RBABILITÉ Loi binomiale - Échantillonnage I Éreuve de Bernoulli - Loi binomiale xemle n lance deux fois une ièce de monnaie arfaitement équilibrée. Les deux lancers sont indéendants (c'est-à-dire que le résultat du second lancer ne déend as du résultat du remier). À chaque lancer, on a () = () = n eut rerésenter la succession des deux lancers ar un arbre et faire figurer les robabilités sur chaque branche de cet arbre. (n dit dans ce cas qu'il s'agit d'un arbre ondéré) La robabilité d'obtenir deux fois "ace" est (,) = x = 4 La robabilité d'obtenir deux fois "ile" est (,) = x = 4 La robabilité d'obtenir "ace" suivi de "ile" est (,) = x = 4 La robabilité d'obtenir "ile" suivi de "ace" est (,) = x = 4 xercice 0 (voir réonses et correction) Une ièce n'est as arfaitement équilibrée. n effectuant un grand nombre de lancers, on a remarqué que "ace" est obtenu dans 40% des cas et "ile" dans 60% des cas. n admet donc qu'à chaque lancer, on a () = 5 et () = 3 5. n lance deux fois cette ièce de monnaie. Les deux lancers sont indéendants. ) Rerésenter la situation ar un arbre et faire figurer les robabilités sur chaque branche de cet arbre. ) Déterminer (,) et (,). 3 ) Déterminer la robabilité de l'événement : «obtenir une fois "ile" et une fois "ace"». 4 ) n considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait corresondre le nombre de fois que l'on a obtenu "ace". Donner la loi de robabilité de X et calculer l'esérance mathématique de X. xercice 0 (voir réonses et correction) Un magasin organise un jeu. Chaque ersonne entrant dans le magasin reçoit un billet ortant l'un des trois numéros : 0 ; ou 5. our chaque ersonne entrant dans le magasin, la robabilité de recevoir un billet ortant le numéro 0 est (0) = 0,5 et la robabilité de recevoir un billet ortant le numéro est () = 0,4. Un billet numéro 0 est un billet erdant. Un billet numéro est un billet gagnant un stylo. Un billet numéro 5 est un billet gagnant une montre. Un coule rentre dans un magasin et chacune des deux ersonnes du coule reçoit un billet. ) Reroduire et terminer l'arbre ondéré ci-contre rerésentant la situation. ) Calculer la robabilité des événements suivants : a) Le coule ne gagne rien ; b) Le coule gagne deux montres ; c) Le coule gagne une montre et un stylo ; d) Le coule gagne uniquement un stylo. 0,5 0,4 0 5 0 5 0 htt://xmaths.free.fr ère robabilités Loi binomiale - Échantillonnage age / 0
xercice 03 (voir réonses et correction) n utilise une ièce de monnaie dont on ne sait as si elle est équilibrée. our cette ièce on suose que la robabilité d'obtenir "ace" est un nombre réel de l'intervalle [0 ; ]. ) Donner la valeur de la robabilité d'obtenir "ile". ) n lance deux fois cette ièce de monnaie. Les deux lancers sont indéendants. a) Rerésenter la situation ar un arbre ondéré. b) n considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait corresondre le nombre de fois que l'on a obtenu "ace". Donner la loi de robabilité de X et calculer l'esérance mathématique de X. xercice 04 (voir réonses et correction) n jette un dé cubique équilibré. Ce dé comorte deux faces vertes, trois faces bleues et une face rouge. n note la couleur aaraissant sur la face suérieure. i une face verte aaraît, on gagne 0 ; si une face bleue aaraît, on gagne 0, si une face rouge aaraît on gagne 50. n jette deux fois de suite ce dé, de façon indéendante. ) Rerésenter la situation ar un arbre ondéré. ) n note G la variable aléatoire corresondant au gain obtenu à la suite des deux lancers. a) Comléter le tableau suivant donnant la loi de robabilité de G Gain 0 30 robabilité b) Calculer l'esérance mathématique de G