Modéliser les actions mécaniques Prévoir et vérifier les performances de systèmes soumis à des actions mécaniques statiques.

Modéliser les actions mécaniques Prévoir et vérifier les performances de systèmes soumis à des actions mécaniques statiques. CI-6 LYCÉE CARNOT (DIJON), 2014-2015 Germain Gondor Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 1 / 87

Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 4 Actions mécaniques particulières 5 Lois de Coulomb 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) 7 Liaisons équivalentes 8 Résolution d un problème de statique Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 2 / 87

Introduction Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 4 Actions mécaniques particulières 5 Lois de Coulomb 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) 7 Liaisons équivalentes 8 Résolution d un problème de statique Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 3 / 87

Introduction Pince de robot Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 4 / 87

Introduction Montage d usinage Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 5 / 87

Modélisation d une action mécanique Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique Définition Notion de force Notion de moment Torseur d action mécanique Cas particuliers 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 4 Actions mécaniques particulières 5 Lois de Coulomb 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 6 / 87

Modélisation d une action mécanique Définition Définition DÉFINITION: Action mécanique Toute cause susceptible de maintenir un corps au repos Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 7 / 87

Modélisation d une action mécanique Définition Définition DÉFINITION: Action mécanique Toute cause susceptible de maintenir un corps au repos créer un mouvement Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 7 / 87

Modélisation d une action mécanique Définition Définition DÉFINITION: Action mécanique Toute cause susceptible de maintenir un corps au repos créer un mouvement déformer un corps Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 7 / 87

Modélisation d une action mécanique Définition Définition DÉFINITION: Action mécanique Toute cause susceptible de maintenir un corps au repos créer un mouvement déformer un corps On distingue deux types d actions mécaniques : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 7 / 87

Modélisation d une action mécanique Définition Définition DÉFINITION: Action mécanique Toute cause susceptible de maintenir un corps au repos créer un mouvement déformer un corps On distingue deux types d actions mécaniques : les actions mécaniques de contact (liaison de contact entre solides, pression,....) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 7 / 87

Modélisation d une action mécanique Définition Définition DÉFINITION: Action mécanique Toute cause susceptible de maintenir un corps au repos créer un mouvement déformer un corps On distingue deux types d actions mécaniques : les actions mécaniques de contact (liaison de contact entre solides, pression,....) les actions mécaniques à distance (champ de pesanteur, force électromagnétique,... ) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 7 / 87

Modélisation d une action mécanique Notion de force Notion de force L action mécanique est caractérisée par : sa direction Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 8 / 87

Modélisation d une action mécanique Notion de force Notion de force L action mécanique est caractérisée par : sa direction son sens Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 8 / 87

Modélisation d une action mécanique Notion de force Notion de force L action mécanique est caractérisée par : sa direction son sens son intensité Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 8 / 87

Modélisation d une action mécanique Notion de force Notion de force L action mécanique est caractérisée par : sa direction son sens son intensité Elle possède donc toutes les caractéristiques d un vecteur. Un action mécanique représentable par un vecteur est appelée force. Cependant cette notion de force n est pas suffisante pour décrire les actions mécaniques. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 8 / 87

Modélisation d une action mécanique Notion de moment Notion de moment Pour définir complètement une action mécanique, il convient de prendre en compte son point d implication (P): Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 9 / 87

Modélisation d une action mécanique Notion de moment Notion de moment Pour définir complètement une action mécanique, il convient de prendre en compte son point d implication (P): La porte se ferme Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 9 / 87

Modélisation d une action mécanique Notion de moment Notion de moment Pour définir complètement une action mécanique, il convient de prendre en compte son point d implication (P): La porte se ferme La porte ne se ferme pas Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 9 / 87

Modélisation d une action mécanique Notion de moment Notion de moment Il est donc nécessaire d introduire la notion de moment au point A de la force F appliquée en P et défini par : M (A, F P ) } {{ } notation personnelle = M (A, F) = #» AP F REMARQUE: l unité d un moment d une force est le N.m. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 10 / 87

Modélisation d une action mécanique Torseur d action mécanique Torseur d action mécanique Puisque M (B, F P ) = #» BP F P = ( #» BA+ #» AP ) F P = #» BA F P + #» AP F P Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 11 / 87

Modélisation d une action mécanique Torseur d action mécanique Torseur d action mécanique Puisque M (B, F P ) = #» BP F P = ( #» BA+ #» AP ) F P = #» BA F P + #» AP F P d où: M (B, F P ) = M (A, F P ) + #» BA F P Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 11 / 87

Modélisation d une action mécanique Torseur d action mécanique Torseur d action mécanique Puisque M (B, F P ) = #» BP F P = ( #» BA+ #» AP ) F P = #» BA F P + #» AP F P d où: M (B, F P ) = M (A, F P ) + #» BA F P Le champ des moments d une force est donc... Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 11 / 87

Modélisation d une action mécanique Torseur d action mécanique Torseur d action mécanique Puisque M (B, F P ) = #» BP F P = ( #» BA+ #» AP ) F P = #» BA F P + #» AP F P d où: M (B, F P ) = M (A, F P ) + #» BA F P Le champ des moments d une force est donc... un champ de moments! Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 11 / 87

Modélisation d une action mécanique Torseur d action mécanique Torseur d action mécanique Puisque M (B, F P ) = #» BP F P = ( #» BA+ #» AP ) F P = #» BA F P + #» AP F P d où: M (B, F P ) = M (A, F P ) + #» BA F P Le champ des moments d une force est donc... un champ de moments!il est donc représentable par un torseur avec comme vecteur résultante, la force appliquée F P : { F F P Σ } = M F P M (M, F P ) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 11 / 87

Modélisation d une action mécanique Torseur d action mécanique Dans le cas général d un système S soumis à une force F, le torseur {FF S } de l action mécanique créée par cette force s écrit: {FF S } = M R F S M (M, F S) = M X Y Z L M N B Lorsqu il y a plusieurs actions mécaniques, on additionne les torseurs (attention au point où on additionne les torseurs) { F i[ F i] Σ } = i M R F i Σ #» M (M, F i Σ) = [ R F i Σ] i[ M(M, F i Σ)] M i Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 12 / 87

Modélisation d une action mécanique Cas particuliers Torseur couple Un torseur couple est de la forme 0 M (M, F S) avec M (M, F S) 0. M {FF S } = Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 13 / 87

Modélisation d une action mécanique Cas particuliers Torseur glisseur Un torseur glisseur est de la forme M, M (M, F S). R F S = 0. {FF S } = R F S 0 avec A Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 14 / 87

Modélisation d une action mécanique Cas particuliers Torseur glisseur Un torseur glisseur est de la forme M, M (M, F S). R F S = 0. {FF S } = R F S 0 avec A L action mécanique d une force F appliquée en un point A est modélisable par un glisseur. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 14 / 87

