Fig. 3 I 0 p I 0 p U constante p U constante p Un condensateur en régime permanent continu est équivalent à un interrupteur ouvert. 4 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

..8. Bilan énergétique Énergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire : W C --CU p --Cu t 0 --CE. Énergie fournie par la source pendant le régime transitoire : W E Eidt EQ p CE. 0 Énergie dissipée par effet Joule dans le résistor pendant le régime transitoire : W W E W C --CE. En régime permanent continu, le courant est nul donc la puissance reçue par le circuit C est nulle..3. égime libre du circuit C Le régime permanent continu étant atteint, la tension e passe instantanément de la valeur E à la valeur nulle quand on bascule brutalement l interrupteur K de la position (b) à la position (a). On dit que le circuit C est en régime libre (fig. 4). Soit t 0 la date du basculement. L équation différentielle de la tension u se réduit à : τ------ du + u 0, dt t t --- dont la solution est u Ee τ E. L intensité est i ---e --- τ. En régime permanent continu : U p 0 ; I p 0 ; Q p 0. Toute l énergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire a été dissipée par effet Joule dans le résistor. Fig. 4 Courbes normalisées des évolutions de la tension (a) et de l intensité (b) d un circuit C en régime libre. a) b) u i --- ----- E E 0 0,8 0, 4 6 8 t ---- τ 0,6 0,4 0,4 0,6 0, 0,8 0 4 6 8 t ---- τ a) emarquer la continuité de la tension à t 0. b) emarquer la discontinuité de l intensité à t 0. 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 43

retenir l essentiel Circuit L série.. Caractéristiques d une bobine Une bobine est un dipôle constitué d un enroulement de fil conducteur autour d un matériau magnétique. Elle a toujours une résistance, celle du fil. Une bobine idéale est une bobine dont on peut négliger la résistance ; elle est caractérisée par son inductance propre. Une bobine réelle d inductance L et de résistance r peut être considérée comme l association en série d une bobine idéale d inductance L et d un résistor de résistance r. i L r En l absence d indication dans un exercice sur la valeur u de sa résistance, une bobine est considérée comme idéale. En convention récepteur : i intensité du courant traversant la bobine en ampère (A). u tension aux bornes en volt (V). u ri+ L di ---- L inductance propre de la bobine en henry (H). dt r résistance de la bobine en ohm (Ω). Le passage du courant provoque le stockage d énergie magnétique dans la bobine. Le stockage est réversible. i intensité du courant traversant la bobine en ampère (A). w L --Li énergie stockée dans la bobine en joule ( J). w L L inductance propre de la bobine en henry (H). Démonstration de l expression de l énergie à partir de la puissance p reçue : dw p ui ---------- L dw dt L Li di ---- L ---- d i ---- w dt dt L --Li. (L énergie est nulle quand le courant est nul.) Une variation instantanée de l énergie stockée impliquerait une puissance infinie, ce qui est physiquement impossible. L énergie et l intensité du courant qui traverse une bobine sont des fonctions continues du temps ; elles ne peuvent pas subir de discontinuité... Circuit L série soumis à un échelon de tension 44... Équation différentielle de l intensité. Constante de temps Supposons qu à date t 0, la tension e passe de Fig. 5 la valeur nulle à la valeur E. Le circuit L (figure 5) est alors soumis à un échelon de tension. Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s écrit : e i + u E, d où L di ---- + i E. dt Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa i L u

L équation différentielle de l intensité du courant qui traverse la bobine d un circuit L série soumis à un échelon de tension E est : τ di E ---- + i ---. dt L τ --- est la constante de temps du circuit LC.... Évolution de l intensité qui traverse la bobine idéale Appliquons la méthode de résolution de l équation différentielle donnée au paragraphe..4. (point méthode ).. Solution de l équation différentielle sans second membre : t -, i ssm Be rt Be τ avec B cte.. Solution particulière de l équation différentielle complète : E i p ---. 3. Solution générale de l équation différentielle complète : t - E i Be τ + ---. 4. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de l intensité du courant qui traverse la bobine : i t 0 + i t 0 B E --- E + 0 B ---. La solution de l équation différentielle complète s écrit : i E - --- e τ. t..3. Évolution de la tension aux bornes de la bobine idéale L évolution de la tension aux bornes est : u L di ---- E e dt t - τ...4. Courbes normalisées i t La courbe normalisée de l intensité est celle donnant ----- en fonction de - : E τ i - ----- e τ. E u t La courbe normalisée de la tension est celle donnant --- en fonction de - : E τ u --- e E t - τ. t 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 45

retenir l essentiel Fig. 6 Évolutions de l intensité (a) et de la tension (b) pour un circuit LC soumis à un échelon de tension. a) i b) u ----- --- E E 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0, 0, 0 4 6 t 0 4 6 - τ a) emarquer la continuité de l intensité à la date t 0. b) emarquer la discontinuité de la tension à la date t 0. t - τ..5. égime permanent continu Le régime permanent continu est atteint au bout d une durée infinie. En réalité, il est pratiquement atteint au bout d une durée 5τ puisque ------------- 0,99. L Le temps de relaxation τ --- donne un ordre de grandeur de la durée réelle du régime transitoire du circuit L soumis à un échelon de tension. E En régime permanent continu : U p 0 et I p ---. Du point de vue des courants et des tensions, une bobine idéale est équivalente à un interrupteur fermé en régime permanent continu. I p constante U p 0 i ( 5τ) E I p constante U p 0..6. Bilan énergétique Énergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire s écrit : W L --LI p --Li t 0 + --LI p. En régime permanent continu : la puissance reçue par la bobine est nulle : P Lp U p I p 0 ; la puissance P Ep EI p fournie par le générateur est dissipée par effet Joule dans le résistor : E P p I p I p --- EI p. 46.3. égime libre du circuit L Le régime permanent continu étant atteint, la tension e passe instantanément de la valeur E à la valeur nulle quand on éteint la source ; le circuit est en régime libre. Soit t 0 la date de l extinction. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

L équation différentielle de l intensité se réduit à : t τ------- di + i 0, dt E dont la solution est i --- e --- τ. La tension est u L di --- ---- Ee τ. dt En régime permanent continu : U p 0 et I p 0. Toute l énergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire a été dissipée par effet Joule dans le résistor. t Fig. 7 Courbes normalisées des évolutions de l intensité (a) et de la tension (b) d un circuit L en régime libre. a) b) i u ----- --- E E 4 6 8 0 t ---- τ 0,8 0, 0,6 0,4 0,4 0,6 0, 0 4 6 8 a) emarquer la continuité de l intensité à t 0. b) emarquer la discontinuité de la tension à t 0. t ---- τ 0,8 3 Circuit LC série 3.. Équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur Supposons qu à date t 0, la tension e passe de la valeur nulle à la valeur E. Le circuit LC (Fig. 8) est alors soumis à un échelon de tension. Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s écrit : D où i + L di ---- + u E, avec i C----- du. dt dt d u -------- dt --- du u + ----- + ------ L dt LC E ------. LC Fig. 8 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension e C i L u 47

retenir l essentiel L équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur d un circuit LC série soumis à un échelon de tension E est : d u du -------- + σω ou dt 0 ----- + ω dt 0 u ω d 0 E u ω 0 -------- + ----- ----- du + ω dt Q dt 0 u ω 0 E. ω 0 ----------- est la pulsation propre du circuit LC. Elle s exprime en rad s. LC T 0 π LC est la période propre du circuit LC. Elle s exprime en s. C σ ------------- --- -- est le coefficient d amortissement du circuit LC. C est un Lω 0 L paramètre sans dimension (nombre). On définit aussi le facteur de qualité Q par : Lω Q 0 L --------- -------------- --- -- ------. C ω 0 C σ 3.. ésolution l équation différentielle réduite éduction canonique de l équation différentielle du du En posant x ω 0 t, il vient : ----- ----- dx du d ----- ω et dt dx dt 0 ----- u d -------- ---- du ω dx dt dt 0 ----- d ω u dx 0 --------. dx u En posant aussi y ---, la réduction de l équation différentielle conduit à : E d y -------- + σ ----- dy + y. dx dx L équation différentielle obtenue est une équation différentielle normalisée ; x et y sont des variables sans dimension. Point méthode. ésolution de l équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants et à second membre non nul.. ésoudre l équation différentielle sans second membre en introduisant deux constantes.. echercher la solution particulière de l équation différentielle complète. 3. Écrire la solution générale de l équation différentielle complète avec les constantes. 4. Déterminer les constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir : continuité de la tension aux bornes d un condensateur ; continuité de l intensité du courant qui traverse une bobine. APPLICATION DE LA MÉTHODE. ésolution de l équation différentielle réduite sans second membre d y -------- + σ ----- dy + y 0. dx dx 48 Point maths. Écrire l équation caractéristique de l équation différentielle : r + σr + 0. Écrire le discriminant réduit de l équation caractéristique : ( σ ). Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Si Si σ σ Q --, Q --, le discriminant est positif ; le régime est apériodique. le discriminant est négatif ; le régime est pseudo-périodique. emarque Le régime critique est un cas limite sans réalité physique car la valeur de σ ne peut être exactement égale à. Si σ Q le discriminant est nul ; le régime est critique. --, Exprimer la solution de l équation caractéristique. Si σ, les solutions sont réelles : r σ + et r σ. Si σ, les solutions sont complexes. On pose : j avec j. D où : r σ + j et r σ + j Si σ, la solution est double : r r. Exprimer la solution de l équation différentielle sans second membre. Si σ, alors y ssm A e r x + A e r x avec A et A constantes réelles. Si σ, alors y ssm e σx [ B cos( x) + B sin( x) ] avec B et B constantes réelles, ou B e σx cos( x + ϕ) avec B et ϕ constantes réelles. y ssm Si σ, alors y ssm e x [ C x+ C ] avec C et C constantes réelles.. Solution particulière de l équation différentielle complète : 3. Solution générale de l équation complète. a. égime apériodique ( σ ) y + A e r x + A e r x. b. égime pseudo-périodique ( σ ) y p. y + e σx [ B cos( x) + B sin( x) ] ou y + B e σx cos( x + ϕ). c. égime critique ( σ ) y + e x [ C x + C ]. 4. Conditions initiales imposées au circuit À la fermeture de l interrupteur (date t 0 + ) : la tension aux bornes du condensateur ne subit pas de discontinuité. S il est initialement déchargé, alors : u ( 0) 0. D où : y ( 0) 0. l intensité du courant qui traverse la bobine ne subit pas de discontinuité donc : ( ) C du dy ----- 0 ----- 0. dt dx i 0 ( 0) ( 0) On en déduit les valeurs des constantes dans chacun des cas. a. égime apériodique ( ) + A + A 0 ; y 0 dy ----- dx ( 0) r A + r A 0 r r A -------------- ; A r r --------------. r r 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 49

retenir l essentiel b. égime pseudo-périodique y 0 ( ) + B 0 ; c. égime critique σ B ; B ------------------. σ dy ( ) + C 0 ; ----- C dx + C 0 ( 0) C. y 0 La solution complète de l équation différentielle s écrit : a. égime apériodique y σ + σ ----------------------------e σ dy ----- dx C ( 0) ( σ + σ )x σ σb + σ ; B 0 + σ --------------------------------- e σ σ ( σ )x. b. égime pseudo-périodique y e σx σ σ cos( x) + ------------------ sin( σ σ x). c. égime critique 3.3. Évolution de la tension et de l intensité a. égime apériodique y e x [ x + ]. u Il suffit de remplacer, dans les équations précédentes, x par ω 0 t et y par ---. E σ Q -- u σ + σ ; --- ( ----------------------------e σ + σ )ω 0 t σ + σ + + --------------------------------- e σ E σ σ ( σ )ω t 0. b. égime pseudo-périodique σ Q -- u ; --- e σω 0 t ω E 0 σ σ cos( t ) + ------------------ sin( ω 0 σ t ) σ L expression fait apparaître la pseudo-pulsation : Pseudo-période : T ω ω 0 σ. π π ----- ------------------------- ω ω 0 σ T 0 ------------------. σ c. égime critique 50 σ Q ; -- u --- e ω 0 t [ ω E 0 t + ]. L expression de l intensité se déduit de celle de la tension par la relation i C----- du. dt Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

3.4. ésistance critique La valeur limite σ correspond à la valeur critique C de : C L C --. Le régime est apériodique si C (amortissement important). Le régime est pseudo-périodique si C (faible amortissement). Le régime est critique si (amortissement critique, cas limite sans réalité physique). C 3.5. Durée du régime transitoire ( σ + σ )ω 0 t En régime apériodique, le terme e dont la décroissance est la plus lente donne la durée caractéristique du régime apériodique : τ --------------------------------------------. ( σ + σ )ω 0 En régime pseudo-périodique et en régime critique, c est l enveloppe exponentielle e σ ω0t qui donne la durée caractéristique du régime : τ Q --------- ------. σω 0 ω 0 3.6. égime permanent continu En régime permanent continu : E ; U Lp 0 ; I p 0. U Cp Fig. 9 3.7. Courbes normalisées Évolutions de la tension (a) et de l intensité (b) pour un circuit LC soumis à un échelon de tension. a) u i --- b) --------------- E CEω 0,4, 0,6 0,8 0,6 0,4 0, 0,4 0 5 0 5 0 0, 0, 0 5 0 5 0 ω 0 t En trait fin, σ 0,5 (régime pseudo-périodique) ; en points, σ 3,5 (régime apériodique) ; en pointillés, σ (régime critique). ω 0 t 3.8. Bilan énergétique Énergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire : W C --CU p --Cu t 0 --CE. Énergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire : W L --LI p --Li t 0 0. 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 5

retenir l essentiel Énergie fournie par la source pendant le régime transitoire : W E Ei dt E i dt EC du CE. 0 0 0 Énergie dissipée par effet Joule dans le résistor pendant le régime transitoire : W W E W C W L --CE. En régime permanent continu, le courant est nul, donc la puissance reçue par le circuit LC est nulle. 4 Établissement d un régime périodique forcé dans un circuit soumis à une tension périodique Lorsqu on soumet un circuit C, L, ou LC à une tension périodique de période T, un régime permanent périodique de même période T apparaît, après un régime transitoire de durée caractéristique du circuit ; on dit que c est un régime périodique forcé. Fig. 0 4.. Circuit C soumis à une tension en créneaux Une tension en créneaux est une tension périodique qui prend une valeur constante pendant la première demi-période puis une valeur nulle pendant la seconde (courbe en couleur sur la figure 0). La figure montre qu après un régime transitoire, un régime permanent périodique de même période que celle de la tension en créneaux est établi. On dit qu il s agit d un régime périodique forcé car la source impose sa période au circuit. Le régime est établi quand lorsque les tensions extrêmes sont constantes ; la frontière entre les deux régimes n est pas nettement marquée. Tension (en noir) aux bornes du condensateur d un circuit C soumis à une tension en créneaux (en couleur). 0,8 0,6 0,4 0, 0 0,0 0,04 t 0,06 0,08 0, égime transitoire égime périodique forcé 5 4.. Circuit LC soumis à une tension alternative sinusoïdale La figure montre qu après le régime transitoire le régime permanent périodique est établi. Il est alternatif sinusoïdal, de même période que celle de la tension source. On dit que le régime est sinusoïdal forcé ; son étude sera faite au prochain chapitre. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Fig. Tension (en noir) aux bornes du condensateur d un circuit LC soumis à une tension sinusoïdale (en couleur). 5 0 5 0 5 0 0,0 0,04 0,06 0,08 0, 0, 0,4 t 5 égime transitoire égime sinusoïdal forcé 5 Approximation des régimes quasi permanents (AQP) Considérons le circuit de la figure. Fig. Le condensateur C est initialement déchargé. Après la fermeture de l interrupteur K, les ampèremètres indiquent-ils, à chaque instant, la même valeur de l intensité? L expérience montre que l intensité i Q () t est en retard sur l intensité i p () t i Q () t i p ( t θ). Le retard θ vide par la relation : PQ θ -------, avec c : On dit que le courant se propage dans le circuit. est lié à la distance PQ et à célérité c des ondes électromagnétiques dans le c 3,0 0 8 ms Une étude complète doit être menée dans le cadre de l électromagnétisme ; elle sera abordée en deuxième année. La durée de propagation est négligeable si elle est très petite devant les durées caractéristiques d un régime (temps de relaxation, période) ; on dit alors que le régime est quasi permanent, ou quasi stationnaire. L approximation des régimes quasi permanents (AQP), ou approximation des régimes quasi stationnaires (AQS) consiste à négliger les effets liés à la propagation des courants et des tensions ; l intensité est la même en tous les points d une branche d un circuit. L approximation est justifiée pour tous les circuits étudiés en électrocinétique. K E P Q A A i P (t ) i Q (t ). C 4 Circuits C, L, LC série soumis à un échelon de tension 53

savoir résoudre les exercices égime libre d un circuit C On considère un condensateur de capacité C,0 µf, dont l armature supérieure porte la charge Q 0 0 µc, placée dans le circuit suivant. Le résistor a une résistance 0 kω. Quelle est la charge portée l armature inférieure? K Quelle est la tension U 0 aux bornes du condensateur? 3 Quelle est l énergie W C stockée par le condensateur? À la date t 0, on ferme l interrupteur K. 4 Quelles sont les valeurs u t 0 + de la tension et de l intensité? i t 0 + Q 0 C u i 5 Quelles sont les valeurs U p de la tension et I p de l intensité en régime permanent? 6 Calculer la constante de temps τ du circuit. 7 Établir l équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur. 8 ésoudre l équation différentielle. En déduire les expressions ut () et it () de la tension et du courant. 9 Tracer la courbe donnant la tension ut () en fonction du temps. 0 Déterminer la date θ à laquelle la tension est égale à % de la tension initiale. θ Exprimer le rapport -- et conclure. τ résolution méthodique Un condensateur déchargé est neutre. Quand on le charge, des charges opposées s accumulent sur les armatures ; le condensateur reste neutre. Une des armatures porte la charge 0 µc, l autre porte la charge : Q 0 0 µc Q 0 Avec l orientation imposée par le schéma, la tension est positive : Q 0 CU 0 U 0 0 V 54 3 W C --CU 0 --Q 0 U 0 50 µj Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

