1/15 Des essais de location de voitures ont été effectués dans trois sociétés de location différentes. Pour chaque essai, la voiture n'a été louée qu'une journée. Société Animatour J'ai payé un jour 22,5 euros pour parcourir 5 km. Un autre jour, j'ai payé 45 euros pour 2 km. Société Beautour Pas de forfait à la journée, mais seulement une taxe kilométrique k. Pour un circuit de 3 km, le prix est le même qu'avec la société A. Société Cartour Un forfait fixe f à la journée, kilométrage gratuit et illimité. Ici le tarif devient plus intéressant qu'avec la société A à partir de 25 km. Pour une location "à la journée", la formule est du type P = k.n + f Où : P est le prix à payer n est le nombre de kilomètres parcourus k est la taxe kilométrique f est le forfait. Pour chaque société déterminer k et f et exprimer P en fonction de n.
2/15 1) ETUDE PAR GRAPHIQUE P euros 75 7 65 6 55 5 45 35 3 25 2 15 1 5 25 5 75 1 125 15 175 2 225 25 275 3 325 n km a) Tracer sans calcul les graphiques donnant le prix de chaque société en fonction de la distance parcourue b) Lire sur le graphique les valeurs de k et de f pour chaque société.
3/15 2) ETUDE PAR TABLEAU a) Pour chaque société, compléter les tableaux SOCIETE A SOCIETE B SOCIETE C n p n p n p 5 22.5 5 5 1 1 1 15 15 15 2 45 2 2 25 25 25 b) Ecrire les relations entre les lignes. c) Ecrire les relations entre les colonnes. 3) ETUDE PAR FORMULE Pour chaque société, trouver des équations dont k et f sont solutions.
4/15 1) Etude par Graphique a) Chaque société a un tarif affine, donc les graphiques sont des droites. Pour chaque société on connaît 2 points. b) f est l'ordonnée à l'origine. k est le coefficient directeur de la droite. 2) Etude par tableau Compléter les opérateurs : a) Opérateur entre les lignes : cherchez l'opérateur + qui fait passer d'une ligne à la suivante b) opérateur entre les colonnes : pour A cherchez un opérateur + pour B cherchez un opérateur x n n p 5 22.5 5 22.5 1 1 15 15 2 45 2 45 25 25 3) Etude par formule Pour la société A écrire que la relation P = kn + f doit être valable avec : n = 5 et P = 22,5 et n = 2 et P = 45 Déterminer k et f par la résolution du système d'équations que vous aurez obtenu.
5/15 SOLUTION GRAPHIQUE SOCIETE A : 8 7 6 P (euros) 5 3 2 1 1 2 3 5 n( km) La formule P = kn + f indique que le modèle est affine (y = ax + b) On peut tracer une droite passant par les points (5, 22,5) et (2, 45). Le coefficient directeur de cette droite est de,15 et l ordonnée à l origine est 15 (lecture graphique) k =,15 a =,15 P = 15 +,15 n ou y =,15 x +15 f = 15 b = 15
6/15 SOCIETE B : 9 8 7 6 B A P (euros) 5 3 2 1 1 2 3 5 n( km) Pour 3 km, on paie le même prix qu avec la société A. Comme il n y a pas de forfait (f = ) la droite passe par O et par le point (3, 6). La taxe kilométrique est le coefficient directeur de la droite soit : 6 = 3,2 k =,2 a =,2 P =,2 n ou y =,2 x f = b =
7/15 SOCIETE C : 8 7 A P (euros) 6 5 3 2 C 1 1 2 3 5 n( km) Pour 25 km, on paie le même prix qu avec la société A. Il n y a pas de taxe kilométrique (k = ), le coefficient directeur de la droite est nul : la droite est parallèle à l axe des abscisses et passe par le point (25, 52,5). Le forfait est de 52,5. k = a = P = 52,5 ou y = 52,5 f = 52,5 b = 52,5
8/15 SOLUTION A L AIDE DES TABLEAUX SOCIETE A +15 n P n p 15-5 -7,5 5 22,5 5 22,5 +5 +7,5 1 1 3 +15 +22,5 +5 +7,5 15 15 37,5 2 45 2 45 25 +5 25 52,5 +7,5 3 3 6 35 35 67,5 On calcule les écarts de prix et les écarts de km. On paie 22,5 euros de plus pour 15 km supplémentaires. Pour compléter la colonne n du tableau on applique l opérateur +5 pour passer d une ligne à la suivante et l opérateur 5 pour passer d une ligne à la précédente. Pour compléter la colonne P du tableau on applique l opérateur +7,5 pour passer d une ligne à la suivante et l opérateur 7,5 pour passer d une ligne à la précédente. La taxe kilométrique se calcule en faisant le rapport des écarts 22,5/15 ou 7,5/5 k =,15 Le forfait se trouve dans le tableau pour n = f = 15 k =,15 a =,15 P = 15 +,15 n ou y =,15 x +15 f = 15 b = 15