Modélisation d une action mécanique Cas particuliers Torseur glisseur Un torseur glisseur est de la forme M, M (M, F S). R F S = 0. {FF S } = R F S 0 avec A L action mécanique d une force F appliquée en un point A est modélisable par un glisseur. DÉMONSTRATION : #» M (M, F S). R F S = [ M (A, F S) + MA #» R ] F S. R F S = [ #» MA R ] F S. R F S = 0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 14 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Rappels sur les liaisons parfaites Analyse de la liaison pivot Tableau des liaisons usuelles Moyen mnémotechnique Modélisation plane 4 Actions mécaniques particulières 5 Lois de Coulomb 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 15 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Rappels sur les liaisons parfaites Rappels sur les liaisons parfaites Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes : Les pièces mécaniques sont des solides indéformables. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 16 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Rappels sur les liaisons parfaites Rappels sur les liaisons parfaites Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes : Les pièces mécaniques sont des solides indéformables. Les surfaces sont géométriquement parfaites. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 16 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Rappels sur les liaisons parfaites Rappels sur les liaisons parfaites Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes : Les pièces mécaniques sont des solides indéformables. Les surfaces sont géométriquement parfaites. Les jeux sont nuls Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 16 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Rappels sur les liaisons parfaites Rappels sur les liaisons parfaites Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes : Les pièces mécaniques sont des solides indéformables. Les surfaces sont géométriquement parfaites. Les jeux sont nuls Le contact est sans frottement ni adhérence. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 16 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Analyse de la liaison pivot Analyse de la liaison pivot Une liaison pivot d axe (O, x) permet un mouvement de rotation, autour de cet axe, entre deux solides S i et S k. Sa schématisation (norme NF E 04-015) est la suivante : Projection orthogonale z Perspective S k S i x Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 17 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Analyse de la liaison pivot Sa réalisation se fait essentiellement par un couple de surfaces cylindriques de révolution, avec éventuellement des paliers lisses ou des roulements, et des arrêts axiaux. En tout point de l axe (O, x), donc en particulier au point O, les éléments de réduction du torseur cinématique associé s écrivent : ω x Ω (k/i) 0 } {V Sk/Si = O V (O Sk /S i ) 0 0 0 0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 18 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Analyse de la liaison pivot Considérer une liaison pivot d axe (O, x) entre deux solides revient à considérer, d un point de vue mathématique, les surfaces de liaison comme des surfaces de révolution non cylindriques d axe (O, x) : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 19 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Analyse de la liaison pivot La densité surfacique d F l (S i S k ) rencontre l axe (O, x) en H, donc son moment en O a une projection nulle sur l axe (O, x). En effet M (O,Si S k ). X = [ #» OI l d F l (S i S k ) ]. X = [ #» OH d F l (S i S k ) ]. X } {{ } 0 + [ #» HI l d F l (S i S k ) ]. X = 0 } {{ } 0 d après les conditions de nullité du produit vectoriel et du produit mixte. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 20 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Analyse de la liaison pivot Par conséquent le torseur d inter-efforts transmissibles par la liaison pivot d axe (O, X) entre les deux solides S i et S k s écrit : X R Si S k Y } {F Sk Si = O #» M (O,Sk S i ) Z La forme de ce torseur est conservée en tout point de l axe (O, X). 0 M N Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 21 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Tableau des liaisons usuelles Tableau des liaisons usuelles dll 0 dll 0 tr 0 rt 1 dll 1 tr 0 rt 1 dll 0 tr 1 rt 1 dll 1 tr 1 rt 2 dll 1 tr 1 rt 2 dll 0 tr 2 rt Nom de la liaison Encastrement Glissière Pivot Hélicoïdale Pivot glissant Rotule à doigt Caractéristique géométrique M (ε) 1 direction x M (ε) 1 axe (A, x ) M (A, x ) 1 axe (A, x ) M (A, x ) 1 axe (A, x ) M (A, x ) 1 point A, centre de liaison M M { 0 0 { 0 V. x Torseur cinématique } } M 0 0 0 0 0 0 0 u 10 0 0 0 0 M { ω. } x M 0 M { ω. } x V. x p 10 M avec V = p 2.π.ω M { ω. } x V. x M M Ω(S1 /S 0 ) A 0 avec Ω(S1 /S 0 ). x = 0 A p 10 0 0 0 0 0 R0 R0 R0 p 2.π.p 10 0 0 0 0 p 10 u 10 0 0 0 0 0 0 q 10 0 r 10 0 R0 R0 Torseur des AM M M M R0M M A X 10 L 10 Y 10 M 10 Z 10 N 10 0 L 10 Y 10 M 10 Z 10 N 10 X 10 0 Y 10 M 10 Z 10 N 10 R0 R0 R0 X 10 Y 10 M 10 Z 10 N 10 0 0 Y 10 M 10 Z 10 N 10 X 10 L 10 Y 10 0 Z 10 0 p 2.π.X 10 R0 R0 R0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 22 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Tableau des liaisons usuelles ddl 3 ddl 0 tr 3 rt 3 ddl 2 tr 1 rt 4 ddl 1 tr 3 rt 4 ddl 2 tr 2 rt 5 ddl 2 tr 3 rt Nom de la liaison Rotule Appui plan Linéaire annulaire 1 axe (A, x ), centre de sphère A Linéaire rectiligne Ponctuelle Torseur cinématique Caractéristique } géométrique Ω {V 1/0 = (S1 /S 0 ) V X (X S1 /S 0 ) Ω(S1 /S 0 ) 1 point A, centre de A 0 p 10 0 liaison avec q Ω 10 0 (S1 /S 0 ) r 10 0 A R0 quelconque Ω(S1 /S 0 ) V(M S1 Normal au plan M /S 0 ) 0 u 10 avec q y, M (ε) 10 0 V(M S1 /S 0 ). 0 w y = 10 M R0 0 { } Ω(S1 /S 0 ) p 10 u 10 q 10 0 r 10 0 A R0 Normal au plan y, Droite de contact (A, x ) Normal au plan y, point de contact A A V x avec Ω (S1 /S 0 ) quelconque ω x. x +ω y. y V(A S1 A /S 0 ) avec V(A S1 /S 0 ). y = 0 Ω(S1 /S 0 ) V(A S1 A /S 0 ) avec Ω (S1 /S 0 ) quelconque et V(A S1 /S 0 ). y = A A p 10 u 10 q 10 0 0 w 10 p 10 u 10 q 10 0 r 10 w 10 R0 R0 A Torseur des actions mécaniques transmissibles M A A A X 10 0 Y 10 0 Z 10 0 0 L 10 Y 10 0 0 N 10 0 0 Y 10 0 Z 10 0 0 0 Y 10 0 0 N 10 0 0 Y 10 0 0 0 R0 R0 R0 R0 R0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions 0 mécaniques Année 2014-2015 23 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Moyen mnémotechnique Moyen mnémotechnique de retrouver les torseurs des liaisons parfaites Nous verrons dans le programme de deuxième année que la liaison étant parfaite, la puissance des efforts intérieurs } à la liaison sont nuls. Le comoment du torseur cinématique {V S2/S1 et du torseur des actions } mécaniques {F S2 S1 est donc nul. R S2 S 1. V (A S2 /S 1 ) + Ω (S2 /S 1 ). #» M (A,S2 S 1 ) = 0 X 10.u 10 + Y 10.v 10 + Z 10.w 10 + L 10.p 10 + M 10.q 10 + N 10.r 10 = 0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 24 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Moyen mnémotechnique Par exemple pour la liaison pivot: } ω 21 0 {V S2/S1 = 0 0 0 0 R A A X 0 Y M Z N } = {F S2 S1 R X, Y et Z sont les composantes de R S2 S 1 dans le repère R. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 25 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Moyen mnémotechnique Par exemple pour la liaison pivot: } ω 21 0 {V S2/S1 = 0 0 0 0 R A A X 0 Y M Z N } = {F S2 S1 R X, Y et Z sont les composantes de R S2 S 1 dans le repère R. L, M et N sont les composantes de #» M (A,S2 S 1 ) dans le repère R, avec L = 0. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 25 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Moyen mnémotechnique Par exemple pour la liaison pivot: } ω 21 0 {V S2/S1 = 0 0 0 0 R A A X 0 Y M Z N } = {F S2 S1 R - X, Y et Z sont les composantes de R S2 S 1 dans le repère R. L, M et N sont les composantes de #» M (A,S2 S 1 ) dans le repère R, avec L = 0. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 25 / 87

Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Modélisation plane Modélisation plane Dans un problème considéré comme plan, un solide S k possède au maximum trois degrés de liberté par rapport à un repère de référence R i. Quatre modèles de liaisons, correspondant à des formes particulières du torseur cinématique, peuvent être retenus. X 10.u 10 + Y 10.v 10 + N 10.r 10 = 0. ddl 0 ddl 0 tr 0 rt 1 ddl 1 tr 0 rt 1 ddl 0 tr 1 rt 2 ddl 1 tr 1 rt Nom de la liaison Encastrement Glissière Pivot Ponctuelle plane Caractéristique géométrique M (ε) 1 direction x M (ε) 1 axe (A, z ) M (A, z ) Normal au plan y, point de contact A M M M A Torseur cinématique 0 0 0 u 10 0 0 0 0 r 10 R0 u 10 0 r 10 R0 R0 R0 Torseur des actions mécaniques transmissibles X 10 Y 10 N 10 M R0 0 Y 10 N 10 M R0 X 10 Y 10 0 M R0 0 Y 10 0 A R0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 26 / 87

Actions mécaniques particulières Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 4 Actions mécaniques particulières Pesanteur Pression hydrostatique d un fluide sur un solide 5 Lois de Coulomb 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) 7 Liaisons équivalentes 8 Résolution d un problème de statique Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 27 / 87

Actions mécaniques particulières Pesanteur Pesanteur P = m. g Le poids P est dirigé de haut en bas et est porté par une droite verticale (en négligeant la rotation de la terre) qui passe par le point matériel. Chaque point matériel M i d un solide S est soumis à cette attraction terrestre : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 28 / 87

Actions mécaniques particulières Pesanteur { F ni Pi S } = A R = n P i i=1 M (A, P i S) = n #» i=1 AM i P i = A R= n i=1 m i. g #» i=1 AM i m i. g M (A, P i S) = n Quand la masse est distribuée de manière continue, ce torseur prend la forme { } R F Pi S = = M S g.dm i P i S M (A, P i S) = #» AM g.dm M S A où dm est l élément de masse autour du point M. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 29 / 87

Actions mécaniques particulières Pesanteur Le centre de gravité G est le point définit par M S #» GM.dm = 0 soit encore #» AG = 1 m. M S #» AM.dm Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 30 / 87

Actions mécaniques particulières Pesanteur Le centre de gravité G est le point définit par M S #» GM.dm = 0 soit encore m i. AG #» = i i #» AG = 1 m. m i. #» AM i M S #» AM.dm Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 30 / 87

Actions mécaniques particulières Pesanteur Le centre de gravité G est le point définit par M S #» GM.dm = 0 soit encore m i. AG #» = i i #» AG = 1 m. m i. #» AM i M S #» AM.dm {Fg Σ } = G { mσ. g 0 } Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 30 / 87

Actions mécaniques particulières Pesanteur Le centre de gravité G est le point définit par M S #» GM.dm = 0 soit encore m i. AG #» = i i #» AG = 1 m. m i. #» AM i M S #» AM.dm {Fg Σ } = G { mσ. g 0 } REMARQUES : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 30 / 87

Actions mécaniques particulières Pesanteur Le centre de gravité G est le point définit par M S #» GM.dm = 0 soit encore m i. AG #» = i i #» AG = 1 m. m i. #» AM i M S #» AM.dm {Fg Σ } = G { mσ. g 0 } REMARQUES : si S possède un plan de symétrie, G y appartient Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 30 / 87

Actions mécaniques particulières Pesanteur Le centre de gravité G est le point définit par M S #» GM.dm = 0 soit encore m i. AG #» = i i #» AG = 1 m. m i. #» AM i M S #» AM.dm {Fg Σ } = G { mσ. g 0 } REMARQUES : si S possède un plan de symétrie, G y appartient si S possède un axe de symétrie, G y appartient Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 30 / 87

Actions mécaniques particulières Pesanteur Le centre de gravité G est le point définit par M S #» GM.dm = 0 soit encore m i. AG #» = i i #» AG = 1 m. m i. #» AM i M S #» AM.dm {Fg Σ } = G { mσ. g 0 } REMARQUES : si S possède un plan de symétrie, G y appartient si S possède un axe de symétrie, G y appartient si S possède un centre de symétrie, G est confondu avec ce centre. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 30 / 87

Actions mécaniques particulières Pression hydrostatique d un fluide sur un solide Pression hydrostatique d un fluide sur un solide Soit p(m) la pression en un point M d un fluide. Le fluide est en contact sur la surface Σ avec le solide S. On a alors: {F fluide S } = O M Σ p(m). n(m).dσ #» OM ( p(m). n(m)).dσ M Σ p(n). n(n) n(n) N n(m) M p(m). n(m) Où n(m) est la normale en M dirigée vers l extérieur du solide S. La pression exerce une densité de force localement normale à la paroi Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 31 / 87