4 La tension aux bornes d un condensateur est une fonc- K tion continue, donc : u t 0 + u t 0 U 0 0 V i Appliquons la loi d Ohm au résistor : C u i t 0 + u t 0 + -------------,0 ma 5 Le condensateur se décharge dans le résistor ; son énergie y est dissipée par effet Joule. U En régime permanent : U p 0 (car W Cp est nulle ) et I p p ------ 0 6 τ C 0 ms 7 Appliquons la loi d Ohm au résistor : u i. Soit dq la variation de la charge de l armature supérieure pendant la durée dt. Il vient : dq i ----- C du -----, d où : τ du ----- + u 0 dt dt dt La relation i C----- du ne s applique que si le condensateur est en convention récepteur. En dt du convention générateur il faut écrire : i C-----. dt 8 L équation précédente est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre nul. Appliquons la méthode donnée au. de «etenir l essentiel» (point méthode ). a. Solution de l équation différentielle : u Ae τ avec A cte. b. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de la tension : u t 0 + u t 0 U 0 U 0 Ae 0 A. c. Solution complète de l équation différentielle : t - u U 0 e t - τ ; ut () 0e 00t ( V) La résolution d une équation différentielle du premier ordre sans second membre impose l introduction d une constante. Il faut écrire la solution complète de l équation différentielle avant de déterminer la constante. La constante est déterminée en écrivant la continuité, selon le cas : de la tension aux bornes des condensateurs ; ou de l intensité du courant qui traverse les bobines. 4 Circuits C, L et LC série soumis à un échelon de tension 55

savoir résoudre les exercices On en déduit l intensité en appliquant la loi d Ohm : i u --- U ----- 0 e t - τ A.N. : i() t,0e 00t ( ma). 9 La courbe est celle tracée ci-contre. 0 La date θ à laquelle la tension est égale à % de la tension initiale est telle que : 0e 00θ 0 e00θ 0 u θ θ 0 ln( 0 ) 0 ln( 0) 4,6 0 s θ -- 5 τ La décharge est pratiquement terminée à la date θ 5τ. u( V) 0 8 6 4 0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 t( s) La constante de temps donne un ordre de grandeur de la durée réelle d un régime transitoire du premier ordre. Considérons les valeurs suivantes : u u u ----- 37 % ; ----- 3 % ; ----- U 0 U t τ 0 U t τ 0 t On voit que la décharge est pratiquement terminée à la date t 3τ. 3τ 5 %. en conclusion Faire attention aux conventions d orientation des dipôles. La relation i C du ------ pour le condensateur, et la relation u L---- di pour la bobine dt dt ne s appliquent que si ces dipôles sont en convention récepteur. du En convention générateur il faut écrire : i C------ et u L---- di. dt dt La résolution d une équation différentielle du premier ordre sans second membre impose l introduction d une constante. Il faut écrire la solution complète de l équation différentielle avant de déterminer la constante. La constante est déterminée en écrivant la continuité, selon le cas : de la tension aux bornes des condensateurs ; ou de l intensité du courant qui traverse les bobines. La constante de temps τ donne un ordre de grandeur de la durée d un régime transitoire du premier ordre. Le régime permanent est atteint à % près au bout d une durée égale à 5τ. 56 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Circuit LC parallèle On considère le circuit suivant. Données : C,0 µf ; L 0,0 H ;,0 kω. L armature supérieure porte la charge Q 0 0 µc. À la date t 0, on ouvre l interrupteur K. Quelle est la tension U 0 aux bornes du condensateur avant la fermeture de l interrupteur? i K i L i Quelles sont les valeurs u 0 +, i 0 +, i L0 + et i 0 + de la tension et des intensités après fermeture de l interrupteur? L C u 3 Établir l équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur. d 4 Mettre l équation différentielle sous la forme u du -------- + σω Calculer dt 0 ----- + ω dt 0 u 0. la pulsation propre ω 0, le coefficient d amortissement σ et le facteur de qualité Q du circuit. En déduire la nature du régime. d 5 Mettre l équation différentielle sous la forme canonique y -------- + σ----- dy + y 0 en dx dx u posant x ω 0 t et y ----- et résoudre l équation différentielle. En déduire les U 0 expressions ut () et it () de la tension et de l intensité. 6 Tracer les courbes correspondantes. Q 0 résolution méthodique CU 0 U 0 0 V Le circuit L ne comporte pas de générateur et l interrupteur K est ouvert ; tous les courants sont nuls avant la fermeture de l interrupteur. L intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue donc : i L0 + i L0 0 La tension aux bornes d un condensateur est une fonction continue, donc : u 0 + u 0 U 0 0 ( V) La loi d Ohm aux bornes du résistor s écrit : d où : u i (il est en convention récepteur), i 0 + u 0 + U 0 ------ ----- 0 ( ma) 4 Circuits C, L et LC série soumis à un échelon de tension 57

savoir résoudre les exercices La loi des nœuds permet d écrire : i 0 + i 0 + + i L0 + i 0 + 0 ( ma) 3 Écrivons les différentes relations entre les grandeurs qui vont nous servir : du i i L + i (loi des nœuds), i C -----, u L di L -------, et u i (loi d Ohm). dt dt Il faut mettre un signe moins car le condensateur est en convention générateur. Il vient : u L di L -------- L ---- d [ i i dt dt ] L ---- d C du u ----- --- L C d u -------- --- du -----. dt dt dt dt Ce qui conduit à : LC d u -------- dt L + --- du ----- + u 0 dt d 4 Divisons l équation par LC : u -------- ------- du u + ----- + ------- dt C dt LC 0. On peut alors identifier les termes recherchés : ω 0 ----------- 3, 0 3 rad s LC et ω 0 σ ------- σ C L ------ --- 0,6 et Q C ------ C --- 3,6 σ L Les expressions de σ et de Q ne sont pas celles du circuit LC série car les trois composants sont en parallèle. En série, Q Lω 0 série -------- alors que, -- L C ---, Q ---------- --------. parallèle Q série Lω 0 58 emarque : Un circuit LC série devient idéal quand LC. 0 ; il se réduit alors à un circuit Pour réduire à un circuit LC un circuit LC parallèle il faut que. On comprend alors que les expressions du facteur de qualité de chacun des circuits soient inverses l une de l autre. Le régime est pseudo-périodique car l amortissement est inférieur à (facteur de qualité supérieur à 0,5). Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

5 Voir 3. de «etenir l essentiel» pour établir l équation différentielle réduite. Une équation différentielle réduite (sous forme canonique) ne contient que des termes sans dimensions. Cela simplifie sa résolution. Appliquons la méthode donnée dans «etenir l essentiel» (point méthode ) pour résoudre l équation différentielle. a. Solution générale. Équation caractéristique : r + σr + 0. Discriminant réduit : σ 0,98?Moi Solutions : r σ + j et r σ + j, avec j et j. Les solutions sont complexes, le régime est pseudopériodique. Solution de l équation différentielle : y e σx [ Acos( x) + Bsin( x) ], avec A et B constantes réelles. b. Détermination des constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir : Continuité de la tension aux bornes du condensateur : u t 0 + u t 0 U 0 y x 0 A. Continuité de l intensité du courant qui traverse la bobine : i L0 + 0. Il faut chercher dy -----. D après la deuxième question, la condition i implique dx L0 + 0 0 + u i 0 + i 0 + U 0 0 + ------ -----. Par ailleurs i et ; 0 + C du ----- du d( U ----- 0 y) dy ----------------- dt 0 dt + d x U 0 ω 0 ----- ----- dx ω 0 donc dy ----- ---------- D où : dx 0 du ----- i 0 + ----------------- -------------- σ. Cω + 0 dt 0 Cω + 0 U 0 Cω 0 dy ----- σ σa + B σ B -----------. dx 0 C est bien en écrivant la continuité de l intensité du courant qui traverse la bobine que l on détermine la constante B. Mais ici, comme parfois, la détermination de la relation entre les constantes est indirecte. c. Solution de l équation différentielle y σ cos( x) ---------- sin( x). e σx La résolution d une équation différentielle du second ordre sans second membre impose l introduction de deux constantes : Il faut écrire la solution complète de l équation différentielle avant de déterminer les constantes. Les constantes sont déterminées en écrivant les continuités : de la tension aux bornes des condensateurs, et de l intensité du courant qui traverse les bobines. 4 Circuits C, L et LC série soumis à un échelon de tension 59

savoir résoudre les exercices A.N. : y e 0,58x [ cos( 0,987x) 0,6sin( 0,987x) ]. Il faut maintenant revenir à la fonction ut () en utilisant les relations x ω 0 t et u U 0 y. Sachant que ω 0 3, 0 3 rad s et que U 0 0 V, il vient : ut () 0e 5,0 0 t [ cos( 3, 0 3 t) 0,6sin( 3, 0 3 t) ] ( V) L expression de l intensité se déduit de la relation i C du -----. dt i() t e 5,0 0 t [ 0cos( 3, 0 3 t) + 60sin( 3, 0 3 t) ] ( ma) On vérifie qu à la date t 0 l intensité est égale à 0 ma. 6 Les courbes sont tracées ci-dessous. u( V) i( A) 0 5 0 5 0 5 0 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 0 0,00 0,004 0,006 0,008 0,0 t ( s) 0,0 0,00 0,004 0,006 0,008 0,0 t( s) 0,0 0,03 en conclusion Une équation différentielle réduite (sous forme canonique) ne contient que des termes sans dimension. Cela simplifie sa résolution. La résolution d une équation différentielle du second ordre sans second membre impose l introduction de deux constantes. Il faut écrire la solution complète de l équation différentielle avant de déterminer les constantes. Les constantes sont déterminées en écrivant les continuités : de la tension aux bornes des condensateurs, et de l intensité du courant qui traverse les bobines. Le facteur de qualité Q d un circuit LC parallèle s écrit Q ---------. Lω 0 60 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

3 Circuit LC On considère le circuit ci-dessous. Données : C,0 µf et L 0 mh. Le condensateur est chargé ; la tension à ses bornes est À la date t 0, on ferme l interrupteur K. Calculer la pulsation propre ω 0 est du circuit. Quelle est la valeur du coefficient d amortissement σ du circuit? Quelle est la valeur du facteur de qualité Q? U 0 0 V. u i C K L Montrer que l équation différentielle de la tension d aux bornes du condensateur s écrit : u -------- + ω dt 0 u 0 3 ésoudre l équation différentielle. En déduire les expressions ut () et it () de la tension et de l intensité. 4 Calculer l énergie totale du circuit. Conclure. résolution méthodique La pulsation propre du circuit LC est : ω 0 ----------- LC,0 0 4 rad s La résistance du circuit est nulle, donc : σ 0 et Q On peut dire que la «qualité» du circuit LC est infinie. Le circuit LC est un circuit idéal, car dans la réalité la résistance d une bobine n est jamais nulle. Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s écrit : L di ---- u 0, avec i C du -----. dt dt Il faut mettre un signe moins car le condensateur est en convention générateur. Il vient LC d u -------- + u 0. D où : dt d u -------- + ω dt 0 u 0 4 Circuits C, L et LC série soumis à un échelon de tension 6

savoir résoudre les exercices 3 Appliquons la méthode donnée dans «etenir l essentiel» (point méthode ) pour résoudre l équation différentielle. a. Solution générale de l équation différentielle. Équation caractéristique : r + ω 0 0 r ω 0. Posons r j ω 0 avec j. Les solutions sont complexes : r jω 0 et r jω 0. Solution de l équation différentielle : u Acos( ω 0 t) + Bsin( ω 0 t), avec A et B constantes réelles. b. Détermination des constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir : Continuité de la tension bornes du condensateur : u t 0 + u t 0 U 0 A U 0. Continuité de l intensité du courant qui traverse la bobine : i 0 + i 0 0. i 0 + C du ----- du 0 ----- ω dt dt 0 B 0 B 0. 0 + c. Solution de l équation différentielle : u U 0 cos( ω 0 t) ; 0 A.N. : ut () 0cos(,0 0 4 t) ( V) L expression de l intensité se déduit de la relation i C du -----. En effet : dt i C du ----- CU dt 0 ω 0 sin( ω 0 t) A.N. : i() t 0,0sin(,0 0 4 t) ( A) Le régime d un circuit LC est sinusoïdal. 4 L énergie du circuit est la somme des énergies des deux composants : w w C + w L --Cu + --Li --C[ U 0 cos( ω 0 t) ] + --L[ CU 0 ω 0 sin( ω 0 t) ] w --CU 0 ([ cos( ω 0 t) ] + [ sin( ω 0 t) ] ) w --CU 0 0,0 mj L énergie totale est constante. Elle est égale à l énergie initialement stockée dans le condensateur. en conclusion Un circuit LC est un oscillateur électrique ; la tension et l intensité sont des fonctions sinusoïdales du temps. L énergie d un circuit LC est constante ; elle est alternativement stockée par le condensateur et par la bobine. C est un circuit idéal, sans réalité physique. 6 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

retenir l essentiel Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé Attention Les valeurs moyennes sont indépendantes du temps. Introduction.. Signaux sinusoïdaux... Définitions Un signal sinusoïdal fonction du temps s écrit (fig. ) : Fig. xt () X m cos( ωt + ϕ), avec x (t ) T X m : amplitude du signal ( 0) ; T est sa période (en s) : X m Xt () Xt ( + T) ; π ω ----- : pulsation (en rad s ) ; T ω f ----- : fréquence (en Hz) ; π ωt + ϕ : phase à l instant t ; ϕ : phase à l instant origine. emarque : on appelle en général ϕ tout simplement «la phase» du signal. Point maths. Expression de la valeur moyenne d une fonction périodique. Soit xt () une grandeur périodique de période T. On note x() t sa valeur moyenne : T xt () --- xt ()dt. T 0 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé t 63

retenir l essentiel La valeur moyenne d un signal sinusoïdal est nulle (voir tester ses connaissances, exercice ). Attention Les grandeurs efficaces sont indépendantes du temps. Attention Point maths. Expression de la valeur efficace d une fonction périodique Soit xt () une grandeur périodique de période T. On note X e sa valeur efficace : X e xt () T --- xt () T dt. 0 X Le résultat X e ------ m X la valeur efficace de xt () X vaut (voir tester ses connaissances, m cos( ωt + ϕ) X e ------- m n est bien entendu exercice ). valable que pour un signal sinusoïdal, il... Différence de phase entre deux signaux synchrones ne faut pas l appliquer, par exemple, à xt () X m cos( ωt + ϕ) et yt () Y m cos( ωt + φ). La différence de phase (déphasage) Soit deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence (elles sont dites synchrones), un signal créneau entre les deux signaux vaut ϕ φ ϕ. ( X m, X m ). ϕ est l avance de phase du signal yt () sur le signal xt (). ) Fig. Signaux sinusoïdaux déphasés t y (t ) x (t ) π t Le décalage temporel t entre les deux courbes correspond à un déphasage ϕ ------------. T Sur la figure, le signal yt () est en avance de phase sur xt (): il atteint son maximum avant xt ()(voir exercice, rubrique tester ses connaissances). t..3. Caractéristiques principales de l instrumentation électrique au laboratoire a. Générateur de signaux électriques (GBF) Il permet de générer des signaux continus ou variables dans le temps, et notamment des signaux sinusoïdaux. La plupart des GBF comportent un fréquencemètre, qui permet de lire la fréquence du signal utilisé (de quelques Hz à quelques MHz). Pour la plupart des appareils c est ce que l on devra considérer dans les exercices, sauf mention contraire, le signal est disponible entre une borne + et une borne qui est reliée à la carcasse métallique de l appareil, la masse (notion introduite au chapitre 3, 3.). 64 b. Multimètre numérique Cet appareil a trois fonctions : fonction ohmètre : mesure d une résistance. La fonction ohmètre s utilise en connectant les deux bornes de l appareil à celles du dipôle (seul, sans être inséré dans un circuit) ; fonction voltmètre : mesure d une tension ; fonction ampèremètre : mesure d une intensité. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Attention Dans une installation électrique, toutes les prises de terre sont reliées entre elles. Les masses du GBF et de l oscilloscope sont communes. L oscilloscope et le GBF ayant donc une de leur borne au même potentiel (nul), il faudra en tenir compte lors de leurs branchements : leurs masses devront être reliées au même point du circuit. Les caractéristiques des fonctions ampèremètre et voltmètre présentées au chapitre, 8. dans le cadre du régime stationnaire restent valables. En mode DC on mesure la valeur moyenne (utilisée par exemple pour mesurer des grandeurs continues) et en mode AC la valeur efficace d une intensité ou d une tension. Aucune des deux bornes de cet appareil n est reliée à la terre de l installation électrique. c. Oscilloscope Il permet de visualiser la forme de signaux électriques (oscillogramme). Il se branche comme un voltmètre. Il assure les fonctions de fréquencemètre, phasemètre (mesure du déphasage entre deux signaux) et voltmètre. Pour la plupart des oscilloscopes, une des deux bornes est reliée à la masse de l appareil c est ce que l on devra considérer dans les exercices, sauf mention contraire... Introduction au régime sinusoïdal forcé sur l exemple d un circuit LC Étudions le circuit LC (fig. 3), soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. et () Ecos( ωt + ϕ). La loi des mailles dans le sens indiqué donne : e u + u C + u L e i L di q + ---- + --. dt C Fig. 3 Circuit LC série dq L En utilisant i ----- et dérivant l équation u L dt obtenue ci-dessus, on a : i de ----- L d i ------- di i + ---- + ---. (E ) dt dt dt C On a une équation différentielle du deuxième ordre avec deuxième membre sinusoïdal. La solution est de la forme it () i l () t + i f (). t i l () t est la solution de l équation différentielle (E ) sans second membre, c est le régime libre, ce type de solution a été étudié au chapitre 4. En appelant τ le temps de relaxation, ou constante de temps, du circuit, on a lim i l () t 0. i l () t disparaît donc au bout d un t τ temps de l ordre de τ. i f () t est la solution particulière de l équation différentielle, c est le régime forcé, que l on appelle aussi régime permanent ou établi. Compte tenu de la forme de et (), i f () t est aussi une fonction sinusoïdale, de la forme i f () t Icos( ωt + ϕ). lim it () i f (). t it () se limite donc à i f () t au bout d un temps de l ordre de τ. t τ L objet de ce chapitre est d étudier le régime sinusoïdal forcé, on se placera donc systématiquement dans le cas où le régime transitoire est amorti et donc négligeable. En fait, tout signal périodique (créneau, triangulaire ) peut se décomposer sous la forme d une somme de signaux sinusoïdaux (analyse de Fourier). L étude du régime sinusoïdal forcé que nous faisons dans ce chapitre est donc utilisable aussi pour traiter n importe quel régime périodique forcé. La méthode la plus générale pour chercher i f () t consiste à remplacer it () par Icos( ωt + ϕ) dans (E) et d en déduire I et ϕ, cela conduit à des calculs fastidieux. L utilisation des nombres complexes permet de considérablement simplifier cette étude. Les équations différentielles seront en fait remplacées par une équation algébrique sur le corps des complexes. e 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé u C q u C 65

retenir l essentiel Utilisation des nombres complexes Conseil Pour l étude des régimes sinusoïdaux on aura en permanence besoin de manipuler les nombres complexes. Il est primordial que l élève ait une bonne maîtrise de ce chapitre du cours de mathématiques pour pouvoir réussir les exercices d électrocinétique... Grandeur complexe associée à un signal sinusoïdal À une grandeur réelle : xt () X m cos( ωt + ϕ), Fig. 4 Im( X ) on associe la grandeur complexe : M xt () X m exp( j( ωt + ϕ) ). On a xt () e( xt ()). On appelle X m X m exp( jϕ) ϕ l amplitude complexe de xt (). On a xt () X e( X ) m exp( jωt). OM X m ( Ox X m X m ; OM) ϕ On a les relations :. ϕ arg( X m ) On peut représenter X dans le plan complexe (fig. 4). Si une grandeur réelle est solution d une équation linéaire (différentielle ou non) à coefficient constant, la grandeur complexe associée l est également... Dérivation et intégration Avec xt () X m exp( j( ωt + ϕ) ), on obtient : dx ------ jωx et xdt dt ----- x jω 3 Impédances complexes 3.. Définitions Considérons un dipôle linéaire représenté Fig. 5 en convention récepteur (fig. 5). Soit ut () U m cos( ωt + ϕ u ) la tension instantanée. La tension en notation complexe se note ut () U m exp( jωt) ; U m U m exp( jϕ u ) est son amplitude complexe. Soit it () I m cos( ωt + ϕ i ) l intensité instantanée. L intensité en notation complexe se note i() t I m exp( jωt) ; I m I m exp( jϕ i ) est son amplitude complexe. i(t ) u(t ) 66 La loi d ohm en représentation complexe s écrit : ut () Zi(), t soit U m ZI m. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Cette relation définit Z, l amplitude complexe du dipôle Z + js, avec la résistance du dipôle et S sa réactance, ces grandeurs s expriment en Ohm (Ω). Z Z est l impédance (Ω) U m ZI m Z Zexp( jϕ) ; on a donc ϕ u ϕ + ϕ i ϕ est donc l avance de phase de la tension ut () sur le courant it (). L inverse de l impédance complexe est l admittance complexe : Y ---. Z Y G+ jb, avec G la conductance du dipôle et B sa susceptance, ces grandeurs s expriment en Siemens (S). Y Y est l admittance (S). 3.. ésistor u i Cette relation linéaire est donc valable aussi pour les grandeurs complexes associées : u i U m I m, donc Z U m I m. ϕ u ϕ i Fig. 6 ésistor en représentation récepteur i u L impédance complexe d un résistor est Z. L impédance d un résistor est Z Z. La tension aux bornes d un résistor est en phase avec l intensité qui le traverse ( ϕ 0). On retrouve la loi d ohm en régime continu (chapitre ) pour les amplitudes des signaux sinusoïdaux 3.3. Bobine idéale u L di ---- dt Cette relation linéaire est donc valable aussi pour les grandeurs complexes associées : u L----- d i U dt m jlω I m, U m LωI m donc Z jlω π ϕ u ϕ i + -- Fig. 7 Bobine idéale en représentation récepteur L i u L impédance complexe d une bobine idéale est Z jlω. L impédance d une bobine idéale est Z Z Lω. π La tension aux bornes d une bobine idéale est en avance de phase de -- avance) avec l intensité qui la traverse. (quadrature 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 67

retenir l essentiel Cas limite haute fréquence ( ω ) : Z : la bobine est équivalente à un interrupteur ouvert. Cas limite basse fréquence ( ω 0) : Z 0 : la bobine est équivalente à un interrupteur fermé, donc à un fil. Fig. 8 Équivalence à basses fréquences et à hautes fréquences d une bobine idéale ω 0 ω Basse fréquence Haute fréquence 3.4. Condensateur idéal i C----- du dt Cette relation linéaire est donc valable aussi pour les grandeurs complexes associées : i C----- du I m jcωu m, donc Z --------- jcω dt I U m m ------- Cω π ϕ u ϕ i -- Fig. 9 Condensateur en convention récepteur i C u L impédance complexe d un condensateur idéal est L impédance d un condensateur idéal est Z Z La tension aux bornes d un condensateur est en retard de phase de retard) avec l intensité qui le traverse. Cas limite haute fréquence ( ω ) : Z 0 : le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé, donc à un fil. Cas limite basse fréquence ( ω 0) : Z : le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert. Z -------. Cω ---------. jcω π -- (quadrature Fig. 0 Équivalence à basses fréquences et à hautes fréquences d un condensateur ω 0 ω 68 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa Basse fréquence Haute fréquence

