Pêche, foresterie et sites de production énergétique - quelques apports des statistiques pour améliorer la gestion des ressources environnementales et industrielles Nicolas Bousquet Électricité de France Division Recherche et Développement Dpt MRI - EDF Lab Chatou & Institut de Mathématique de Toulouse Équipe de Statistique et Probabilités Université Paul Sabatier 29 août 2014 - Université Laval
Quelques mots de présentation personnelle
Vocabulaire Ressource Σ biologique (population animale, végétale..) industrielle (capacité de production durée de vie active, résistance aux risques) Optimisation pérenne permettant un renouvellement de la ressource (environnementale) protection technique efficace, robuste aux aléas exceptionnels (industrielle) Incertitudes aléatoire: intrinsèque représentée par des distributions de probabilité épistémique: réductible par apport de connaissance (ex : nouvelles données)
Gestion d une population exploitée : calcul du rendement maximal durable (MSY )
Impact des incertitudes de modèle (aléatoires) Spencer and Collie (1997) ont produit des estimateurs des paramètres pour les années 1976-1993 ˆr = 0.4, ˆK = 129 kt (kilotonnes), ˆσ = 0.3176 Prix du marché (US dollars / kg) après 1993 avec Q = produit de la pêche (kt) T indice temporel P = a + bq + ct paramètres économiques a = 1.82, b = 0.022, c = 0.033 estimés de façon à obtenir une rentabilité maximale Cadre déterministe Cadre stochastique MSY (kt) 12.9 9.326 Market price ($/kg) 2.5262 2.6048 Expected revenue (10 6 US$) 32.58 24.29 Environ 8.10 6 US$ de profit non réaliste mais potentiellement prédit
Estimation des paramètres : où interviennent les statistiques... Données d observation Pas de données directe d abondance ( végétaux et certains animaux terrestres) Données indirectes : pêches commerciale et scientifique indices d abondance Un type de données très informatives : capture-recapture avec marquage [Lavalée et Rivest 2012, Rivest 2013] Sélection du plan d échantillonnage Élaboration d un modèle de rééchantillonnage (urne) pour la recapture [Quinn et Deriso 1999, Pollock et al. 2002]
où π s a+j,t+j est une probabilité de retour de marque (dépendant de la mortalité) Capture-recapture pour la détermination des caractéristiques d une population structurée par âge Nombre d individus d âge a + 1 au temps t + 1 P a+1,t+1 = P a,ts a,t = P a,t exp F a,t }{{} taux de pêche M a,t }{{} mortalité naturelle Capture théorique moyenne à l âge C a,t = µ a,tp a,t pour un taux d exploitation µ a,t F a,t M a,t + F a,t (1 S a,t) Marquage d une sous-population puis recapture par N pêcheries N a,t = nombre d animaux d âge a marqués puis relâchés au temps t R s a+j,t+j = nombre de marques d âge a + j renvoyées par la pêcherie s En supposant que le destin de chaque poisson est indépendant, marginalement Ra+j,t+j s ( B inom Na,t, πa+j,t+j s )
En notant R a+t,t+t = π a+t,t+t = ( ) Ra+1,t+1, 1..., Ra+1,t+1, N..., Ra+T 1,t+T,..., Ra+T N,t+T, ( ) πa+1,t+1, 1..., πa+1,t+1, N..., πa+t 1,t+T,..., πa+t N,t+T, Ra+T,t+T = πa+t,t+t = T N t=1 s=1 T N t=1 s=1 R s a+t,j+t, π s a+t,j+t, en conséquence { R a+t,t+t, N a,t R } a+t,t+t M ult (N a,t ; { π a+t,t+t, 1 π a+t,t+t }) la distribution de probabilité de tous les retours de marque est un produit de lois multinomiales (en supposant que tous les marquages sont indépendants les uns des autres)
Le vecteur de probabilité est où π s a+j,t+j = α exp( βj) ζ s a+j,t+j ν s a+j,t+j λ s a+j,t+j α exp( βj) est la probabilité qu un poisson survive à l étape de marquage après j pas de temps ζ s a+j,t+j est la probabilité qu un poisson marqué se mélange au reste de la population visée par la pêcherie s après j intervalles de temps ν s a+j,t+j est la probabilité qu un poisson soit pêché par la pêcherie s λ s a+j,t+j est la probabilité qu une marque pêchée par la pêcherie s soit retrouvée et renvoyée aux scientifiques Inconnues du problème : ( {Ma, F s t, ς s a, λ s a,t, ζ s a,t}s {1,...,N},a {a0,...,a},t {t0,...,t }, {Pa0,t} t {t0,...,t }, α, β, ) de dimension N T (1 + 2 A ) + N A + T + 2