Lois de Coulomb Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 4 Actions mécaniques particulières 5 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) 7 Liaisons équivalentes 8 Résolution d un problème de statique Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 32 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Entre deux solides S 1 et S 2 en contact peuvent se transmettre des actions mécaniques avec frottement (dû aux irrégularités de contact, et au bourrelets de contact). Coulomb a déterminé empiriquement des lois sur les efforts. Soit I le point de contact Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 33 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Entre deux solides S 1 et S 2 en contact peuvent se transmettre des actions mécaniques avec frottement (dû aux irrégularités de contact, et au bourrelets de contact). Coulomb a déterminé empiriquement des lois sur les efforts. Soit I le point de contact Π le plane tangent commun aux deux solides Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 33 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Entre deux solides S 1 et S 2 en contact peuvent se transmettre des actions mécaniques avec frottement (dû aux irrégularités de contact, et au bourrelets de contact). Coulomb a déterminé empiriquement des lois sur les efforts. Soit I le point de contact Π le plane tangent commun aux deux solides n la normale à Π Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 33 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 34 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Le mouvement de S 2 par rapport à S 1 est caractérisé par un vecteur vitesse de glissement V (I 2/1) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 35 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Le mouvement de S 2 par rapport à S 1 est caractérisé par un vecteur vitesse de glissement V (I 2/1) un vecteur rotation Ω (2/1) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 35 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Le mouvement de S 2 par rapport à S 1 est caractérisé par un vecteur vitesse de glissement V (I 2/1) un vecteur rotation Ω (2/1) un vecteur rotation de pivotement Ω p(2/1) = ( Ω (2/1). n). n Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 35 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Le mouvement de S 2 par rapport à S 1 est caractérisé par un vecteur vitesse de glissement V (I 2/1) un vecteur rotation Ω (2/1) un vecteur rotation de pivotement Ω p(2/1) = ( Ω (2/1). n). n un vecteur rotation de roulement Ω r(2/1) = Ω (2/1) Ω p(2/1) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 35 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le glissement Soient F (1 2) la force de S 1 sur S 2 au niveau du point I Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 36 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le glissement Soient F (1 2) la force de S 1 sur S 2 au niveau du point I N (1 2) la force normale de S 1 sur S 2 au niveau du point I N (1 2) = ( F(1 2). n ). n Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 36 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le glissement Soient F (1 2) la force de S 1 sur S 2 au niveau du point I N (1 2) la force normale de S 1 sur S 2 au niveau du point I N (1 2) = ( F(1 2). n ). n T (1 2) la force tangentielle de S 1 sur S 2 au niveau du point I T (1 2) = F (1 2) N (1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 36 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 37 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Les lois de Coulomb spécifient que : s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : V (I 2/1) 0 T (1 2) V (I 2/1) = 0 T (1 2). V (I 2/1) < 0 T (1 2) = f. N (1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 38 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Les lois de Coulomb spécifient que : s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : V (I 2/1) 0 T (1 2) V (I 2/1) = 0 T (1 2). V (I 2/1) < 0 T (1 2) = f. N (1 2) s il n y a pas glissement au contact entre S 1 et S 2 : V (I 2/1) = 0 T (1 2) f. N (1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 38 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Les lois de Coulomb spécifient que : s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : V (I 2/1) 0 T (1 2) V (I 2/1) = 0 T (1 2). V (I 2/1) < 0 T (1 2) = f. N (1 2) s il n y a pas glissement au contact entre S 1 et S 2 : V (I 2/1) = 0 T (1 2) f. N (1 2) où f est le coefficient de frottement entre S 1 et S 2. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 38 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel La force F (1 2) doit donc être située dans le cône de frottement de demi angle au sommetϕtel que f = tanϕ Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 39 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel La force F (1 2) doit donc être située dans le cône de frottement de f = tanϕ demi angle au sommetϕtel que Si F (1 2) est sur le cône, il y a glissement. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 39 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel La force F (1 2) doit donc être située dans le cône de frottement de demi angle au sommetϕtel que f = tanϕ Si F (1 2) est sur le cône, il y a glissement.si la force est dans le cône, il n y a pas glissement. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 39 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel La force F (1 2) doit donc être située dans le cône de frottement de demi angle au sommetϕtel que f = tanϕ Si F (1 2) est sur le cône, il y a glissement.si la force est dans le cône, il n y a pas glissement.on parle alors d adhérence Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 39 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Glissement F(1 2) La force F (1 2) doit donc être située dans le cône de frottement de demi angle au sommetϕtel que f = tanϕ Si F (1 2) est sur le cône, il y a glissement.si la force est dans le cône, il n y a pas glissement.on parle alors d adhérence F (1 2) Adhérence Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 39 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Coefficient de frottement Le coefficient de frottement f entre S 1 et S 2 ne dépend que de la nature des matériaux de S 1 et S 2 et de leur état de surface au niveau du contact. Nature des matériaux Etat de surface f = tan ϕ Acier sur acier Polie 0.1 Acier sur bronze A sec 0.2 Fonte sur bronze A sec 0.1 Acier sur bronze Lubrifié 0.07 Fonte sur Fonte Lubrifié 0.07 Acier ou fonte sur garniture de friction A sec 0.45 Pneu neuf sur chaussée A sec 0.6 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 40 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le roulement Soient #» M (I,1 2) le moment en I de S 1 sur S 2 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 41 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le roulement Soient M (I,1 2) le moment en I de S 1 sur S 2 M #» N(I,1 2) le couple de résistance au pivotement en I de S 1 sur S 2 #» M N(I,1 2) = ( M(I,1 2). n ). n Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 41 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le roulement Soient M (I,1 2) le moment en I de S 1 sur S 2 M #» N(I,1 2) le couple de résistance au pivotement en I de S 1 sur S 2 #» M N(I,1 2) = ( M(I,1 2). n ). n M #» N(I,1 2) le couple de résistance au roulement en I de S 1 sur S 2. #» M T(I,1 2) = M (I,1 2) ( M(I,1 2). n ). n Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 41 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 42 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Les lois de Coulomb pour le roulement s écrivent s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω R(2/1) 0 #» M T(I,1 2) Ω R(2/1) = 0 #» M T(I,1 2). Ω R(2/1) < 0 M #» T(I,1 2) = f P. N (1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 43 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Les lois de Coulomb pour le roulement s écrivent s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω R(2/1) 0 #» M T(I,1 2) Ω R(2/1) = 0 #» M T(I,1 2). Ω R(2/1) < 0 M #» T(I,1 2) = f P. N (1 2) s il y a adhérence au contact entre S 1 et S 2 : Ω R(2/1) = 0 M #» T(I,1 2) f R. N (1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 43 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Les lois de Coulomb pour le roulement s écrivent s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω R(2/1) 0 #» M T(I,1 2) Ω R(2/1) = 0 #» M T(I,1 2). Ω R(2/1) < 0 M #» T(I,1 2) = f P. N (1 2) s il y a adhérence au contact entre S 1 et S 2 : Ω R(2/1) = 0 M #» T(I,1 2) f R. N (1 2) où f R est le coefficient de résistance au roulement entre S 1 et S 2. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 43 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le pivotement De la même manière, les lois de Coulomb pour le pivotement s écrivent s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω P(2/1) 0 #» M N(I,1 2) Ω P(2/1) = 0 #» M N(I,1 2). Ω P(2/1) < 0 M #» N(I,1 2) = f P. N (1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 44 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le pivotement De la même manière, les lois de Coulomb pour le pivotement s écrivent s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω P(2/1) 0 #» M N(I,1 2) Ω P(2/1) = 0 #» M N(I,1 2). Ω P(2/1) < 0 M #» N(I,1 2) = f P. N (1 2) s il n y a pas glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω P(2/1) = 0 M #» N(I,1 2) f P. N (1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 44 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le pivotement De la même manière, les lois de Coulomb pour le pivotement s écrivent s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω P(2/1) 0 #» M N(I,1 2) Ω P(2/1) = 0 #» M N(I,1 2). Ω P(2/1) < 0 M #» N(I,1 2) = f P. N (1 2) s il n y a pas glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω P(2/1) = 0 M #» N(I,1 2) f P. N (1 2) où f P est le coefficient de résistance au pivotement entre S 1 et S 2. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 44 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Les lois de Coulomb, concernant le frottement de glissement, ne sont valables que pour un contact ponctuel ou "quasi ponctuel". Mais très souvent le contact entre deux solides n est pas ponctuel et s effectue sur une surface entière. Soient f p(1 2) la densité surfacique de force de S 1 sur S 2 au niveau du point P de la zone de contact Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 45 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Les lois de Coulomb, concernant le frottement de glissement, ne sont valables que pour un contact ponctuel ou "quasi ponctuel". Mais très souvent le contact entre deux solides n est pas ponctuel et s effectue sur une surface entière. Soient f p(1 2) la densité surfacique de force de S 1 sur S 2 au niveau du point P de la zone de contact n p(1 2) la densité surfacique de force normale de S 1 sur S 2 au niveau du point Pde la zone de contact n p(1 2) = ( f p(1 2). n ). n Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 45 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Les lois de Coulomb, concernant le frottement de glissement, ne sont valables que pour un contact ponctuel ou "quasi ponctuel". Mais très souvent le contact entre deux solides n est pas ponctuel et s effectue sur une surface entière. Soient f p(1 2) la densité surfacique de force de S 1 sur S 2 au niveau du point P de la zone de contact n p(1 2) la densité surfacique de force normale de S 1 sur S 2 au niveau du point Pde la zone de contact n p(1 2) = ( f p(1 2). n ). n t p(1 2) la densité surfacique de force tangentielle de S 1 sur S 2 au niveau du point P de la zone de contact t p(1 2) = f p(1 2) n p(1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 45 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 46 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel L action mécanique de S 1 sur S 2 est } {F 1 2 = A f p(1 2) ds #» AP f p(1 2) ds Les lois de Coulomb s écrivent: s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : t V (I 2/1) p(1 2) V (I 2/1) = 0 0 t p(1 2). V (I 2/1) < 0 t p(1 2) = f. n p(1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 47 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel L action mécanique de S 1 sur S 2 est } {F 1 2 = A f p(1 2) ds #» AP f p(1 2) ds Les lois de Coulomb s écrivent: s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : t V (I 2/1) p(1 2) V (I 2/1) = 0 0 t p(1 2). V (I 2/1) < 0 t p(1 2) = f. n p(1 2) s il y a adhérence au contact entre S 1 et S 2 : V (I 2/1) = 0 t p(1 2) f. n p(1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 47 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel L action mécanique de S 1 sur S 2 est } {F 1 2 = A f p(1 2) ds #» AP f p(1 2) ds Les lois de Coulomb s écrivent: s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : t V (I 2/1) p(1 2) V (I 2/1) = 0 0 t p(1 2). V (I 2/1) < 0 t p(1 2) = f. n p(1 2) s il y a adhérence au contact entre S 1 et S 2 : V (I 2/1) = 0 t p(1 2) f. n p(1 2) où f est le coefficient de frottement entre S 1 et S 2 au niveau du point P. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 47 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel La solution pratique du problème exige : la connaissance de la loi de répartition de n p(1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 48 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel La solution pratique du problème exige : la connaissance de la loi de répartition de n p(1 2) la loi de répartition de f (qui peut dépendre du point P considéré). Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 48 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel La solution pratique du problème exige : la connaissance de la loi de répartition de n p(1 2) la loi de répartition de f (qui peut dépendre du point P considéré). Dans de nombreux cas, nous pouvons faire des hypothèses simplificatrices qui peuvent être : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 48 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel La solution pratique du problème exige : la connaissance de la loi de répartition de n p(1 2) la loi de répartition de f (qui peut dépendre du point P considéré). Dans de nombreux cas, nous pouvons faire des hypothèses simplificatrices qui peuvent être : une répartition uniforme pour f Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 48 / 87

Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel La solution pratique du problème exige : la connaissance de la loi de répartition de n p(1 2) la loi de répartition de f (qui peut dépendre du point P considéré). Dans de nombreux cas, nous pouvons faire des hypothèses simplificatrices qui peuvent être : une répartition uniforme pour f une répartition uniforme pour n p(1 2) ou une répartition qui, en essayant d approcher la réalité, permet des calculs rapides. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 48 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Isolement d un solide Action mécanique extérieure / intérieure Enoncé du PFS Théorèmes généraux de la statique Théorèmes des actions réciproques Système soumis à l action de 2 glisseurs (forces) Sciences de Système l Ingénieur (MPSI soumis - PCSI) à l actionci-6 deactions 3 glisseurs mécaniques (forces) Année 2014-2015 49 / 87 Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 4 Actions mécaniques particulières 5 Lois de Coulomb

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Isolement d un solide Isolement d un solide Pour étudier un système matériel (Σ) on commence par l isoler de l extérieur (Σ). Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 50 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Isolement d un solide Exemple Le système matériel (Σ) défini à l intérieur de la frontière est constitué du corps de vérin, de deux pattes de fixation, du piston, d un joint, de la tige, du ressort, et du volume d air situé dans la chambre entre le piston et le corps. Ce système est en relation avec l extérieur par l intermédiaire de deux liaisons : une liaison encastrement (patte de fixation) une liaison rotule de centre O avec un autre système. De plus, chaque corps du système est soumis au champ d action de la pesanteur. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 51 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Isolement d un solide Isolons le système matériel (S) constitué de la tige, du piston et du joint du vérin. L extérieur de (S), noté (S), est constitué du corps de vérin, de deux pattes de fixation, du ressort, du volume d air situé dans la chambre entre le piston et le corps et de l extérieur deσ(σ). Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 52 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Action mécanique extérieure / intérieure Action mécanique extérieure / intérieure Les actions mécaniques extérieures à un système matériel (S) sont l ensemble des actions mécaniques de (S) sur (S). EXEMPLE : Bilan des actions mécaniques exercées sur l ensemble matériel{tige, piston, joint} du vérin. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 53 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Action mécanique extérieure / intérieure Les actions mécanique intérieures à un système matériel (S) sont l ensemble des actions mécaniques mutuelles entre les différents sous ensembles de (S). EXEMPLE : l action mutuelle de la tige sur le piston, et l action mutuelle du piston sur le joint. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 54 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Enoncé du PFS Dans un repère galiléen R g, si un système matériel(σ) est en équilibre, l ensemble des actions mécanique extérieures est nul. (Σ) en équilibre dans R g } {F Σ Σ = A } R Σ Σ M {0 (A,Σ Σ) = Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 55 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 56 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 56 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques (voiture, avion, machine,... ), la Terre est une bonne approximation d un repère Galiléen. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 56 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques (voiture, avion, machine,... ), la Terre est une bonne approximation d un repère Galiléen. L analyse de PFD montre qu il est possible d étendre le champ d application du PFS à des systèmes mobiles dans les trois cas particuliers suivants : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 56 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques (voiture, avion, machine,... ), la Terre est une bonne approximation d un repère Galiléen. L analyse de PFD montre qu il est possible d étendre le champ d application du PFS à des systèmes mobiles dans les trois cas particuliers suivants : mouvement de translation uniforme Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 56 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques (voiture, avion, machine,... ), la Terre est une bonne approximation d un repère Galiléen. L analyse de PFD montre qu il est possible d étendre le champ d application du PFS à des systèmes mobiles dans les trois cas particuliers suivants : mouvement de translation uniforme mouvement de rotation uniforme d un solide équilibré dynamiquement Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 56 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques (voiture, avion, machine,... ), la Terre est une bonne approximation d un repère Galiléen. L analyse de PFD montre qu il est possible d étendre le champ d application du PFS à des systèmes mobiles dans les trois cas particuliers suivants : mouvement de translation uniforme mouvement de rotation uniforme d un solide équilibré dynamiquement lorsque les effets des masses et des inerties peuvent être négligés devant les efforts extérieurs Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 56 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques (voiture, avion, machine,... ), la Terre est une bonne approximation d un repère Galiléen. L analyse de PFD montre qu il est possible d étendre le champ d application du PFS à des systèmes mobiles dans les trois cas particuliers suivants : mouvement de translation uniforme mouvement de rotation uniforme d un solide équilibré dynamiquement lorsque les effets des masses et des inerties peuvent être négligés devant les efforts extérieurs la réciproque du P.F.S n est pas forcément juste. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 56 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Théorèmes généraux de la statique Théorèmes généraux de la statique Une égalité de torseur se traduit par deux égalités vectorielles. Dans un problème spatial, elle génère 6 équations scalaires mais dans un problème plan, seulement 3 équations scalaires. Ainsi, on déduit du principe fondamental de la dynamique les deux théorèmes suivants. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 57 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Théorèmes généraux de la statique Théorèmes généraux de la statique Une égalité de torseur se traduit par deux égalités vectorielles. Dans un problème spatial, elle génère 6 équations scalaires mais dans un problème plan, seulement 3 équations scalaires. Ainsi, on déduit du principe fondamental de la dynamique les deux théorèmes suivants. Théorème de la résultante statique Dans un repère galiléen R g, si un système matériel (Σ) est en équilibre, la résultante statique R Σ Σ est nulle: R Σ Σ = X. x + Y. y + Z. z = 0 X = 0, Y = 0, et Z = 0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 57 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Théorèmes généraux de la statique Théorèmes généraux de la statique Une égalité de torseur se traduit par deux égalités vectorielles. Dans un problème spatial, elle génère 6 équations scalaires mais dans un problème plan, seulement 3 équations scalaires. Ainsi, on déduit du principe fondamental de la dynamique les deux théorèmes suivants. Théorème de la résultante statique Dans un repère galiléen R g, si un système matériel (Σ) est en équilibre, la résultante statique R Σ Σ est nulle: R Σ Σ = X. x + Y. y + Z. z = 0 X = 0, Y = 0, et Z = 0 Théorème du moment statique Dans un repère galiléen R g, si un système matériel (Σ) est en équilibre, le moment statique #» M (M,Σ Σ) est nulle pour tout point M de l espace: #» M (M,Σ Σ) = L. x + M. y + N. z = 0 L = 0, M = 0, et N = 0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 57 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Théorèmes des actions réciproques Théorèmes des actions réciproques Soient deux systèmes distincts Σ 1 et Σ 2 (Σ 1 Σ 2 = ). Alors le théorème des actions réciproques énonce que les actions mécaniques de Σ 1 sur Σ 2 sont opposées aux actions mécaniques de Σ 2 sur Σ 1 {F Σ1 Σ2 } } = {F Σ2 Σ1 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 58 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Théorèmes des actions réciproques Théorèmes des actions réciproques Soient deux systèmes distincts Σ 1 et Σ 2 (Σ 1 Σ 2 = ). Alors le théorème des actions réciproques énonce que les actions mécaniques de Σ 1 sur Σ 2 sont opposées aux actions mécaniques de Σ 2 sur Σ 1 {F Σ1 Σ2 } } = {F Σ2 Σ1 DÉMONSTRATION : Soit Σ tel que Σ 1 Σ 2 = Σ. Les systèmes sont supposés être à l équilibre dans le repère galiléen R g. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 58 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Théorèmes des actions réciproques IsolonsΣ 1. Le principe fondamental de la statique appliqué àσ 1 dans le repère galiléen R g s énonce: } } { } {F Σ Σ1 + {F Σ2 Σ1 = 0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 59 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Théorèmes des actions réciproques IsolonsΣ 1. Le principe fondamental de la statique appliqué àσ 1 dans le repère galiléen R g s énonce: } } { } {F Σ Σ1 + {F Σ2 Σ1 = 0 IsolonsΣ 2. Le principe fondamental de la statique appliqué àσ 2 dans le repère galiléen R g s énonce: } } { } {F Σ Σ2 + {F Σ1 Σ2 = 0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 59 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Théorèmes des actions réciproques IsolonsΣ 1. Le principe fondamental de la statique appliqué àσ 1 dans le repère galiléen R g s énonce: } } { } {F Σ Σ1 + {F Σ2 Σ1 = 0 IsolonsΣ 2. Le principe fondamental de la statique appliqué àσ 2 dans le repère galiléen R g s énonce: } } { } {F Σ Σ2 + {F Σ1 Σ2 = 0 Isolons enfin Σ. Le principe fondamental de la statique appliqué à Σ dans le repère galiléen R g s énonce: } } } { } {F Σ Σ = {F Σ Σ1 + {F Σ Σ2 = 0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 59 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Théorèmes des actions réciproques IsolonsΣ 1. Le principe fondamental de la statique appliqué àσ 1 dans le repère galiléen R g s énonce: } } { } {F Σ Σ1 + {F Σ2 Σ1 = 0 IsolonsΣ 2. Le principe fondamental de la statique appliqué àσ 2 dans le repère galiléen R g s énonce: } } { } {F Σ Σ2 + {F Σ1 Σ2 = 0 Isolons enfin Σ. Le principe fondamental de la statique appliqué à Σ dans le repère galiléen R g s énonce: } } } { } {F Σ Σ = {F Σ Σ1 + {F Σ Σ2 = 0 En retranchant la dernière équations à la sommes des deux premières: } } { } } } {F Σ2 Σ1 + {F Σ1 Σ2 = 0 {F Σ2 Σ1 = {F Σ1 Σ2 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 59 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 2 glisseurs (forces) Système soumis à l action de 2 glisseurs (forces) Le système (S) est soumis à deux forces : F A appliquée en A et F B appliquée en B. Le principe fondamental de la statique nous permet d écrire : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 60 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 2 glisseurs (forces) Système soumis à l action de 2 glisseurs (forces) Le système (S) est soumis à deux forces : F A appliquée en A et F B appliquée en B. Le principe fondamental de la statique nous permet d écrire : A { #» FA 0 }+ B { #» F B 0 } ={ 0 0 } { #» { #» FA F }+ #» B A 0 AB F #» A B #» F A + F #» B = 0 #» AB F #» B = 0 } { } = 0 #» F A = F #» B λ/ AB #» =λ. F #» B Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 60 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 2 glisseurs (forces) A B #» x x #» F A F B Lorsqu un système en équilibre est soumis à deux forces, ces deux forces sont colinéaires, égales et opposées. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 61 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Le système S est soumis à trois forces F #» A, F #» B, F #» C appliquées en A, B et C. Soit : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 62 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Le système S est soumis à trois forces F #» A, F #» B, F #» C appliquées en A, B et C. Soit : aucune des forces n est parallèle à une des deux autres forces, Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 62 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Le système S est soumis à trois forces F #» A, F #» B, F #» C appliquées en A, B et C. Soit : aucune des forces n est parallèle à une des deux autres forces, deux forces sont parallèles. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 62 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Les forces ne sont pas parallèles A { FA 0 }+ B { { } FB FC }+ 0 C 0 = A { FA 0 }+ { #» F B AB F B A F A + F B + F C = 0 AB F B + AC #» F C = 0 } { F + #» C A AC F C } ={ 0 0 } Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 63 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Les forces ne sont pas parallèles A { FA 0 }+ B { { } FB FC }+ 0 C 0 = A { FA 0 }+ { #» F B AB F B A F A + F B + F C = 0 AB F B + AC #» F C = 0 } { F + #» C A AC F C } ={ 0 0 } Pour vérifier la deuxième équation, il faut que les deux vecteurs AB F B et AC #» F C soient parallèles. Or AB F B est perpendiculaire au plan (P1) = (A, B, F B ) et AC #» F C est perpendiculaire au plan (P2) = (A, C, F C ). Ces deux plans doivent donc être parallèles. A appartient aux deux plans (P1) et (P2), ces deux plans sont donc confondus. A, B, C, F B et F C sont dans un même plan. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 63 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Les forces ne sont pas parallèles A { FA 0 }+ B { { } FB FC }+ 0 C 0 = A { FA 0 }+ { #» F B AB F B A F A + F B + F C = 0 AB F B + AC #» F C = 0 } { F + #» C A AC F C } ={ 0 0 } Pour vérifier la deuxième équation, il faut que les deux vecteurs AB F B et AC #» F C soient parallèles. Or AB F B est perpendiculaire au plan (P1) = (A, B, F B ) et AC #» F C est perpendiculaire au plan (P2) = (A, C, F C ). Ces deux plans doivent donc être parallèles. A appartient aux deux plans (P1) et (P2), ces deux plans sont donc confondus. A, B, C, F B et F C sont dans un même plan. F B et F C sont coplanaires mais non parallèles, ils se coupent donc en un point I. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 63 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Les forces ne sont pas parallèles A { FA 0 }+ B { { } FB FC }+ 0 C 0 = A { FA 0 }+ { #» F B AB F B A F A + F B + F C = 0 AB F B + AC #» F C = 0 } { F + #» C A AC F C } ={ 0 0 } Pour vérifier la deuxième équation, il faut que les deux vecteurs AB F B et AC #» F C soient parallèles. Or AB F B est perpendiculaire au plan (P1) = (A, B, F B ) et AC #» F C est perpendiculaire au plan (P2) = (A, C, F C ). Ces deux plans doivent donc être parallèles. A appartient aux deux plans (P1) et (P2), ces deux plans sont donc confondus. A, B, C, F B et F C sont dans un même plan. F B et F C sont coplanaires mais non parallèles, ils se coupent donc en un point I. { F A I IA F A } { F + B I IB F B } { F + C I IC F C } = { } 0 0 F A + F B + F C = 0 IA F A = 0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 63 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Les forces ne sont pas parallèles A { FA 0 }+ B { { } FB FC }+ 0 C 0 = A { FA 0 }+ { #» F B AB F B A F A + F B + F C = 0 AB F B + AC #» F C = 0 } { F + #» C A AC F C } ={ 0 0 } Pour vérifier la deuxième équation, il faut que les deux vecteurs AB F B et AC #» F C soient parallèles. Or AB F B est perpendiculaire au plan (P1) = (A, B, F B ) et AC #» F C est perpendiculaire au plan (P2) = (A, C, F C ). Ces deux plans doivent donc être parallèles. A appartient aux deux plans (P1) et (P2), ces deux plans sont donc confondus. A, B, C, F B et F C sont dans un même plan. F B et F C sont coplanaires mais non parallèles, ils se coupent donc en un point I. { F A I IA F A } { F + B I IB F B } { F + C I IC F C } = { } 0 0 F A + F B + F C = 0 IA F A = 0 Pour vérifier l équation de moment, il faut que λ R/ F A =λ. IA. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 63 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) A + # C» + F C B + #» F B Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 64 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) A + # C» + F C B + #» F B A + # C» + F C B + #» F B Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 64 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) A + # C» + F C B + #» F B A + # C» + F C B + #» F B #» F B #» F C #» F A Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 64 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Pour qu un solide S soumis à trois forces non parallèles soit en équilibre, il faut que ces trois forces soient coplanaires, concourantes et de somme nulle. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 65 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Deux forces sont parallèles #» F B et F #» C sont parallèles. B, C, F #» B et F #» C sont donc coplanaires. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 66 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Deux forces sont parallèles #» F B et F #» C sont parallèles. B, C, F #» B et F #» C sont donc coplanaires. A { FA }+ 0 { { } { { FB FC FA }+ = }+ F B 0 C 0 A 0 A AB F B B F A + F B + F C = 0 AB F B + AC #» F C = 0 } { F + #» C A AC F C } ={ 0 0 } Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 66 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Deux forces sont parallèles #» F B et F #» C sont parallèles. B, C, F #» B et F #» C sont donc coplanaires. A { FA }+ 0 { { } { { FB FC FA }+ = }+ F B 0 C 0 A 0 A AB F B B F A + F B + F C = 0 AB F B + AC #» F C = 0 } { F + #» C A AC F C } ={ 0 0 } Pour vérifier l équation de la résultante, il faut que F #» A soit aussi parallèle à F #» B et F #» C. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 66 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Deux forces sont parallèles #» F B et F #» C sont parallèles. B, C, F #» B et F #» C sont donc coplanaires. A { FA }+ 0 { { } { { FB FC FA }+ = }+ F B 0 C 0 A 0 A AB F B B F A + F B + F C = 0 AB F B + AC #» F C = 0 } { F + #» C A AC F C } ={ 0 0 } Pour vérifier l équation de la résultante, il faut que F #» A soit aussi parallèle à F #» B et F #» C. Pour vérifier l équation du moment, il faut que A appartienne au plan B, C, F #» B et F #» C. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 66 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) A x # C» x F C #» F B B x Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 67 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) A x # C» x F C #» F B B x A x Cx #» F B B x #» F C Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 67 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) A x # C» x F C #» F B B x A x B #» x F #» #» #» B F C F F C #» A Cx FB Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 67 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) A x # C» x F C #» F B B x A x B #» x F #» #» #» B F C F F C #» A Cx FB #» #» FB F A x A x Cx #» F C Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 67 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Lorsqu un solide (S) en équilibre est soumis à trois forces dont deux d entre elles sont parallèles, il faut que la troisième soit coplanaire et parallèle et que la somme des trois forces soit nulle ainsi que le moment de ces trois forces. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 68 / 87