c) our ouvoir faire les deux lancers, une ersonne doit miser 50. Un joueur eut-il esérer gagner sur le long terme? Définition n aelle éreuve de Bernoulli une éreuve ayant deux éventualités : (succès) et (échec). La loi de Bernoulli de aramètre associe à l'événement la robabilité et à la robabilité -. xemle n considère une éreuve de Bernoulli, les deux éventualités sont : "uccès" et = : "Échec". Notons () = et () = -. n réète trois fois cette éreuve, de manière indéendante, et on s'intéresse au nombre de uccès que l'on obtient sur les trois essais. n eut traduire la situation ar un arbre de robabilités : - - - 3 uccès uccès uccès uccès - - uccès uccès uccès 0 uccès D'arès l'arbre, la robabilité d'obtenir la suite ( ; ; ) est : x x ( - ) = ( - ) De même la robabilité de ( ; ; ) est ( - ) et la robabilité de ( ; ; ) est aussi ( - ) La robabilité d'obtenir exactement deux uccès sur les trois essais est la robabilité de l'événement : {( ; ; ) ;( ; ; ) ; ( ; ; )}. lle est donc égale à 3 x ( - ). n notant x i le nombre de uccès obtenus sur les trois essais, on eut justifier que l'obtient la loi de robabilité ci-dessous : x i 0 3 i ( - ) 3 3( - ) 3 ( - ) 3 - - htt://xmaths.free.fr ère robabilités Loi binomiale - Échantillonnage age / 0
xercice 05 (voir réonses et correction) 73 % d'une oulation déterminée, ossède un ordinateur. Lorsqu'on interroge une ersonne dans cette oulation, on note : l'événement : «la ersonne ossède un ordinateur» et :«la ersonne ne ossède as d'ordinateur». ) Quelle est la robabilité de? ) n interroge successivement, au hasard et de façon 0,73 indéendante trois ersonnes dans cette oulation. a) Terminer et comléter l'arbre ci-contre. b) Quelle est la robabilité que les trois ersonnes interrogées aient un ordinateur. c) Quelle est la robabilité qu'aucune des trois ersonnes interrogées n'ait un ordinateur. d) Quelle est la robabilité qu'une exactement des trois ersonnes interrogées ait un ordinateur (et que les deux autres n'en aient as). 0,73 0,73 xercice 06 (voir réonses et correction) La société qui imrime des tickets our un jeu de grattage a reçu la consigne d'imrimer 5 % de tickets gagnants. Ces tickets gagnants sont soigneusement mélangés avec les autres tickets qui eux sont erdants. Lorsqu'une ersonne achète un ticket, on note : G l'événement : «le ticket est gagnant» ; l'événement : «le ticket est erdant». Une ersonne achète trois tickets. ) Terminer et comléter l'arbre ci-contre. (n indiquera les robabilités sur les branches) ) Quelle est la robabilité que les trois tickets achetés soient gagnants. 3 ) Justifier que la robabilité qu'un seul des trois tickets soit gagnant est égale à 0,35375. 4 ) n aelle X la variable aléatoire égale au nombre de tickets gagnants obtenus (sur les trois tickets achetés). Donner la loi de robabilité de X. Calculer l'esérance mathématique de X. G G G xercice 07 (voir réonses et correction) Dans les mêmes conditions que our l'exercice 06 on suose maintenant que la ersonne achète quatre tickets. n aelle X la variable aléatoire égale au nombre de tickets gagnants obtenus (sur les quatre tickets achetés). Donner la loi de robabilité de X Calculer l'esérance mathématique de X Définition n aelle schéma de Bernoulli, la réétition n fois, de manière indéendante, d'une éreuve de Bernoulli. i X est la variable aléatoire corresondant au nombre de succès à l'issue du schéma de Bernoulli, on aelle loi binomiale la loi de robabilité de la variable aléatoire X. xemles Dans les exercices 06 et 07, on a déterminé la loi binomiale corresondant à un schéma de Bernoulli avec 3 réétitions et 4 réétitions. Définition n réète n fois, de manière indéendante, une éreuve de Bernoulli et on considère l'arbre corresondant à cette réétition. n aelle coefficient binomial le nombre de chemins de l'arbre réalisant k succès. k htt://xmaths.free.fr ère robabilités Loi binomiale - Échantillonnage age 3 / 0