Réduction de la dimension : tester des hypothèses de mortalité naturelle Forme en "U" pour M a : influence de la senescence Forme en "W" pour M a : influence additionnelle de la reproduction Utilisation de fonctions polynômiales de l âge (splines cubiques)
Prises commerciales et observations Les captures théoriques suivent également (marginalement) C s a+j,t+j B ( P a,t, ν s a+j,t+j). Cependant, beaucoup d incertitudes dominent la variation intrinsèque du "tirage dans l urne" (surpêche, rejets, erreurs de transcription dans les journaux de bord...) [Polacheck et al. 2006] On fait une hypothèse "grossière" sur les observations des prises Ĉ s a+j,t+j N ( ν s a+j,t+jp a,t, (σ s a+j,t+j) 2). où la variance du bruit d observation (incertitude épistémique) est fixée à plusieurs valeurs étude de sensibilité Estimation du vecteur de paramètre par maximisation de la vraisemblance "produit-de-multinomiale" suivie d un parcours stochastique dans la zone où celle-ci est haute Exemple d outil logiciel : Rcapture package [Baillargeon et Rivest 2007]
Ex: marquage des thonidés dans l Océan Indien CTOI (IOTC): 2001-2012 74,301 poissons marqués (listao = bonite = skipjack) 10,290 retours de marque 25 cohortes 3 pêcheries (senneurs français et espagnol, canneurs maldiviens) [B. et al. 2014]
Quelques résultats 250 150 50 100 a=2.25 a=2.5 a=2.75 a=3 a=3.25 a=3.5 a=3.75 a=4 0 number of returns 200 a=0.5 a=0.75 a=1 a=1.25 a=1.5 a=1.75 a=2 cohort indicators time of release
Conséquence : modèles de projection de biomasse en danger sous forçage environnemental [B. et al. 2014 (b)]
Transformation taille-âge Même problématique en: fork length (cm) 10 20 30 40 50 60 70 foresterie analyse des échos ultrasonores dans un cadre industriel caractérisation de la taille d un défaut par son écho bruité 0 0.75 1.75 2.75 3.75 4.75 age(y) suivi de la taille d une fissure Deux grandes approches de quantification (avec gestion des incertitudes) 1. modèles purement statistiques de type régression ou processus 2. modèles numériques explicatifs (fondés sur la biologie, la physique...) explorés par des outils statistiques
Modèles "purement" statistiques : un exemple via les processus gamma Soit un processus aléatoire L t positif s accroissant avec le temps t, supposé reproduire le comportement de k systèmes similaires (ex: longueur de poisson ou d arbre, taille de fissure... ) k, L k,0 = 0 et les incréments Z k,i = L k,ti L k,ti 1 sont indépendants k et 0 s t, L k,t L k,s est une v.a. de loi gamma de densité 1 f α(t s),β (x) = Γ(α i (t s)) x α(t s) 1 e x β β α(t s) 1 {x 0} En dessous d une certaine valeur z, on n observe rien bruit environnemental précision dispositif > taille individu (ex: larves) Les données disponibles d sont des réalisations de Y k,t = max(l k,t, z) faites à certaines valeurs de temps (réguliers ou non) transformées en incréments
Un exemple industriel : propagation d une fissure dans un composant de production (1/2)
{ Soit t rk +1 = min ti, L k,ti z } i {1,...,n k } Censure double: 1. vraisemblance associée aux observations manquantes (censure à gauche) ) ( rk ) ( ) P (L k,t1 L k,t2... L k,trk < z = P Z k,i < z = γ αt rk, β z ) i=1 Γ (αt rk 2. vraisemblance associée à l observation Z k,rk +1 = L z (censure à k,trk +1 droite) ) Γ (α(t P(Z k,rk +1 > L z) = rk +1 t rk ), (L z)/β k,trk +1 k,trk +1 Γ ( α(t rk +1 t rk ) ) Vraisemblance complète pour la trajectoire k ( ) ) γ αt rk, z Γ (α(t β rk +1 t rk ), (L z)/β k,trk +1 l k (α, β d k ) = Γ ( ) ( αt rk Γ α(trk +1 t rk ) ) n k Γ(α(t i t i 1 )) ( ) β α t nk t rk +1 exp 1 β i=r k +2 n k i=r k +2 z k,i n k i=r k +2 z t i t i 1 k,i α
Inférence (1/3) Une connaissance a priori existe sur le phénomène étudié (outre les données d observation d) : vitesse de croissance moyenne accélération de la croissance... (biologistes, ingénieurs, physiciens... faisant par exemple des expériences de laboratoire) Connaissance imprégnée d incertitude épistémique Le cadre statistique bayésien permet d intégrer cette connaissance sur L en la traduisant indirectement par une mesure de probabilité π(α, β) (loi a priori) Inférence bayésienne = réduction de l incertitude épistémique par conditionnement à l information portée par d : on estime la loi a posteriori k π(α, β d) = l k(α, β d k )π(α, β) k l k(α, β d k )π(α, β)dαdβ