4 Théorèmes généraux L ensemble des théorèmes vus aux chapitres et 3 pour le régime continu demeurent valables en régime sinusoïdal forcé, en remplaçant les grandeurs continues (tensions et intensités) par leurs amplitudes complexes et les résistances par des impédances. Les conseils et remarques donnés dans ces chapitres peuvent être transposés à l identique. 4.. Loi des mailles La loi des mailles vue au chapitre est valable pour les tensions instantanées ut (), puisque l on est dans le cadre de l AQS. En notant u k () t U k exp( jωt) pour un sens de parcours donné de la maille, on a : le long d une maille ε k u k 0 le long d une maille ε k u k () t 0. En divisant la relation précédente par exp( jωt), on obtient : Fig. Loi des mailles en AQS : ε k + si la flèche tension pour l amplitude complexe U k est dans le sens du parcours ; ε k si la flèche tension U k est dans le sens opposé à celui du parcours. Loi des mailles pour cinq dipôles le long d une maille ε k U km 0. D D 3 U m U 3m D U m U 4m D 4 U 5m D 5 Maille parcourue dans le sens horaire U m U m + U 3m U 4m U 5m 0 4.. Loi des nœuds puis- La loi des nœuds vue au chapitre est valable pour les intensités instantannées i k (), t que l on est dans le cadre de l AQS. En notant i k () t I km exp( jωt), puisque la loi des nœuds est linéaire, on a : ε k i k 0 ε k i k () t 0 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 69

retenir l essentiel En divisant la relation précédente par exp( jωt), on obtient : Loi des noeuds en AQS : ε k I km () t 0. ε k +, si l intensité est orientée vers le nœud ; ε k, si l intensité est orientée à partir du nœud. La somme des amplitudes complexes des courants arrivant à un nœud est égale à la somme des amplitudes complexes des courants qui en partent. Fig. Loi des noeuds pour quatre branches I 3m I m I 4m N I m I 3m + I 4m I m I m 0. Attention. La loi des nœuds ne peut pas être appliquée pour les amplitudes des intensités. En effet : ε k I km 0 ε k I km ε k I km 0. k En effet, le module d une somme de nombres complexes n est pas égal à la somme de leurs modules. 4.3. Loi des nœuds en termes de potentiel k k Considérons L dipôles d impédances ( Z, Z,, Z L ) ayant un nœud commun. Soient (I m, I m, I Lm ) les amplitudes complexes des intensités de courant circulant dans chacun des dipôles et orientés vers le point N. Soit V Nm l amplitude complexe du potentiel du nœud N et V m, V m, V Lm les amplitudes complexes des potentiels de l autre borne du dipôle considéré. La loi des nœuds s exprime alors I m + I m + + I Lm 0 et peut s écrire sous la forme : V m V ---------------------------- Nm ---------------------------- V m V Nm V Lm + + + ---------------------------- V Nm 0, Z Z Z L ou Y ( V m V Nm ) + Y ( V m V Nm ) + + Y L ( V Lm V Nm ) 0. emarques :. Le résultat ci-dessus est bien évidemment indépendant des sens d orientation choisis pour les différentes intensités. En modifiant la position des termes, on arrive à l expression du théorème de Millman : 70 V Nm V m V m ---------- ---------- V Lm + + + ---------- Z Z Z L Y V m + Y V m + + Y L V Lm ---------------------------------------------------------- ou ------ ------ V Nm --------------------------------------------------------------------------------. Z + Z + + ------ Y + Y + + Y L Z L Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

On peut remarquer que le potentiel du nœud N est le barycentre des potentiels des nœuds voisins affectés des admittances correspondantes. Fig. 3 Théorème de Millman pour trois branches U 3m U m Z N I 3 I I Z 3 U m V 3m V Nm V ---------- m Z V ---------- m Z V 3m Z 3 + + ---------- --------------------------------------------- ------ + ------ + ------ Z Z Z 3 V m V N m Z ou Y V m + Y V m + Y 3 V 3m V Nm -------------------------------------------------------------------. Y + Y + Y 3 V m 4.4. Modélisation d un dipôle actif 4.4.. Source ou générateur idéal de tension C est un dipôle actif qui impose une tension et () E m cos( ωt + ψ) entre ses bornes, et () est appelée force électromotrice (f.é.m.). On note e() t E m expj( ωt) avec E m E m exp( jψ). En général, on choisit ψ 0. 4.4.. Source ou générateur idéal de courant C est un dipôle actif qui impose un courant d intensité i 0 () t I 0m cos( ωt + φ). i 0 () t est appelé courant électromoteur (c.é.m.), dans la branche dans laquelle il est placé. On note i 0 () t I 0m expj( ωt) avec I 0m I 0m exp( jφ). En général on choisit φ 0. 4.4.3. Modélisation d un générateur réel Dans de nombreuses applications, l expérience montre qu on peut modéliser un générateur réel par l association : d un générateur idéal de tension (f.é.m. d amplitude complexe E m ) et d un dipôle en série dont l impédance est appelée impédance interne du générateur ( Z g ). ou d un générateur idéal de courant (c.é.m. d amplitude complexe I 0m ) et d un dipôle en parallèle dont l admittance est appelée admittance interne du générateur ( Y g ). Ces deux générateurs sont équivalents, les relations qui relient leurs caractéristiques sont établies ci-dessous, elles sont équivalentes à celles obtenues en régime permanent (chapitre 3, 3). Fig. 4 Z g I m Y g Y g U m I om I m I om Y g U m E m Z g I m U m E m Z g I m I om U m 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 7

retenir l essentiel E m U m E m Z g I m I m -------- ------ Z g U m Z g E m -------- ------ I om Y g U m Z g U m Z g I om E m -------- Z g Y g ----- Z g Fig. 5 5 Lois d association 5.. Association en série 5... Loi d association pour les impédances N dipôles d impédances ( Z, Z,, Z N ) associés en série sont équivalents à un seul dipôle d impédance égale à la somme des impédances de chacun d eux : Association série de trois dipôles Z eq Zeq Z Z + + + Z N Z Z Z 3 Z eq Z + Z + Z 3 I 5... Diviseur de tension La figure ci-contre représente un diviseur de tension : deux dipôles en série sont soumis à une tension d amplitude complexe U m et on cherche la tension aux bornes de l un d eux. Fig. 6 Diviseur de tension I m Z Z U m U m U m U m Z U m Z U m ------------------- et U Z + Z m -------------------. Z + Z 7 5..3. Association de générateurs en série On considère N générateurs associés en série, caractérisés par l amplitude complexe de leurs f.é.m. et impédances internes ( E m, Z g ), ( E m, Z g ),..., ( E Nm, Z gn ). Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de f.é.m. d amplitude complexe E eqm et d impédance interne complexe Z eq. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

E eqm ε E m + ε E m + + ε k E km + + ε N E Nm Z geq Z g + Z g + + Z gn avec ε k + si la flèche correspond à E km est dans le même sens que celle correspondant à E eqm et ε k dans le cas contraire. Fig. 7 Association série de trois générateurs U m I m I m Z g Z Z g3 Z geq g E m E m E 3m E eqm emarque Pour associer des générateurs en série, on utilise la représentation de Thévenin. U m E eqm E m + E m E 3m. Z geq Z g + Z g + Z g3 U m 5..4. Loi de Pouillet L intensité circulant dans une maille constituée de N dipôles d impédances ( Z, Z, Z N ) et N générateurs associés en série, caractérisés par l amplitude complexe de leurs f.é.m. et impédances internes ( E m, Z g ), ( E m, Z g ), ( E Nm, Z gn ) est : ε E I m + ε E m + + ε k E km + + ε N E m ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nm Z g + Z g + + Z gn + Z + Z + + Z N avec ε k + si la flèche correspondant à E k est dans le même sens que celle correspondant à l orientation de I et ε k dans le cas contraire. Fig. 8 Loi de Pouillet pour trois générateurs et trois dipôles Z g Z g Z g3 E E E 3 Z Z Z 3 E E E 3 I ------------------------------------------------------------------------------. Z g + Z g + Z g3 + Z + Z + Z 3 I 5.. Association parallèle Des dipôles sont en parallèle (ou en dérivation) quand tous les dipôles ont leurs deux bornes en commun, ils sont soumis à la même tension. 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 73

retenir l essentiel 5... Loi d association pour les admittances N dipôles d admittance ( Y, Y,, Y N ) associés en parallèles sont équivalents à un seul dipôle d admittance Y eq égale à la somme des admittances de chacun d eux : Y eq Y Y + + + Y N, soit Y eq -------- ------ + ------ + + -------. Z eq Z Z Z N Fig. 9 Association parallèle de trois dipôles Y I m I m I m Y I m Y eq Y + Y + Y 3 Y eq -------- ------ + ------ + ------ Z eq Z Z Z 3 I 3m Y 3 5... Diviseur de courant La figure ci-contre représente un diviseur de courant : deux résistors en parallèle sont soumis à un courant d amplitude complexe I m et on cherche l intensité parcourant l un d entre eux : Fig. 0 Diviseur de courant I m I m I m Y Y U m I m Z I m Y ------------------- I m Y -------------------- et I I Z + Z Y + Y m -------------------- m Y + Y Z I ------------------- m Z + Z 5..3. Association de générateurs en parallèle On considère N générateurs associés en parallèle, caractérisés par l amplitude complexe de leurs c.é.m. et admittances internes ( I 0m, Y g ), ( I 0m, Y g ),, ( I 0mN, Y gn ). Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de c.é.m. d amplitude complexe I eqm et d admittance interne Y eq. 74 I eqm ε I 0m + ε I 0m + + ε k I 0mk + + ε N I 0mN Y geq Y g Y g Y gn ---------- -------- + -------- + + ---------- + + + Z geq Z g Z g Z gn avec ε k + si la flèche correspondant à I 0k est dans le même sens que celle de I 0eq ) et ε k dans le cas contraire. emarque : les admittances s associent comme au... Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Fig. Association parallèle de trois générateurs Y g I 0m Y g Y geq emarque Pour associer des générateurs en parallèle, on utilise la représentation de Norton. I 0m Y g3 I 0m3 I 0meq I 0meq I 0m I 0m + I 0m3 Y geq Y g + Y g + Y g3 ---------- -------- + -------- + -------- Z geq Z g Z g Z g3 6 Étude d un circuit LC, résonances evenons à l étude du circuit LC (fig. ), soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. et () E m cos( ωt). Fig. E m Circuit LC série U m C L U C m I m 6.. ésonance en intensité Cherchons l expression de it () I m cos( ωt + ϕ). On utilise les amplitudes complexes : E m La loi de Pouillet nous donne directement : et I m I m exp( jϕ). E m E m I m ------------------------------------ et I m I m I m ----------------------------------------------. + jlω + --------- jcω + Lω ------- Cω La courbe représentant I m ( ω), l amplitude de l intensité du courant, s appelle courbe de résonance en intensité. I m ( 0) 0 et lim I m 0. étant positif, cette courbe passe par un maximum pour ω I m une valeur de ω que l on appellera ω r, la pulsation de résonance. Le numérateur étant indépendant de ω, I m est maximum lorsque le dénominateur est minimum. E m 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 75

retenir l essentiel emarque Cette pulsation de résonance ω 0 correspond à la pulsation propre étudiée au chapitre 4, de même que le facteur de qualité Q. Lω r --------- 0 ω on obtient donc Cω r -----------, ω r ω 0. r LC Lω En utilisant ω 0 ----------- et Q 0 ω --------- et en notant x -----, on peut écrire : LC ω 0 E U m I m --- avec D Q D + x -- x U m est l amplitude de la tension aux bornes du résistor. Il y a donc résonance d intensité pour toute valeur de Q et la pulsation de résonance est indépendante de Q. E I m ( ω r ) I mmax ---. Soit ω et ω définis par : Fig. 3 Variation de l amplitude de l intensité I mmax avec la pulsation I m ( ω ) I m ( ω ) --------------, I m avec I mmax I ω 0 ----------- E ---. LC On caractérise la résonance par I m max la bande passante ω ω ω. I m ( ω) I max ---------- E m ---------------------------------------------- + Lω ------- Cω + Lω ------- Cω E m ---------- + Lω ------- Cω ± Lω ------- Cω ω ω ± ------- ω L 0 0 I m max ------------- ω ω 0 ω ω ω ω ω + ------- ω a pour solution positive L 0 0 ω ------ + L ω ------- ω a pour solution positive L 0 0 ω ------ + L -------- + ω 4L 0 -------- + ω 4L 0 Les solutions négatives n ont pas de sens physique. On remarque que ω et ω ne sont pas symétriques par rapport à ω 0, ce que l on peut remarquer sur la figure 3. ω ω ω ω --- et ------- --------- --- (car Q Lω 0 --------- ), on a donc : L ω 0 Lω 0 Q 76 Q ω ------- 0 ω Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

6... Étude du déphasage ϕ arg I m ϕ ϕ, avec ϕ + jlω + --------- arg arg + j Lω ------- jcω Cω. Lω ------- Cω tanϕ --------------------- ; puisque tan ( ϕ) tanϕ, on a : ------- Lω Cω tanϕ --------------------- Point maths. Soit x a+ jb, a et b étant des grandeurs réelles. Alors on a : b tan( ϕ) - et arg -- a x arg( x). La phase ϕ est donnée par sa tangente, il y a donc une indétermination sur le domaine de définition de la phase ; étudions le signe de cosϕ. j Lω ------- E I m Cω m ------------------------------------ ------------------------------------------ () + jlω + --------- jcω + Lω ------- Cω π π e( I m ) I m cos( ϕ) ------------------------------------------ 0, donc ϕ -- ; --. + Lω ------- Cω emarque : On peut aussi trouver directement l expression de tanϕ à partir de l expression () de I m. π tan ϕ( 0) + ϕ( 0) -- ; π tanϕω ( ) ϕω ( ) -- ; 4 tanϕω ( 0 ) 0 ϕ( 0) 0 ; π tanϕω ( ) ϕω ( ) -- ; 4 π lim tanϕ ϕ ( ) -- ω Fig. 4 Variation de la phase de l intensité avec la pulsation ϕ( rad) π -- π -- 4 ω ω ω 0 ω π 4 -- π -- 6... Comparaison des courbes de résonance pour différentes valeurs de Q ω De la relation ------- ---, on peut déduire que le facteur de qualité Q caractérise la résonance : ω 0 Q plus Q est important, plus ω est petit : plus la résonance est dite «aigue» ; plus Q est petit, plus ω est grand : plus la résonance est dite «floue». 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 77

retenir l essentiel On représente souvent en fonction de ω (fig. 5). U m Fig. 5 Variation de l amplitude de la tension aux bornes du résistor avec la pulsation pour Q 0,5 ; et,5 U m E Q 0,5 Q Q,5 ω 0 ω est indépen- On constate bien sur ce graphe que la pulsation de résonance, égale à dante de Q. ω 0, Attention Le dénominateur n est pas de la forme A + B ( x) avec A constant, comme c était le cas pour la résonance d intensité x car ici A --- Q dépend de x. Il est donc inexact d écrire que D est minimum si x 0. Conseil Lorsqu une fonction D se présente sous la forme d une racine il est toujours préférable de dériver D. 78 6.. ésonance en tension aux bornes du condensateur (ou résonance de charge) Cherchons l expression de u c () t U cm cos( ωt + φ), soit : U cm U cm exp( jφ). L application du diviseur de tension sur le circuit de la figure conduit à : ---------- E jcω E U cm ------------------------------------ -------------------------------------------- ; + jlω + --------- + jcω LCω jcω E U cm U cm ------------------------------------------------------------ ; ( LCω ) + ( Cω) U cm ( 0) E et lim U cm ( ω) 0. ω Lω 0 ω En utilisant ω 0 ----------- et Q ---------, et en notant x -----, on peut écrire : LC ω 0 U cm E --- avec D ( x D ) x + ---- Q U cm passe par un maximum si D, et donc D, passe par un minimum. On doit calculer la dérivée de D. Il revient au même, et c est plus simple, de dériver D : dd --------- ( x) x d où si dx x dd ( ) + -----, --------- 0 x Q dx ---------. Q On obtient donc ω r ω 0 --------- () Q Cette fonction croissante avec Q n est définie que si --------- 0, donc si Q ------. Q Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Attention Les résonances d intensité et de charge sont très différentes, il ne faut pas les confondre. Une erreur fréquente consiste par exemple à écrire qu il y a résonance de charge pour ω r ω 0. La courbe U cm ( ω) passe donc par un maximum pour Q ------. On parle de résonance de tension aux bornes du condensateur ou de résonance de charge car la charge du condensateur est proportionnelle à la tension. Il y a deux différences importantes entre la résonance d intensité et la résonance de charge : la résonance de charge n existe que pour des valeurs de Q suffisamment grandes et quand elle existe, la pulsation de résonance dépend de Q. QE Le calcul conduit à U cm ( ω r ) ----------------------. () --------- 4Q Fig. 6 Variation de l amplitude de la tension aux bornes du condensateur avec la pulsation pour Q 0,5 ; et,5. U cm Q,5 Q Q 0,5 ω r ω r,5 ω On constate bien sûr sur ce graphe qu il n y a pas de résonance si Q 0,5 (Q ------ 0,7) et que la pulsation de résonance est d autant plus grande que Q est grand ( ω r ω r,5 ). 6... Étude du déphasage U cm ---------- I jcω cm φ ϕ π -- La courbe représentant φ en fonction de ω se déduit donc de la courbe représentant ϕ π par un simple décalage vers le bas de --, donc φ [ 0 ; π]. Fig. 7 Variation de la phase de la tension aux bornes du condensateur avec la pulsation φ(rad) ω 0 ω 0 π -- π 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 79

retenir l essentiel 6...Cas particulier important : Q ------ L expression () conduit à ω r ω 0. ω 0 On peut aussi montrer que Q -------, ω étant la bande passante définie comme au 6.. ω On retrouve donc des résultats similaires à ceux de la résonance d intensité pour cette limite de valeurs de Q élevées. Un autre résultat, propre à la résonance de charge est particulièrement intéressant : de l expression () on arrive à U cm ( ω r ) QE. L amplitude de la tension aux bornes du condensateur est donc égale à l amplitude de la tension délivrée par le générateur multipliée par Q. Elle peut donc atteindre des valeurs considérables pour des valeurs de Q élevées. On appelle d ailleurs aussi Q «facteur de surtension» pour cette raison. 80 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

savoir résoudre les exercices p Circuits C, L et LC série On étudie le circuit C série ci-contre, soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. : et ( ) E m cos( ωt ). Le régime forcé est supposé établi. Établir l expression de l intensité du courant circulant dans ce circuit. Données : E m 0 V ; ω 63.0 rad s ;,0 kω ; C 0,6 µf. e(t) i(t) C Même question pour un circuit L. On prendra les mêmes valeurs numériques avec L 9 mh. 3 Même question pour un circuit LC série : calculer l expression de it ( ) avec les valeurs numériques données au. et au. Comment aurait-il été possible d obtenir les résultats des questions. et. à partir de celui obtenu pour ce circuit LC série? résolution méthodique On note it ( ) I m cos( ωt + ϕ). Pour résoudre le problème, on utilise les grandeurs complexes associées à et () et à it (): e() t E m exp( jωt) et i() t I m exp( jωt), avec E m E m et I m I m exp( jϕ). Pour étudier un circuit en régime sinusoïdal forcé, il faut commencer par transformer les grandeurs réelles en grandeurs complexes associées. Connaissant xt () X m cos( ωt + ϕ), on obtient : x() t X m exp( jωt) avec X m X m exp( jϕ). La loi de Pouillet nous donne alors directement : I m E m -------------------. + --------- jcω Seules les grandeurs réelles ont un sens physique, les résultats sont donc fréquemment demandés sous forme réelle. Or les calculs sont menés avec les grandeurs complexes associées. Il faut donc, à la fin du calcul, faire le passage inverse à celui du départ : «projeter» les grandeurs complexes en grandeurs réelles. C est une difficulté importante pour les élèves, surtout pour ce qui concerne la phase. 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 8

savoir résoudre les exercices Transformation d une grandeur complexe en grandeur réelle Connaissant x() t X m exp( jωt), avec xt () X m cos( ωt + ϕ). L amplitude de de xt () est le module de l amplitude complexe X m. X m La phase ϕ de xt () est l argument de X m. I m I m E m I m --------------------------------- ------- Cω et ϕ arg I m ϕ ϕ avec ϕ + --------- j arg jcω arg ------- Cω ------- Cω tanϕ ----------- ----------- ; et puisque tan( ϕ) tanϕ, on a : Cω tanϕ ----------- Cω On a donc it () E m --------------------------------- cos( ωt + ϕ), avec tanϕ + ------- Cω Vérifier l homogénéité des expressions obtenues. -----------. Cω 8 et ------- sont des impédances ; Cω [ E [ I m ] m ] [ E -------------------------------- m ] ------------ ; [ Z] + [ Z] [ Z] [ Z] [ tan( ϕ) ] [ ------- Z]. L amplitude de la tension est bien homogène à une tension et tanϕ 0 A.N. : I m -------------------------------------------------------------------------------------------------- 7, ma. (,0 0 3 ) + --------------------------------------------------- 0,6 0 6 63 0 tanϕ ou,0 ------------------------------------------------------------------------------ 0 3 0,6 0 6 63 0 ϕ π 5π -- -----. 4 4 Pour connaître la bonne valeur de ϕ, évaluons cosϕ : E j E m + ------- m Cω I m ------------------- ------------------------------- I ; m ( cosϕ + jsinϕ) + --------- jcω + ------- Cω Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa est sans dimension.