xemle n considérant l'arbre ci-contre corresondant à 3 réétitions, on eut établir les 8 chemins suivants : ; ; ; ; ; ; ; Un seul chemin réalise 3 succès : c'est n a donc 3 3 = Trois chemins réalisent succès : ce sont ; ; n a donc 3 = 3 Trois chemins réalisent succès : ce sont ; ; n a donc 3 = 3 Un seul chemin réalise 0 succès : c'est n a donc 3 0 = xercice 08 (voir réonses et correction) aire un arbre corresondant à un schéma de Bernoulli à 4 réétitions. Vérifier que 4 4 = ; 4 3 = 4 ; 4 = 6 ; 4 = 4 ; 4 0 = Remarque D'arès la définition (même si ces valeurs n'ont que eu d'intérêt), si k > n, on a k = 0 Les coefficients binomiaux euvent être donnés ar une calculatrice ou un ordinateur. our déterminer le coefficient 4 Calculatrice TI : 4 math RB Combinaison entrer ou 4 MATH RB ncr NTR Calculatrice Casio : 4 TN RB ncr Tableur : =CMBIN(4;) xercice 09 (voir réonses et correction) Algobox : ALGBX_C_BINMIAL(4,) n utilisant AlgoBox, écrire un algorithme ermettant d'afficher les coefficients binomiaux L'algorithme devra fonctionner au moins our n 0. n l'utilisera our comléter le tableau suivant : n k. k 0 3 4 5 6 7 8 9 0 n xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx 3 3 3 xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx 4 4 6 4 xxx xxx xxx xxx xxx xxx 5 xxx xxx xxx xxx xxx 6 xxx xxx xxx xxx 7 xxx xxx xxx 8 xxx xxx 9 xxx 0 roriété Dans un schéma de Bernoulli comortant n réétitions, si est la robabilité du succès de l'éreuve de Bernoulli, la robabilité d'obtenir k succès (avec 0 k n) est : (X = k) = k k (- ) n-k n dit que la loi binomiale a our aramètres n et. n la note B(n ; ). htt://xmaths.free.fr ère robabilités Loi binomiale - Échantillonnage age 4 / 0
xemle Une ièce de monnaie n'est as équilibrée et la robabilité d'obtenir "ile" est égale à 0,6. n jette 0 fois cette ièce. 0 7 La robabilité d'obtenir 7 fois "ile" est : (X = 7) = Une calculatrice ou un ordinateur donne 0 7 = 0. Donc (X = 7) = 0 x 0,6 7 x 0,4 3 on trouve alors (X = 7) 0,499. x 0,6 7 x (- 0,6) 0-7 = 0 7 x 0,6 7 x 0,4 3 roriété (voir démonstration 0) oit n un entier suérieur ou égal à et soit k un entier tel que 0 k n 0 = = n + k k+ = + k+ k = n-k Les nombres k Triangle de ascal (voir démonstration 0) avec 0 k n sont donnés ar le triangle de ascal : k = 0 k = k = k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 n = 0 n = n = n = 3 3 3 n = 4 4 6 4 n = 5 5 0 0 5 n = 6 6 5 0 5 6 n = 7 Remarques n admet que le coefficient 0 0 est égal à. Les relations 0 = ; = et n k + k+ = + ermettent de asser d'une ligne du k+ triangle de ascal à la suivante et ermettent alors de comléter la ligne corresondant à n = 7. Les résultats sont évidemment identiques à ceux trouvés dans l'exercice 09. n eut vérifier sur le triangle de ascal que chaque ligne comorte des valeurs symétriques ar raort à son centre, ce qui traduit la roriété k = n-k. n eut justifier assez simlement que = n ; n- = n. xercice 0 (voir réonses et correction) Dans un schéma de Bernoulli comortant 9 réétitions la robabilité du succès est 0,65. n aelle X le nombre de succès obtenus. Déterminer (X = 0) ; (X = 3) ; (X = 8) ; (X ). n donnera dans chaque cas la valeur exacte uis une valeur arochée à 0-6 rès. Remarque Dans une feuille de tableur on ourra obtenir la valeur de (X = k) = k k (- ) n-k avec la formule =LI.BINMIAL(k ; n ; ; 0) ar exemle =LI.BINMIAL(8 ; 9 ; 0,65 ; 0) donnera la valeur 0,00373 (voir exercice 0) on ourra obtenir la valeur de (X k) en utilisant la formule =LI.BINMIAL(k ; n ; ; ) ar exemle =LI.BINMIAL( ; 9 ; 0,65 ; ) donnera la valeur 0,08 (voir exercice 0) htt://xmaths.free.fr ère robabilités Loi binomiale - Échantillonnage age 5 / 0
