Le système d Euler bi-température non conservatif: propriétés entropiques et approximation numérique

Le système d Euler bi-température non conservatif: propriétés entropiques et approximation numérique Denise Aregba-Driollet Bordeaux INP, IMB. En collaboration avec J. Breil, S. Brull, B. Dubroca, E. Estibals.

Le modèle Equations d Euler pour un fluide dont l ionisation Z = ne n i supposée constante. Notations: e: électrons, i: ions. c e, c i : fractions massiques. est ρ e = ρc e = m e n e, ρ i = ρc i = m i n i, c e + c i = 1. Conséquence: c e et c i sont constantes. u = u e = u i On distingue les énergies ionique et électronique: E α = ρ α ε α + 1 2 ρ αu 2, α = e, i.

Le modèle - suite Deux lois de pressions et deux températures: p α = (γ α 1)ρ α ε α = n α k B T α, α = e, i. Les équations: t ρ + x (ρu) = 0, t (ρu) + x (ρu 2 + p e + p i ) = 0, t E e + x (u(e e + p e )) u(c i x p e c e x p i ) = ν ei (T i T e ), t E i + x (u(e i + p i )) + u(c i x p e c e x p i ) = ν ei (T i T e ), Système non conservatif avec sources. Si γ e = γ i alors (ρ, ρu, E e + E i ) est solution d Euler classique.

Définition des solutions faibles? Admissibilité des solutions faibles? Conditions d entropie? Approximation numérique? Références: Sur les solutions faibles: Dal Maso-Le Floch-Murat 1995, voir aussi Berthon-Coquel-Le Floch 2012. Numérique: Coquel-Marmignon 1998 pour un système similaire. Nos résultats: Existence d une entropie dissipative. Modèle cinétique sous-jacent compatible avec l entropie. Schémas entropiques par relaxation et par méthode lagrangienne.

Entropie dissipative Forme synthétique du système: t U + A(U) x U = G(U). On cherche η : R 3 R strictement convexe, et Q : R 3 R t.q. U, η (U)A(U) = Q (U), et η (U)G(U) 0 Si oui, toute solution régulière vérifie t η(u) + x Q(U) 0.

Changement de variable: U = φ(v). η(v) = η(φ(v)), Q(V) = Q(φ(V)). Existence de (η, Q) existence de ( η, Q). Ici U = (ρ, ρu, E e, E i ), V = (ρ, u, ε e, ε i ).

Entropie d Euler pour α = e, α = i: [ ( ρ α (γα 1)ρ α ε α η α (ρ α, ε α ) = ln m α (γ α 1) On pose ρ γα α ) ] + C, Q α = uη α. η(ρ, u, ε e, ε i ) = η e (ρc e, ε e ) + η i (ρc i, ε i ), Q = u η. Membre de gauche OK car: t ρ + u x ρ + ρ x u = 0, c α comme Euler(α) t u + u x u + ρ 1 x (p e + p i ) = 0, ne compte pas t ε e + u x ε e + ρ 1 e p e x u = ρ 1 e ν ei (T i T e ), comme Euler(e) t ε i + u x ε i + ρ 1 i p i x u = ρ 1 i ν ei (T e T i ). comme Euler(i)

Dissipation par le terme source En variable U: η = 1 E α k B T α d où si U est solution régulière du système: ν ei t η(u) + x Q(U) = (T i T e ) 2. k B T i T e

Inégalité d entropie - Admissibilité des solutions Il existe un modèle cinétique (BGK) sous-jacent : t fe ε + v 1 x fe ε + q e E ε v1 fe ε = 1 m e ε (M e fe ε ) + 1 (M e fe ε ), τ ei avec t f ε i + v 1 x f ε i t E ε = jε ε 2, x E ε = ρε ε 2, + q i E ε v1 fi ε = 1 m i ε (M i fi ε ) + 1 (M i fi ε ), τ ei M α = M α (f α ), M α = M α (f e, f i ), ρ ε = (q e fe ε + q i fi ε ) dv, R 3 j ε = v(q e fe ε + q i fi ε ) dv. R 3

U ε = (ρ ε, ρ ε u ε, E ε e, E ε i ). avec ρ ε = m e fe ε + m i fi ε dv, R 3 ρ ε u ε = v 1 (m e fe ε + m i fi ε )dv R 3 Eα ε v1 2 = R 3 2 f αdv, ε α = e, i. Si lim ε 0 U ε = U alors U est solution d Euler bi-temperature et t η(u) + x Q(U) ν ei k B T i T e (T i T e ) 2. Une solution sera dite admissible si elle vérifie cette inegalité.

Approximation numérique Le modèle BGK ci-dessus schéma cinétique Relaxation a la Suliciu Schéma lagrangien Schémas BGK discrets inspirés de l approximation des lois de conservations, cf Aregba-Driollet et Natalini, SINUM 2000 Suite de cet exposé: schémas BGK discrets.

