Pression atosphérique en fonction de l'altitude 1. Forule baroétrique (atosphère isothere) 1.1 Poser l'équation différentielle altitude z h z Notons Ρ la asse voluique oyenne de l'air entre les altitudes z et z+h. D'après la loi de la croissance de la pression, la pression à l'altitude z est d' Passons à la liite h 0 p z p z h Ρ g h p z h p z h dz Ρ z g Ρ g Ρ(z) désigne la densité de l'atosphère à l'altitude z. Calculons Ρ en supposant qu'il s'agit dun gaz parfait et que l'atosphère est isothere p V n Ρ V p n 1 p M M n désigne la asse olaire de l'air. L'équation différentielle avec condition initiale de la fonction z p z s'écrit alors dz p p 0 p 0 constante et p 0 est donné 1.2 Résoudre l'équation différentielle
2 pression-altitude.nb 1.2 Résoudre l'équation différentielle L'équation différentielle est de la fore p' a p a est constant. Il s'agit donc d'une équation différentielle du preier ordre linéaire hoogène à coefficient constant. On utilise la éthode de la séparation des variables. Sous l'hypothèse p 0, dz 1 p p ln p p z z k la constante d'intégration k est déterinée à partir de la condition initiale (pour z 0, on a p p 0 ) En substituant la valeur de k, on obtient ln p 0 k ln p ln p 0 p exp ln p 0 p z p 0 z z z p 0 z L'hypothèse T=constante (15 C) étant peu réaliste, la forule baroétrique ne peut être utilisée que pour de petites valeurs de z. Pour ieux tenir copte des conditons actuelles et locales, dans le cas on connaît la pression actuelle p 1 en un lieu proche d'altitude z 1, on utilise de préférence la forule p z p 1 z z 1 Valeurs nuériques des constantes et unités p pression en pascals z altitude en ètres p 0 101 325 Pa; M 28.966 10 3 kg ol 1 ; g 9.805 s 2 ; R 8.314510 J ol 1 K 1 0.000118544. J kg 2 s 2 ; T 15 273.15 K; p z 101 325 Pa 0.00012 z 1.3 Pression atosphérique [en Pa] en fonction de l'altitude [en ]
pression-altitude.nb 3 1.3 Pression atosphérique [en Pa] en fonction de l'altitude [en ] Clear p ; p z : 101 325 0.00012 z ; forat p : sp : ToString Round p ; sl : StringLength sp ; Do sp " " sp, i, sl, 8 ; StringTake sp, 1, sl 3 " " StringTake sp, 3 TableFor Table forat Round p i j, i, 0, 1000, 1000, j, 0, 900, 200, TableHeadings Map forat, Range 0, 1000, 1000, Map forat, Range 0, 900, 200 0 200 400 600 800 0 101 325 98 922 96 576 94 286 92 050 1 000 89 867 87 736 85 655 83 624 81 641 2. Modèle d'atosphère standard avec gradient de tepérature constant Forule du nivelleent baroétrique 2.1 Hypothèse du gradient de tepérature constant La tepérature diinue avec l'altitude. Malheureuseent, le gradient de tepérature varie selon les conditions cliatiques et étéorologiques. Dans ce odèle, on considère que la tepérature T décroît linéaireent avec l'altitude z T z a z et on choisit un gradient de tepérature typique, par exeple a 6.5 10 3 K 1 On décrit ainsi un état oyen de l'atosphère, sans tenir copte de son état réel. 2.2 Intégration de l'équation différentielle En substituant T dans l'équation différentielle avec condition initiale on obtient En séparant les variables dz p p 0 p 0 dz p R a z 1 p p R 1 a z z Sous l'hypothèse p 0, ln p R 1 a ln a z k ln a z k la constante d'intégration k est déterinée par la condition initiale (pour z 0, on a p p 0 ) En substituant la valeur de k ln p 0 ln k k ln p 0 ln
