Quelques problématiques en aéroélasticité stochastique

Quelques problématiques en aéroélasticité stochastique J-C Chassaing, D. Lucor, A. Vincenti C.T. Nitschke (PhD Student) J. Maruani, M. Touil (Masters Student) Axe transverse Interactions Fluide-Structure Institut d Alembert, Université Pierre et Marie Curie Journée Optimisation sous incertitude, ONERA Palaiseau, 12 nov. 2014 Optimisation sous incertitude, ONERA 1 / 30

Cadre général Interactions Fluide-Structure Structure : corps profilés Aérodynamique: incompressible supersonique Instabilités dynamiques: telles que les charges aérodynamiques dépendent du mouvement même de la structure Conséquences: - usure prématurée, ruine immédiate - certification nécessaire Optimisation sous incertitude, ONERA 2 / 30

Cadre général Interactions Fluide-Structure Structure : corps profilés Aérodynamique: incompressible supersonique Instabilités dynamiques: telles que les charges aérodynamiques dépendent du mouvement même de la structure Conséquences: - usure prématurée, ruine immédiate - certification nécessaire Variables d intérêt: Vitesse de flottement Amplitude des cycles limites Optimisation sous incertitude, ONERA 2 / 30

Quantification d incertitudes en Aéroélasticité Principe : U f = f i ( x) + ˆε i Nature des incertitudes: - f i : modèle - x paramétrique - ˆε i différence entre observation et prédiction (Poirion 2000, Romero 2001, Pettit 2003, Livne 2003) Les grandes étapes... Propagation directe (solveurs non-intrusifs), analyse de sensibilité Inférence statistique, optimisation robuste... dans un environnement hostile : Non-linéarité, dimensionnalité, modèles déterministes haute fidélité multi-physiques Optimisation sous incertitude, ONERA 3 / 30

Quelques problématiques en aéroélasticité stochastique Plan de l exposé 1 Quantification d incertitudes paramétriques : Solveur déterministe CFD haute fidélité Problème fortement non-linéaire Flottement de structure en matériaux composites 2 Propagation d incertitudes de modèles et calibration 3 Optimisation robuste avec critères aéroélastiques 4 Perspectives Optimisation sous incertitude, ONERA 4 / 30

1.1 Quantification d incertitudes en cfd compressible Profil d aile en présence d incertitudes aérodynamiques Couplage Chaos polynomial généralisé (gpc) / rsm-rans 2D Naca 0012 (Re 5.5 10 6 ), écoulement transsonique stationnaire Paramètres incertains variable distribution polynômes 1. angle d attaque: α = 5 ± 1 deg uniforme Legendre (P = 7) 2. nombre de Mach: M = 0.65 ± 0.05 uniforme Legendre (P = 7) PDF et coefficients de sensibilité Isentropic Mach number M is Chassaing, Lucor, AIAA J. 45(8) 2010 Optimisation sous incertitude, ONERA 5 / 30

1.1 Quantification 1.4 d incertitudes en 1.4 cfd compressible 1.2 1 nq=6 Profil d aile en présence d incertitudes nq=7 aérodynamiques 0.8 1.1 Couplage 0.6 Chaos polynomial généralisé (gpc) / rsm-rans 2D Naca 0012 (Re 5.5 10 6 1 0.4 ), écoulement transsonique stationnaire 0.2 Paramètres incertains 0 variable 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.9 0.8distribution polynômes x/c 1. angle d attaque: α = 5 ± 1 deg uniforme Legendre x/c (P = 7) 2. nombre de Mach: M = 0.65 ± 0.05 uniforme Legendre (P = 7) M is Variances de c p et c f nq=2 nq=3 nq=4 nq=5 nq=8 en fonction de P M is 1.3 1.2 nq=2 nq=3 nq=4 nq=5 nq=6 nq=7 nq=8 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Fig. C1 Effect of the number of collocation points n q on the distribution of the mean value of M is for case D, 5 deg and M1 0:65. 0.2 CHASSAING AND LUCOR 949 3.5 σ 2 C p 0.16 0.12 0.08 0.04 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 σ 2 C f ( 106 ) 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 x/c x/c Fig. C2 Influence Importance of the polynomial du ratioorder x/ ξ P on the pressure 1 coefficient C p and the skin-friction C f variances along the airfoil surfaces (case D). Convergence lente: gpc à support global n est pas adapté à la CFD non-linéaire cessary Optimisation to increase sous theincertitude, number of collocation ONERA points per random (Fig. C2, right). Indeed, the skin friction is avery sensitivequantity 5 / to 30