Modèles BGK discrets pour Euler conservatif classique (cf A.N. 2000) Euler: système 3 3 t U + x F (U) = 0. Système BGK discret : système 3L 3L t f ε + Λ x f ε = 1 ε (M(Uε ) f ε ), U ε = Pf ε avec f ε = (f ε 1,..., f ε L ) R3L, Λ = diag(λ 1 I 3,..., λ L I 3 ) P L(R 3L, R 3 ): opérateur de moment.

Relations de compatibilité: PM(U) = U, PΛM(U) = F (U) Stabilité: σ(m l (U)) [0, + [. Exemple 2 2: Pf = f 1 + f 2, M 1 = λ 2U F (U) λ 2 λ 1, M 2 = λ 1U + F (U) λ 2 λ 1 Condition sous-caractéristique de Liu: σ(m l (U)) [0, + [ σ(f (U)) [λ 1, λ 2 ].

Modèles BGK discrets pour Euler bi-temperature Pf = l f l M e, Λ e pour Euler conservatif avec γ e M i, Λ i pour Euler conservatif avec γ i Pour le couplage avec E, α = e, i: N α = q α m α 0 0 0 1 0 0 0 1 0, N α = diag(n α,..., N α ) M 3L (R). D où PN α = N α P.

Modèles BGK discrets pour Euler bi-temperature t fe ε + Λ e x fe ε E ε (x, t)n e fe ε = 1 ε (M e(ue ε ) fe ε ) + B ei (fe ε, fi ε ), t f ε i + Λ i x f ε i E ε (x, t)n i f ε i t E ε = 1 ε 2 ( qe m e ρ ε eu ε e + q i x E ε = 1 ε 2 ( qe m e ρ ε e + q i m i ρ ε i = 1 ε (M i(ui ε ) fi ε ) + B ie (fe ε, fi ε ), ) ρ ε i ui ε, m i ), avec U ε α = (ρ ε α, ρ ε αu ε α, E ε α), défini par U ε α = Pf ε α, α = e, i. B ei, B ie ad hoc pour le second membre.

ε 0 u e = u i = u, q e m e ρ e + q i m i ρ i = 0, M α (U α ) = f α. ρ = ρ e + ρ i, q e = e et q i = Ze: ρ α = c α ρ, α = e, i. Moments: t ρ α + x (ρ α u) = 0, α = e, i, t (ρ α u) + x (ρ α u 2 + p α ) q α m α Eρ α = 0, α = e, i, t E e + x (u(e e + p e )) q e m e Eρ e u = ν ei (T i T e ), t E i + x (u(e i + p i )) q i m i Eρ i u = ν ei (T i T e ).

donne et t (ρc e u) + x (ρc e u 2 + p e ) ρ eq e E = 0, m e t (ρc i u) + x (ρc i u 2 + p i ) ρ iq i E = 0 m i ρ e q e m e E = ρ iq i m i E = c i x p e c e x p i t (ρu) + x (ρu 2 + p e + p i ) = 0 donc U = (ρ, ρu, E e, E i ) est solution d Euler bi-température.

Inégalité d entropie Théorème Si et M α,l (U α ) = ξ α,l U α + ζ α,l F α (U α ), 1 l L, α = e, i σ(m α,l (U α)) ]0, + [, α = e, i alors si U est limite du modèle BGK discret, U est admissible: t η(u) + x Q(U) ν ei k B T i T e (T i T e ) 2. Idée de la preuve. Il existe des entropies microscopiques H α,l (f l ) (cf Bouchut 1999 pour les lois de conservation). On multiplie l équation l pour f e par H e,l (f e,l). Second membre OK. Contribution de E ε (x, t)n α f ε α nulle.

Schéma entropique Flux pour l équation de transport: l {1,..., L}, h α,j+ 1 2,l = h α,l (f α,j,l, f α,j+1,l ), h α (f, f ) = Λ α f. Hypothèse Inégalité d entropie discrète : si alors f n+ 1 2 α,j,l = fα,j,l n t ( hα,l (fα,j,l n x, f α,j+1,l n ) h α,l(fα,j 1,l n, f α,j,l n )) H α,l ( f n+ 1 2 α,j,l ) H α,l (fα,j,l n ) G n α,j+ + 1 2,l Gn α,j 1 2,l t x 0.

Schéma entropique-suite U 0 = (U 0 j ) j Z donné: U 0 α = (c α ρ, c α ρu, E α ), α = e, i. Etape 1: projection sur l équilibre. Si au pas n 0 on a U n, Ue n, Ui n avec ρ α = ρc α, on pose f n α = M α (U n α), α = e, i. Etape 2: évolution. Pour α = e, i et f n+ 1 2 α,j =fα,j n t x (hn h n ) + te n+1 α,j+ 1 α,j 1 j N α f n+ 1 2 α,j 2 2 + tb αβ (f n+ 1 2 e,j, f n+ 1 2 i,j ), β α. U n+1 α,j = P(f n+ 1 2 α,j ) = (ρ n+1 α, ρ n+1 α u n+1 α, E n+1 α ).

