DIFFERENCIATION Collège Jean Monnet 28240 La Loupe Mélanie FOLLIO (Mathématiques) I Caractéristiques de l'activité Disciplines impliquées : Mathématiques Niveau de classe concerné : Troisième «Introduction des fonctions affines» Moment de l année, place dans la progression annuelle ou dans la séquence : quelques semaines après l étude des fonctions linéaires. Lien avec les programmes des disciplines impliquées : Organisation et gestion de données : - Reconnaissance d une situation de non proportionnalité - Etude des fonctions linéaires et des fonctions affines : déterminer par le calcul l image d un nombre donné et l antécédent d un nombre donné. Nombres et calculs : - sens des opérations (6 ème ) - calcul littéral : calculer la valeur d une epression littérale en donnant au variables des valeurs numériques. Caractéristiques permettant une bonne différenciation : La différenciation se fait sur la tâche qui n est pas la même pour tous les élèves : trois situations, issues de cadres différents, qui conduisent à la modélisation par la même fonction affine. Le travail est conduit en groupes homogènes mais la synthèse faite en classe est commune pour tous les groupes. II Objectifs au regard du socle commun Bien que l étude des fonctions affines ne soient pas un objectif du socle commun, cette activité permet de travailler des items des compétences 1, 3 et 6. Items Descripteurs Critères de réussite Compétence 3 Etraire d un document les informations utiles Rechercher,etraire et organiser l information utile L élève a su etraire du tete les informations en lien avec son thème de travail. Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l aide d un langage adapté. Organisation et gestion de données Calculer Présenter une situation, un résultat à l oral. Reconnaître si deu grandeurs sont ou non proportionnelles Les calculs sont menés sans erreurs. L élève sait présenter la situation et les résultats à l oral, en utilisant le vocabulaire mathématique adapté. L élève est capable de justifier qu il ne s agit pas d une situation de proportionnalité. 1/5
Compétence 1 : Développer de façon suivie un propos en public sur un sujet déterminé Participer à un débat, à un échange verbal Compétence 6 : Respecter les règles de vie collective Construire et présenter un compte rendu ou un eposé. Écouter et prendre en compte les propos d'autrui. Eposer et faire valoir son propre point de vue. Respecter les règles d écoute et de prise de parole. L élève est capable de décrire clairement le travail de son groupe à l oral. L'élève ne coupe pas la parole au autres. Il prend part au débat. Travail en groupe hétérogène de manière positive (respect, coopération) dans le cadre d un travail collectif. III Descriptif de l activité Objectif général : Introduire les fonctions affines en proposant 3 situations, issues de cadres différents, à des groupes homogènes. La synthèse fait le lien entre ces 3 situations. Objectifs opérationnels : 3 tâches différentes sont proposées : une première situation : issue de la vie courante (abonnement à un cinéma) une deuième situation : géométrique (périmètre d un rectangle) une troisième situation : fonctionnelle Modalités de mise en œuvre Le professeur établit au préalable des groupes homogènes en se basant sur la connaissance de ses élèves et des résultats des évaluations sur l étude des fonctions (cas général). En fonction des besoins de la classe, le nombre de groupes pour chacune des situations proposées ne sera pas forcément le même. Situations proposées au élèves : SITUATION 1 Un cinéma de quartier propose une offre d abonnement au jeunes de moins de 18 ans. En achetant une carte d abonnement annuelle à 20, ils ne paient alors que 4 chaque séance de cinéma. Marie, Michel, Jeanne, Marc et Julie profitent de cette offre pour une année. 1) Marie ira 3 fois au cinéma. Combien va-t-elle payer? (écrire le calcul) 2) Quelle somme paiera Michel, s il va 5 fois au cinéma? (écrire le calcul) 3) Jeanne assistera à 8 séances. Combien va-t-elle payer? (écrire le calcul) 4) Compléter le programme de calcul suivant, correspondant au problème : Nombres de séances... Pri des séances +... Pri total à payer (avec la carte d abonnement) A l aide de ce schéma, calculer : a) Le nombre de séances auquelles assistera Marc en payant 44. (écrire les calculs) b) Le nombre de séances auquelles assistera Julie en payant 60. (écrire les calculs) 5) Compléter le tableau suivant : 2/5