cosϕ --------------------------------- 0, donc ϕ + ------- Cω π --. 4 Donc it ()( ma) 7, 63 0 p cos t + -- 4. Avec les mêmes notations qu au., la loi de Pouillet donne I m -------------------, donc : + jlω E m I m E I m I m m -------------------------------- + ( Lω) et ϕ arg ϕ ϕ avec ϕ arg( + jlω) On a donc I m Lω tanϕ -------, puisque tan( ϕ) tanϕ, on a : it () E m tanϕ Lω ------- -------------------------------- cos( ωt + ϕ), avec tanϕ + ( Lω) On vérifie l homogénéité des expressions obtenues. Lω -------. et Lω sont des impédances ; [ E [ I m ] m ] [ E -------------- m ] ------------ ; [ Z] [ Z] [ Z] [ tan( ϕ) ] [ ------- Z]. L amplitude de l intensité est bien homogène à une intensité et tanϕ 0 A.N. : I m ------------------------------------------------------------------------------------- 8,7 ma (,0 0 3 ) + ( 0,09 63 0 ) 0,09 63 0 tanϕ π 5π --------------------------------------- 0,57 ϕ -- ou -----.,0 0 3 6 6 Pour connaître la bonne valeur de ϕ, évaluons cosϕ : E m E I m ------------------- m ( jlω) + jlω -------------------------------- + ( Lω) I ( cos ϕ + jsinϕ) m π cosϕ -------------------------------- 0 donc ϕ -- + ( Lω) 6 est sans dimension. Donc it ()( ma) 8,7cos 63 0 p t --. 6 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 83

savoir résoudre les exercices 3. La loi de Pouillet donne I m E m ------------------------------------. + jlω + --------- jcω En prenant it () I m cos( ωt + ϕ), on obtient : I m E ------- Lω m Cω ----------------------------------------------- et tanϕ --------------------- + Lω ------- Cω A.N. : 0 I m ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 9, ma (,0 0 3 ) + 0,09 63 0 --------------------------------------------------- 0,6 0 6 63 0 tanϕ ϕ 0,6.0 ---------------------------------------------- 6 63.0 0,09 63.0 ------------------------------------------------------------------------------------------ 0,4,0 0 3 0,4 rad ou 3,6 rad. Pour connaître la bonne valeur de ϕ, évaluons cosϕ : e( I m ) I m cos( ϕ) donc ϕ 0,4 rad. ------------------------------------------- 0, + Lω ------- Cω Donc : it ()( ma) 9, cos( 63 0 t + 0,4) 0 Pour obtenir les résultats cherchés au. pour un circuit C, il suffit de faire tendre L vers zéro dans ces expressions. En effet, l impédance de la bobine qui vaut Lω tend vers zéro si L tend vers zéro. Une bobine d inductance nulle est donc équivalente à un interrupteur fermé. Un circuit LC série pour lequel L est nul est donc équivalent à un circuit C. Pour obtenir les résultats cherchés au. pour un circuit L, il suffit de faire tendre C vers l infini dans ces expressions. En effet, l impédance du condensateur qui vaut ------- tend vers zéro Cω si C tend vers l infini. Un condensateur de capacité infinie est donc équivalent à un interrupteur fermé. Un circuit LC pour lequel C est infini est donc équivalent à un circuit L. Attention : Un condensateur de capacité nulle n est pas équivalent à un interrupteur fermé, c est une erreur assez fréquente. 84 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Pour étudier un circuit en régime sinusoïdal forcé, il faut commencer par transformer les grandeurs réelles en grandeurs complexes. Transformation d une grandeur réelle en grandeur complexe associée Connaissant xt () X m cos( ωt + ϕ), on obtient x() t X m exp( jωt) avec X m X m exp( jϕ). en conclusion À la fin d un calcul, on a souvent besoin d un résultat «physique» et il faut faire la transformation inverse. Transformation d une grandeur complexe en grandeur réelle l amplitude de X m de xt () est le module de l amplitude complexe X m ; la phase ϕ de xt () est l argument de X m. Vérifier l homogénéité des expressions obtenues en repérant les grandeurs homogènes à des impédances et en utilisant le fait que C et -- sont homogènes à des temps L (constantes de temps d un circuit C et d un circuit L). Circuit LC parallèle On considère un circuit composé de trois dipôles linéaires regroupés en parallèle : un résistor de résistance, une bobine idéale d inductance L et un condensateur idéal de capacité C. On suppose que le régime permanent est atteint. Le circuit est alimenté par un générateur de courant idéal de c.é.m. i 0 I 0m cos( ωt). a. Établir l expression de la tension aux bornes du résistor, de la bobine et enfin du générateur. b. Donner l allure de la courbe représentant la variation de l amplitude U m de la tension aux bornes du résistor en fonction de ω. Pour quelle valeur de ω est-elle maximale? c. Soit U max la valeur maximale de U m. On note ω et ω ( ω ω ) les deux pulsations pour lesquelles l amplitude de la tension aux bornes du résistor est U max égale à -----------. ω Exprimer le facteur de qualité du circuit Q ------------------ 0 en fonction de,l et ω ω ω 0. Cette expression correspond-t-elle à celle d un circuit LC série? Commentaires. Le circuit est alimenté par un générateur de tension idéal de f.é.m. e E m cos( ωt). Établir l expression de l amplitude I m de l intensité traversant le générateur et donner l allure de la courbe I m ( ω). 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 85

savoir résoudre les exercices résolution méthodique a. Le générateur, le résistor, le condensateur et la bobine étant en parallèle, la tension u U m cos( ωt + ϕ) est la même aux bornes de chacun d eux. Soit U m U m exp( jϕ) et I 0m I 0m. I 0m Y U m, avec Y --- + --------- + jcω ; jlω i 0 u I 0m I 0m jlω I 0m Lω U m ------------------------------------ --------------------------------------------- ------------------------------------------------ ; --- + --------- + jcω jlω + LCω Lω j( LCω ) jlω U m U m I 0m Lω --------------------------------------------------------------. L ω + ( LCω ) Vérification de l homogénéité LCω Lω ------------- est le rapport entre l impédance d une bobine et celle d un condensateur, ------- Cω c est donc une grandeur sans dimension ; [ U m ] [ tan( ϕ) ] [ I 0m ][ Z] ------------------------ [ I 0m ][ Z] ; [ Z] [ Z] [ ------- Z]. 86 b. U m ( 0) 0 et lim U m 0 ω U m, qui est une grandeur positive, passe donc par un maximum. Cherchons pour quelle valeur de ω. L expression de U m obtenue au. a. comporte le facteur ω à la fois au numérateur et au dénominateur, ce qui rend l étude de la recherche du maximum plus difficile que dans le cas étudié en cours pour le circuit LC série. On peut facilement simplifier l étude en divisant le numérateur et le dénominateur par ω. On obtient : U m U m I 0m L ------------------------------------------------------. L + --- LCω ω U mmax U mmax --------------- Cette fraction est maximale si le dénominateur est minimal, donc si : Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa U m --- LCω 0, soit ω ω ω 0 -----------. LC ω 0 ω

Quand on obtient une fonction comportant ω à la fois au numérateur et au dénominateur, on essaye, lorsque c est possible, de simplifier afin que seul le dénominateur dépende de ω. Il est alors plus simple de chercher la valeur de ω pour laquelle cette fonction est extrémale. Quand le dénominateur se présente sous la forme A + B ( ω) avec A constant, cette fonction est minimale quand B ( ω) est minimale. Assez souvent, pour obtenir le minimum, il suffit de chercher la valeur de ω pour laquelle B( ω) est nul. Si ce n est pas possible, il faut dériver la fonction. c. U m ( ω 0 ) U mmax I 0m U m ( ω, ω ) U mmax L --------------- ------------------------------------------------------ L + --- LCω ω ------ L L + (--- LCω) ± ω L ω --- LCω ± Lω LCω LCω ± Lω 0. Les solutions positives (seules pertinentes) de ces deux équations sont : ω ---------- + -------------- C LC 4 ---------- + + ------------ C L ω 0 et Q ω ---------- + -------------- C LC ω 0 ω 0 4 ---------- + + ------------ C L. ω 0 ------- ------------------ Cω ω ω ω 0 --------- Q --------- Lω 0 Lω 0 Vérification de l homogénéité des relations de type : ω ---------- + -------------- C LC 4 ---------- + + ------------ C L. ω 0 4 le rapport ------------ est bien sans dimension (rapport entre deux impédances au carré). L ω 0 emarque : On peut aussi vérifier l homogénéité de cette dernière relation en remarquant L que --- est homogène à un temps, comme -----. En effet, une pulsation est homogène à ω 0 l inverse d un temps ω π -----. T ------- [ ] [ ω] Cω ----------. C emarque : On peut aussi vérifier l homogénéité de cette dernière relation directement en remarquant que C est homogène à un temps. On remarque que ce facteur de qualité est l inverse de celui d un circuit LC série. En fait, dans les deux cas, un facteur de qualité infini correspond à un circuit non amorti, constitué uniquement d une bobine idéale et d un condensateur. En effet, 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 87

savoir résoudre les exercices Lω pour un circuit série, cela correspond à très petit, Q --------- 0 et donc lim Q ; 0 pour un circuit parallèle, cela correspond à très grand, Q --------- et donc Lω 0 lim Q. Attention : Le facteur de qualité pour un circuit comportant trois éléments, L et C n est pas toujours égal à Lω -------- 0 (voir chapitre 4 exercice 4 de «Savoir résoudre les exercices»,) Soit i I m cos( ωt + ϕ ) l intensité du courant circulant dans le générateur. Avec les notations du. b. et en notant I m I m exp( jϕ ) et E m E m, on a : I m YE m avec Y --- + --------- + jcω jlω E I m --- + --------- + jcω m ( jlω + LCω ) Em ----------------------------------------------------------- jlω jlω I m Lω j( LCω E ) m ------------------------------------------------ Lω E I m I m m L ω + ( LCω ) --------------------------------------------------------------------- Lω I m ( 0) et lim I m ω I m I 0m U m -------- E m, donc I m passe par un minimum : I mmin ω 0 ω I mmin E m -------, pour ω ω 0 -----------. LC en conclusion Quand on obtient une fonction comportant w à la fois au numérateur et au dénominateur, on essaye, lorsque c est possible, de simplifier afin que seul le dénominateur dépende de w. Il est plus simple alors de chercher la valeur de w pour laquelle cette fonction est extremum. Quand le dénominateur se présente sous la forme A + B ( ω) avec A constant, cette fonction est minimale quand B ( w) est minimale. Assez souvent, pour obtenir le minimum, il suffit de chercher la valeur de w pour laquelle B( w) est nul. Si ce n est pas possible, il faut dériver la fonction. Le facteur de qualité pour un circuit comportant trois éléments, L et C n est pas toujours égal à Lw ---------. 0 88 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

retenir l essentiel Puissance en régime sinusoïdal forcé Puissance instantanée et puissance moyenne.. Notations utilisées Considérons un dipôle D linéaire représenté Fig. en convention récepteur (figure ). On note ut () U m cos( ωt + ϕ u ) et it () I m cos( ωt + ϕ i ). Z + js, où est la résistance du dipôle et S sa réactance, Z Zexp( jϕ) Zcosϕ On peut écrire et S en fonction de Z et ϕ : S Zsinϕ En utilisant la loi d ohm en représentation complexe, on a : U m ZI m ϕ u ϕ + ϕ i ϕ est l avance de phase de la tension sur l intensité (déphasage). i(t) u(t).. Puissance instantanée Le dipôle D reçoit la puissance instantanée p() t ut ()it p() t U m cos( ωt + ϕ u )I m cos( ωt + ϕ i ) (convention récepteur). U m I -------------- m [ cos( ωt + ϕ u + ϕ i ) + cos( ϕ u ϕ i )] U m I -------------- m [ cos( ωt + ϕ u + ϕ i ) + cos( ϕ) ] () 6 Puissance en régime sinusoïdal forcé 89

retenir l essentiel Point maths. On a utilisé la formule cos( a) cos( b) -- [ cos( a+ b) + cos( a b) ]. Cette puissance varie au cours du temps (figure ) de façon sinusoïdale (pulsation U m I m autour de la valeur moy -------------- cos( ϕ). ω) Fig. Variation de la puissance instantanée pt () p(t) moy t Attention On ne peut pas directement utiliser les grandeurs complexes ut () et i() t pour calculer pt (), il faut utiliser les grandeurs réelles ut () et it (). Nous développerons cette remarque dans l exercice 4 de «Tester ses connaissances». 90.3. Puissance moyenne Facteur de puissance On verra sur des exemples (exercice ) que dans de nombreuses applications, la grandeur pertinente n est pas la puissance instantanée, mais la puissance moyenne moy : U m I m moy pt () -------------- [ cos( ωt + ϕ u + ϕ i ) + cos( ϕ) ]. La puissance moyenne s écrit : moy U m I m -------------- cos( ϕ). En effet, la valeur moyenne d une fonction sinusoïdale est nulle (voir exercice de «S entraîner», chapitre 5) et celle d un terme constant est évidemment égale à ce terme. Le terme cos( ϕ) est appelé facteur de puissance. emarque : La puissance moyenne est aussi appelée puissance active..4. Autre expression de la puissance moyenne, valeur efficace Nous serons parfois amenés à utiliser une autre expression de moy. U m ZI m moy U m I -------------- m cos( ϕ) ----- Zcos( ϕ). Or Zcos( ϕ), donc : I m moy ----------. Seule la partie réelle (la résistance) de l impédance complexe intervient dans l expression de la puissance moyenne reçue. I m Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Cette expression rappelle celle de la puissance dissipée en régime continu par effet joule dans un résistor de résistance, au facteur -- près. Tout se passe en fait, du point de vue de la puissance moyenne reçue, comme si le dipôle était équivalent à un résistor de résistance, le courant étant continu, de valeur dite efficace. On a donc : On retrouve ici la notion de valeur efficace développée au chapitre 5. U m On a donc aussi U e -------. On peut alors écrire : I e I m moy ---------- I e I e I ------. m Autre expression de la puissance moyenne : moy U e I e cos( ϕ) I e. U e U e emarque : U e ZI e moy ----------- ------------------. Z + S Cette relation n est pas la même qu en régime continu pour un résistor de résistance ------ U..5. Puissance moyenne reçue par les dipôles linéaires usuels.5.. ésistors Le déphasage entre la tension et l intensité ϕ étant nul, on a : moy U e I e cos( ϕ) U e I e. Puisque U m I m, on a aussi U e I e et donc : moy I e Cette puissance est irréversiblement dissipée sous forme de transfert thermique (effet joule). emarque : pour arriver à l expression de moy on pouvait aussi directement utiliser la formule établie au.4..5.. Bobines idéales et condensateurs idéaux Le déphasage ϕ entre la tension et l intensité pour une bobine et un condensateur étant respectivement + π -- π ou --, on a : moy U e I e cos( ϕ) 0. Ces dipôles ne reçoivent donc pas, en moyenne, de puissance : ils en reçoivent autant qu ils en fournissent. Les bobines et condensateurs échangent réversiblement de l énergie avec le reste du circuit (figure 3). 6 Puissance en régime sinusoïdal forcé 9

retenir l essentiel Fig. 3 Puissance moyenne reçue par une bobine idéale (a) et un condensateur idéal (b) a) L b) i(t) C i(t) u(t) u(t) Lmoy ut ()it 0 Cmoy ut ()it 0 emarque : pour arriver à l expression de moy on pouvait aussi directement utiliser la formule établie au.4. : la résistance d une bobine idéale et d un condensateur idéal est nulle. 9 PCSI PTSI Conseil On retiendra que pour établir un bilan de puissance d un circuit série il suffit d écrire la loi des mailles et la multiplier par l intensité parcourant le circuit. p g ei Attention est bien la puissance fournie et non pas reçue car le dipôle est en convention générateur. Aspects énergétiques de l étude du circuit LC série.. Bilan des puissances instantanées Considérons un circuit LC série (figure 4), soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. e E m cos( ωt). La loi des mailles dans le sens anti-horaire donne : u L + u C + u e, soit L di q ---- + -- + i e. dt C Pour établir un bilan de puissance, multiplions cette dernière relation par i : it ()L di q ---- + -- + i ei. dt C dq En utilisant i -----, on obtient : dt Fig. 4 L -- di ------- ------ dq -------- q d + -- + i ei, soit ---- Li ------- dt C dt C dt d q + ---- ------ + i dt C ei. Le terme ei est la puissance p g fournie par le générateur, elle est évidemment égale à la somme des puissances reçues par la bobine p L, le condensateur p C et le résistor p : p L + p C + p p g. On reconnaît dans cette expression l énergie emmagasinée l énergie w C emmagasinée par le condensateur : d d ---- w dt L + ---- w dt C + p p g. e w L u i q C u C L u L par la bobine et Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

.. Bilan des puissances moyennes En faisant la valeur moyenne du bilan des puissances instantanées, on obtient : p L p C + + p p g. Or nous avons vu que les puissances moyennes reçues par une bobine et un condensateur sont nulles, on a donc : p p g. Les condensateurs et bobines ne participent donc pas au bilan de puissance moyenne en régime sinusoïdal forcé..3. ésonance en puissance moy p I e, I e étant la valeur efficace de l intensité it (). Cherchons l expression de it () I m cos( ωt + ϕ). On utilise les amplitudes complexes E m E m et I m I m exp( jϕ). La loi de Pouillet nous donne directement : I m E m Alors I m I m I m ---------------------------------------------- ; Lω ------- Cω La courbe représentant moy ( ω) (figure 5) s appelle courbe de résonance en puissance. Cette courbe est liée à la courbe de résonance en intensité (voir chapitre 5, 6.), puisque est proportionnel au carré de l amplitude de l intensité de courant. E m ------------------------------------. + jlω + --------- jcω I m et I e ------, donc moy I e ----------------------------------------------------. + Lω ------- Cω Lω 0 En utilisant ω 0 ----------- et Q ---------, on obtient l expression : LC E m moy ----------------------------------------------------------. Q ω ω + ----- ----- 0 ω moy E m ω 0 Les caractéristiques de la résonance de puissance sont les mêmes que celles de résonance en intensité : il y a toujours résonance, pour toute valeur de Q, pour ω ω 0. Soit E moymax ------- m On définit la bande passante par moy ( ω 0 ). ω ω ω, avec ω et ω tels que moy ( ω ) moy ( ω ) moymax -----------------------. I mmax Cela correspond aux relations I m ( ω ) I m ( ω ) -------------- pour l intensité. On retrouve donc la bande passante définie pour l étude des résonances d intensité et de charge. 6 Puissance en régime sinusoïdal forcé 93

retenir l essentiel Fig. 5 ésonance de puissance moy moymax --------------- moymax ω ω 0 ω ω 94 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

savoir résoudre les exercices elèvement du facteur de puissance Soit un dipôle quelconque D d impédance Z + js et consommant une puissance moy. Ce dipôle est alimenté par le secteur EDF, modélisé par un générateur de tension idéal de f.é.m. e() t de pulsation ω et de valeur efficace E e. Donner l expression de. I e Montrer que l on doit choisir un facteur de puissance le plus grand possible pour limiter les pertes Joule dans le réseau électrique EDF alimentant le dipôle. 3 En fait, EDF impose que les installations électriques doivent présenter un facteur de puissance supérieur à 0,93. On doit donc parfois modifier le facteur de puissance d un dipôle. On étudie ici la méthode consistant à placer en parallèle au dipôle un condensateur de capacité C. Établir en fonction de S, Z et ω l expression de la valeur de C qui permette d obtenir un facteur de puissance égal à un. résolution méthodique moy U e I e cosϕ I moy e ------------------- cosϕ U e Penser à utiliser la puissance moyenne reçue par un dipôle pour calculer l intensité du courant qui le traverse. Les pertes joules P J dans les câbles du réseau électrique EDF proviennent de la résistance non nulle de ces câbles, que l on appellera 0 : P J 0 I e P J est d autant plus grand, pour moy donné, que cosϕ est grand. 0 U e moy -------------------. cosϕ 3 On considère le dipôle D constitué de l ensemble {D + condensateur en parallèle}, d impédance Z alimenté par le générateur de f.é.m. e(). t La puissance moyenne reçue par D est la même que celle reçue par D. En effet le condensateur reçoit, en moyenne, une puissance nulle. En appelant I e l intensité efficace de i () t et ϕ le déphasage entre e() t et i (), t on a la relation : e (t ) i (t ) Z i (t ) u (t ) i c (t ) C moy U e I e cosϕ. D ( Z ) 6 Puissance en régime sinusoïdal forcé 95