xercice (voir réonses et correction) ( avec un tableur ) n jette 0 fois de suite une ièce our laquelle la robabilité de "ile" est égale à. n aelle X le nombre de "ile" obtenus. ) Dans cette question on suose que = 0,63 a) Donner dans le tableau ci-dessous la loi de robabilité de X. (valeurs arrondies à 0-5 rès) x i 0 3 4 5 6 7 8 9 0 (X = x i ) b) Rerésenter cette loi de robabilité ar un diagramme en bâtons. c) Calculer l'esérance mathématique de X (valeur arrondie à 0 - rès). ) n utilisant un fichier de tableur, donner la loi de robabilité de X et son esérance mathématique. (La valeur de sera indiquée dans une cellule de façon à ouvoir être modifiée facilement) Conjecturer l'exression de l'esérance de X en fonction de. roriété (admise) n considère la loi binomiale B(n ; ) de aramètres n et. on esérance mathématique est : = n x a variance est : V = n x x ( - ) et son écart-tye est : σ = n x x ( - ). xemle i on réète 0 fois une éreuve de Bernoulli dans laquelle la robabilité du succès est 0,63 l'esérance mathématique du nombre de succès est : 0 x 0,63 = 6,3. (Résultat obtenu dans l'exercice ) n ourra aussi vérifier la formule de l'esérance sur les résultats des exercices 0 ; 03 ; 06 et 07. xercice (voir réonses et correction) Un QCM (questionnaire à choix multiles) est comosé de 8 questions indéendantes. our chaque question quatre réonses sont roosées et une seule de ces quatre réonses est juste. Un candidat réond au hasard aux 8 questions de ce QCM. n aelle N le nombre de réonses justes qu'il obtient. ) Montrer que la loi de robabilité de N est une loi binomiale dont on donnera les aramètres. ) Donner la loi de robabilité de N. (valeurs arrondies à 0-6 rès) 3 ) Rerésenter cette loi de robabilité ar un diagramme en bâtons. 4 ) Calculer l'esérance mathématique de N. 5 ) Comment doit-on noter ce QCM our qu'un candidat qui réond au hasard ait en moyenne 0. xercice 3 (voir réonses et correction) Un joueur joue à ile ou face avec une ièce équilibrée. ) n suose qu'il joue 3 fois de suite en misant euro à chaque artie. 'il obtient "ace" il erd sa mise et son gain algébrique est donc de - euro. 'il obtient "ile", il reçoit fois sa mise, son gain algébrique est donc de euro ( euros reçus moins euro de mise). oit G le gain obtenu à la fin des trois tirages. Justifier que l'esérance mathématique (G) est égale à 0 et déterminer avec une calculatrice l'écart-tye σ(g). ) n esérant gagner davantage, le joueur décide d'arrêter le jeu dès qu'il a obtenu "ile". La situation eut se rerésenter ar l'arbre ci-contre sur les branches duquel on indiquera les robabilités. Donner dans ces conditions l'esérance (G) et l'écart-tye σ(g) et comarer avec le ). 3 ) Il décide maintenant d'arrêter le jeu dès qu'il a obtenu "ile", mais il double la mise chaque fois qu'il obtient "ace". Ainsi, s'il obtient "ile" à la remière artie son gain algébrique est de euro et le jeu est terminé, et s'il obtient ace à la remière artie il erd un euro mais le jeu continue avec une mise de euros. Calculer dans ces conditions l'esérance (G) et l'écart-tye σ(g) et comarer avec le ) et le ). htt://xmaths.free.fr ère robabilités Loi binomiale - Échantillonnage age 6 / 0
