Terminale S Enseignement de spécialité

Terminale S Enseignement de spécialité

Le programme

Introduction du document ressource L entrée proposée est matricielle : il s agit de faire jouer un rôle à des tableaux de nombres, lorsqu ils sont particulièrement adaptés à l écriture et à la résolution de certains problèmes. Les professeurs sont invités à ne pas démarrer directement par la présentation des contenus théoriques mais à essayer la démarche consistant à introduire les notions dans le cadre de problèmes à résoudre.

Introduction du document ressource On doit pouvoir insister le temps qu il faut sur certains points de calcul dont la maîtrise est un réel objectif de l enseignement, quitte à s en remettre à d autres moments aux outils dont on dispose aujourd hui pour pouvoir concentrer l attention des élèves sur le problème à résoudre et les raisonnements nécessaires pour y parvenir.

Produit de matrices

Moyennes coefficientées Des étudiants ont obtenu les notes ci-dessus lors de 5 contrôles. Le professeur souhaite essayer diverses combinaisons de coefficients pour calculer la moyenne de chaque étudiant.

Moyennes coefficientées Pour cela, on homogénéise les coefficients afin que leur somme soit égale à 1.

Moyennes coefficientées Puis on effectue le produit de la matrice des notes (jaune) par la transposée de la matrice des coefficients (bleue.) tableur

Exemple d utilisation avec les suites

Univers impitoyable Extrait de : 100 friandises mathématiques, Robert Ferrachoglou et Michel Lafond Éditions Ellipses

Univers impitoyable Dans un désert il y a des serpents, des souris et des scorpions. Chaque matin, chaque serpent mange une souris. Chaque midi, chaque scorpion pique un serpent (et ça ne pardonne pas). Chaque soir, chaque souris mange un scorpion. Le matin du huitième jour il ne reste plus qu un animal : une souris. Combien y avait-il d animaux de chaque sorte au matin du premier jour?

Univers impitoyable Approche intuitive : Le huitième matin il reste une souris, donc le septième soir il restait un scorpion, dévoré par la survivante, et la souris. Le septième jour à midi, il y avait aussi un serpent qui a été tué par le dernier scorpion. Le septième matin, il y avait 2 souris, un serpent et un scorpion, Etc on remonte le temps.

Univers impitoyable Résolution matricielle Soient x n, y n et z n respectivement le nombre de souris, de serpents et de scorpions le matin du n-ième jour. n prend les valeurs 1, 2, 8 On a les relations : x x y y y z z z x n1 n n n1 n n n1 n n1 ; le matin, chaque serpent a tué une souris ; le midi, chaque scorpion a tué un serpent ; le soir, chaque souris a tué un scorpion Et l information : ( x8, y8, z8) (1,0,0)

Univers impitoyable Posons : xn1 xn yn xn1 xn yn yn1 yn zn yn1 yn zn z 1 z x 1 z 1 x + y + z n n n n n n n xn 1 1 0 M n y n et A 0 1 1 z n 1 1 1 On a : et M n A M A M 1 M 8 0 0 n 1 n 1

Univers impitoyable On doit résoudre : On a : et 1 1 0 x1 1 0 1 1 y 0 1 1 1 1 z 1 0 7 1 1 0 7 28 26 0 1 1 26 19 28 1 1 1 28 54 19 1 7 28 26 1 1873 26 19 28 0 1278 28 54 19 0 872 7

Univers impitoyable Il y avait donc 1873 souris, 1278 serpents et 872 scorpions. Simulation sur tableur.