savoir résoudre les exercices On cherche à obtenir un facteur de puissance égal à un, donc ϕ arg( Z ) 0 Z réel. Si Z est réel, alors Y l est également. ϕ 0, Un facteur de puissance égal à l unité correspond à une impédance ou une admittance réelle (partie imaginaire nulle). Le montage étant en parallèle, il est plus simple de faire l étude avec l admittance. or Y ( -------------------- + + js ) jcω js ------------------ + + S jc ω S Y réel ------------------ + + S Cω 0 ------------------ + S j S + ------------------ + + S Cω S S C --------------------------- ---------- en appelant Z Z. ω( + S ) ωz emarque : avec ou sans condensateur, le dipôle D est soumis à la même tension et il est parcouru par le même courant : le branchement en parallèle du condensateur n altère en rien le fonctionnement de D. Même si EDF ne le vérifie que rarement pour les particuliers, en revanche pour les installations industrielles EDF facture des «amendes» relativement importantes si le facteur de puissance est inférieur à 0,93. en conclusion Penser à utiliser la puissance moyenne reçue par un dipôle pour calculer l intensité du courant qui le traverse. Un facteur de puissance égal à l unité correspond à une impédance ou une admittance réelle (partie imaginaire nulle). Le montage étant en parallèle, il est plus simple de faire l étude avec l admittance. Adaptation d impédance Soit un générateur de tension sinusoïdal de force électromotrice instantanée E e cosωt, d impédance complexe interne Z g g + js g placé en série avec un réseau d impédance complexe Z + js. Déterminer l impédance Z 0 du réseau pour laquelle le générateur lui fournit une puissance moyenne maximale. moy 96 Pour cette question, on considère que l impédance du réseau est Z 0. Exprimer la puissance reçue par le réseau et la puissance dissipée par effet joule dans la résistance interne du générateur. En déduire le rendement du dispositif. Pour quelle valeur de le rendement est-il maximal? g g Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

résolution méthodique Soit ut () U e cos( ωt + φ) e( U m exp( jωt) ), avec U m U e exp( jφ) Z g et i() t I e cos( ωt + ψ) e( I m exp( jωt) ), avec I m I e exp( jψ) La puissance moyenne fournie au réseau est égale à e (t ) celle reçue par le réseau, moy. En posant ϕ φ ψ, on a moy U e I e cosϕ I e. (Essentiel du cours,.4) Il faut donc chercher I e. Utilisons la loi de Pouillet afin de déterminer : E e I m ---------------- + Z Z g E e -------------------------------------------------. ( + ) + j( S g + S ) g I m Z i (t ) u (t ) I Alors I m e --------- g E e --------------------------------------------------------. ( + ) + ( S g + S ) E e Ainsi moy I e ----------------------------------------------------. ( + ) + ( S g + S ) g Ne pas oublier que les résistances sont des grandeurs toujours positives alors que les réactances peuvent être négatives ou positives. Avant de dériver l expression de moy repérer que le dénominateur est minimal pour S + S g 0. Pour, g et S g donné, moy est maximal si S + S g 0, soit S S g. E moy I e e ----------------------- ( + ) g d et moy ( ( g + ) ( g + ) ) --------------- E d -------------------------------------------------------------- e ( + ). g d --------------- moy 0 si d g + 0. On a donc et S S g, soit : g Z 0 (grandeur conjuguée de Z g ). Z g Cette condition correspond à ce que l on appelle l adaptation d impédance. moy ( Z 0 Z g ) E ------------- ( ) E ------ 4 g ( Z 0 Z g ) g I g E e ----------------------- ( + ) g E ------------- ( ) E g ------ 4 moy ( Z 0 Z g ) 6 Puissance en régime sinusoïdal forcé 97

savoir résoudre les exercices De façon générale le rendement η est le rapport entre ce que l on récupère (ce qui nous «intéresse») et ce que l on fournit (ce que l on «dépense»). Ici, il s agit de transférer de l énergie électrique du générateur au réseau électrique. La puissance e fournie par le générateur de f.é.m. e (t) est égale à la somme des puissances reçues par le circuit électrique, soit e + moy. g Le rendement s écrit donc : η ------------ moy e -- 50 % Ce rendement est maximal, égal à un si moy e, donc si g 0. La condition recherchée est donc g 0 La résistance de l impédance complexe interne du générateur doit être nulle (mais bien entendu l adaptation d impédance, dans un tel cas ( g 0), n a plus d intérêt). en conclusion Ne pas oublier que les résistances sont des grandeurs toujours positives alors que les réactances peuvent être négatives ou positives. Avant de dériver l expression de moy pour chercher un extremum, repérer d éventuelles relations simples permettant d obtenir cet extremum. 98 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

retenir l essentiel Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre Fonction de transfert d un quadripôle linéaire Filtre.. Quadripôle Un quadripôle comporte quatre bornes : deux bornes d entrée et deux bornes de sortie (figure ). Fig. Tensions et intensités d entrée et de sortie d un quadripôle i e i s Générateur u e Quadripôle u s Charge.. Quadripôle linéaire Soit u e U em cos( ωt + ϕ e ) une tension sinusoïdale à l entrée d un quadripôle (pulsation ω, ω fréquence f ----- ). π Le quadripôle est linéaire si, en régime forcé (appelé aussi régime harmonique), la tension de sortie est sinusoïdale : u s U sm cos( ωt + ϕ s )..3. Théorème de superposition Soit u e et u e deux tensions d entrée. Soit u s et u s les tensions de sortie correspondantes. Alors la tension u s λ u s + λ u s est la tension de sortie correspondant à la tension d entrée u e λ u e + λ u e, λ et λ étant des constantes. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 99

retenir l essentiel.4. Fonction de transfert d un quadripôle linéaire.4.. Définition H( jω) u ---- s u e.4.. Expression H( jω) N( jω) ---------------- D( jω) N 0 + jωn + ( jω) N + + ( jω) m N -------------------------------------------------------------------------------------------------. m D 0 + jωd + ( jω) D + + ( jω) n D n Les coefficients sont réels et constants..4.3. Ordre d un quadripôle L ordre est celui du polynôme de plus haut degré, N( jω) ou D( jω)..4.4. Module et argument H( jω) H( ω) e jϕω ( ) H( ω) est le module de la fonction de transfert ; ϕω ( ) est la phase de la fonction de transfert..4.5. Valeur maximale et phase de la tension de sortie ( + ) ( + ), En notation complexe, u e U em e j ωt ϕ e et u s U sm e j ωt ϕ s d où : u s H ---- u s Hu e U sm e j ωt ϕ s H e jϕ U em e j ωt ϕ e u e ( + ) ( + ). elations entre la tension d entrée u e U em cos( ωt + ϕ e ) et la tension de sortie u s U sm cos( ωt + ϕ s ) d un quadripôle linéaire de fonction de transfert H H e jϕω ( ) : U sm et ϕ s ϕ e + ϕ. HU em.4.6. Cas d une tension d entrée constante En régime permanent, la réponse U s d un quadripôle à une tension d entrée constante U e peut-être considérée comme celle d une tension périodique de fréquence nulle (période infinie) : U s H( ω 0)U e..5. Quadripôle passif, quadripôle actif 00 Un quadripôle est passif quand il ne comporte que des dipôles passifs comme, L ou C. Il est actif s il contient en plus des sources d énergie électrique. Dans la pratique il s agit d un ou de plusieurs amplificateurs opérationnels fonctionnant en régime linéaire, dont la description est donnée figure. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Fig. Amplificateur opérationnel (AO) en régime linéaire u + ε 0 u i + 0 i 0 + u s Le courant d entrée inverseuse est nul. Le courant d entrée non inverseuse + est nul. La tension différentielle ε est nulle. emarque. L alimentation en énergie électrique n est pas représentée..6. Filtre Un filtre idéal est un quadripôle linéaire pour lequel la tension de sortie est nulle dans un domaine de fréquences caractéristique. Un filtre réel est un quadripôle linéaire pour lequel la tension de sortie est atténuée dans un domaine de fréquences caractéristique. Diagramme de Bode d un filtre.. Forme réduite de la fonction de transfert d un filtre H( jx) u s u e ---- Hx ( ) e jϕ x x est la pulsation réduite, ou fréquence réduite, avec x est la pulsation caractéristique du filtre, f 0 est la fréquence caractéristique. ω 0 ( ) ω ----- ω 0 f ----. f 0 Attention Le point d abscisse x 0 n apparaît pas sur le diagramme de Bode puisque log( 0)... Diagramme de Bode d un filtre Le diagramme de Bode est la représentation de la fonction de transfert H( jx) d un filtre. Il est constitué de deux courbes : la courbe de réponse en gain, exprimé en décibels, Gx ( ) 0log H( jx) en fonction de log( x) ; la courbe de réponse en phase ϕ( x) en fonction de log( x). Point maths. L expression «log( x)» désigne le logarithme décimal de x. On peut aussi tracer les courbes G( ω) 0log H( jω) et ϕω ( ) en fonction du logarithme décimal de la valeur numérique de ω, noté log( ω). Point maths. L échelle logarithmique. Décade L axe des abscisses de chacune des courbes Gx ( ) et ϕ( x) est gradué en échelle logarithmique (figure 3). Les valeurs de x sont en général représentées par décades ( 0 3, 0, 0,, 0, 0, 0 3 ). f Une décade est l intervalle de fréquence [ f ; f ] tel que : ---- 0. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre f 0

retenir l essentiel Fig. 3 Principe de l échelle logarithmique 0-3 x x 0x 0-0 - 0 0 0 3 x en échelle logarithmique 3 0 3 décade X X X + X log(x) en échelle linéaire.3. Bande passante à -3 db La bande passante à 3 db d un filtre est la bande de fréquence à l intérieur de laquelle : H max H --------------- ou G G max 3 (db)..4. Multiplication de la fonction de transfert par une constante Soit T( jx) A 0 H( jx) A 0 Hx ( ) e jϕ( x) Tx ( ) e jθ( x) avec A 0 une constante réelle. Gx ( ) 0log T( jx) 0logA 0 + 0log H( jx). La courbe de réponse en gain de la fonction de transfert T( jx) se déduit de celle de la fonction de transfert H( jx) par translation 0log( A 0 ) le long de l axe des gains. θ( x) ϕ( x). La courbe de réponse en phase de la fonction de transfert T( jx) se confond avec celle de la fonction de transfert H( jx). 3 Filtre passe-bas du premier ordre 3.. Fonction de transfert Fonction de transfert H( jω) et forme réduite H( jx) de la fonction de transfert d un filtre passe-bas du premier ordre : A H( jω) 0 A ----------------- 0 et j ω ---------------- + ----- j f H( jx) A 0 -------------. + jx + --- ω c f c ω c est appelée pulsation de coupure et f c fréquence de coupure. A 0 est une constante réelle. ω f x est la pulsation réduite avec x ----- ---. f c ω c 0 ω Le terme en -----, d ordre, est celui dont l ordre est le plus élevé d où le nom de premier ω c ordre donné au filtre. L étude menée au.4 nous permet de travailler dans la suite avec la valeur A 0 car la courbe de réponse en gain se déduit de celle de la fonction de transfert dans laquelle A 0 par translation 0logA 0 le long de l axe des gains et les courbes de réponse en phase sont identiques. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

3.. Comportements asymptotiques et expression à la fréquence de coupure 3... Comportement asymptotique à basse fréquence (BF) x H( jx) H( jx) G H( jx) e jϕ( x) BF 0log( ) 0 ϕ BF 0 Point maths. Pour déterminer le comportement asymptotique à basse fréquence, on cherche un équivalent de la fonction de transfert à basse fréquence. Pour cela on ne conserve au dénominateur que le terme de plus bas degré en x, soit ici le terme (degré nul). On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : G BF 0 et ϕ BF 0. appel -- j e j j π -- 3... Expression à la fréquence de coupure (x ) f f c x H( jx) e jϕ( x) ---------- ------ e j π H( j) ------ G ( x ) -- 4 + j π ϕ ( x ) -- 4 La courbe du gain en fonction de log( x) passe par le point ( 0 ; 3 db). La courbe de la phase en fonction de log( x) passe par le point π 0 ; --. 4 3..3. Comportement asymptotique à haute fréquence (HF) x H( jx) --- -- e j π -- jx x H( jx) H( jx) e jϕ( x) 3 db -- G x HF 0log() x Point maths. Pour déterminer le comportement asymptotique à haute fréquence, on cherche un équivalent de la fonction de transfert à haute fréquence en ne conservant que le terme de plus haut degré en x, soit ici le terme jx. π On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence : G HF 0logx et ϕ HF --. ϕ HF π -- 3.3. Diagramme asymptotique de Bode La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 4a) est constituée des deux demi-droites d équations G BF 0 et G HF 0logx reliées au point (0 ; 0). La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 4b) est constituée des π deux demi-droites d équations ϕ BF 0 et ϕ BF -- d origine log( x) 0, et du segment vertical qui les relie. 3.4. Pente de l asymptote haute fréquence dg HF En posant X log( x), il vient G HF 0X ------------ 0 db/décade. Le gain diminue de 0 db quand la fréquence est multipliée par 0 (X augmente d une unité) ; on dit dx que la pente de l asymptote haute fréquence est égale à 0 db par décade. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 03

retenir l essentiel 3.5. Diagramme de Bode Les valeurs du gain et de la phase à basse et à haute fréquences et à la fréquence de coupure ( x ) suffisent pour donner l allure du diagramme de Bode complet. Il peut être aussi tracé à l aide d un logiciel de calcul formel (traits en couleur sur la figure 4). Fig. 4 Diagramme de Bode d un filtre passe-bas du premier ordre de fonction de transfert H( jx) ------------- + jx a) b) Conseil Pour tracer l asymptote haute fréquence du gain, il suffit de remarquer qu elle passe par les points (0 ; 0) et ( +, 0 db). G(x ) (db) ϕ(x ) (rad) 0 0 log(x ) Bande passante 0, 0 0,4 0,6 log x log(x ) 0 0,8 30 40 a) Courbe du gain (en couleur) et courbe asymptotique du gain (en noir). On a porté log(x) en échelle linéaire des abscisses. Le gain est en décibels. b) Courbe de la phase (en couleur) et courbe asymptotique de la phase (en noir). On a porté log(x) en échelle linéaire des abscisses. La phase est en radians.,,4,6 04 Filtre passe-bas du premier ordre, de fonction de transfert : H( jx) -------------. + jx La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d équations G BF 0 et G HF 0logx reliées au point (0, 0). La pente de l asymptote haute fréquence du gain est égale à 0 db par décade. La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d équations ϕ BF 0 et ϕ HF --, d origine log( x) π 0, et du segment vertical qui les relie. π La phase est une fonction décroissante de 0 à --. Le point π 0 ; -- 4 est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction de log( x). Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

3.6. Bande passante à 3 db Point méthode. Détermination de la bande passante à 3 db d un filtre a) Déterminer la valeur maximale du module de la fonction de transfert. H max H max b) ésoudre l équation H ----------------. Selon le cas, on travaille avec la pulsation, la fréquence ou la fréquence réduite. Autre méthode : déterminer la valeur maximale G max du gain, puis résoudre l équation G G max 3. Exemple du filtre passe-bas du premier ordre : H max Détermination de la valeur maximale du module de la fonction de transfert : H max H x 0. ésolution de l équation : H( jx) H max ------------- ------------------ ------------ x + jx + x f f c. La bande passante à 3 db d un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure f c est : f [ 0 ; f c ]. 4 Filtre passe-haut du premier ordre 4.. Fonction de transfert Fonction de transfert H( jω) et forme réduite H( jx) de la fonction de transfert d un filtre passe-haut du premier ordre : ω c A 0 j ----- ω j --- f ω c f H( jω) A 0 ----------------- c jx ; + j----- ω A 0 --------------- + j--- f H( jx) A 0 -------------. + jx ω c f c est la pulsation de coupure et est la fréquence de coupure. est une constante réelle. f c ω Le terme en -----, d ordre, est celui dont l ordre est le plus élevé d où le nom de premier ω c ordre donné au filtre. Nous travaillerons dans la suite avec la valeur A 0. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 05

retenir l essentiel 4.. Comportements asymptotiques et expression à la fréquence de coupure 4... Comportement asymptotique à basse fréquence (BF) f f c x H( jx) jx xe jπ-- H( jx) e jϕ( x) H( jx) x G BF π ϕ BF -- 0log( x) appel Point maths. On ne conserve que les termes de plus bas degré en x, au numérateur j e jπ--. ( jx) et au dénominateur (). On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : G BF π 0log() x et ϕ BF --. 4... Expression à la fréquence de coupure ( x ) f f c x H( j) H( j) e jϕ( ) j ---------- ------e jπ-- 4 H( jx) e + j jϕ( x) H( j) ------ G ( x ) 3 db π ϕ ( x ) -- 4 La courbe du gain en fonction de log( x) passe par le point ( 0 ; 3 db). La courbe de la phase en fonction de log( x) passe par le point 0 ; π --. 4 4..3. Comportement asymptotique à haute fréquence (HF) H( jx) G f f c x H( jx) H( jx) e jϕ( x) HF 0 ϕ HF 0 On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence : G HF 0 et ϕ HF 0. 4.3. Diagramme asymptotique de Bode La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 5a) est constituée des deux demi-droites d équations G BF 0logx et G HF 0 reliées au point ( 0 ; 0) ; La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 5b) est constituée des π deux demi-droites d équations ϕ BF -- et ϕ d origine et du segment vertical qui les HF 0, log( x) 0, relie. 4.4. Pente de l asymptote haute fréquence 06 dg HF En posant X log( x), il vient G HF 0X, d où ------------ 0 db/décade. Le gain augmente de 0 db quand la fréquence est multipliée par 0 (X augmente d une unité) ; la dx pente de l asymptote basse fréquence du gain est égale à +0 db par décade. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Fig. 5 4.5. Diagramme de Bode Diagramme de Bode d un filtre passe-haut du premier ordre de fonction de transfert H( jx) jx ------------- + jx Conseil Pour tracer l asymptote basse fréquence du gain, il suffit de remarquer qu elle passe par les points (0 ; 0) et ( ; 0 db). a) b) G(x) (db) 0 log(x) Bande passante 0 0 ϕ(x) (rad),0,4, 0,8 0,6 30 0,4 40 0, 0 log(x) a) Courbe du gain (en couleur) et courbe asymptotique du gain (en noir). On a porté log(x ) en échelle linéaire des abscisses. Le gain est en décibels. b) Courbe de la phase (en couleur) et courbe asymptotique de la phase (en noir). On a porté log(x ) en échelle linéaire des abscisses. La phase est en radians. jx Filtre passe-haut du premier ordre, de fonction de transfert H( jx) -------------. + jx La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d équations G BF 0log() x et G HF 0 reliées au point ( 0 ; 0). La pente de l asymptote basse fréquence du gain est égale à +0 db par décade. La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d équations π ϕ BF -- et ϕ d origine et du segment vertical qui les relie. HF 0, log( x) 0, π La phase est une fonction décroissante de -- à 0. Le point 0 ; π -- est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction 4 de log( x). emarque : [ H( jx) ] passe haut jx ------------- + jx jx ------------- xe jπ-- π [ H( jx) ] + jx passe [ ϕ( x) ] passe -- + [ ϕ( x) ] passe La courbe de réponse en phase du filtre passe-haut se déduit de celle du filtre passe-bas π par translation positive de -- le long de l axe des phases. bas 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre haut bas 07

retenir l essentiel 4.6. Bande passante à 3 db Application de la méthode donnée au 3.6 Détermination de la valeur maximale H max du module de la fonction de transfert : H max H x. ésolution de l équation : H( jx) jx H max ------------- ------------------ ------------ x f f c. + jx + ---- x La bande passante à 3 db d un filtre passe-haut du premier ordre de fréquence de coupure f c est f [ f c ; [. 5 Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d un filtre Fig. 6 Les comportements à basse et à haute fréquences des condensateurs et des bobines idéales (figure 6) permettent de prévoir avant tout calcul les comportements asymptotiques d un filtre. Comportements à basse et à haute fréquences d un condensateur et d une bobine Basse fréquence Haute fréquence Basse fréquence Haute fréquence Point méthode. Comportements asymptotiques d un filtre Faire le schéma équivalent du filtre à basse fréquence en remplaçant les condensateurs par des interrupteurs ouverts et les bobines idéales par des interrupteurs fermés, et déterminer la tension de sortie. Faire le schéma équivalent du filtre à haute fréquence en remplaçant les condensateurs par des interrupteurs fermés et les bobines idéales par des interrupteurs ouverts, et déterminer la tension de sortie. En déduire si le filtre est passe-bas ou passe-haut : c est un filtre passe-bas si la tension de sortie s annule seulement à haute fréquence ; c est un filtre passe-haut si la tension de sortie s annule seulement à basse fréquence. 08 emarques : Un filtre dont la tension de sortie s annule à basse fréquence et à haute fréquence est un filtre passe-bande. Il sera étudié au prochain chapitre. La tension de sortie de certains quadripôles ne s annule ni à basse fréquence ni à haute fréquence. Des exemples seront présentés en exercices. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