1.1 Quantification d incertitudes en cfd compressible Pour aller plus loin: couplage uq-adaptative/cfd pour N d 10 Approche par collocation adaptative et anisotrope grilles creuses et interpolations hiearchiques (Klimke, 2006) Solveur déterministe: rans Configuration: Tuyère transsonique kth-vm100 (Bron, 2006) 6 incertitudes : P tin, P out, T u, l t, h bump,l bump 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 mean 2Dp 2Dg 3D 4D 6D 0 500 1000 1500 2000 2500 # samples 0.026 0.024 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 variance 0 500 1000 1500 2000 2500 # samples Gorle, Labit, Lucor, Chassaing, submitted to IFASD 2013, 24-27 June, Bristol [UK] anr-capcao, Conception Assistée par Paramétrisation pour une Conception Aéroélastique Optimisée (ecl, upmc, fluorem) Optimisation sous incertitude, ONERA 6 / 30

1.2 Aéroélasticité non-linéaire stochastique Profil à 2 dll en flexion/torsion α k α h k ξ a h b x α b Modèle déterministe ( ) ξ,, + x αα,, ω ω 2 + 2ζ ξ U ξ, + U k ξ ξ = 1 πµ C L(τ) ( ) x α rα 2 ξ,, + α,, + 2 ζα 1 2 2 U α, + U k(α) = πµrα 2 C M (τ) Formulation analytique de l opérateur aérodynamique instationnaire (Lee et al. JSV 2005) Modèle de raideur pentique rigidifiant (k α3 > 0) ou assouplissant (k α3 < 0) k(α) = k α1 α + k α3 α 3 + k α5 α 5 Optimisation sous incertitude, ONERA 7 / 30

1.2 Formulation gpc multi-éléments adaptative (ME-gPC) 1. Partionnement de l espace aléatoire Décomposition D de B = d i=1[a i, b i ] Nouvelle variable aléatoire ξ k et sa PDF conditionnelle ˆf k (ξ k I Bk = 1) Approximation gpc par morceaux du champ aléatoire N e N e M u r (ξ) = û k (ξ k )I Bk = û k,j Φ k,j (ξ k )I Bk 2. h-adapativité k=1 k=1 j=0 Estimation du taux de décroissance de l erreur relative de la variance η k = σ2 k,p σk,p 1 2 M P, σ 2 σk,p 1 2 k,p = ûk,je[φ 2 2 k,j] Critère adaptatif: η γ k Pr(I B k = 1) θ 1 Réduction du coût global par raffinement anisotrope Wan and Karniadakis, JCP 209(2005) 617-642 Foo, Wan and Karniadakis, JCP 227(2008) 9572-9595 j=1 Optimisation sous incertitude, ONERA 8 / 30

1.2 Diagramme de bifurcation stochastique et convergence αa (deg) 25 20 15 10 σkα 1 = 0.2;σkα 3 = 0.75 σkα 1 = 0 ;σkα 3 = 0.75 σkα 1 = 0 ;σkα 3 = 0 PDF Normalized 20 15 10 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 5 5 0.2 errl2(σ αa ) 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 1e-05 1e-06 0 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 U U* U = 6.34 U = 7 0.001 P = 2 P = 3 P = 4 P = 5 1e-07 irregular RS 1e-08 1 10 100 1000 N errl2(σ 2 α A ) 0.0001 1e-05 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-10 1e-11 1e-12 0 5.5 6 6.5 7 smooth RS 1 10 100 1000 N Optimisation sous incertitude, ONERA 9 / 30 0.1 0

1.3 Flottement de structures composites stratifiées Objectif Influence sur la vitesse de flottement (cadre linéaire) des incertitudes de fabrication et de mesure pour des ailes en matériaux composites stratifiés (modèle poutre composite) Sources d incertitude Module de Young et coefficients matériau, épaisseurs et orientation des angles des couches Modèle aéroélastique stochastique Structure: opérateur Rayleigh Ritz de type poutre / solveur aéroélastique V-g Aérodynamique: opérateur incompressible instationnaire analytique Solveur stochastique : Monte-carlo Etat de l art Optimisation déterministe par AG + LHS (Manan, Eng. Optim., 2010) Quantification d incertitudes pour l aéroélasticité de matériaux composites: Solveur Rayleigh-Ritz plaque + Lamination Parameters + gpc (Scarth & Cooper, 2012) Optimisation sous incertitude, ONERA 10 / 30