Exemples d utilisation en probabilités

Un exercice de baccalauréat (ES Polynésie mars 2011) Deux enfants Alexis et Bilal jouent dans la cour de leur immeuble. Ils décident d entamer une compétition formée d une série de parties (notées partie 1, partie 2,... ). On désigne par n un entier supérieur ou égal à 1. On suppose que : Alexis a 65% de chances de gagner la partie 1 ; si Alexis gagne la partie n, il a 10% de chances de gagner la partie n+1 ; si Alexis perd la partie n, il a 60% de chances de gagner la partie n +1. Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on note : An l évènement : «Alexis gagne la partie n» ; Bn l évènement : «Alexis perd la partie n» (ou «Bilal gagne la partie n») an la probabilité de l évènement An et bn celle de l évènement Bn. Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on note Pn = (an bn) la matrice ligne représentant l état probabiliste lors de la partie n. 1. a. Donner sans justification la matrice P1. b. Traduire la situation à l aide d un graphe probabiliste.

Un exercice de baccalauréat (ES Polynésie mars 2011) P1 (0,65 0,35) 0,6 0,1 Alexis gagne Alexis perd 0,4 0,9 si Alexis gagne la partie n, alors il a 10% de chances de gagner la partie n+1 ; si Alexis perd la partie n, alors il a 60% de chances de gagner la partie n +1.

Un exercice de baccalauréat (ES Polynésie mars 2011) 2. a. Soit M la matrice de transition du graphe probabiliste. Donner M². 0,1 0,9 Pn 1 ( an 1 bn 1) an bn 0,6 0, 4 M 0,1 0, 9 0,1 0, 9 0,55 0, 45 ² 0,6 0,4 0,6 0,4 0,30 0,70 b. En déduire la probabilité que Bilal gagne la partie 3. P 1 0,55 0, 45 M² 0, 65 0, 35 0, 4625 0,5375 0,30 0,70 Donc b3 0,5375

Un exercice de baccalauréat (ES Polynésie mars 2011) 3. Soit P = (x y) la matrice correspondant à l état stable (x et y sont des nombres réels tels que x + y = 1). Déterminer les nombres x et y et interpréter ces deux valeurs. 0,1 0,9 x y x y et x y 1 0,6 0,4 x 0,4 et y 0,6 Les probabilités convergent vers ces deux valeurs.

Le pont des deux rives (le retour) Après s être longuement attardé à la brasserie «Les deux rives», Ken décide de rentrer chez lui. Pour cela il doit emprunter un pont sans garde-corps de 15 pas de long et 5 pas de large. La démarche de Ken est très particulière : soit il avance d un pas en avant ; soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas en avant) ; soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas en avant). On suppose de plus que ces 3 déplacements possibles sont aléatoires et équiprobables. On suppose également que Ken se trouve au milieu du pont au début de la traversée. On veut connaître la probabilité de l événement : «Ken atteint l autre rive».

Le pont des deux rives (le retour) On peut procéder par simulation.

Le pont des deux rives (le retour) On peut considérer que le pont est une piste d athlétisme de 7 couloirs, les couloirs 1 et 7 correspondant à la chute. Au départ, Ken est dans le couloir 4 et à chaque pas, il a trois choix pour la case d arrivée.

Le pont des deux rives (le retour) Le graphe probabiliste ci-dessus présente les possibilités : Si Ken est dans un des couloirs 2, 3, 4, 5 ou 6, il a trois possibilités équiprobables pour le pas suivant : à gauche, à droite et dans le même couloir. Si Ken est dans un des couloirs 1 et 7, il y reste de façon certaine à l étape suivante. (état absorbant)

Le pont des deux rives (le retour) La matrice du graphe est : A 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 3 3 3 1 1 1 0 0 0 0 3 3 3 1 1 1 0 0 0 0 3 3 3 1 1 1 0 0 0 0 3 3 3 1 1 1 0 0 0 0 3 3 3 0 0 0 0 0 0 1

Le pont des deux rives (le retour) Etude sur tableur

Le pont des deux rives (le retour) La position de départ de Ken est : D 0 0 0 1 0 0 0 Les probabilités des positions de Ken après n pas n sont les termes de la matrice produit : D A D 15 A DA 15 4981003 195911 339328 1175467 339328 195911 4981003 14348907 4782969 4782969 14348907 4782969 4782969 14348907 0,347 0,041 0,071 0,082 0,071 0,041 0,347 La probabilité cherchée est environ égale à 0,31.