xercice 4 (voir réonses et correction) n aelle "exérience" le fait de jeter 5 fois un dé cubique arfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de à 6. n s'intéresse au nombre d'obtentions de la face n 6. ) Justifier que la robabilité d'obtenir 3 fois la face n 6 est à eu rès égale à 0,36 ) Créer un algorithme ermettant de simuler cette exérience. 3 ) Modifier l'algorithme récédent our rééter 000 fois l'exérience et vérifier le résultat de la question. xercice 5 (voir réonses et correction) ( avec un tableur ) n aelle "exérience" le fait de jeter 5 fois un dé cubique arfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de à 6. n s'intéresse au nombre d'obtentions de la face n 6. n utilisant une feuille de tableur : ) ntrer dans la lage A:A6 les nombres entiers de 0 à 5. ) Dans la cellule B entrer la formule =CMBIN(5;A) donnant le coefficient 5 0. Recoier cette formule sur la lage B:B5 our obtenir tous les coefficients 5 avec 0 k 5. k 3 ) Dans la cellule C entre la formule =B*(/6)^A*(5/6)^(5-A) donnant la robabilité d'obtenir 0 fois la face n 6. Recoier cette formule vers le bas our obtenir dans la colonne C la loi binomiale B 5 ; 6. Vérifier que la somme des robabilités est bien égale à. 4 ) Dans la cellule D entrer la formule =LI.BINMIAL(A;5;/6;0) et vérifier que le résultat est identique à celui obtenu dans la cellule C. Recoier cette formule vers le bas et vérifier que les résultats sont identiques à ceux de la colonne C. 5 ) Rerésenter grahiquement la loi binomiale B II Échantillonnage 5 ; 6 ar un diagramme à barres. roriété (rael) n considère un caractère ayant une roortion dans une oulation donnée. n considère des échantillons de taille n dans cette oulation. i 0, 0,8 et si n ³ 5 alors 95% au moins des échantillons sont tels que la fréquence du caractère dans l'échantillon aartient à l'intervalle - ; +. n n Cet intervalle est aelé intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Remarque lus la taille n de l'échantillon est grande et lus la fréquence observée dans l'échantillon est roche de la fréquence existant dans la oulation. xemle D'arès l'insee, la roortion de femmes dans la oulation française est d'environ 5,6 %. i on observe des échantillons de 00 ersonnes rerésentatifs de cette oulation, alors 95 % d'entre eux doivent corresondre à une fréquence se trouvant dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. n a = 0,56 et n = 00. L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est alors : - ; + = 0,56 - ; 0,56 + = [0,46 ; 0,66] n n 00 00 i on observe des échantillons de 000 ersonnes l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est alors : - ; + = 0,56 - ; 0,56 + soit environ [0,484 ; 0,548] n n 000 000 i on observe des échantillons de 0000 ersonnes l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est alors : - ; + = 0,56 - ; 0,56 + = [0,506 ; 0,56] n n 0000 0000 Imaginons que l'on observe des échantillons de 0000 ersonnes atteints d'une certaine maladie M. i l'on trouve que, our seulement 80% des échantillons la roortion de femmes est dans l'intervalle [0,506 ; 0,56], alors on ourra enser que la réartions hommes/femmes our les ersonnes atteintes de la maladie M n'est as la même que la réartition hommes/femmes dans la oulation générale. htt://xmaths.free.fr ère robabilités Loi binomiale - Échantillonnage age 7 / 0