Couplage Maxwell-Ampère et Poisson: q e ρ n+1 e,j + q i ρ n+1 i,j = 0, m e m i q e ρ n+1 e,j u n+1 e,j + q i ρ n+1 i,j u n+1 i,j = 0. m e m i d où u n+1 i,j = u n+1 e,j. On pose ρ n+1 j = ρ n+1 e,j + ρ n+1 i,j, u n+1 j = u n+1 i,j = u n+1 e,j. Comme q e = e et q i = Ze: ρ n+1 e,j = c e ρ n+1 j, ρ n+1 i,j = c i ρ n+1 j.

Notation F α,j+ 1 2 = F α (U α,j, U α,j+1 ), F α (U α, V α ) = P(h α (M α (U α ), M α (V α ))). Consistent avec Euler conservatif: F α (U α, U α ) = F α (U α ). Expression de E n+1 comme en continu: c e ρ n+1 j u n+1 j = c e ρ n j uj n t x c i ρ n+1 j u n+1 j = c i ρ n j uj n t x Notation: δ n j+ 1 2 consistent avec c i p e + c e p i. (F ne,j+ 12,2 F ne,j 12,2 ) + t q e j ρ n+1 e,j, E n+1 m e ( ) F n i,j+ 1 2,2 F n i,j 1 2,2 + t q i E n+1 j ρ n+1 i,j. m i = c i F n e,j+ 1 2,2 + c ef n i,j+ 1 2,2,

Le schéma ρ n+1 j ρ n+1 j u n+1 j E n+1 e,j E n+1 i,j F n j+ 1 2,k = α=e,i ( F n F n α,j+ 1,k, k = 1, 2. 2 = ρ n j t x j+ 1 2,1 F n, = ρ n j uj n t ( ) F n x j+ 1 2,2 F n j 1 2,2, = Ee,j n t ) (F ne,j+ x 12,3 F ne,j 12,3 + tν ei (T n+1 i,j T n+1 e,j ), = Ei,j n t ( ) F n x i,j+ 1 2,3 F n i,j 1 2,3 tν ei (T n+1 i,j T n+1 e,j ). j 1 2,1 ) u n+1 t ( ) j δ n δ n x j+ 1 j 1 2 2 + u n+1 t ( ) j δ n δ n x j+ 1 j 1 2 2

Théorème Si le modèle est de la forme M α,l (U α ) = ξ α,l U α + ζ α,l F α (U α ), 1 l L, α = e, i et si σ(m α,l (U α)) ]0, + [, α = e, i alors on a des inégalités d entropie discrètes: η(u n+1 j ) η(u n j ) t +Q n j+ 1 2 Q n j 1 2 x ν ei k B T n+1 i,j T n+1 (T n+1 i,j T n+1 e,j ) 2. e,j

Test cases Space domain: [0.1] discretized with 200 points Final time: 0.01 s. Test case 1: ν ei = 0 Initial conditions: ρ = 1, u = 10 on [0, 0.5[, u = 10 on [0.5, 1] T e = 1000, T i = 1 Test case 2: ν ei = 0 Initial conditions: ρ = 1 on [0, 0.5[, ρ = 0.125 on [0.5, 1], u = 0 Te = 1000 on [0, 0.5[, T e = 800 on [0.5, 1] T i = 1 on [0, 0.5[, T i = 0.8 on [0.5, 1]

Density-1 st test case density 1 AN3V HLL HLLC Lagrange remap Exact solution 0,8 0,6 0 0,5 1 x

Velocity-1 st test case velocity 10 AN3V HLL HLLC Lagrange remap Exact solution 0-10 0 0,5 1 x

Pressure-1 st test case pressure 600 500 AN3V HLL HLLC Lagrange remap Exact solution 400 300 200 0 0,5 1 x

Electrons temperature-1 st test case 1000 electronic temperature AN3V HLL HLLC Relaxation Lagrange remap 800 0 0,5 1 x

Ion temperature-1 st test case ion temperature 60 AN3V HLL HLLC Relaxation Lagrange remap 40 20 0 0 0,5 1 x

Density-2 nd test case density 1 0,8 AN3V HLL HLLC Lagrange remap Exact solution 0,6 0,4 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x

Pressure-2 nd test case Pressure 600 500 400 AN3V HLL HLLC Lagrange remap Exact solution 300 200 100 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x

Electrons temperature-2 nd test case 2000 electronic temperature 1800 1600 AN3V HLL HLLC Relaxation Lagrange remap 1400 1200 1000 800 600 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x

Ions temperature-2 nd test case 80 ionic temperature 60 AN3V HLL HLLC Relaxation Lagrange remap 40 20 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x

Perspectives 1. Ordre élevé et multid : post-doc X. Lhebrard 2. Amélioration des modèles (en particulier polyatomique) 3. Champ magnétique 4. Conditions de stabilité