1.3 Flottement de structures composites stratifiées Modèle de poutre composite Théorie des composites stratifiés (CLT), Fibre unidirectionnelle par couche Solveur aéroélastique Rayleigh-Ritz + aérodynamique analytique + solveur V g Surface de réponse: séquence [β + δ/ β + δ/β + δ/ β + δ] s (!) sauts de modes aéroélastiques Optimisation sous incertitude, ONERA 11 / 30

1.3 Flottement de structures composites stratifiées Quantification d incertitudes par qmc Distributions Uniformes de ±3% (4 modules matériau, épaisseur et orientation par couche) = variations de 5 à 10 % sur V f Inconvénients Convergence lente, coût élevé si utilisation avec un modèle haute fidélité Dimensionalité du problème stochastique Interprétation physique de la sensibilité de la marge au flottement aux incertitudes délicate Optimisation sous incertitude, ONERA 12 / 30

1.3 Flottement de structures composites stratifiées Représentation polaire du stratifié (Verchery, 1979 ; Vannucci, Meccanica, 2005) Représentation par invariants, adaptée au changement de repère Les symétries du matériau sont facilement identifiables Réduction de la dimensionalité du problème par paramétrisation (N max d = 12) Statistique des paramètres polaires par MCs Représentation par les invariants de la séquence [β/ β/β/ β] s: φ 1 : direction de l axe d orthotropie, R 1 : rayon invariant R 0 cos4(φ 0 φ 1 ), R 0 sin4(φ 0 φ 1 ) Réponse de V f Distribution des paramètres polaires de flexion Optimisation sous incertitude, ONERA 13 / 30

2. UQ and model updating in aeroelasticity Uncertainty breakdown V f = f i (x, ξ) + ˆε i Lack of accuracy of a given model for a particular scenario Several competing models for the same physical phenomenon Sources of uncertainty - f i : model-form - ξ: parametric uncertainty - ˆε i : predictive uncertainty Reducing uncertainties and model updating Bayesian updating to Goland wing flutter with PC: Dwight et al., 2011 Adjustment factors approach: Riley and Grandhi, 2011 Bayesian model selection for nonlinear aeroelastic systems: Sandhu, Khalil et al., 2014 Nitchke et al., WCCM XI, 20-25 July 2014 Barcelona Optimisation sous incertitude, ONERA 14 / 30

2. BMA: Deterministic aeroelastic model Flutter of a typical airfoil section (a) 2-DOF aeroelastic model b b ( PDF (Tw 0.16 α a h b x α b h 0.12 0.08 k α k h 0.04 Governing equations ḧ b xα α h ω2 h b + PDF 0.8 Flutter Solution Method: Iterative frequency 0.2 matching V g method 0.6 L = 0 rα 2 ḧ α x α b r αω 2 αα 2 + Mα = 0 mb 2 (c) Critical flutter velocity (Two-states mb Theodorsen s approximation) exp. (Û L initial ) adjusted Incompressible flow, linear stiffnessess, no mechanical damping 0.4 Quantity of Interest and observation data: critical flutter speed V f 0 10 p(ul Û L 0.8 e a 0.6 a B 0.4 0.2 0 0 Optimisation sous incertitude, ONERA 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 U 15 / 430

2. BMA: Model-form uncertainty Flow model for harmonic motion High fidelity FEM-CFD based aeroelastic solver Low-order aerodynamic model: account for added-mass, quasi steady effects and wake vorticity with k = ωb U L = ρb 2 ( ) Uπ α + πḧ πba h α 2πρUbC(k) ( M α = ρb [π 2 1 2 a h ( +2ρUb 2 1 π 2 + a h the reduced frequency { Uα + ḣ + b ( 1 2 a h ) ( ) ] Ub α + πb 2 1 8 + a2 h α a h πbḧ ) { ( ) } 1 C(k) Uα + ḣ + b 2 a h α Theodorsen s transfer function C(k) as structural uncertainty Riley (2011) constructs an adjusted model using 6 individual approximations of C(k) Present work: the model class is based on two surrogate models of C(k) with tunable (stochastic) coefficients C 4 (k) = 1 + α 1ik + α 2 k 2 1 + α 3 ik + α 4 k 2 C 8 (k) = β 1 + β 2 ik β 3 k 2 β 4 ik 3 + k 4 β 5 + β 6 ik β 7 k 2 β 8 ik 3 + 2k 4 Optimisation sous incertitude, ONERA 16 / 30 ) } α