xercice 6 (voir réonses et correction) D'arès l'insee, la roortion de femmes dans la oulation française est d'environ 5,6 %. Un observateur se lace à la sortie d'une gare et note le sexe des ersonnes qui assent. n admettra que la roortion de femmes dans la oulation qui sort de la gare est identique à la roortion de femmes dans la oulation française. n eut assimiler le assage des ersonnes à un schéma de Bernoulli. ) Déterminer la robabilité que les quatre remières ersonnes qui sortent soient toutes des hommes. ) Déterminer la robabilité que, sur les dix remières ersonnes qui sortent, il y ait exactement cinq femmes. 3 ) a) Comléter, en utilisant une calculatrice ou un ordinateur, le tableau suivant corresondant à la loi de robabilité du nombre N de femmes armi les dix remières ersonnes qui sortent. (n donnera les résultats à 0-4 rès) n i 0 3 4 5 6 7 8 9 0 (N=n i ) b) Justifier que (N [ ; 8]) ³ 95 %. xercice 7 (voir réonses et correction) ( avec un tableur ) Une estimation donne 30 % des intentions de vote à une ersonne olitique que l'on aellera A. n interroge un échantillon de 50 ersonnes et on admet que les réonses successives corresondent à un schéma de Bernoulli. n note N le nombre de ersonnes interrogées qui déclarent vouloir voter our A. ) Quels sont les aramètres de la loi binomiale associée à N. ) Calculer la robabilité que 4 ersonnes exactement sur les 50 déclarent vouloir voter our A et en donner une valeur arochée. 3 ) Calculer la robabilité que 45 ersonnes exactement sur les 50 déclarent vouloir voter our A et en donner une valeur arochée. Dans toute la suite on utilisera une feuille de tableur. 4 ) ntrer dans la lage A:A5 les nombres entiers de 0 à 50. Dans la cellule B entrer la formule =LI.BINMIAL(A;50;0,3;0) donnant la robabilité de l'événement (N = 0). (0 corresond à la valeur contenue dans la cellule A) Recoier cette formule sur la lage B:B5 our obtenir (N = k) our tout entier k avec 0 k 50. n vérifiera les valeurs obtenues dans les questions et 3. 5 ) Dans la cellule C entrer la formule =B Dans la cellule C entrer la formule =C+B Recoier cette formule vers le bas jusqu'en C5. À quoi corresondent les valeurs contenues dans la colonne C? 6 ) Déterminer le lus etit entier a tel que (N a) >,5 %. 7 ) Déterminer le lus etit entier b tel que (N b) ³ 97,5 %. 8 ) Justifier que (N [a ; b] ) ³ 95 %. 9 ) Donner l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% lorsqu'on interroge 50 ersonnes à roos de leur vote our A. Comarer avec les valeurs récédentes. roriété oit X le nombre de succès dans la réétition d'une éreuve soumise à une loi binomiale B(n ; ). oit a le lus etit entier tel que (X a) >,5 %. oit b le lus etit entier tel que (X b) ³ 97,5 %. L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de réalisation du succès est l'intervalle Remarques a n ; b n. Les valeurs de a et b définies ci-dessus sont telles que (X [a ; b] ) ³ 95 %. L'intervalle est déterminé en surimant les valeurs les lus etites corresondant à une robabilité de,5 % et les valeurs les lus grandes corresondant à une robabilité de,5 %. Cet intervalle de fluctuation au seuil de 95% est à eu rès le même que celui donné ar - ; + mais il n'est as centré en. n n i on voulait un intervalle de fluctuation au seuil de 90 %, on considèrerait : a' le lus etit entier tel que (X a') > 5 %. b' le lus etit entier tel que (X b') ³ 95 %. htt://xmaths.free.fr ère robabilités Loi binomiale - Échantillonnage age 8 / 0
xemle n émet l'hyothèse qu'un caractère se résente dans une oulation avec une roortion de 0,56. n observe, sur un échantillon de taille 50, la fréquence de ce caractère et on trouve f = 0,4. n se ose la question de savoir si cette fréquence est "comatible" avec l'hyothèse émise. n considère le diagramme à barres ci-dessous rerésentant la loi binomiale B(50 ; 0,56). n eut justifier (en utilisant un fichier de tableur ar exemle) que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est obtenu avec a = 9 et b = 33, c'est donc l'intervalle 9 50 ; 33 = [0,38 ; 0,66]. 