Nombre de séances 3 5 8 Pri à payer 44 60 Pri de revient pour 1 séance Y a-t-il proportionnalité entre le nombre de séances et le pri à payer? Justifier 6) On appelle le nombre de séances. Donner l epression du pri à payer en fonction de. SITUATION 2 : On considère le rectangle ABCD ci-contre. Les dimensions sont eprimées en centimètre. désigne un nombre strictement positif. 1) Dans le cas où =3, calculer le périmètre du rectangle ABCD. B A 10 C D 2) désigne un nombre strictement positif. a) Ecrire, en fonction de, le périmètre P du rectangle ABCD. (développer et réduire l epression obtenue) b) Calculer alors la valeur de P lorsque =5. (écrire le calcul) c) Puis la valeur de P lorsque =8. (écrire le calcul) 3) a) Compléter le programme de calcul de P, connaissant. Je...par... J...... P=... b) A l aide du schéma ci-dessus, calculer la valeur de pour lorsque P= 44 cm. (écrire les calculs) c) Et celle de lorsque P= 60 cm. (écrire les calculs) 4) Compléter le tableau suivant : 3 5 8 Périmètre de ABCD P=... Y a-t-il proportionnalité entre les valeurs de et le périmètre du rectangle ABCD? 44 60 Justifier. 3/5
SITUATION 3 : On considère la fonction f définie par : f : 4 + 20 1) La fonction f est-elle linéaire? Justifier. 2) Compléter le schéma suivant, puis répondre au questions (en détaillant les calculs): Je...par... J... 4 4 + 20 a) Calculer l image de 3 par f. b) Calculer f (5) c) Compléter f :8... d) Quel nombre a pour image 44 par f? e) Compléter f :... 60 3) Compléter le tableau de valeurs suivant : 3 5 8 Image de f ( ) 44 60 La fonction f traduit-elle une situation de proportionnalité? Justifier de deu façons. IV Eléments de bilan et d évaluation Déroulement de l activité : 1 ère partie TRAVAIL DE GROUPES ( environ 20 minutes): Le professeur distribue les fiches d activités (une par élève). Il demande alors à 3 groupes de désigner un rapporteur de l activité. 2 ème partie : SYNTHESE : Un rapporteur de la 1 ère activité vient présenter son activité. Le professeur fait epliciter le programme de calcul correspondant à cette situation. (multiplier par 4 puis ajouter 20). Demande de précision (si nécessaire) pour les questions suivantes. (quelle démarche a été adoptée?). Puis un rapporteur de la 2 ème activité vient à son tour la présenter. Au moment du programme de calcul, le professeur demande au élèves quelle remarque peut être faite (c est le même programme de calcul appliqué dans une situation différente de la 1 ère activité).la démarche est la même pour toutes les questions qui suivent sur la fiche d activité. On peut éventuellement parler de résolution d équation... Enfin, un rapporteur de la 3 ème activité intervient. Cette fiche d activité ne s appuie sur une situation concrète. On travaille sur un objet théorique : une fonction. En observant le programme de calcul, les élèves doivent remarquer qu il s agit toujours du même... 4/5
Le professeur guide les élèves, à travers ses questions vers une remarque bilan : ( affichage au tableau des 3 programmes et tableau de valeurs) - quelles remarques sur les trois activités? - quel lien eiste entre ces trois activités? - avez-vous tous fait le même travail? si oui, qu est-ce qui différencie les activités? «les situations étudiées dans les activités 1 et 2 se modélisent par la fonction de l activité 3. A chaque fois, on obtient le même programme de calcul (multiplier par un nombre fié puis ajouter un nombre fié). Le tableau de valeurs obtenu est donc le même pour les 3 activités (même si elles sont issues de cadres différents).» Une fois que les élèves ont observé que la fonction de l activité 3 traduit les situations 1 et 2 étudiées, on s intéresse à cette fonction, que l on appellera fonction affine de coefficient 4 et d ordonnée à l origine 20. Elle ne traduit pas une situation de proportionnalité, donc ce n est pas une fonction linéaire. Le programme de calcul associé est : multiplier par un nombre fié puis ajouter un nombre fié. Calculer l image d un nombre par une fonction revient à appliquer le programme de calcul associé à cette fonction. Remarque : dans l activité 3, on peut calculer les images de nombres négatifs. Dans les 2 autres activités, on se restreint à des nombres positifs. 3 ème partie : INSTITUTIONNALISATION (les élèves écrivent dans le cahier d eercices après avoir collé la fiche qu ils ont faite). (Remarque : le bilan fait à l oral ne sera pas écrit dans le cahier, mais sera utilisé pour rédiger le cours) Soit la fonction affine f telle que f ( ) = 7 + 5 1) Ecrire le schéma de calcul associé au calcul des images par la fonction f. 2) Quels sont le coefficient et l ordonnée à l origine de cette fonction? 3) Quelle est l image de 3 par la fonction affine f? Plusieurs formulations de réponses : L image de 3 par f est 16 f (3) = 16-16 est l image de 3 par la fonction f f :3 16 3 a pour image 16 par la fonction f 5/5