Inférence (2/3) Proposition [Paroissin. et al. 2014] Le mélange de lois gamma et inverse gamma β α IG (αm t e,1, m z e), α G (m/2, m t e,2) est une approximation à l ordre 1 de la loi a posteriori d un échantillon de taille m dont la moyenne des temps d observation est t e,1 dont la moyenne de l accroissement en taille durant t e,1 est z e avec t e,2 une statistique reliée à la vitesse d accroissement Choix de loi a priori l information supplémentaire est quantifiée comme celle provenant d un échantillon virtuel
Inférence (3/3) ( 1. Simuler S j G 2. Simuler β j IG M α j 1 k=1 (α j 1 { m t e,1 + M t rk, 1/β j 1 ) 1 {0 S M z}. k=1 } { t nk, m z e + S j + M 3. Simuler α j ρ(. α j 1 ) N ( α j 1, ρ α 2 j 1). n k k=1 i=r k +1 z k,i }). 4. Simuler u j U[0, 1] and accept α j = α j if u j η j où { η j = min 1 } l(β j, α j d)π(β j, α j )ρ(α j 1 α j ) l(β j, α j 1 d)π(β j, α j 1 )ρ( α j α j 1 ) ou accepter α j = α j 1.
Un exemple industriel : propagation d une fissure dans un composant de production (2/3)
Un exemple industriel : propagation d une fissure dans un composant de production (3/3) Information a priori : estimation des quantités suivantes 1. vitesse annuelle la plus probable = rapport z e/ t e,1 (2 mm/an) 2. probabilités (1 δ 1, 1 δ 2) à 15 puis 30 ans (= m t e,1) que toute fissure soit plus longue que (x 1, x 2) = (5, 10) mm Soit pour i = {1, 2}, ) P (X m te,1 < x i = δ i, = xi 0 0 x αm t e,1 1 (m z e) αm t e,1 Γ (2αm t e,1) π(α) dαdx. (m z e + x) 2αm t e,1 Γ 2 (αm t e,1) Calibration: en choisissant δ i dans {1%, 5%, 10%, 20%, 25%}, par minimisation en (m, t e,2) du coût C(m, t e,2) = 2 i=1 δ 2 i { xi 0 0 } 2 x αt 1 (2T ) αt Γ (2αT ) (2T + x) 2αT Γ 2 (αt ) π(α) dαdx δ i
Modèles numériques de simulation Explication d un phénomène pour lequel on a peu ou pas de données d observation Implémentation sous forme de codes de calcul g (souvent déterministe) d un ensemble d équations et d optimisations Y = g(x ) typiquement Problème 1 : "caler" les (lois des) entrées incertaines (aléatoires) X Problème 2 : simuler le comportement Difficultés : dimension élevée de X, lourdeur en temps de calcul Exemple industriel: Prévision de niveau d eau (cote) en hydraulique
Assurer la sécurité d un site de production face à une crue Y = g(x, K s) où : X est un débit de rivière amont Q K s des coefficients de frottement et Y est un une hauteur d eau en aval Enjeux EDF 1. Protéger les personnes et les biens contre un risque de crue à fort impact 2. Assurer la capacité de production de façon pérenne Le phénomène est considéré comme monotone et s implémente par un code hydraulique g (ex: codes EDF MASCARET / TELEMAC)
Enjeu technique 1 : modélisation d une distribution de débits extrêmes (typ. maxima annuels) Règle fondamentale de sûreté (1984) 1. La hauteur de dimensionnement d une digue protégeant un site de production doit être au moins égale à y 0 = g(q 1 α + pen Q, K s) + pen Y où α 1 2. le quantile Q 1 α de seuil α est associée à une loi des extrêmes 3. la valeur du frottement est pénalisée Théorie des valeurs extrêmes [Fisher-Tippett-Gnedenko] Soit X 1,..., X n un échantillon de loi continue. S il existe des suites (a n, b n) IR + IR + telles que (Xn a n)/b n converge en loi, alors la loi limite de la statistique d ordre (maximum de l échantillon) Xn est l une des trois lois suivantes : loi de Gumbel F (x) = exp( exp( (x µ)/σ)), x IR loi de Fréchet F (x) = exp( ((x µ)/σ) β ), x µ, β 0 loi de Weibull F (x) = exp( ( ((x µ)/σ) β )), x µ, β 0
Données historiques + expertise terrain Inférence apport de connaissance / données actuelles (en faible nombre) Choix d un cadre inférentiel bayésien Proposition [B. 2013] En posant (λ, ζ) = (1/σ, exp(µ/σ)), le mélange de lois gamma ( { } ) 1 ζ λ G m, α 1/m 1 exp( λx (e) α ) ( λ G m, ( x m x α (e) ) 1) est une approximation à l ordre 1 de la loi a posteriori d un échantillon Gumbel de taille m et de moyenne x m telle que marginalement P(X < x α (e) ) = α