50 Cet intervalle est obtenu en "rejetant" les valeurs inférieures à a (et corresondant à une robabilité de,5 %) et les valeurs suérieures à b (et corresondant à une robabilité de,5 %). acceté rejeté rejeté a b La fréquence observée f = 0,4 se trouve dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, l'hyothèse selon laquelle le caractère se résente avec une roortion de 0,56 n'est as rejetée. roriété n considère l'hyothèse qu'un caractère se résente dans une oulation avec une roortion. n observe, sur un échantillon de taille n, la fréquence f de ce caractère. n détermine l'intervalle a n ; b de fluctuation au seuil de 95 % de la loi binomiale B(n ; ). n i la fréquence observée f ne se trouve as dans a n ; b, on rejette l'hyothèse (au risque de 5 %). n (c'est-à-dire que l'on considère que le caractère ne se résente as avec une roortion ) i la fréquence observée f se trouve dans a n ; b, on ne rejette as l'hyothèse. n (c'est-à-dire que l'on considère que le caractère eut se résenter avec une roortion ) Remarque lus la taille de l'échantillon sera grande, lus l'intervalle de fluctuation sera restreint. Avec l'exemle ci-dessus, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est : [0,38 ; 0,66] our un échantillon de taille 50 ; [0,4 ; 0,6] our un échantillon de taille 00 ; [0,485 ; 0,55] our un échantillon de taille 000. htt://xmaths.free.fr ère robabilités Loi binomiale - Échantillonnage age 9 / 0
xercice 8 (voir réonses et correction) ( avec un tableur ) n utilisant une feuille de tableur, donner la loi binomiale B(50 ; 0,56). Justifier que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est l'intervalle [0,38 ; 0,66]. Comarer avec l'intervalle - n ; + n. xercice 9 (voir réonses et correction) ( avec un tableur ) Un constructeur affirme que la robabilité qu'un de ses téléviseurs ait une anne dans les 5 ans suivant son achat est égale à 0,. ) Déterminer, en utilisant un tableur, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence de anne our un échantillon de 00 téléviseurs. ) Une association de consommateurs effectue un test sur 00 ersonnes ayant ce modèle de téléviseur. Dans cet échantillon, 7 ersonnes ont eu une anne dans les 5 ans suivant leur achat. Que eut-on enser de l'affirmation du constructeur? 3 ) L'association ense maintenant effectuer un test sur 500 ersonnes. Déterminer, en utilisant un tableur ou un algorithme, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence de anne our un échantillon de 500 téléviseurs. Interréter. xercice 0 (voir réonses et correction) ) Créer un algorithme ermettant de trouver les entiers a et b corresondant à l'intervalle de fluctuation à 95 % our une loi binomiale de aramètres n et. (n rendra n < 70) ) n utilisant cet algorithme montrer que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la loi binomiale B(50 ; 0,56) est l'intervalle [0,38 ; 0,66]. 3 ) n utilisant cet algorithme montrer que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la loi binomiale B(60 ; 0,8) est l'intervalle [0,08 ; 0,9]. xercice (voir réonses et correction) Une société fabrique des boîtes en lastique de deux couleurs : des vertes et des bleues. La fabrication est automatisée et la machine est réglée à un niveau de 4 % de boîtes vertes et 58 % de boîtes bleues, corresondant à la demande du marché. Un test est fait sur un échantillon de 80 boîtes rélevées au hasard. ) L'échantillon comorte autant de boîtes bleues que de boîtes vertes. La machine est-elle déréglée? ) À artir de combien de boîtes bleues et de boîtes vertes obtenues sur un échantillon de 80 boîtes doiton enser que la machine s'est déréglée? htt://xmaths.free.fr ère robabilités Loi binomiale - Échantillonnage age 0 / 0