4 pression-altitude.nb En substituant la valeur de k ln p ln a z ln p 0 ln p 0 ln a z ln ln p 0 ln p 0 ln ln a z ln a z p z p 0 a z p z p 0 1 a z Cette dernière forule, appelée Forule du nivelleent baroétrique, peut être utilisée, avec prudence, jusque vers environ 12 000 d'altitude. Pour ieux tenir copte des conditons actuelles et locales, dans le cas on connaît la pression actuelle p 1 en un lieu proche d'altitude z 1, on utilise de préférence la forule p z p 1 1 a z z 1 2.3 Valeurs nuériques des constantes et unités p pression en pascals z altitude en ètres p 0 101 325 Pa; a 6.5 10 3 K ; 15 273.15 K; 0.0000225577 a M 28.966 10 3 kg ol 1 ; g 9.805 s 2 ; R 8.314510 J ol 1 K 1. J kg 2 s 2 ; 5.25516 Nuériqueent, p z 101 325 1 2.25577 10 5 z 5.255 Clear p ; p z : 1013.25 1 2.25577 10 5 z 5.255
pression-altitude.nb 5 2.4 Table nuérique de la pression atosphérique oyenne en hpa, en fonction de l'altitude de -500 à 12400 tabelle TableFor Table PaddedFor p i j, 8, 2, i, 500, 12 000, 500, j, 0, 400, 100, TableHeadings Map PaddedFor, 5 &, Range 500, 12 000, 500, Map PaddedFor, 7 &, Range 0, 400, 100, TableSpacing 1, 3 ; Export "pression at.htl", tabelle ; tabelle 0 100 200 300 400 500 1074.76 1062.23 1049.81 1037.50 1025.32 0 1013.25 1001.30 989.46 977.73 966.12 500 954.62 943.23 931.95 920.78 909.72 1000 898.76 887.92 877.18 866.54 856.01 1500 845.59 835.26 825.04 814.92 804.90 2000 794.98 785.16 775.44 765.82 756.29 2500 746.86 737.53 728.29 719.14 710.09 3000 701.13 692.26 683.48 674.79 666.20 3500 657.69 649.27 640.93 632.69 624.53 4000 616.45 608.46 600.56 592.73 585.00 4500 577.34 569.76 562.27 554.85 547.51 5000 540.26 533.08 525.97 518.95 512.00 5500 505.13 498.33 491.60 484.95 478.38 6000 471.87 465.44 459.07 452.78 446.56 6500 440.41 434.33 428.31 422.36 416.48 7000 410.67 404.92 399.24 393.62 388.07 7500 382.58 377.15 371.78 366.48 361.24 8000 356.06 350.94 345.88 340.88 335.94 8500 331.05 326.23 321.46 316.74 312.09 9000 307.49 302.94 298.45 294.01 289.63 9500 285.30 281.02 276.79 272.62 268.49 10000 264.42 260.40 256.43 252.50 248.63 10500 244.80 241.02 237.29 233.61 229.97 11000 226.38 222.83 219.33 215.87 212.46 11500 209.09 205.77 202.48 199.24 196.05 12000 192.89 189.78 186.70 183.67 180.68 Liens hypertextes vers Wikipedia Pour des copléents d'inforation sur la Forule du nivelleent baroétrique, voir http://fr.wikipedia.org/wiki/forule_du_nivelleent_baro%c3%a9trique vers la page ère: Tables nuériques de l'atosphère en fonction de l'altitude Physique dans la culture générale > Tepérature, pression et asse voluique de l'atosphère, tepérature d'ébullition de l'eau http : //www.deleze.nae/arcel/physique/teperaturesebullition/index.htl vers: Modèle du nivelleent baroétrique Applications des athéatiques > Tepérature, pression et asse voluique de l'atosphère, tepérature d'ébullition de l'eau http://www.deleze.nae/arcel/sec2/applaths/pression-altitude/index.htl