Enjeu technique 2 : simulation pour le calcul de critère de risque On souhaite vérifier que p = P(g(X ) > y 0) = 1 {g(x)>y0 }f X (x) dx 10 q où y 0 est une hauteur de digue g boîte noire et X variable aléatoire supposée de loi f X Estimation statistique classique de p par Monte Carlo ˆp n = 1 1 {g(xi )>y n 0 } avec x 1,..., x iid n f X i=1 Estimateur sans biais, consistant, sans hypothèse sur g (ex: discontinuités..) CV [ˆp n] = p(1 p)/n: il faut 10 q+2 simulations pour une estimation à 10% d erreur de 10 q Or le code peut être très coûteux en temps CPU (ex : 3h pour TELEMAC dans certaines configurations)
Aspects pratiques du calcul 1. Développement de méthodes de Monte Carlo à réduction de variance Quasi Monte Carlo, échantillonnage d importance, techniques séquentielles Fondées sur des plans d échantillonnage numériques intelligents 2. Utilisation de méta-modèles simplificateurs réseaux de neurones et machines à vecteur de support (classification/apprentissage) processus gaussiens (krigeage)
Une dernière approche Approche par copules Une loi jointe en (X, Y ) peut être définie par sa fonction de répartition P(X < x, Y < y) = C θ (P X (X < x), P Y (Y < y)) = C θ (F X (x), F Y (y)) Calcul de probabilité conditionnel P (Y < y 0 X [x δ x, x + δ x]) = CJ θ {F X (x + δ x), F Y (y 0)} C J θ {F X (x δ x), F Y (y 0)} F Y (x + δ x) F X (x δ x) Étude des comportements extrêmes joints [Genest & Rivest 1993, Ghoudi, Khoudraji & Rivest 1998,...]
Quelques mots de conclusion Statistiques indispensables pour la modélisation et la quantification des incertitudes aléatoires épistémiques Impact potentiellement important sur la gestion optimisée des ressources Flexibilité et robustesse : de multiples outils pour traiter des problèmes similaires Le cadre décisionnel des statistiques (définissant ce qu est un "bon estimateur") permet de répondre aux questions sur la définition d une gestion optimale De nombreux travaux de Louis-Paul Rivest et ses coauteurs sont précieux et importants à de multiples niveaux : sélection des données, modélisation, décision, domaines d application variés Et comme évoqué... de belles pistes à poursuivre!
Bibliographie Bordet, Rivest (2014). A stochastic Pella Tomlinson model and its maximum sustainable yield. J.Theor. Biol. B., Duchesne, Rivest (2008). Redefining the MSY for the Schaefer population model including multiplicative environmental noise J.Theor. Biol. B., Chassot, Dortel, Million, Fonteneau, Hallier (2014). A Bayesian Brownie-Petersen model for estimating the natural mortality of Indian Ocean tunas. Application to skipjack. In revision for Fish. Res. B., Chassot, Duplisea, Hammill (2014). Forecasting the major influences of predation and environment on cod recovery in the northern Gulf of St. Lawrence. Plos ONE Dortel, Sardenne, Le Croizier, B., Chassot (2014). A three-stanza growth model for Indian Ocean yellowfin tuna. In revision for Fish. Res. Ghoudi, Khoudraji, Rivest (1998). Propriétés statistiques de copules de valeurs extrêmes bidimensionelles. RCS. Genest, Rivest (1993). Statistical inference procedures for bivariate Archimedean copulas. JASA. Kooijman (2010). Dynamic Energy Budget theory for metabolic organisation. Cambridge University Press. Lavalée, Rivest (2012). Capture-recapture sampling and indirect sampling. J. Off. Stat. Paroissin, B., Fouladirad, Grall (2014). Bayesian gamma processes for optimising condition-based maintenance under uncertainty. In revision for App. Stoch. Models Bus. Indus. Polacheck, Eveson, Laslett, Pollock, Hearn (2006). Integrating catch-at-age and multiyear tagging data: a combined Brownie and Petersen estimation approach in a fishery context. Can. J. Fish. Aquat. Sci. Pollock, Hearn, Polacheck (2002). A general model for tagging on multiple component fisheries [...]. Environ. Ecol. Stat. Quinn, Deriso (1999). Quantitative Fish Dynamics. Oxford University Press Rivest (2013). Théorie et applications des modèles de capture-recapture. Bull. AMQ