3 e Conférence Francophone de MOdélisation et SIMulation Conception, Analyse et Gestion des Systèmes Industriels MOSIM 01 du 25 au 27 avril 2001 - Troyes (France) MODELISATION INTEGREE DES ACTIVITES DE MAINTENANCE EE PRODUCTION Meziane BENNOUR Laboratoire d'informatique, de Robotique et de Microélectronique de Montpellier (L.I.R.M.M) 161 Rue Ada - 34392 Montpellier Cedex 5 Mél : bennour@lirmm.fr Christelle BLOCH, Noureddine ZERHOUNI Laboratoire d Automatique de Besançon Lab/Ensmm/Ufc -Umr Cnrs 6596 25, rue Alain Savary - 25 000 Besançon Mél : cbloch@ens2m.fr, zerhouni@ens2m.fr RESUME : L exécution d activités de maintenance préventive provoque fréquemment des conflits entre responsables de maintenance et de production, car elles interviennent comme des éléments venant perturber un programme de production pré-établi. Nous proposons pour notre part un modèle intégré permettant d éviter ce problème en représentant les deux types d opérations dans un même graphe afin de les ordonnancer de manière globale. Cette modélisation repose sur un graphe potentiels tâches, car ce type de représentation permettra d employer, pour la résolution, des méthodes utilisées classiquement en ordonnancement. Son originalité est de prendre en compte les activités de maintenance, bien que celles-ci ne soient pas, à l origine, caractérisées de la même manière que des opérations de production. MOTS-CLES : maintenance, production, ordonnancement, modélisation intégrée 1. INTRODUCTION Après des années plutôt moroses, on assiste aujourd hui à une reprise économique importante. Dans l industrie, les unités de production fonctionnent à plein régime et la mise en place d une politique de maintenance préventive efficace devient cruciale pour garantir la disponibilité des équipements. Pourtant l exécution des opérations de maintenance qu elle nécessite entrent en conflit avec les impératifs de production puisqu elles requièrent une immobilisation temporaire des ressources. En effet, généralement il existe d une part un ordonnancement de la production, destiné à satisfaire les délais exigés par les clients, et d autre part un plan de maintenance préventive, tendant à éviter l apparition de défaillances. Tâche de maintenance T n Tâches de production ordonnancées Figure 1. Démarche actuelle Ces deux éléments ayant été établis séparément, l intégration de ces deux types d activités dans le T F fonctionnement effectif de l atelier pose un problème qui est souvent résolu par négociation entre les responsables respectifs des deux services et de manière séquentielle. Le plus souvent, cela consiste à tolérer l insertion d activités de maintenance dans le programme de fabrication, sous forme de perturbations (figure 1). Ordonnancer simultanément les opérations de production et de maintenance préventive permettrait certainement d améliorer le fonctionnement de l atelier puisque l optimisation prendrait en compte dès le départ l ensemble des tâches à réaliser et des contraintes associées. Nous proposons par conséquent un modèle intégrant les deux types d opérations. Pour permettre l utilisation de méthodes de résolution classiques en ordonnancement, nous avons choisi d utiliser une représentation par graphe potentiels-tâches. Pourtant, la caractérisation habituelle des activités de maintenance diffère de celle des tâches de production, car les objectifs tracés par les deux services ne sont pas les mêmes. Le service maintenance emploie des modèles destinés à l évaluation de performances alors qu en ordonnancement de la production, le but est de résoudre les conflits de ressources tout en optimisant un critère précis. De fait, l agent de maintenance utilise plutôt des indicateurs de la sûreté de fonctionnement (tels que le temps moyen entre deux défaillances, par exemple), alors que le responsable ordonnancement raisonne plutôt en termes de tâches de durée connue, à réaliser dans un délai fixé. Un passage obligé pour constituer un modèle global consiste donc à interpréter les différents indicateurs caractérisant la maintenance pour représenter celle-ci de la même manière que la production.