PCSI 6 Équation différentielle d un système du premier ordre Stabilité 6.. Équation différentielle déduite de la fonction de transfert On peut déduire l équation différentielle d un système du premier ordre en remplaçant chaque terme jω par l opérateur ---- dans la fonction de transfert. d dt La forme générale de la fonction de transfert d un filtre du premier ordre s écrit u H( jω) ---- s N 0 + jωn --------------------------, D 0 + jωd d où l équation différentielle : u e 6.. Stabilité du système Un système est stable lorsque sa réponse à une excitation est bornée, c est-à-dire qu elle ne tend pas vers l infini quand le temps tend vers l infini. Analysons la réponse d un quadripôle du premier ordre (figure 7). du s du D ------- e + D dt 0 u s N -------- + N dt 0 u e Fig. 7 u e Quadripôle du premier ordre Le quadripôle est soumis à la tension fournie par la source quand on ferme l interrupteur. u s 6... égime libre (interrupteur ouvert) C est la solution u sl Elle est de la forme de l équation différentielle u sl Ke D ------ t D 0, du sl D ---------- + D dt 0 u sl 0. avec K constante a priori non nulle. Cette solution converge vers zéro quand t tend vers l infini si ------ 0 ; elle n est pas bornée si ------ 0 (elle tend alors vers l infini). Il faut donc que les coefficients D 0 et D soient du même signe pour que le système soit stable vis-à-vis de la réponse libre. ω N Sachant que x ----- 0 + N jx, la fonction de transfert s écrit aussi sous la forme H( jx) -------------------------. ω 0 D 0 + D jx Il faut que les coefficients D 0 et D soient du même signe pour que le système soit stable. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre D D 0 D D 0 09

retenir l essentiel Un système du premier ordre est stable en régime libre si les coefficients D 0 et D (respectivement D 0 et D ) du dénominateur de la fonction de transfert N H( jω) 0 + jωn N 0 + N jx -------------------------- (respectivement H( jx) -------------------------) sont du même signe. D 0 + jωd D 0 + D jx 6... égime forcé sinusoïdal (interrupteur fermé) Les amplitudes U em et U sm des tensions d entrée et de sortie sont liées par la relation (voir.3.5) : U sm H( jω) U em. L amplitude de sortie est bornée (non infinie) si le module de la fonction de transfert est borné quelle que soit la fréquence. Un système du premier ordre est stable en régime forcé si le module de la fonction de transfert est borné quelle que soit la fréquence. Pour faire l étude d un quadripôle nous supposerons a priori qu il est stable. Les signes des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert montreront s il en est bien ainsi. En cas d instabilité, la réponse du système ne peut pas être sinusoïdale ; le quadripôle n est pas linéaire. PCSI 7 Caractère intégrateur ou dérivateur d un filtre 7.. Caractère intégrateur à haute fréquence d un filtre passe-bas du premier ordre f ω À haute fréquence ( --- ----- ), la fonction de transfert H( jω) ----- ----------------- d un f c ω c u e + j----- ω filtre passe-bas du premier ordre se simplifie en : ω c H( jω) u ----- s u e A 0 ------- j----- ω j----- ω u ω s A 0 u e. c ω c du On en déduit l équation différentielle : ------- s ω dt c A 0 u e. La tension de sortie est donc de la forme u s A 0 ω c u e dt. Un filtre passe-bas du premier ordre a un caractère intégrateur à haute fréquence. u s A 0 0 7.. Caractère dérivateur à basse fréquence d un filtre passe-haut du premier ordre À basse fréquence ( f ω --- ----- ), la fonction de transfert : f c ω c j----- ω u H( jω) ---- s ω c A u 0 ----------------- e + j----- ω, ω c Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

d un filtre passe-haut du premier ordre se simplifie en : H( jω) u s ---- A 0 j----- ω u ω s c u e A 0 j----- ω u ω e. c A 0 On en déduit l équation différentielle : u s ----- du e --------. dt ω c Un filtre passe-haut du premier ordre a un caractère dérivateur à basse fréquence. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre

savoir résoudre les exercices Filtre passif passe-bas On considère le filtre de la figure suivante. On donne C 3,0 kω. Déterminer les comportements asymptotiques du filtre. En déduire sa nature. Exprimer la fonction de transfert sous la forme A 0,0 µf,,0 kω H( jω) -----------------. Exprimer la constante A et + jωτ 0 la constante de temps τ. 3 Calculer la durée τ, la fréquence de coupure f c, et le gain maximal G max. i s 0 4 À l entrée du filtre, on injecte la tension sinusoïdale u e () t U em cos( πft) f c d amplitude U em 0 V et de fréquence f -----. Déterminer la tension u 0 s () t de sortie. u e C u s et résolution méthodique Appliquons la méthode du cours. À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert (figure a). Les deux résistors sont traversés par le même courant ; ils sont en série. La branche, u s u e réalise un diviseur de tension : ---- ------------------ 0. + À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé (figure b) donc u s 0. La tension de sortie est nulle seulement à haute fréquence ; le filtre est un filtre passe-bas. L étude des comportements asymptotiques d un quadripôle peut permettre d en connaître la nature. a) Basse fréquence b) Haute fréquence i s 0 i s 0 u e u u s u e e u s 0 Soit Z l impédance de l association du condensateur et du résistor de résistance, et Y son admittance. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Le courant de sortie est nul. Le résistor et le dipôle Z sont traversés par le même courant ; ils sont en série. Le circuit (figure ci-contre) réalise un diviseur de tension qui permet d exprimer facilement la fonction de transfert : u e Z i s 0 u s H( jω) u s Z ---- ---------------- + Z u e -------------------- + Y ------------------------------------------- --------------- ----------------------------------- + ----- + jcω + ----- + j---------------cω + ----- ------------------ + --------------------------------------. jω + ------------------C + Lorsque des éléments d un quadripôle sont en parallèle, on simplifie souvent la détermination de la fonction de transfert en utilisant l admittance équivalente. Par identification, on obtient : A 0 ------------------ et τ ------------------C + + La fonction de transfert est bien celle d un filtre passe-bas, en accord avec la détermination rapide de la première question. Il faut vérifier que l expression de la fonction de transfert confirme la prévision des comportements asymptotiques d un quadripôle. 3 τ 0,75 ms et f c -------- 0, khz πτ H max A 0 G max 0log( A 0 ) G max,5 db 4 Avec les données on a : ωτ ω f ----- --- ω c Travaillons en notation complexe pour déterminer la tension de sortie. Tension d entrée en notation complexe : Tension de sortie en notation complexe à partir de la fonction de transfert : f c -----. 0 u e E m cos( πft) E m e jπft. u e u s H( jω) u s A ---- 0 A u u s H( jω)u e ----------------- 0 u e + jωτ e -------------------------------- U em e jπft + ω τ e jα A 0 U em ------------------------- e jπft ( α) avec tanα + ω τ ωτ. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 3

savoir résoudre les exercices Tension de sortie réelle en prenant la partie réelle de son expression complexe : A 0 U em 0,75 0 u s ------------------------- cos( πft α) ----------------------- cos( πft α) 7,5cos( πft α) + ω τ + 0 tanα 0,0 α 0,0 rad. Finalement : u s () t 7,5cos(,3 0 t 0,0) (V) en conclusion L étude des comportements asymptotiques d un quadripôle peut permettre d en connaître la nature. Il faut vérifier que l expression de la fonction de transfert confirme la prévision des comportements asymptotiques d un quadripôle. Lorsque des éléments d un quadripôle sont en parallèle, on simplifie souvent la détermination de la fonction de transfert en utilisant l admittance équivalente. Filtre actif passe-haut. Bilan de puissance On considère le filtre ci-contre. Le dipôle placé en sortie est un résistor de résistance c. Données : C 0,0 µf, 5,0 kω, c 0,50 kω. Déterminer les comportements asymptotiques du filtre. En + déduire sa nature. C Calculer la constante de temps τ du circuit C. u e C u s 3 Soit x la pulsation réduite avec ω f x ----- --- Cω. ω c f c Exprimer la fonction de transfert sous la forme réduite H( jx). Dépend-elle de la résistance de charge c? 4 Quels sont la nature et l ordre du filtre? Calculer la fréquence de coupure fc. 5 On place en entrée un générateur idéal de tension u e () t E m cos( πft) avec f c E m,0 V et de fréquence f ---. Déterminer la tension u et l intensité s () t i s () t de sortie. 6 Calculer la puissance moyenne c reçue par la charge? Quelle est la puissance moyenne reçue à l entrée de l AO? Que doit-on en conclure? + 4 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

7 Dans la pratique, l amplitude de l intensité du courant de sortie est limitée à I smax 0 ma et l amplitude de la tension de sortie est limitée à U smax 3 V par un système électronique interne à l AO. Déterminer : la valeur maximale de l amplitude de la tension d entrée ; U e max la valeur c de la résistance de charge quand les amplitudes de la tension et de l intensité sont maximales ; la valeur maximale de la puissance moyenne de sortie de l AO. c max résolution méthodique Appliquons la méthode du cours. À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert. Il n y a pas de courant dans le résistor. L analyse de la figure conduit à u s 0. u e i + 0 + ε0 i 0 u + i + 0 u u + 0 i s Figure : Basse fréquence C u s u 0 À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé. L analyse de la figure conduit à u s u e. i + 0 ε0 i 0 + i s u e u + u C u s u u e u u + u e Figure : Haute fréquence La tension de sortie est nulle seulement à basse fréquence ; le filtre est un filtre passehaut. τ C 0,50 ms 5 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre

savoir résoudre les exercices 3 Analysons la figure 3. Le courant d entrée + est nul ( i + 0). En conséquence, le condensateur C et le résistor sont en série. Le circuit réalise un diviseur de tension : u ------ + u e jx -------------------- ------------- et + jx + --------- jcω u ---- s u ----- u s ----- u + ------ u H( jx) u e u + u e jx -------------. + jx u e C u + i + 0 ε0 i 0 u + Figure 3 i s C u s { { La fonction de transfert ne dépend pas de la valeur de la résistance de charge. Quand un circuit comporte un AO, mettre en place tout de suite sur le schéma du circuit les caractéristiques de l amplificateur opérationnel : les courants d entrée i + et i sont nuls, la tension différentielle d entrée ε est nulle. Dans son domaine normal d utilisation, la tension de sortie d un AO ne dépend pas de la charge. 4 On reconnaît la fonction de transfert d un filtre passe-haut du premier ordre. f c f ----------- -------------- 0,3 khz Cω πc 5 Travaillons en notation complexe pour déterminer la tension de sortie. Tension d entrée en notation complexe : u e E m cos( πft) u e E m e jπft. Tension complexe de sortie exprimée à partir de la fonction de transfert : H j -- avec j u ---- s u u s H j -- e -- ue ------------ j u ----------E j e + j m e jπft e j π -- E -------------- E + -- e jα m e jπft ------- m e j πft π + 5 5 tanα --. Tension de sortie en prenant la partie réelle de son expression complexe : E m π u s ------- cos πft + -- α 5. -- α Finalement : u s () t 0,89cos(,0 0 3 t +,) (V) 6 u s c i s i s () t,8cos(,0 0 3 t +,) (ma) Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Ne pas oublier que, contrairement aux courants d entrée, le courant de sortie d un AO est en général non nul. 6 La charge reçoit la puissance : U -------------- s max 0,89 ---------- c ----------------------- ------------------ 5 0 0,80 mw. c c Le courant d entrée + de l AO est nul ; la puissance transférée à cette entrée est nulle. C est donc la source d alimentation de l AO (jamais représentée dans les schémas) qui fournit toute l énergie à la charge. 7 Valeur maximale de l amplitude de la tension d entrée : U emax Valeur c de la résistance de charge : U e max U smax 5 9 V U s max c -------------- 0,65 kω I s max Valeur maximale de la puissance moyenne de sortie de l AO : c max c max -- c I s max 0,3 W appel. La puissance moyenne reçue par un résistor de résistance traversé par un courant sinusoïdal d amplitude I max et de valeur efficace I e s écrit : I e -- I max. Le montage de l AO est appelé «montage en suiveur» car la tension de sortie est égale à la tension d entrée +. La puissance reçue par la charge est entièrement fournie par la source d alimentation de l AO. Les puissances mises en jeu par un AO sont toujours faibles. Malgré son nom, «amplificateur», il ne peut pas servir d amplificateur de puissance d une chaîne «HI-FI» par exemple, qui mettent en jeu des puissances de l ordre de 0 watts. en conclusion Quand un circuit comporte un AO, il faut mettre en place tout de suite sur le schéma du circuit les caractéristiques de l amplificateur opérationnel : les courants d entrée i+ et i sont nuls, la tension différentielle d entrée ε est nulle. Contrairement aux courants d entrée, le courant de sortie d un AO est en général non nul. Dans son domaine normal d utilisation, la tension de sortie d un AO ne dépend pas de la charge. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 7

savoir résoudre les exercices 3 Passe-tout déphaseur du premier ordre On considère le quadripôle en sortie ouverte ci-contre. Il comprend deux résistors identiques de résistance, et deux condensateurs identiques de capacité C. Données : C 0µF, 00Ω. Déterminer les comportements asymptotiques du quadripôle. econnaît-on un filtre? Soit x la pulsation réduite définie par la relation Cω x. Exprimer la fonction de transfert sous la forme canonique H( jx). 3 Calculer le gain du quadripôle. Que peut-on en conclure? C u e u s C 4 Tracer l allure de la courbe de la réponse de la phase ϕ( x) en fonction de log( x). résolution méthodique Appliquons la méthode du cours. À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert (figure a) ; il n y a pas de courant dans les résistors. Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique) : u e u u s u 0, d où u e 0 u s 0 0, soit u s u e. À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé donc u u e (figure b). Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique) : u e u u s u 0, d où u e u e u s u e 0, soit u s u e. a) Basse fréquence u b) Haute fréquence 0 u i s 0 i s 0 u s u s u 0 u u e u e On peut déduire de ce comportement que ce quadripôle n est ni un filtre passe-bas, ni un filtre passe-haut. 8 Dans chacune des branches, le condensateur et le résistor sont en série. Chacun des circuits C réalise un diviseur de tension, ce qui permet d écrire : u jx ----- ------------------------ -------------. u e + jx + ------------- jcω Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique sur la figure b) : u e u s + u d où : jx H( jx) ------------- + jx On constate que la fonction de transfert n est pas celle d un filtre passe-bas, ni celle d un filtre passe-haut, en accord avec l étude rapide faite dans la première question. Le quadripôle est du premier ordre. Il faut vérifier que l expression de la fonction de transfert est en accord avec l étude rapide. + x 3 H( jx) -------------- G 0log H( jx) 0! Le quadripôle n est pas un filtre + x car le gain ne dépend pas de la pulsation. On dit que c est un passe-tout déphaseur du premier ordre ; seule la phase dépend de la fréquence. + x 4 H( jx) e ------------------------------ jα e jα avec ; + x e ϕ ( x ) α tanα x jα ϕ( x) arctan( x) ϕ( x ) arctan( 0) 0 d où ϕ BF 0. π ϕ( x ) arctan( ) -- d où ϕ HF π. L allure de la courbe de la réponse ϕ( x) en fonction de log( x) se trace en plaçant quelques points dans le plan ( log( x), ϕ( x) ). On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel. 3 (rad) 0 0,5 3 log(x) x 0,5 log(x) 0,30 0 0,30 ϕ(x) en rad 0,9 π --,,5,5 3 en conclusion Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 9

savoir résoudre les exercices PCSI 4 Intégrateur et pseudo-intégrateur à amplificateur opérationnel Soit le quadripôle actif ci-contre. Données : C,0µF et 0 kω. Exprimer la fonction de transfert H( jω). On posera τ C. Établir l équation différentielle reliant + la tension de sortie à la tension u e us d entrée. En déduire que ce montage est un circuit intégrateur. 3 À la date t 0, on applique en entrée un échelon de tension de valeur E,0 mv. Déterminer la tension u s () t de sortie sachant que le condensateur est initialement déchargé. 4 Il existe des tensions de saturation en sortie de l AO, de valeurs U sat ± 5 V. Quelle est la valeur de saturation atteinte par la tension de sortie? À quelle date t sat? 5 Dans la pratique, les tensions d entrée s écrivent sous la forme ue () t ε + ft (), ε étant une tension constante appelée tension de décalage ; sa valeur peut être faible, mais jamais nulle. Pourquoi dit-on que le montage ne peut pas fonctionner en intégrateur? 6 La saturation de la tension de sortie peut être évitée en plaçant un résistor de résistance en parallèle avec le condensateur, comme indiqué cicontre. C a. Exprimer la fonction de transfert sous la forme : + A 0 T( jω) -------------------, avec A une + jωτ 0 constante à exprimer et τ C. b. À quelle condition sur le produit ωτ le filtre a-t-il un caractère intégrateur? On dit alors que c est un pseudointégrateur. c. On considère que le filtre est intégrateur pour les fréquences supérieures à 0f c, f c étant la fréquence de coupure du filtre. Quelle valeur de faut-il choisir pour que le filtre soit intégrateur pour des fréquences supérieures à 00 Hz? d. Quel est alors l effet d une tension de décalage E 0 mv? Conclure. u e C u s 0 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

résolution méthodique Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point A, de potentiel nul (figure) : u A --- + jcω u E ----- + jcωu S 0 u s u s ------------- u jcω E H( jx) ---- u e ------------- jcω E ε 0 i + 0 + u i 0 e A C S u s H( jω) -------- jωτ On peut appliquer la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) à l entrée inverseuse et à l entrée non inverseuse + d un AO car les courants d entrée sont nuls. Il ne faut pas l appliquer à la sortie d un AO car le courant de sortie est en général non nul. d En remplaçant l expression jω par ----, il vient : u dt E jωτu S u e τ du s ------- dt u s () t du s --u τ e dt du s u s ( 0) t t -- u τ e dt u s u s0 ( ) -- u τ e dt 0 La tension de sortie est une primitive de la tension d entrée ; le circuit est un circuit intégrateur. 0 t t 3 u s u s0 ( ) -- Edt E - u. τ + τ s0 ( ) 0 C La continuité de la tension aux bornes du condensateur ( ) permet d écrire (figure u C0 ( ) 0 u s0 ( ) u C0 ( ) ci-contre) : 0. Finalement : t u s () t E - τ u e u 0 + u C u s A.N. : u s () t 0,0t (V). 4 La tension de sortie décroît ; elle atteint donc la valeur négative 5 V de saturation de la tension. Il vient : u s ( t sat ) 0,0t sat 5 t sat,5 0 s 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre

savoir résoudre les exercices 5 t u s -- [ ε + ft ()]dt -- τ τ 0 t 0 ft ()dt ε t τ -. Aussi petite que soit la valeur de la tension ε, le terme ε t varie de manière monotone ; τ - il y a donc saturation de la sortie ; le montage ne peut pas fonctionner en intégrateur. 6 a. Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point A, de potentiel nul (figure ci-contre) : u A ----- jcω + + --- H( jω) u s u E ----- + ----- + jcω us 0 ---- -------------------------- u e ----- + jcω ----- -------------------, + jωτ E A + u e C u s S avec : A 0 ----- b. Le filtre a un caractère intégrateur si on peut écrire : ce qui implique : H( jω) ----- ---------- jωτ ωτ f c. La condition ---- 0 avec f 00 Hz donne : f c --------, jωτ f c 0 π C -----. 0 A.N. : 6 kω. d. Une tension de décalage E en entrée provoque, en régime permanent, une tension de décalage en sortie d expression : U s U s H( ω 0)E ----- E. A.N. : U s,6 mv. En régime permanent, une tension U e d entrée constante peut-être considérée comme une tension sinusoïdale de fréquence nulle (période infinie). La tension de sortie U s correspondante s écrit : U s H( ω 0)U e. Il n y a donc pas de saturation en sortie ; le montage fonctionne en intégrateur pour des fréquences supérieures à 00 Hz. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

en conclusion On peut appliquer la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) à l entrée inverseuse et à l entrée non inverseuse + d un AO car les courants d entrée sont nuls. Il ne faut pas l appliquer à la sortie d un AO car le courant de sortie est en général non nul. En régime permanent, une tension U e d entrée constante peut-être considérée comme une tension sinusoïdale de fréquence nulle (période infinie). La tension de sortie U s correspondante s écrit : U s H( ω 0)U e. 5 Quadripôle déphaseur On considère le quadripôle ci-contre. Données : C 0, µf, 47 kω. Exprimer la fonction de transfert. Le quadripôle est-il stable? Exprimer le gain et la phase du quadripôle. Quelle est la nature de ce quadripôle? u e C + u s 3 Établir l équation différentielle reliant la tension de sortie à la tension d entrée. On posera τ C. 4 À la date t 0 on applique en entrée un échelon de tension de valeur E,0 V. Déterminer la tension u s () t de sortie sachant que le condensateur est initialement déchargé. résolution méthodique Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point A de la figure. u A ----- + ----- u E u ----- + ----- S u u e + u s. Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point B. E + B u e i 0 C A i + 0 ε 0 S u s 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 3

savoir résoudre les exercices u B --- + jcω u + --- + jcω u + ( + jx) u ----- E + jcω u M u ---- e + jcω 0 avec x Cω. u e Autre méthode : utiliser la propriété du diviseur de tension réalisé par la branche C (ils sont en série) : u --------- + jcω ------ ------------------- ------------- avec x Cω. u e + jx + --------- jcω Les tensions d entrée de l AO sont égales ( u u + ) donc : u u e + u s u + u e ------------- + jx H( jx) jx ------------- + jx Pour le calcul de la fonction de transfert, on utilise : la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) ; la propriété d un diviseur de tension ; l égalité des tensions d entrée de l AO (tension différentielle d entrée nulle). Les coefficients du dénominateur de la fonction de transfert ( et ) étant du même signe, le quadripôle est stable. La fonction de transfert est la même que celle du quadripôle de l exercice 3. Mais la présence de l AO rend son expression indépendante d une charge que l on placerait en sortie ; au contraire la fonction de transfert de l exercice 3 serait modifiée, le courant de sortie n étant alors pas nul. + x H( jx) e ------------------------------ jα e jα H( jx) et ϕ( x) α avec tanα x, d où : + x e jα G 0log H( jx) 0 et ϕ( x) arctan( x) Le quadripôle n est pas un filtre, c est un passe-tout déphaseur (voir exercice 3 précédent). 3 H( jω) u ---- s u e jωτ ----------------- u + jωτ s ( + jωτ) ( jωτ)u e u s + jωτ u s u e jωτ u e. d En remplaçant l expression jω par ---- on obtient : dt 4 u s τ du s + ------- u dt e τ du e -------- dt Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