Principe Fondamental de la Statique (PFS) Système soumis à l action de 3 glisseurs (forces) Bilan Pour qu un solide soumis à trois forces soit en équilibre par rapport à un repère galiléen, il faut et il suffit que ces forces soient : coplanaires parallèles ou concourantes à somme nulle et à somme des moments nulle. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 69 / 87

Liaisons équivalentes Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 4 Actions mécaniques particulières 5 Lois de Coulomb 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) 7 Liaisons équivalentes Liaisons en parallèle Liaison en série 8 Résolution d un problème de statique Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 70 / 87

Liaisons équivalentes Liaisons équivalentes Afin d étudier la cinématique d un mécanisme, on cherche à remplacer des associations de liaisons en parallèle ou en série par une liaison élémentaire normalisée et dont le comportement est cinématiquement équivalent. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 71 / 87

Liaisons équivalentes Liaisons en parallèle Liaisons en parallèle L associations de liaisons en parallèle peut engendrer des inconnues hyperstatiques. Le calcul du degré d hyperstatisme dit " interne " s effectue de la même manière que précédemment. L 1 L 2 P 1 P 2 L i L n L eq P 1 P 2 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 72 / 87

Liaisons équivalentes Liaisons en parallèle Approche cinématique Pour que la liaison équivalentel eq entre P 1 et P 2 soit compatible avec les autres liaisons simples parallèles, il faut que son torseur cinématique soit égal au torseur cinématique associé à chaque liaison parallèle: { } { } { } V L eq = V L 1 =... = V L n P 2 /P 1 P 2 /P 1 P 2 /P 1 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 73 / 87

Liaisons équivalentes Liaisons en parallèle Approche statique Isoler P 2 permet de faire le bilan des actions mécaniques qui lui sont exercées. Le principe fondamentale de la statique (ou de la dynamique) appliqué à P 2 nous permet d écrire que: { } { { } F L eq = F L 1 }+...+ F L n P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 74 / 87

Liaisons équivalentes Liaison en série Liaison en série P 1 L 1 P 2 P n 1 L n P n P 1 L eq P n Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 75 / 87

Liaisons équivalentes Liaison en série Approche cinématique Par composition des vecteurs vitesses: { } { { } V L eq = V L n 1 }+...+ V L 1 P n /P 1 P n /P n 1 P 2 /P 1 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 76 / 87

Liaisons équivalentes Liaison en série Approche statique Par application du successives du PFS à n 1 solide i: } } {F Pi 1 Pi + {F Pi+1 Pi {F Pi+1 Pi } = = { } 0 0 } {F Pi Pi 1 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 77 / 87

Liaisons équivalentes Liaison en série Approche statique Par application du successives du PFS à n 1 solide i: } } {F Pi 1 Pi + {F Pi+1 Pi {F Pi+1 Pi } On en déduit donc que: = = { } 0 0 } {F Pi Pi 1 { } { } { } F L eq P n P 1 = F L 1 P n P n 1 =... = F L n P 2 P 1 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 77 / 87

Résolution d un problème de statique Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 4 Actions mécaniques particulières 5 Lois de Coulomb 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) 7 Liaisons équivalentes 8 Résolution d un problème de statique Hypothèses Algorithme de résolution Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 78 / 87

Résolution d un problème de statique Hypothèses Hypothèses On suppose que les solides sont indéformables Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 79 / 87

Résolution d un problème de statique Hypothèses Hypothèses On suppose que les solides sont indéformables les liaisons sont géométriquement parfaites Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 79 / 87