Après avoir donné un aperçu de l état de l art portant sur la gestion intégrée des tâches de maintenance et de production en vue de leur ordonnancement, cet article présente cette démarche pour aboutir finalement à une proposition de modèle intégré pour le cas d une machine. Pour y parvenir, nous modéliserons le problème d ordonnancement sur une machine en tenant compte seulement des opérations de production, caractérisées par des paramètres tels que r i (date de disponibilité), p i (durée opératoire), d i (date de fin au plus tard),... Puis nous établirons une modélisation des opérations de maintenance, en déterminant des «pseudo» r i, p i, d i, caractérisant les opérations de maintenance, et en les représentant sous forme de graphe. Une fois les deux modèles établis, on montrera comment faire le lien entre les sous modèles (de production et de maintenance) pour obtenir le modèle final. Ce dernier ouvre diverses perspectives de résolution qui seront rapidement évoquées en conclusion. 2. ÉTAE L ART Ainsi, (Qi et al., 1999) et (Graves et Lee, 1999) sont les seuls auteurs à notre connaissance à avoir traité un problème relativement proche de celui que nous considérons ici. Leur démarche revient à constituer progressivement les lots (batch) de travaux situés entre deux interventions successives de maintenance préventive (figure 2), et donc à positionner l opération de maintenance par rapport au dernier travail de chacun d entre eux tout en respectant les contraintes du problème. Dans les deux cas, l algorithme tend à ordonner les travaux suivant un ordre croissant de leurs durées opératoires p i (règle heuristique SPT, shortest processing time) pour minimiser le temps moyen de séjour. (Graves et Lee, 1999) ont également utilisé la règle EDD (earliest due date, qui ordonne les travaux par dates de fin croissantes) pour minimiser les retards (maximum lateness). Quelque soit la règle utilisée, le temps de travail maximal d une machine de manière continue est T et l opération de maintenance préventive de durée t doit être exécutée au plus tard à T. Les travaux s intéressant aux liens entre la production et la maintenance, et plus particulièrement à leur ordonnancement conjoint, sont assez peu nombreux et relativement récents. Les chercheurs ont diverses manières d appréhender et de caractériser le problème. Ceci ne permet pas de faire aisément une classification des articles traitant de ce sujet. T T 2 1 T 3 T 4 T n 2 Notre étude bibliographique montre néanmoins que la plupart des auteurs (Qi et al., 1999), (Graves et Lee, 1999), (Brandolese et al., 1996), (Lee et Chen, 2000), (Rishel et Christy, 1996), (Weinstein et Chung, 1999) a opté pour une approche intégrée et a résolu un problème statique. Autrement dit, ces auteurs considèrent les opérations de maintenance et de production simultanément, et les caractéristiques (date de disponibilité, durée ) de l ensemble des tâches à exécuter sont connues a priori. Par contre, ils ne s intéressent pas forcément au même niveau de décision. Certains auteurs proposent de réaliser les tâches de maintenance au cours d arrêts des machines programmés pour d autres activités. C est le cas notamment de (Ben-Daya et Makhdoum, 1998) qui coordonnent les opérations de maintenance avec les inspections du contrôle qualité. D autres se positionnent au niveau de la planification (Rishel et Christy, 1996) (Weinstein et Chung, 1999), et déterminent un planning des opérations de maintenance et de production, sans se préoccuper des conflits qui risquent de se poser au niveau d une machine donnée. Les derniers, enfin, traitent des problèmes d ordonnancement au sens propre, relatifs à une machine (Qi et al., 1999) (Graves et Lee, 1999), à des machines parallèles (Brandolese et al., 1996) (Lee et Chen, 2000), et au flow shop (Sanmarti et al., 1997),... Ils construisent un ordonnancement respectant toutes les contraintes et optimisant un critère donné. Figure 2. Construction de l ordonnancement Néanmoins, il existe une différence entre les deux articles : (Graves et Lee, 1999) ont considéré les temps de préparation (setup time) alors que (Qi et al., 1999) ne l ont pas fait. 3. MODELISATION Comme (Qi et al., 1999) et (Graves et Lee, 1999), nous nous intéressons à la réalisation de n tâches, caractérisées par les données r i, p i, d i, sur une seule machine de capacité unitaire. Cette dernière doit également être immobilisée pour subir des opérations de maintenance préventive (figure 3), en accord avec différents indicateurs usuels décrivant sa fiabilité et sa disponibilité, et qui seront présentés dans la suite. Produits (P 1, P 2, P n ) Une machine Intervention de maintenance Produits (P 1, P 2, P n ) finis Figure 3. Représentation simple d une machine