9/15 SOCIETE B n P n P 15 5 On reporte dans le tableau le prix 5 22,5 1 payé pour 25 km avec la société A 1 3 15 15 37,5 2 Il n y a pas de forfait. 2 45 25 f = 25 52,5 3 6 Pour trouver la taxe kilométrique on 3 6 35 fait le rapport : 35 67,5 X,15 X,15 6/3 k =,2 k =,2 a =,2 P =,2 n ou y =,2 x f = b = SOCIETE C n P 52,5 5 52,5 1 52,5 15 52,5 2 52,5 25 52,5 3 52,5 35 52,5 On reporte dans le tableau le prix payé pour 25 km avec la société A. Comme le prix est fixe, il n y a pas de taxe kilométrique : k = F = 52,5 k = a = P = 52,5 ou y = 52,5 f = 52,5 b = 52,5
1/15 SOLUTION ALGEBRIQUE SOCIETE A J ai payé un jour 22,5 pour parcourir 5 km. Un autre jour j ai payé 45 pour parcourir 2 km. Exprimer P en fonction de n La relation P = f + kn est valable pour n = 5 et P = 22,5 et pour n = 2 et P = 45 Il s agit alors de résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues où f et k sont les inconnues. P = f + kn ax + b = y 45 = f + k 2 2a + b = y 22,5 = f + k 5 5a + b = y 22,5 = k 15 15a = 22,5 k = 22,5/15 =,15 a = 22,5/15 =,15 45 = f +,15 2 2,15 + b = 45 f = 45 3 b = 45 3 f = 15 b = 15 P = 15 +,15 n ou y =,15 x +15 SOCIETE B Pas de forfait à la journée mais seulement une taxe kilométrique k. Pour un circuit de 3 km, le prix est le même qu avec la société A. Exprimer P en fonction de n. Pour un circuit de 3 km le prix : avec la société A est : P = 15 +,15 3 = 6 avec la société B P = kn (il n y a pas de forfait) 6 = 3 k k = 6/3 =,2 P =,2 n ou y =,2 x
11/15 SOCIETE C : Un forfait fixe à la journée, kilométrage gratuit et illimité. Ici le tarif devient plus intéressant qu avec la société A à partir de 25 km. Exprimer P en fonction de n Prix pour un circuit de 25 km avec la société A : P = 15 +,15 25 = 52,5 Le prix reste fixe quelque soit le nombre de kilomètres parcourus : k = EN RESUME P = 52,5 ou y = 52,5 *** Société FORMULE MODELE Animatour P =,15 n +15 y = ax + b Beautour P =,2 n y = ax Cartour P = 52,5 y = b REPRESENTATION GRAPHIQUE droite ne passant pas par l origine droite passant par l origine droite parallèle à l axe des x 9 8 7 6 B A P (euros) 5 3 2 1 1 2 3 5 n( km) C A
12/15 La société Detour propose le graphique suivant pour présenter ses tarifs : 7 6 5 P (euros) 3 2 1 1 2 3 5 n( km) Donner la formule du prix P en fonction du nombre de kilomètres parcourus n. Etablir le texte de la publicité EUROTOUR qui utilise pour ses tarifs la formule : P =,25n 2 Etablir les tableaux, graphiques et formules correspondant à la publicité suivante, de la société FRANTOUR. Le forfait est de 25, les 5 premiers km sont gratuits. Entre 5 et 15 km la taxe kilométrique est de,25. Au delà de 15 km elle est de,1
13/15 Société DETOUR 7 6 5 P (euros) 3 2 +1 1 +1 1 2 3 5 n( km) Le forfait est de 2. La taxe kilométrique est de,1 La formule donnant le prix en fonction du nombre de kilomètres est : P =,1n + 2
14/15 Société EUROTOUR : P =,25n 2,25 peut représenter la taxe kilométrique mais 2 ne peut pas représenter le forfait. 1 8 6 2 y Traçons la droite d équation y =,25x 2 Cette droite coupe l axe des x au point d abscisse 8. Pour x = 8 y = Pour x < 8 y < Pour x > 8 y > x 1 2 3 5-2 Dans la situation de la location de voitures, on n utilise que le premier quadrant. - Le prix ne peut pas être négatif : la Société Eurotour ne donnera pas d argent si on ne parcourt pas assez de kilomètres. Le graphique devient : 8 P euros 7 6 5 3 2 1 1 2 3 n km Ce graphique correspond à une fonction affine par morceaux. n < 8 P = n > 8 P =,25n 2 ou P =,25(n 8) La publicité est donc : Pas de forfait à payer Les 8 premiers kilomètres sont gratuits Chaque kilomètre supplémentaire coûte,25
15/15 Société FRANTOUR : Tableau : Première tranche Deuxième tranche Troisième tranche n P n P n P 25 5 25 15 5 25 1 37,5 2 45 15 25 5 3 55 35 6 Graphique : 8 7 6 P euros 5 3 2 1 1 2 3 n km Ce graphique correspond à une fonction affine par morceaux. Formule : n < 5 P = 25 5< n < 15 P =,25n +12,5 n > 15 P =,1n +35