L équation différentielle d un système du premier ordre se déduit de la fonction de transfert en remplaçant chaque terme j ω par l opérateur ----. d dt 4 L équation différentielle s écrit : u s τ du s + ------- E τ------ de u dt dt s τ du s + ------- E. dt Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre non nul. Appliquons la méthode résolution d une équation différentielle linéaire du premier ordre donnée dans «etenir l essentiel» du chapitre 4. Solution générale de l équation différentielle : avec A constante. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de la tension aux bornes du condensateur. La relation u + u e + u s est valable à chaque instant, en particulier à la date t 0, d où : Solution complète de l équation différentielle complète : A. N. : u s Ae t - τ + E, 0 E+ u s0 ( ) u s0 ( ) A+ E E A E. u s t - E e τ. τ C 0 ms, u s () t,0( e,0.0 t) (V). en conclusion Pour le calcul de la fonction de transfert, on utilise : la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) la propriété d un diviseur de tension l égalité des tensions d entrée de l AO (tension différentielle d entrée nulle). L équation différentielle d un système du premier ordre se déduit de la fonction de d transfert en remplaçant chaque terme jω par l opérateur ----. dt 7 Transfert d un système linéaire Filtres du premier ordre 5

retenir l essentiel PCSI PTSI Filtres du deuxième ordre Filtre passe-bas du deuxième ordre.. Fonction de transfert La fonction de transfert d un filtre passe-bas du deuxième ordre est : H( jω) A 0 -------------------------------------------- + j Q --- ω ω ----- + j ----- ω 0 A 0 ---------------------------------------------. ω + jσ f f --- + j f f --- 0 0 0 ω 0 est la pulsation caractéristique du filtre et f 0 la fréquence caractéristique. Q est le facteur de qualité, σ est l amortissement avec σ ------. Q est une constante réelle. A 0 ω Le terme en -----, d ordre, est celui dont l ordre est le plus élevé d où le nom de deuxième ω 0 ordre donné au filtre. La forme réduite de la fonction de transfert d un filtre passe-bas du deuxième ordre est : ω f H( jx) A 0 ---------------------------------- avec j x A 0 ----------------------------------------, x ----- ---. + --- + Q ( + jσx + ( jx) jx ω ) 0 f 0 emarque : Nous laissons le terme ( jx) sans le remplacer par x, pour conserver à la fonction de transfert une forme analogue à celle utilisée en Sciences de l Ingénieur : 6 Hp ( ) A 0 --------------------------------------- avec τp jx. + στp + τ p Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

.. Comportements asymptotiques et expression à la fréquence caractéristique Nous travaillerons dans la suite avec la valeur A 0 puisque les courbes de réponses en gain se déduisent de celle de la fonction de transfert dans laquelle A 0 par simple translation 0log( A 0 ) le long de l axe des gains et que les courbes de réponse en phase sont identiques.... Comportement asymptotique à basse fréquence H G BF 0log( ) 0 x H( jx) -- H e jϕ ϕ BF 0 Point maths. On ne conserve au dénominateur que le terme de plus bas degré en x, soit ici (degré nul). On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : G BF 0 et ϕ BF 0.... Expression à la fréquence caractéristique ( x ) x H( j) ----------------------- j jq Qe j π -- H( ) Q G ( x ) 0log( Q ) + Q --- π et ϕ ( x ) --. La courbe du gain en fonction de log( x) passe par le point ( 0 ; log( Q )). Si Q, alors G ( ) 0 ; si Q, alors G ( ) 0. La courbe de la phase en fonction de log( x) passe par le point π 0 ; --...3. Comportement asymptotique à haute fréquence x H( jx) ( ------------ ---- ----e jx) x x ± jπ H ---- x 40log( x) et ϕ BF ± π. G BF --- e jπ j ±. appel Point maths. On ne conserve au dénominateur que le terme de plus haut degré en x, soit ici ( jx). On en déduit l équation de l asymptote haute fréquence du gain : G HF Quelle valeur de ϕ HF choisir? 40log( x). x Étudions tanϕ --- -------------. C est une fonction décroissante pour x, donc la phase Q x π décroît de la valeur -- à π. L équation de l asymptote haute fréquence du gain s écrit : ϕ HF π..3. Diagramme asymptotique de Bode La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure a) est constituée des deux demi-droites d équations G HF 0 et G BF 40log( x) qui se coupent au point de coordonnées ( 0 ; 0). 8 Filtres du deuxième ordre 7

retenir l essentiel Pente de l asymptote basse fréquence En posant X log( x), il vient : dg HF G HF 40X ------------ dx 40 db/décade. Le gain diminue de 40 db quand la fréquence est multipliée par 0 ( X augmente d une unité) ; la pente de l asymptote basse fréquence est égale à 40 db par décade. La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure b) est constituée des deux demi-droites d équations ϕ BF 0 et ϕ HF π d origine log( x) 0, et du segment vertical qui les relie..4. Diagramme de Bode Les valeurs du gain et de la phase à basse et à haute fréquences et à la fréquence caractéristique ne suffisent pas pour donner l allure du diagramme de Bode complet. Il faut analyser la courbe selon les valeurs de Q (ou de σ). Si Q ------, il existe un maximum du gain de coordonnées : Q log --------- ---------------------- ; 0log Q. --------- 4Q On dit qu il y a résonance pour la fréquence correspondante. Le diagramme de Bode peut-être tracé à l aide d un logiciel de calcul formel (en couleur sur la figure ). Fig. Diagramme de Bode d un filtre passe-bas du deuxième ordre a) G(x) (db) b) ϕ(x) (rad) emarque Pour tracer l asymptote basse fréquence du gain, il suffit de remarquer qu elle passe par les points ( 0 ; 0) et ( + ; 40 db).,5 0,5 0 0 0 30 0,5 log(x) 0 0,5,5,5 log(x) 40 3 π 8 a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). Courbes en traits pleins pour Q, courbes en traits pointillés pour Q 0,5. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Filtre passe-bas du deuxième ordre, de fonction de transfert : H( jx) ---------------------------------- j x. + --- + Q ( jx ) La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d équations G HF 0 et G BF 40log( x) reliées au point ( 0 ; 0). La pente de l asymptote haute fréquence du gain est égale à 40 db par décade. Si Q ------, il existe une résonance de pulsation réduite x r. La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d équations ϕ BF 0 et ϕ HF π, d origine log( x) 0, et du segment vertical qui les relie. La phase est une fonction décroissante de 0 à π. Le point π 0 ; -- est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction de log( x). Filtre passe-bande du deuxième ordre.. Fonction de transfert La fonction de transfert d un filtre passe-bande du deuxième ordre est : j Q --- ω f ----- jσ --- ω 0 f H( jω) A 0 --------------------------------------------- 0 + j Q --- ω ω ----- + j ω ω ------ 0 A 0 ---------------------------------------------. + jσ --- f f + j f f --- 0 0 0 ω 0 est la pulsation propre (ou pulsation de résonance) du filtre et f 0 la fréquence propre (ou fréquence de résonance). Q est le facteur de qualité, σ est l amortissement, avec σ ------. Q est une constante réelle. A 0 La forme réduite de la fonction de transfert d un filtre passe-bande du deuxième ordre est : j x Q --- jσx ω f H( jx) A 0 ---------------------------------- avec + j--- x A 0 ----------------------------------------, x ----- ---. + jx Q ( + jσx + ( jx) ω ) 0 f 0 Autre forme : H( jx) A ---------------------------------- 0 A ----------------------------------. + jq x -- 0 j + ------ x -- x σ x.. Courbe de réponse en phase Nous travaillons dans la suite avec la valeur A 0. [ H( jx) ] passe bande j x Q --- ---------------------------------- j--- x e jπ-- x π --- [ H( jx) ] + + jx Q ( Q passe [ ϕ( x) ] passe -- + [ ϕ( x) ] ) bas bande passe bas 8 Filtres du deuxième ordre 9

retenir l essentiel La courbe de réponse en phase du filtre passe-bande se déduit de celle du filtre passe-bas du π deuxième ordre par translation positive de -- le long de l axe des phases. La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure b) est constituée des deux π π demi-droites d équations ϕ BF -- et ϕ d origine et du segment HF -- log( x) 0, vertical qui les relie..3. Courbe de réponse en gain.3.. Comportement asymptotique à basse fréquence x H( jx) j x Q --- H x --- G Q BF 0log( x) 0log( Q ). Équation de l asymptote basse fréquence :.3.. Gain à la fréquence propre G BF 0log( x) 0log( Q ). x H( j) H G ( x ) 0. La courbe du gain en fonction de log( x) passe par le point ( 0 ; 0)..3.3. Comportement asymptotique à haute fréquence j x H( jx) ------ H ------ G Qx Qx HF 0log( x) 0log( Q ). Équation de l'asymptote haute fréquence : G HF 0log( x) 0log( Q ). La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure a) est constituée des deux demi-droites d équations 0log( x) 0log( Q ) et G HF 0log( x) 0log( Q ) G BF qui se coupent au point ( 0, 0log( Q )). Fig..4. Diagramme de Bode Diagramme de Bode d un filtre passe-bande du deuxième ordre a) G(x) (db) b) ϕ(x) (rad) 0 0 0 log(x) π -- 0,5 30 0 30 40 50 a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). Courbes en traits pleins pour Q 0, ; courbes en traits pointillés pour Q 5. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa 3 0 0,5 π -- log(x) 3

Filtre passe-bande du deuxième ordre, de fonction de transfert : j x Q --- H( jx) ---------------------------------- j x ----------------------------------. + --- + Q ( jx ) + jq x -- x La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d équations : G BF 0log( x) 0log( Q ) et G HF 0log( x) 0log( Q ), reliées au point ( 0 ; 0logQ ). La pente de l asymptote basse fréquence est égale à 0 db par décade. La pente de l asymptote haute fréquence est égale à 0 db par décade. Il existe une résonance de pulsation réduite x (égale à la pulsation propre réduite). Le module de la fonction de transfert est alors maximal, égal à. La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d équations π π ϕ BF -- et ϕ d origine et du segment vertical qui les relie. HF --, log( x) 0, π π La phase est une fonction décroissante de -- à --. Le point ( 0 ; 0) est centre de symétrie de la courbe de la phase ϕ( x) en fonction de log( x)..5. Bande passante à 3 db Bande passante f d un filtre passe-bande de fréquence propre f 0 et de facteur de qualité Q : f f 0 --- ( x --- ) (figure 3). Q Q Démonstration : ésolution de l équation H ---------------. H H ----------------------------------- max --------------- ------ Q + x -- x Q x -- x Q x -- ε, avec ε ±. x Il faut résoudre l équation x ε --- x 0 ; on a Q ----- + 4 et x Q -- ε Q --- ± x -- --- + et x Q -- + Q --- +. Finalement x x x ---. Q H max Fig. 3 G( x) ( db) 0,5 0 0,5 5 0 Bande passante 5 0 Q -- et x 3,3 0,30 3,0. 3 log( x ) 8 Filtres du deuxième ordre 3

retenir l essentiel 3 Filtre passe-haut du deuxième ordre 3.. Fonction de transfert et forme réduite La fonction de transfert d un filtre passe-haut du deuxième ordre est : ω j----- j--- f ω 0 f 0 H( jω) A 0 -------------------------------------------- + j Q --- ω ω ----- + j ----- ω 0 A 0 ---------------------------------------------. ω + jσ f f --- + j f f --- 0 0 0 ω 0 est la pulsation caractéristique du filtre et f 0 la fréquence caractéristique. Q est le facteur de qualité, σ est l amortissement, avec σ ------. Q est une constante réelle. A 0 La forme réduite de la fonction de transfert d un filtre passe-haut du deuxième ordre est : ( jx) H( jx) A ( jx) 0 ---------------------------------- avec + j--- x A ω f 0 ----------------------------------------, x ----- ---. + jx Q ( + jσx + ( jx) ω ) 0 f 0 3.. Courbe de réponse en phase Nous travaillons dans la suite avec la valeur [ H( jx) ] passe haut j x Q --- jqx---------------------------------- + j--- x + jx Q ( ) A 0. e jπ-- π Qx[ H( jx) ]passe [ ϕ( x) ] passe -- + [ ϕ( x) ] passe bande La courbe de réponse en phase du filtre passe-haut se déduit de celle du filtre passe- bande π du deuxième ordre par translation positive de -- le long de l axe des phases. La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 4b) est constituée des deux demi-droites d équations ϕ BF π et ϕ HF 0, d origine log( x) 0, et du segment vertical qui les relie. haut bande 3 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

3.3. Courbe de réponse en gain 3.3.. Comportement asymptotique à basse fréquence x H( jx) ( jx) Hx ( ) x G BF On en déduit l équation de l asymptote basse fréquence du gain : 40log( x). 3.3..Expression à la fréquence caractéristique 40log( x). La courbe du gain en fonction de log( x) passe par le point ( 0 ; logq ). Si Q, alors G ( ) 0 ; si Q, alors G ( ) 0. G BF x H( j) jq H Q G x ( ) ( x ) 0logQ. 3.3.3. Comportement asymptotique à haute fréquence x H( jx) H G HF 0. On en déduit l équation de l'asymptote haute fréquence du gain : G HF 0. La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 4a) est constituée des deux demi-droites d équations : G BF 40log( x) et G HF 0, reliées au point ( 0 ; 0). Pente de l asymptote basse fréquence En posant X log( x), il vient : dg BF G BF 40X ------------ 40 db/décade ; dx la pente de l asymptote basse fréquence du gain est égale à +40 db par décade. 3.4. Diagramme de Bode Fig. 4 Diagramme de Bode d un filtre passe-haut du deuxième ordre a) G(x) (db) b) ϕ(x) (rad) π 0,5 0,5 0,5 log(x),5 0 0,5 30 0,5 40 0 log(x) a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). Courbes en traits pleins pour Q, courbes en traits pointillés pour Q 0,5. 8 Filtres du deuxième ordre 33

retenir l essentiel Filtre passe-haut du deuxième ordre, de fonction de transfert : ( jx) H( jx) ---------------------------------- j x. + --- + Q ( jx ) La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d équations G BF 40log( x) et G HF 0 reliées au point (0 ; 0). La pente de l asymptote basse fréquence du gain est égale à +40 db par décade. Si Q ------, il existe une résonance de pulsation réduite x r. La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d équations ϕ BF π et ϕ HF 0, d origine log( x) 0, et du segment vertical qui les relie. La phase est une fonction décroissante de π à 0. Le point π -- ; 0 est centre de symétrie de la courbe de la phase ϕ( x) en fonction de log( x). emarque La tension de sortie de certains quadripôles ne s annule ni à basse ni à haute fréquences, par exemples celle d un passetout déphaseur (voir chapitre précédent) et celle d un filtre coupe-bande (voir exercice p. 37). 4 Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d un filtre L étude des filtres du deuxième ordre permet de compléter le point méthode donné au chapitre précédent. Point méthode. Comportements asymptotiques d un filtre Faire le schéma équivalent du filtre à basse fréquence en remplaçant les condensateurs par des interrupteurs ouverts et les bobines idéales par des interrupteurs fermés, et déterminer la tension de sortie. Faire le schéma équivalent du filtre à haute fréquence en remplaçant les condensateurs par des interrupteurs fermés et les bobines idéales par des interrupteurs ouverts, et déterminer la tension de sortie. En déduire si le filtre est passe-bas, passe-haut ou passe-bande : c est un filtre passe-bas si la tension de sortie s annule seulement à haute fréquence ; c est un filtre passe-haut si la tension de sortie s annule seulement à basse fréquence ; c est un filtre passe-bande si la tension de sortie s annule à basse et à haute fréquences. 34 PCSI 5 Équation différentielle d un système du deuxième ordre Stabilité 5.. Équation différentielle déduite de la fonction de transfert La forme générale de la fonction de transfert d un filtre du deuxième ordre s écrit : N( jω) N H( jω) ---------------- 0 + jωn + ( jω) N ------------------------------------------------------- ; D( jω) D 0 + jωd + ( jω) D Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

d où l équation différentielle : d u s du D ---------- s d u D dt ------- e du + + D dt 0 u s N ---------- e + N dt -------- + N dt 0 u e. 5.. Stabilité du système 5... Stabilité du système en régime libre Le système est stable en régime libre si la solution u sl de la solution de l équation diffé- d u sl du rentielle D ------------ sl + D converge vers zéro quand t tend vers l infini. dt ---------- + D dt 0 u sl 0 Nous l écrirons sous la forme a d u ------------ sl b du sl + ---------- + cu pour l étude suivante. dt dt sl 0 Équation caractéristique de l équation différentielle : ar + br + c 0. b c Soient r et r les solutions, avec r + r - et r a r -. a Discriminant de l équation caractéristique : b 4ac. a. Cas où le discriminant est positif La solution u sl A e r t + A e r t (A et A constantes) de l équation différentielle converge b c vers zéro si r et r sont négatives, ce qui impose - r et Les a r 0 r r - 0. a deux inégalités sont satisfaites si a, b et c sont du même signe. b. Cas où le discriminant est négatif Dans ce cas b 4ac 0 4ac b 0 ; a et c sont du même signe. Les solutions de l équation caractéristique s écrivent : r b b b + b ----------------------- ----- jω et r avec a a ----------------------- ----- + jω, Ω a a b -----t a ----------. a La solution u sl e [ Acos( Ωt) + Bsin( Ωt) ], avec A et B constantes réelles, converge vers b zéro si - 0 donc si b et a sont du même signe. Au total, a, b et c doivent être du même signe. a c. Cas où le discriminant est nul Dans ce cas b 4ac 0 4 a (relation ). b - b - c b La solution de l équation caractéristique est double : r r -----. a b -----t La solution u sl e a [ A t+ B ) ], avec A et B constantes réelles, converge vers zéro b si - 0 (relation ). Les relations et imposent que a, b et c soient du même signe. a Dans les trois cas, la solution converge vers zéro si a, b et c sont du même signe. u sl Un système du second ordre est stable en régime libre si les coefficients D 0, D et D (resp. D 0, D et D ) du dénominateur de la fonction de transfert : N H( jω) 0 + jωn + ( jω) N N ------------------------------------------------------- (resp. H( jx) 0 + N jx+ N ( jx) ---------------------------------------------------- ) D 0 + jωd + ( jω) D D 0 + D jx+ D ( jx) sont du même signe. 8 Filtres du deuxième ordre 35

retenir l essentiel 5... éponse du système en régime forcé sinusoïdal L étude menée au chapitre VII pour un système du premier ordre est indépendante de l ordre. Son résultat est applicable à un système du deuxième ordre : un système du second ordre est stable en régime forcé si le module de la fonction de transfert est borné, quelle que soit la fréquence. 36 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

savoir résoudre les exercices Filtre coupe-bande On considère le quadripôle ci-contre qui comprend i s 0 un résistor de résistance, un condensateur de capacité C et une bobine réelle d inductance L et de r résistance r. Données : C 0 µf ; L 0,0 H; u ; e u r 00 Ω 00 Ω. s L On pose : + r. Calculer la pulsation propre ω du circuit C 0 LC, la fréquence propre f 0 et le facteur de qualité Q. Déterminer les comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences. Peut-on en déduire la nature du quadripôle? 3 Quelle est la valeur de l impédance du dipôle LC à la fréquence propre? En déduire le quadripôle équivalent au filtre à cette fréquence. 4 Calculer le gain du filtre à la fréquence propre. ω 5 Soit x la pulsation réduite avec x -----. Exprimer la fonction de transfert sous la forme réduite H( jx). 6 Exprimer le gain Gx ( ) en décibels. 7 Tracer l allure de la courbe de la réponse Gx ( ) en fonction de log( x). ω 0 résolution méthodique Pulsation propre du circuit LC (voir chapitre 4) : ω 0 ----------- LC A.N. : ω 0,0 0 3 rad s. Fréquence propre du circuit LC : A.N. : f 0 0,6 khz. Facteur de qualité Q : ω f 0 0 ----- π Q Lω 0 --------- ----- L -- C A.N. : Q 0,50. 8 Filtres du deuxième ordre 37

savoir résoudre les exercices Le facteur de qualité est celui du circuit LC. La pulsation et la fréquence propres sont indépendantes de la valeur de la résistance ; seul le facteur de qualité en dépend. a. Basse fréquence b. Haute fréquence i s 0 i s 0 r r u e L u s u e u e u s u e C À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert, la bobine est équivalente à un interrupteur fermé (figure a) ; il n y a pas de courant dans le résistor, donc u s u e. À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé, la bobine est équivalente à un interrupteur ouvert (figure b), donc u s u e. Ce quadripôle n est ni un filtre passe-bas, ni un filtre passe-bande, ni un filtre passe-haut. LCω 3 Z jlω 0 + ----------- ---------------------- 0 0. jcω 0 jcω 0 Le circuit se réduit à l association en série des deux résistors (figure ci-contre). u e r i s 0 u s 4 Le circuit réalise un diviseur de tension qui permet d exprimer simplement la fonction de transfert, puis le gain : A.N. : G 6,0 db. r H ----------- -- G + r 0log( H) Le gain est négatif dans un domaine de fréquences autour de la fréquence propre, nul à basse et à haute fréquences ; on dit que le quadripôle est un filtre coupe-bande. L analyse du comportement, à basse et à haute fréquences, permet de déterminer la nature d un filtre, passe-bas, passe-bande ou passe-haut d un quadripôle. Elle ne permet pas de reconnaître un filtre coupe-bande ni un passe-tout déphaseur (voir chapitre 7). 38 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