2. BMA problem set-up Experimental data a b c d exp. case Scenario : varying frequency ratio ω h /ω α 0.3 0.49 0.84 1 ωh/ωa Data set : D = {d a, d b, d c, d d } c d b a exp. case Observed variable: flutter velocity V f 6.41 7.30 9.19 10.67 speed V f Objective: Given a set of models M = {C 4 (k), C 8 (k)} with uncertain coefficients α i, β j and experimental data D : 1 Calibrate the stochastic model coefficients using D 2 Summarize the effect of model-form uncertainty to make robust predictions of new cases 1 Optimisation sous incertitude, ONERA 17 / 30

2. BMA Statistical model (1/3) Bayesian Model Averaging (BMA) p(q D) = m p(q D, M i )P(M i D) i=1 p(q D) : distribution of the adjusted model of variable of interest q p(q D, M i ) : robust predictive distribution of model M i P(M i D) : posterior model probability here: q = V f, M = {C 2(k), C 4(k)} and D = {d a, d b, d c, d d } Optimisation sous incertitude, ONERA 18 / 30

2. BMA Statistical model (2/3) Robust predictive distribution p(q D, M i ) p(q D, M i ) = p(q, θ i, M i )p(θ i D, M i )dθ i with θ the model coefficients Predictive distribution p(q θ, D, M i ) (using Gaussian noise N (0, σ 2 )) ( 1 p(q θ i, M i ) = (2πσi ) exp (q y(θ ) i, M i )) 2 2σi 2 Likelihood function f N f N (D θ i, M i ) = Π n d j=1 1 2πσ 2 i exp ( (y(θ ) i, M i ) d j ) 2 2σ 2 i Posterior of the model coefficients p(θ i D, M i ) p(θ i D, M i ) = kf N (D θ i, M i )p(θ i M i ) Optimisation sous incertitude, ONERA 19 / 30

2. BMA Statistical model (3/3) Model probability P(M i D) P(M i D) = P(D M i )P(M i ) m j=1 P(D M j)p(m j ) P(M i ) : individual model probability of the prior (Uniform distribution) P(D M i ) : marginal likelihood P(D M i ) = f N (D θ, M i )p(θ M i )dθ with p(θ M i ) : prior density Practical considerations The likelihood f N is sampled using Markov-Chain Monte-Carlo applied to the V g solver The marginal posterior p(q D, M i ) is evaluated using basic Monte Carlo Optimisation sous incertitude, ONERA 20 / 30

2. BMA Calibration results Bayesian information criteria BIC = 2 ln(p(d M)) Influence of σ for D = {d a, d b, d c, d d } Inference with σ as hyperparameter Conclusion: optimal values strongly differ Optimisation sous incertitude, ONERA 21 / 30

2. BMA Calibration results Posterior of V f for C 8 (k) PDF 2 case A PDF 2 case B 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 V f 0 0 2 4 6 8 10 12 14 V f PDF 2 case C PDF 2 case D 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 V f 0 0 2 4 6 8 10 12 14 V f prior posterior Optimisation sous incertitude, ONERA 22 / 30

2. BMA Calibration results Posterior of model coefficients for C 8 (k) Adaptation of parameters coincides with sensitivity Selecting σ carrefully allows better adaption σ too low leads to overadaptation to certain (not all) points Optimisation sous incertitude, ONERA 23 / 30

2. BMA Prediction results c d b a exp. case Combined model from BMA 6.41 PDF 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 7.30 9.19 p(q D, C 4) p(q D, C 8) p(q D) 10.67 speed V f 0 2 4 6 8 10 12 14 V f Model probability C 4(k) C 8(k) σ = 0.35 0.74 0.26 σ = 0.45 0.79 0.21 HPI 0.77 0.23 1 Optimisation sous incertitude, ONERA 24 / 30