L ensemble de ces données (de production et de maintenance) sont supposées connues. Les temps de préparation sont supposés inclus dans les durées opératoires et ne feront pas l objet d étude spécifique. Nous proposons, dans ce cadre, une modélisation sous forme de graphe potentiels-tâches qui intègre les opérations de production et de maintenance. La représentation des tâches de production seules correspond à un modèle classique en ordonnancement, représenté sur la figure 4. r 3 r 1 r j r 2 T 2 T 3 T j p 1 p 2 p 3 Figure 4. Modèle d une machine Ce modèle fait apparaître des arcs conjonctifs et disjonctifs. Les premiers représentent les caractéristiques (durée p i ) et contraintes temporelles (de début au plus tôt r i ) associées aux tâches, alors que les seconds correspondent aux contraintes de partage de la ressource (par souci de clarté, la valeur des arcs disjonctifs n apparaît pas sur la figure 4, elle correspond classiquement à la durée (p i ou p j ) des tâches (T i et T j ) situées aux extrémités de chaque arc (i,j) non orienté). Sous cette forme, la résolution du problème revient à trouver un ordre de passage bien précis des tâches T i sur la machine de manière à optimiser un critère donné. L ordre retenu est alors représenté sur le graphe en remplaçant les arcs disjonctifs (représentatifs d un conflit entre deux tâches) par des arcs orientés. p j T F Pour aboutir à un modèle intégré, il est nécessaire de représenter les opérations de maintenance sous une forme équivalente à celle présentée ci-dessus. Pourtant, les concepts et modèles utilisés dans le domaine de la maintenance ne s y prêtent pas directement. En effet, celle-ci est généralement caractérisée à partir d un modèle de Markov, qui est à la base du calcul de différents indicateurs de sûreté de fonctionnement (Perez, 1998). Ces indicateurs sont ensuite utilisés pour caractériser les états de la machine, qu elle soit en marche, en arrêt, ou bien en cours de maintenance, en représentant les activités de maintenance comme des tâches de durée et de fréquence données, ce sont :! le temps moyen de fonctionnement avant la première défaillance (MTTF),! le temps moyen entre défaillances (MTBF),! le temps moyen de disponibilité (MUT),! le temps moyen d indisponibilité (MDT),! le temps moyen de réparation avant remise en service (). La construction d un modèle intégré requiert, quant à elle, une caractérisation de ces activités en termes de dates d exécution au plus tôt (éventuellement au plus tard) et de durée. Nous en proposons donc une représentation de ce type :! la durée des opérations de maintenance est supposée fixe et égale au. En effet, la durée d indisponibilité de la machine est généralement assimilée au MDT, qui inclut une période de diagnostic, la durée effective de réparation () et une période de tests avant remise en service. Mais comme nous nous intéressons plus particulièrement à des activités de maintenance préventive, les interventions à réaliser sont généralement bien définies à l avance et les phases de diagnostic et de tests sont moins importantes que dans le cas d une intervention de maintenance corrective exécutée à la suite d une défaillance. Les temps qui leur sont consacrés sont donc supposés négligeables devant la durée de réparation, ou inclus dans celle-ci.! les dates au plus tôt et au plus tard de début des opérations sont déterminées à partir du MTTF (pour la première mise en service) et du MTBF (par la suite). Nous considérons que la première opération de maintenance préventive