Résolution d un problème de statique Hypothèses Hypothèses On suppose que les solides sont indéformables les liaisons sont géométriquement parfaites les actions mécaniques des fluides, le frottement sont pris en compte ou négligés. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 79 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Méthodes de résolution Deux méthodes peuvent être envisagées pour résoudre un problème de statique Méthode graphique : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 80 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Méthodes de résolution Deux méthodes peuvent être envisagées pour résoudre un problème de statique Méthode graphique : le problème doit être plan Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 80 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Méthodes de résolution Deux méthodes peuvent être envisagées pour résoudre un problème de statique Méthode graphique : le problème doit être plan les actions mécaniques extérieures doivent être modélisables par des glisseurs coplanaires Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 80 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Méthodes de résolution Deux méthodes peuvent être envisagées pour résoudre un problème de statique Méthode graphique : le problème doit être plan les actions mécaniques extérieures doivent être modélisables par des glisseurs coplanaires Méthode analytique : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 80 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Méthodes de résolution Deux méthodes peuvent être envisagées pour résoudre un problème de statique Méthode graphique : le problème doit être plan les actions mécaniques extérieures doivent être modélisables par des glisseurs coplanaires Méthode analytique : Le problème doit être isostatique (cf cours sur les mécanismes l année prochaine). Si le problème comporte n inconnues statiques (d efforts), Il doit permettre d écrire n équations indépendantes. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 80 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Méthodes de résolution Deux méthodes peuvent être envisagées pour résoudre un problème de statique Méthode graphique : le problème doit être plan les actions mécaniques extérieures doivent être modélisables par des glisseurs coplanaires Méthode analytique : Le problème doit être isostatique (cf cours sur les mécanismes l année prochaine). Si le problème comporte n inconnues statiques (d efforts), Il doit permettre d écrire n équations indépendantes. L écriture du théorème de la résultante, en projection sur les axes du repère, nous fournit 3 équations ( 2 équations en 2D ). Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 80 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Méthodes de résolution Deux méthodes peuvent être envisagées pour résoudre un problème de statique Méthode graphique : le problème doit être plan les actions mécaniques extérieures doivent être modélisables par des glisseurs coplanaires Méthode analytique : Le problème doit être isostatique (cf cours sur les mécanismes l année prochaine). Si le problème comporte n inconnues statiques (d efforts), Il doit permettre d écrire n équations indépendantes. L écriture du théorème de la résultante, en projection sur les axes du repère, nous fournit 3 équations ( 2 équations en 2D ). L écriture du théorème du moment résultant, en projection sur les axes du repère, nous fournit 3 équations ( 1 seule équation en 2D ). Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 80 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Algorithmes Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 81 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Algorithmes 1 Identifier les actions mécaniques connues et inconnues par un graphe des liaisons (recensement de toutes les actions mécaniques) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 82 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Algorithmes 1 Identifier les actions mécaniques connues et inconnues par un graphe des liaisons (recensement de toutes les actions mécaniques) 2 Isoler le système en faisant apparaître les inconnues recherchées et en limitant le nombre d inconnues Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 82 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Algorithmes 1 Identifier les actions mécaniques connues et inconnues par un graphe des liaisons (recensement de toutes les actions mécaniques) 2 Isoler le système en faisant apparaître les inconnues recherchées et en limitant le nombre d inconnues 3 Réaliser le bilan des actions mécaniques (de contact et à distance) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 82 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Algorithmes 1 Identifier les actions mécaniques connues et inconnues par un graphe des liaisons (recensement de toutes les actions mécaniques) 2 Isoler le système en faisant apparaître les inconnues recherchées et en limitant le nombre d inconnues 3 Réaliser le bilan des actions mécaniques (de contact et à distance) 4 Modéliser ces actions mécaniques en tenant compte des hypothèses et on écrit le torseur d actions mécaniques correspondant. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 82 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Algorithmes 1 Identifier les actions mécaniques connues et inconnues par un graphe des liaisons (recensement de toutes les actions mécaniques) 2 Isoler le système en faisant apparaître les inconnues recherchées et en limitant le nombre d inconnues 3 Réaliser le bilan des actions mécaniques (de contact et à distance) 4 Modéliser ces actions mécaniques en tenant compte des hypothèses et on écrit le torseur d actions mécaniques correspondant. 5 Décompter toutes les inconnues I s Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 82 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Algorithmes 1 Identifier les actions mécaniques connues et inconnues par un graphe des liaisons (recensement de toutes les actions mécaniques) 2 Isoler le système en faisant apparaître les inconnues recherchées et en limitant le nombre d inconnues 3 Réaliser le bilan des actions mécaniques (de contact et à distance) 4 Modéliser ces actions mécaniques en tenant compte des hypothèses et on écrit le torseur d actions mécaniques correspondant. 5 Décompter toutes les inconnues I s Si I s 6, écrire le PFS en déplaçant tous les torseurs au même point (choisir parmi les différents points disponibles pour les torseurs, celui qui demande le moins de changements de points et fait apparaître le moins de termes) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 82 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Algorithmes 1 Identifier les actions mécaniques connues et inconnues par un graphe des liaisons (recensement de toutes les actions mécaniques) 2 Isoler le système en faisant apparaître les inconnues recherchées et en limitant le nombre d inconnues 3 Réaliser le bilan des actions mécaniques (de contact et à distance) 4 Modéliser ces actions mécaniques en tenant compte des hypothèses et on écrit le torseur d actions mécaniques correspondant. 5 Décompter toutes les inconnues I s Si I s 6, écrire le PFS en déplaçant tous les torseurs au même point (choisir parmi les différents points disponibles pour les torseurs, celui qui demande le moins de changements de points et fait apparaître le moins de termes) Sinon, écrire le PFS et isoler d autres ensembles en pensant à utiliser le théorème des actions réciproques. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 82 / 87

Résolution d un problème de statique Algorithme de résolution Algorithmes 1 Identifier les actions mécaniques connues et inconnues par un graphe des liaisons (recensement de toutes les actions mécaniques) 2 Isoler le système en faisant apparaître les inconnues recherchées et en limitant le nombre d inconnues 3 Réaliser le bilan des actions mécaniques (de contact et à distance) 4 Modéliser ces actions mécaniques en tenant compte des hypothèses et on écrit le torseur d actions mécaniques correspondant. 5 Décompter toutes les inconnues I s Si I s 6, écrire le PFS en déplaçant tous les torseurs au même point (choisir parmi les différents points disponibles pour les torseurs, celui qui demande le moins de changements de points et fait apparaître le moins de termes) Sinon, écrire le PFS et isoler d autres ensembles en pensant à utiliser le théorème des actions réciproques. REMARQUE: ON N ISOLE JAMAIS LE BÂTI Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 82 / 87

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan Résolution d un problème de statique plan Si le mécanisme est modélisé comme plan (de plan ( x, y)), les forces auxquelles on s intéresse sont dans le plan (F x et F y ), et les moments sont hors plan (M z ). Les torseurs des liaisons ne font apparaître que ces quantités. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 83 / 87

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan Graphe des liaisons Pour s aider dans les isolements, on peut utiliser les symboles : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 84 / 87

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan Ordonnancement des isolements Si un système matériel est en équilibre sous l action de deux glisseurs, les deux résultantes sont égales et directement opposées, donc Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 85 / 87

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan Ordonnancement des isolements Si un système matériel est en équilibre sous l action de deux glisseurs, les deux résultantes sont égales et directement opposées, donc Si un système matériel est en équilibre sous l action de trois glisseurs, les résultantes de ceux-ci sont : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 85 / 87

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan Ordonnancement des isolements Si un système matériel est en équilibre sous l action de deux glisseurs, les deux résultantes sont égales et directement opposées, donc Si un système matériel est en équilibre sous l action de trois glisseurs, les résultantes de ceux-ci sont : coplanaires Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 85 / 87

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan Ordonnancement des isolements Si un système matériel est en équilibre sous l action de deux glisseurs, les deux résultantes sont égales et directement opposées, donc Si un système matériel est en équilibre sous l action de trois glisseurs, les résultantes de ceux-ci sont : coplanaires concourantes ou parallèles Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 85 / 87

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan Ordonnancement des isolements Si un système matériel est en équilibre sous l action de deux glisseurs, les deux résultantes sont égales et directement opposées, donc Si un système matériel est en équilibre sous l action de trois glisseurs, les résultantes de ceux-ci sont : coplanaires concourantes ou parallèles de sommé géométrique nulle. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 85 / 87

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan Ordonnancement des isolements Si un système matériel est en équilibre sous l action de deux glisseurs, les deux résultantes sont égales et directement opposées, donc Si un système matériel est en équilibre sous l action de trois glisseurs, les résultantes de ceux-ci sont : coplanaires concourantes ou parallèles de sommé géométrique nulle. Pour résoudre un problème de statique graphique, il faut, sur le graphe des liaisons, isoler les solides ou groupes de solides soumis à 2 ou 3 glisseurs, et leur appliquer le PFS pour obtenir des informations supplémentaires sur les forces. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 85 / 87

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (7 8) F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (7 8) F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (7 8) F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (7 8) F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (8 7) F (7 8) F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (8 7) F (7 8) F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (2 7) F (8 7) F (7 8) F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (2 7) F (5 7) F (8 7) F (7 8) F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (2 7) F (5 7) F (8 7) F (7 8) F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (7 5) F (2 7) F (5 7) F (8 7) F (7 8) F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (7 5) F (2 7) F (5 7) F (8 7) F (7 8) F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (7 5) F (6 5) F (2 7) F (5 7) F (8 7) F (7 8) F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (4 5) F (7 5) F (6 5) F (2 7) F (5 7) F (8 7) F (7 8) F (fluide 8) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 86 / 87

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (7 8) F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (8 7) F (2 7) F (7 8) F (5 7) F (fluide 8)

Résolution d un problème de statique Résolution d un problème de statique plan F (4 5) F (6 5) F (7 5) F (8 7) F (2 7) F (7 8) F (5 7) F (fluide 8) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année 2014-2015 87 / 87