5 Le courant de sortie est nul (filtre «en sortie ouverte») ; le résistor, le condensateur et la bobine sont en série. Le circuit réalise un diviseur de tension qui permet d exprimer la fonction de transfert : r r + jlω + --------- + j --- + ( jx ) H( jω) jcω jrcω + j -------------------------------------------- LCω + ------------------------------------------------------------- + r+ jlω + --------- j( + r)cω + j LCω + jcω r ----------- x + -----------------------------------------------. Q + j--- x + jx Q ( ) Finalement : H( jx) + jx + ( jx) ------------------------------------ + jx + ( jx) L expression de la fonction de transfert doit permettre de retrouver rapidement des résultats déjà établis, à savoir sa valeur à basse et à haute fréquences, et à la fréquence caractéristique. H BF ( jx) H ( x 0) - ; H HF H ( x ) ( jx) ; r j r + H r ( x ) ---------------------------------- j ----------. + Q --- + r 6 H( jx) + jx + ( jx) x ------------------------------------ + jx + jx + ( jx) ---------------------------- x + jx H ( jx ) ( x ) + x ------------------------------------ ; ( x ) + 4x ( Gx ( ) 0log H( jx) Gx ( ) 0log x ) + x ------------------------------------ ( x ) + 4x 7 Les quelques valeurs du gain du tableau suivant permettent de tracer l allure de la courbe de la réponse Gx ( ) en fonction de log( x). On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel comme sur la figure ci-contre. x 0, 0,5,5 0 log(x) 0,30 0 0,7 0,30 G (x) (en db) 0,3,8 6,0 4,4,8 0,3,5 G (x ) (db) 0,5 0,5,5 0 log (x) r 3 4 5 6 emarque : Les valeurs montrent que la courbe est symétrique par rapport à l axe vertical. 8 Filtres du deuxième ordre 39

savoir résoudre les exercices en conclusion L analyse du comportement, à basse et à haute fréquences, permet de déterminer la nature d un filtre, passe-bas, passe-bande ou passe-haut d un quadripôle. Elle ne permet pas de reconnaître un filtre coupe-bande ni un passe-tout déphaseur. Filtre passe-bande de Wien On considère le filtre de la figure ci-contre. Données : C 0,0 µf et,0 kω. Déterminer les comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences. En déduire la nature du filtre. Soit x la pulsation réduite définie par la relation Cω x. Exprimer la fonction de transfert sous la forme réduite H ( jx). 3 Calculer la valeur du facteur de qualité Q. 4 Montrer que la fonction de transfert se met sous la forme : H ( jx) ----------------------------. 3 + j x -- x En déduire le gain maximal G max. 5 Calculer la fréquence caractéristique du filtre. f 0 i s 0 u e C u s 6 Déterminer la pulsation réduite x de la borne inférieure et la pulsation réduite x de la borne supérieure de la bande passante. En déduire les fréquences f de f correspondantes, puis la bande passante f. Vérifier sa valeur à partir de son expression en fonction de Q. 7 Exprimer la phase ϕ( x) de la fonction de transfert. Déterminer les phases ϕ( x ) et ϕ( x ). 8 Tracer le diagramme de Bode. 9 Établir l équation différentielle reliant la tension u s () t de sortie à la tension u e () t d entrée. On introduira la constante de temps τ C. résolution méthodique 40 À basse fréquence, les condensateurs sont équivalents à des interrupteurs ouverts (figure a) ; il n y a aucun courant dans le résistor prés de la sortie donc u s 0. À haute fréquence, les condensateurs sont équivalents à des interrupteurs fermés (figure b), donc u s 0. Le filtre est un filtre passe-bande. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

a. Basse fréquence b. Haute fréquence i s 0 i s 0 u e us 0 u e u s 0 Basse fréquence Haute fréquence Le condensateur et le résistor près de l entrée sont en série ; soit Z + --------- l impédance de leur jcω association (figure ci-contre). Le condensateur et le résistor près de la sortie sont en parallèle ; soit Y --- + jcω l admittance et Z ------ l impédance de leur association. Y Le courant de sortie est nul. Le dipôle et le dipôle Z sont traversés par le même courant ; ils sont en série. Le circuit ( Z, Z ) réalise un diviseur de tension qui permet d exprimer facilement la fonction de transfert : H( jω) H( jω) u s Finalement : Z ---- ----------------- --------------------- u e Z + Z +Z Y --------------------------------------------------------------- + + jcω + + ------------- jcω Z u e ----------------------------------------------------------- + + --------- --- + jcω jcω ------------------------ 3 + jx + --- jx H( jx) ---------------------------- 3 + j x -- x Z Z i s 0 u s Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. Autre méthode : utilisation de la loi des noeuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) (figure ci-dessous). E C S i s 0 u e C u s M 8 Filtres du deuxième ordre 4

savoir résoudre les exercices u s --- jcω + + ------------------- + --------- jcω --- u + M jcω u + ------------------- M u. e + --------- jcω Le point M est à la masse donc u M 0. Il vient : u s --- jcω + + ------------------- + --------- jcω + jx jcω u s ------------- + ----------- jx+ ------------------- u e + --------- jcω jcω u ----------- s jx u jx+ e --- + jx + ----------- jx+ jx ----------- u e ---- jx+ u s [( + jx) + jx] jxu e. Finalement : H ---------------------------- 3 + j x -- x La méthode du diviseur de tension est plus simple et plus rapide ; elle doit être préférée. 3 Par identification avec la relation donnée au. du cours, il vient : On remarque que A 0 --. 3 Q 3 -- 4 Le gain est maximal quand le module H ---------------------------- de la fonction de transfert 9 + x -- x est maximal soit pour x. H max -- et G 3 max G ( x ) 0log 3 -- 9,5 db 5 La pulsation caractéristique ω 0 du filtre est telle que x, d où : Cω 0 C πf 0 f 0 -------------- 0,6 khz πc 4 6 Appliquons la méthode de détermination de la bande passante donnée au chapitre 7. Valeur maximale du module de la fonction de transfert : H max --. 3 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

H max ésolution de l équation H ----------------- : H H ---------------------------- max ----------------- ---------- x -- 9 x avec 9 + x -- 3 x 3εx 0 ε ± x 3ε ± 3 3 + 3 3 + 3 9 + 4 3 x --------------------- x et ; ----------------------- 0,30 x ------------------- 3,3 x 3,0. On en déduit : f f 0 x 48 Hz ; f f 0 x 0,5 khz ; f f 0 x 0,48 khz La bande passante d un filtre passe-bande est donnée par la relation f ----, soit : Q f 0,48 khz Ce résultat est bien en accord avec celui trouvé à partir de la définition. f 0 7 d où H ( jx) ---------------------------- tanϕ 3 + j x -- x ϕ( x) arctan -- x -- 3 x -- x --, 3 x tanϕ( x 0,30) ϕ tanϕ( x 3,3) ϕ π -- rad 4 π -- rad 4 8 Construction du diagramme de Bode. a. Comportement asymptotique à basse fréquence oins Que? H( jx) jx xe +jπ-- π H( x) x G BF 0lo et ϕ BF --. On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : G BF π 0log( x) et ϕ BF -- Expression à la fréquence caractéristique (x ) x H ( j) -- H ( ) -- G db et 3 3 ( x ) G max 9,5 ϕ x La courbe du gain en fonction de log( x) passe par le point (0 ; 9,5 db). La courbe de la phase en fonction de log( x) passe par le point ( 0 ; 0). Comportement asymptotique à haute fréquence ( ) 0. Grand Que? H ( jx) --- --e j π -- jx x H( x) -- x π G HF 0 et ϕ HF --. 8 Filtres du deuxième ordre 43

savoir résoudre les exercices On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence : π G HF 0log( x) et ϕ HF --. b. La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites qui se coupent au point de coordonnées ( 0 ; 0). Les courbes asymptotiques du gain et de la phase en fonction de log( x) sont en traits noirs sur les figures ci-dessous. c. Les quelques valeurs du gain et de la phase du tableau suivant permettent de tracer l allure du diagramme de Bode. On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel (figures ci-dessous). x 0, x 0,3 x 3,3 0 log(x) 0,5 0 0,5 G (x) (en db) 0,5 9,5,5 0 j (en rad),3 0,78 0 0,78,3 emarque : Les valeurs montrent que les courbes sont symétriques par rapport aux axes verticaux. a. Gain b. Phase G (x ) Q (x ) log (x ) (db) log (x ) log (x) (rad) 0,5 0 5 0 5 0,5 3dB π -- 4 log (x),5 0,5 0 0,5,5 0 π -- 4,5 jx jωτ 9 H( jx) ------------------------------------ -------------------------------------------- [ + 3jωτ + ( jωτ) ]u + 3jx + ( jx) + 3jωτ + ( jωτ) s jωτu e d En remplaçant, d une part l expression jω par ---- et d autre part l expression ( jx) par dt d -------, dt il vient : u s 3τ du s u ------- τ dt d s + + ---------- τ du e --------. dt dt L équation différentielle d un système du deuxième ordre se déduit de la fonction de transfert en d remplaçant chaque terme jω par l opérateur ---- et chaque terme ( jω) par l opérateur dt d ------. dt 44 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

en conclusion Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. L équation différentielle d un système du deuxième ordre se déduit de la fonction de d transfert en remplaçant chaque terme jω par l opérateur ---- et chaque terme ( jω) dt d par l opérateur -------. dt 3 Tension triangulaire à l entrée d un filtre passe-bande La courbe ci-contre est celle du gain Gx ( ), exprimé en décibels, d un filtre de pulsation de résonance ω r, en fonction de la pulsation ω réduite x -----. ω r Quelle est la nature du filtre? Tracer les asymptotes. Quel est l ordre du filtre? G (x ) (db) log (x) 3 La fonction de transfert réduite peut se mettre 50 sous la forme H( jx) A 0 ----------------------------------. + jq x -- x Déterminer graphiquement la constante A 0, et le facteur de qualité Q. On donne log( ) 0,30. 4 On injecte en entrée une tension triangulaire positive de fréquence ω r et d amplitude,0 V d expression : 4 u e () t 0,5 + ---- cosω (en volts). π r t + -- cos3ω 9 r t + ----- cos 5ω 5 r t + Déterminer la tension de sortie u s () t en ne gardant que les termes pertinents. 5 Par un dispositif approprié, on triple la pulsation de résonance du filtre, toutes choses égales par ailleurs. Déterminer la tension de sortie u s () t en fonction de la pulsation réduite. 0 0 0 30 40 8 Filtres du deuxième ordre 45

savoir résoudre les exercices résolution méthodique On reconnaît sur la figure ci-contre la courbe du gain d un filtre passe-bande. G (x ) (db) log (x) 0 On constate que les asymptotes se coupent au point (0 ; 4 db). On lit sur la courbe que l ordonnée du point d abscisse est égale à 34 db ; la pente de l asymptote basse fréquence est donc égale à 0 db par décade. On lit aussi sur la courbe que l ordonnée du point d abscisse est égale à 34 db ; la pente de l asymptote haute fréquence est donc égale à 0 db par décade. Le filtre est passe-bande du second ordre. 0 0 30 40 50 3 G x ( ) 0 H ( x ) A 0 ---------------------------------- + jq x -- x A 0 On sait (voir.4. du cours) que les asymptotes se coupent au point ( 0 ; 0logQ ). On en déduit 0logQ 4 logq 0,70 0,30 log 0 -----. x Q 5,0 4 Travaillons en notation complexe. La tension d entrée s écrit sous la forme d une somme de tensions : 4 u e 0,5 ---- e jω r t 4 ---- 9 -- e j3ω r t 4 + + + ---- ----- e j5ω r t + 5 π π D après le théorème de superposition, la tension de sortie s écrit sous la forme d une somme de tensions : 4 u s H x 0 0,5 H x ---- e jω r t 4 H x 3 ---- 9 -- e j3ω r t 4 + + + H x 5 ---- ----- e j5ω r t + 5 π π π π Lorsque la tension d entrée d un quadripôle est une somme de tensions sinusoïdales, il faut calculer indépendamment la tension de sortie de chacune des tensions composantes. La tension de sortie est égale à la somme des tensions de sortie. 46 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Exprimons chacune des composantes de la tension de sortie : u s0 H x 0 0,5 0 ; u s ------------------------------- ; j5 ---- 4 e jω + -- π r t 4 ---- e jω π r t u s3 ------------------------------- j5 3 ---- 4 + 3 -- π 9 --e j3ω r t 4 ---- π 9 -- ----------------- 40 e j3ωrt ---- 4 π + -----j 9 -- ------------------------------ e j3ω r t α 3 40 3 + ----- 3 40 avec tanα 3 ----- ; 3 4 u s3 ---- soit avec ; π 9 -- ----- 3 e j3ω ( r t α 3 ) 4, u 40 s3 ---- --------e j3ω ( π r t α 3) α π 0 -- u s5 ------------------------------- avec j5 5 ---- 4 -----e j5ω + 5 -- π r t 4 ---- ----- ---------------- e j5ω 5 π r t 4 ---- --------e j5ω ( 5 + 4j π r t α 5) tan α 600 5 4. On voit les amplitudes des tensions composantes de pulsations réduites supérieures à sont inférieures à % de l amplitude de la tension de pulsation réduite x ; on peut négliger ces termes. La tension de sortie se réduit à : u s () t?plus Grand Que? 4 ---- cos ω r t ( V) π ( ) Le filtre permet de sélectionner en sortie la composante sinusoïdale de la tension d entrée dont la pulsation est égale sa pulsation de résonance. La figure ci-contre est une simulation obtenue avec un logiciel de calcul formel (Maple). T est la période. u (V) u e (t ) 0,8 0,6 u s (t ) 0,4 0, 0 0, 0,4 0, 0,4 0,6 0,8 t --- T 5 Exprimons chacune des composantes de la tension de sortie : u s 0 H x 0 0,5 0 ; u s ------------------------------- ; j5 ---- 4 e jω + 3 -- 3 π r t ---------------- 40 ---- 4 e jω -----j π r t 3 ----- j ---- 4 e jω 40 π r t 3 ----- ---- 4 e j ω r t π + -- 40 π 3 U u s3 ------------------------------- ; j5 ---- 4 + -- π 9 -- e j3ω r t 4 ---- π 9 -- e j3ω r t U 3 u s5 -------------------------------. j5 5 ---- 4 ----- e j5ω -- + -- π r t 4 ---- ----- 5 π 5 ----------------- e j5ωrt 4 ---- ----- ----- e j 5ω r t π -- 4 ---- -------- e j 5ω r t π -- π + -----j 5 π 55 5 U 5 8 Filtres du deuxième ordre 47

savoir résoudre les exercices Comparons les amplitudes des tensions de sortie : U ----- U 3 7 ----- 0,67 ; 40 Les amplitudes des composantes de rangs différents de et 3 sont négligeables. La tension de sortie peut s écrire : u s () t 4 ---- π La tension de sortie n est pas sinusoïdale. 8 -------- 0,034?Moins Que 55 3 ----- ω 40 cos π r t + -- + -- cos3ω 9 r t ( V) La figure ci-contre est une simulation obtenue avec un logiciel de calcul formel (Maple). La tension de sortie n est pas sinusoïdale. u (V) u e (t ) 0,8 0,6 0,4 u s (t ) 0, 0 0, 0,4 0,6 0,8 t --- T en conclusion Lorsque la tension d entrée d un quadripôle est une somme de tensions sinusoïdales, il faut calculer indépendamment la tension de sortie de chacune des tensions composantes. La tension de sortie est égale à la somme de tensions de sortie. 48 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa

Index A Adaptation d impédance 96 Admittance 67 complexe 67 Amortissement 6, 9, 3 Amplificateur opérationnel 0 Amplitude complexe 66 Analyse de Fourier 65 AQP 53 AQS 53 Association en série 7 parallèle 73 Association de générateurs en parallèle 8 en série 5 Association de résistors en parallèle 7 en série 4 B Bande passante à 3 db 0 Bobine 44 Branche 4 C Capacité C d un condensateur 39 Caractéristique d un dipôle 7 Circuit LC 6 C 39 L 44 LC 47 Circuit électrique 4 Coefficient d amortissement 48 Comportements asymptotiques d un filtre 08 Condensateur 39 Conductance 7, 67 Conducteur ohmique 7 Constante de temps 4, 44 Courant électromoteur 8 D Déphasage 64 Dérivateur 0 Diode 4 Dipôle 4 actif 7 passif 7 Diviseur de courant 8, 74 de tension 5, 7 E Échelon de tension 40 Énergie électrique 40 magnétique 44 F Facteur de puissance 90 de qualité 6, 9, 3 Facteur de qualité 48 Facteur de qualité Q 76, 77 Filtre coupe-bande 37 passe-bande 40, 45 passe-bas du deuxième ordre 6 passe-bas du premier ordre 0 passe-haut du deuxième ordre 3 passe-haut du premier ordre 05 Fonction de transfert 00 Force électromotrice 8 Fréquence caractéristique 3 de résonance 9 propre 9 Fréquence de coupure 0, 05 G Générateur 6, 8 de signaux électriques (GBF ) 64 réel 7 Générateur idéal de courant 7 de tension 7 Impédance 67 Impédances complexes 66 Inductance 44 propre 44 Intégrateur 0 Intégrateur et pseudo-intégrateur 0 Intensité 5 I L La loi d ohm en représentation complexe 66 Loi d Ohm 7 de Pouillet 73 des mailles 6, 69 des nœuds 5, 69 des nœuds en termes de potentiel 70 Loi de Pouillet 6 Loi des nœuds 30 en termes de potentiels 30, 3 Lois de Kirchhoff 3 M Maille 4 Masse 64, 65 Masse d un circuit 30 Multimètre numérique 64 49 Index

Nœud 4 N O Oscilloscope 65 P Passe-tout déphaseur du premier ordre 8 Période propre 48 Point de fonctionnement 9 Potentiel 30 Puissance 8 instantanée 89 moyenne 89, 90 Pulsation caractéristique 3 de résonance 9 propre 9 Pulsation de coupure 0, 05 Pulsation propre 48 Quadripôle 99 Q éactance 67 écepteur 6, 8 éduction canonique 4, 48 éduction du circuit 3 elèvement du facteur de puissance 95 eprésentations de Thévenin et de Norton 9 ésistance 7, 67 critique 5 ésistivité 9 ésistor 7 ésonance 8 en intensité 75 en tension 78 ésonance en puissance 93 S Signaux sinusoïdaux 63 Stabilité 09 Susceptance 67 T Tension 6 alternative sinusoïdale 5 en créneaux 5 Théorème de Millman 30, 70 V Valeur efficace 64 moyenne 63 Valeur efficace 90 50 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - Nathan, Classe prépa