doit intervenir au plus tard après une durée de production égale au MTTF (respectivement MTBF). Cette durée, notée max, correspond à une période pendant laquelle le fonctionnement de la ressource provoque une dégradation progressive de celle-ci, qui aboutit, au-delà du MTTF (respectivement MTBF), à un risque de défaillance trop élevé pour être toléré. Nous définissons également la durée minimale, notée min, et calculée à partir du MTTF (respectivement MTBF) : min = MTTF - ε. Pendant cette période, la machine est engagée en production et le risque de défaillance est trop faible pour justifier des coûts de maintenance. La valeur de «ε» est conditionnée par les différents coûts mis en jeu et par le taux de risque de défaillance toléré. Par exemple, le fait de changer un composant avant sa date limite d utilisation correspond à
une perte, mais cela limitera les risques de voir la machine arrêtée pour une intervention de type correctif, en général très coûteuse. «ε» peut donc être déterminé par un calcul, souvent basé sur des probabilités, de manière à optimiser une fonction objectif incluant les divers coûts mis en jeu, ou simplement estimé par un expert à partir des caractéristiques de la machine et d un historique des défaillances détenu par le service maintenance. En résumé nous considérons que la première opération de maintenance préventive (après mise en service) doit commencer - au plus tôt à t min = min = MTTF- ε, - au plus tard à : t max = max = MTTF, et que les interventions de maintenance suivantes seront espacées - au moins de t min = min = MTBF- ε, - au plus de t max = max = MTBF. - Ces opérations dureront un temps comme l indique la figure 5. P preventive =, On aboutit ainsi à une représentation plus proche de la production et il est possible de faire apparaître sur un même schéma (figure 6) les tâches de production et de maintenance préventive ( ) : T j T j+1 T k T k+1 T n P maintenance P maintenance t min t t max t min t t max t min t t max Figure 6. Représentation des opérations de production et de maintenance Cela permet également de faire une représentation sous forme de graphe potentiels tâches, et par la suite, une représentation par le diagramme de Gantt. La modélisation des tâches de maintenance obtenue est schématisée par la figure 7 : min = MTTF - ε M 1 M 2 t Première mise en service t min Première défaillance Défaillance - max = - MTTF Figure 7. Une opération de maintenance préventive entre deux lots de production ε Opération de maintenance préventive t M 1 et M 2 correspondent aux dates de début respectives de deux macro-tâches successives (sachant qu une macro-tâche est une suite d opérations de production réalisées entre deux interventions de maintenance préventive). représente l opération de maintenance préventive. MTTF MTBF Figure 5. Localisation de la tâche de maintenance Cette manière de caractériser les opérations de maintenance est équivalente à la définition des indicateurs usuels. Elle réponds donc aux objectifs tracés par le service maintenance (par exemple : étudier la fiabilité d un système qui est en relation avec le taux de défaillance, améliorer sa disponibilité pour le rendre le plus possible fonctionnel, augmenter sa durée de vie, ) mais aussi à ceux de l ordonnancement en caractérisant toutes les opérations d une manière similaire. Les arcs représentent les contraintes temporelles liant ces tâches entre elles. Les deux premiers, de valeurs respectives min et max, signifient qu il doit s écouler au moins min et au plus max unités de temps entre le début de la production et celui de l opération de maintenance. Le dernier représente la durée de celle-ci et indique que la production ne pourra reprendre qu au moment où elle s achèvera. Finalement pour établir un modèle qui tienne compte à la fois des opérations de maintenance et des opérations de production, il faut faire le lien entre les deux modèles généraux présentés précédemment en figure 4 et figure 7. D où la représentation générale suivante montrée sur la figure 8, avec n opérations de maintenance, et j tâches de production destinées à constituer les macro-tâches.