3. Optimisation aéroélastique robuste: les premiers pas... Objectif: Optimisation de la marge au flottement en présence d incertitudes paramétriques Cadre de l étude: Aéroélasticité linéaire, solution analytique du flottement (solveur Rayleigh-Ritz, écoulement incompressible), nb de V.A modéré (N < 10) Optimiseur: - Algorithme Génétique - Méthode ADP pour la prise en compte des contraintes - Optimisation en poids d un caisson d aile stratifié (contraintes mécaniques et de faisabilité sur les paramètres polaires) (Montemurro et al., J Optim Theory Appl 2012) Solveur stochastique: - quasi Monte-Carlo (qmc) - Chaos Polynomial généralisé (gpc) Optimisation sous incertitude, ONERA 25 / 30

3. Optimisation robuste Problème jouet #1 Profil d aile en flexion-torsion Optimisation déterministe (Nikbay TWMS J. App. Eng. Math., 2011) max {V f }, g 1 = ω 1 0, g 2 = r α 1 0 s d S S = {s d R, s lower s d s upper } ; s d = {k, x α, I α, m} Surface de response Capture de l optimum (déterministe) sur les frontières: = Algorithme génétique Surface de réponse régulière + dimension modérée = gpc candidat potentiel Optimisation sous incertitude, ONERA 26 / 30

3. Optimisation robuste Problème jouet #1: profil en flexion/torsion Formulation du problème d optimisation max{e Vf }, g 1 = ω 1 0, g 2 = r α 1 0, g 3 = COV(V f ) 2.5 S = {s det, s prob R, s lower s det s upper, s prob = N(µ, σ 2 )} s det = {k, I α} s prob = {x α, m} Flutter index Ecart-type Moyenne CoV (%) Cas initial 2. 2237 0.0657 2.191 2.95 Opti déterministe 3.05302 0.1186 3.0594 3.84 Opti robuste 2.2792 0.05685 2.2748 2.499 Optimisation sous incertitude, ONERA 27 / 30

3. Optimisation robuste en aéroélasticité Exemple 2: Aile avec effet de flèche et corde variable Formulation du problème max{e Vf } S = {s det, s prob R, s lower s det s upper, s prob = N(µ, σ 2 )} s det = {λ, R}, s prob = {ω 1, ω 2 } Temps de calcul: solveur Rayleigh-Ritz/AG/gPC Simulation déterministe AG + gpc AG/gPC AG/gPC AG/gPC AG/gPC N design - 4 2 4 4 4 N UQ - - 2 2 4 5 Temps 4 sec 1h 4h 4h 16h 32h 50 individus, 20 générations, P = 3 Optimisation sous incertitude, ONERA 28 / 30

3. Optimisation robuste en aéroélasticité: Conclusion Développement d une approche low-fidelity pour l optimisation robuste en aéroélasticité linéaire Réduction des coûts de calcul: Etude en cours 1 Calcul stochastique en grande dimension/solution régulière = Quadrature de Stroud (N P=2 = N d + 1 et N P=3 = 2N d ) 2 Méta-modèle à deux niveaux 1. échantillonnage gpc sélectif sur un sous-ensemble d individus 2. Calcul des statistiques des individus restants par interpolations des coefficients modaux Optimisation sous incertitude, ONERA 29 / 30

4. Conclusion générale Objectifs des travaux en Aéroélasticité stochastique Capacités prédictives des modèles stochastiques de marge au flottement/lco limitation des surdimensionnements Intégration des solveurs stochastiques dans des boucles d optimisation / calibration Réduction du temps de développement et diminution des cycles conception/essais Bilan Problèmes stochastiques directs - Possibilité de sélectionner le solveur stochastique (qmc, gpc, me-gpc, ASGC) en fonction de la raideur/dimensionnalité du problème - Utilisation avec des modèles haute fidélité (CFD/E.F) et réalistes (matériaux composites) (N < 10) Inférence statistique (BMA) et optimisation robuste (AG/gPC) - Algorithmes conventionnels déployés sur des modèles physiques réduits Perspectives - Développement d approches multi-fidélité pour l optimisation sous incertitudes - La calibration Bayésienne peut être envisagée en amont de la phase de calibration Optimisation sous incertitude, ONERA 30 / 30