MTBF - ε MTBF - ε 1 2 n-1 n MTTF-ε - MTBF - MTBF ou p 1 -MTTF r 1 p 1 T 2 r 2 p 2 r 3 T F p 3 r j T 3 p j T j Figure 8. Une opération de maintenance préventive entre deux lots de production Ce modèle global comporte plus de contraintes de type disjonctif que le même problème d ordonnancement dans lequel on ne tient pas compte de la maintenance. Ces contraintes supplémentaires, qu il faut arbitrer (autrement dit orienter), lient les opérations de maintenance préventive et toutes les opérations de production. Pour ne pas charger le graphe, seules les disjonctions supplémentaires liant la tâche de production et les opérations de maintenance préventive ont été représentées ici. De même toutes les valeurs n ont pas été indiquées, sachant que, comme en ordonnancement de la production, leur valeur est (à nouveau) liée aux durées respectives des tâches situées à leurs extrémités. Par exemple, l arc disjonctif (1, ) prendra la valeur s il est orienté (en cours de résolution) de 1 vers, et la valeur p 1 dans le cas contraire. 4. CONCLUSION ET PERSPECTIVES DE RESOLUTION Nous avons établi un modèle intégré permettant de représenter sur un même graphe potentiels-tâches l ensemble des opérations (de production et de maintenance) susceptibles d être réalisées sur une machine. L étape suivante serait de résoudre le problème d ordonnancement associé en arbitrant tous les conflits entre tâches. Cela peut se faire par des méthodes classiquement utilisées en ordonnancement à cet effet, par exemple une procédure par séparation et évaluation. Notons que la combinatoire du problème est plus importante que celle d un problème d ordonnancement de la production seule puisqu il existe un nombre important de contraintes disjonctives supplémentaires. Mais l ordre de grandeur des données temporelles associées à la maintenance et à la production n est pas le
même et une part importante des disjonctions devraient donc s en trouver arbitrées naturellement dès le début de la recherche, permettant ainsi de réduire rapidement l espace de recherche. Après avoir fixé l ordre d exécution des tâches, la séquence obtenue pourrait être représentée sur le graphe par des arcs orientés, et un calcul de plus long chemin dans le graphe permettrait d évaluer les diverses données temporelles décrivant l exécution des opérations. Par exemple: un algorithme du plus long chemin pourrait être utilisé si l on souhaite optimiser la durée totale c max. Mais d autres fonctions objectif, prenant en compte notamment les coûts de maintenance, pourraient être envisagées. La définition de tels critères et la recherche d une méthode de résolution efficace sont la suite logique à ce travail. L étape ultime sera d étudier l extension de cette approche à des ateliers plus complexes (de type flow shop ou job shop). REFERENCES Ben-daya M. and Makhdoum M., 1998. Integrated production and quality model under various maintenance policies. Journal of the Operational Research Society, 49(8), p. 840-853. Brandolese M., Franci M. and Pozzetti A., 1996. Production and maintenance integrated planning. International Journal of Production Research, 34(7), p. 2059-2075. Graves G. H. and Lee C.-Y., 1999. Scheduling maintenance and semiresumable jobs on single machine, Naval Research Logistics, 46, p. 845-862. Lee C.-Y., and Chen Z.-L., 2000. Scheduling jobs and maintenance activities on parallel machines. Naval Research Logistics, 47, p. 145-165. Peres, F., 1998. Outils d analyse de performance pour stratégies de maintenance dans les systèmes de production. Thèse de doctorat, Université de Bordeaux I, France. Qi X., Chen T. and Tu F., 1999. Scheduling the maintenance on single machine. Journal of the Operational Research Society, 50(10), p. 1071-1078. Rishel T. D. and Christy D. P., 1996. Incorporating maintenance activities into production planning ; Integration at the master schedule versus material requirement level. International Journal of Production Research, 34(2), p. 421-446. Sanmarti E., Espuna A. and Puigjaner L., 1997. Batch production and preventive maintenance scheduling under equipment failure uncertainty. Computer Chemical Engineering, 21(10), p. 1157-1168. Weinstein L. and Chung C.-H., 1999. Integrated maintenance and production decisions in a hierarchical production planning environment. Computer & Operations Research, 26, p. 1059-1074.