Mécanique du point : forces Newtoniennes (PCSI)

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1 écanique du oint : foces Newtoniennes (PCSI Question de cous On admet que, losqu'il est soumis à une foce Newtonienne F K u, la tajectoie d'un cos est lane et décite a mc K +e cosθ où C θ est une constante du mouvement. Etabli l'exession de l'énegie mécanique en fonction de e, K, m et C. Enegie otentielle : E K Enegie cinétique : K mc ( + e cosθ et E c mv d v ṙ + θ θ + θ dθ ( d + C dθ 4 ( mc K ( m C 4 K ( K ( e sinθ mc ( + e cosθ + K e sin θ ( + e cosθ 4 + m C 4 K + e cosθ ( + e cosθ m C e sin θ + K m ( + e cosθ C K ( e m C sin θ + e cos θ + + ecosθ K ( e m C + + e cosθ ( K mc e + + e cosθ Enegie mécanique : E c + E ( K mc e C 4 C K 4 m 4 ( + e cosθ4 C8

2 Question de cous On considèe un objet soumise à une foce Newtonienne F K u. ontez que sa tajectoie est égie a une équation de la fome +e cosθ. Execice Paamète d'imact Une météoite aive deuis l'inni ves la Tee avec une vitesse v 0. On note b le aamète d'imact comme indiqué su la gue ci dessous. L'objectif de ce oblème est de détemine la valeu minimale de b ou laquelle la météoite évite la collision avec la Tee.. La météoite n'est soumise qu'à l'attaction gavitationnelle de la Tee. Déteminez la natue de sa tajectoie. ontez que le mouvement est lan et déteminez une elation ente et θ.. On note N le oint de la tajectoie auquel la distance qui séae la météoite de la Tee est la lus etite. ontez qu'en N, la vitesse est uniquement suivant u θ. En déduie une elation ente la vitesse v N au oint N, la distance ON, b et v En utilisant la consevation de l'énegie, montez la elation 0 min v 0 + G T min v 0b 4. En déduie l'exession minimale b c du aamète d'imact telle que ou b < b c, la météoite fae la Tee et ou b > b c, la météoite évite la Tee. Inteêtez.. Seule foce considéée : F G T m u dont le moment a aot à T vaut F 0 donc le TC donne v cste. Le fait que la diection de v soit constante imlique que ces deux vecteus sont toujous contenus dans le même lan (ca v est othogonal au lan qui les contient tous les deux donc le mouvement est lan. D'aute at, en coodonnées olaies, v ( u (ṙ u + θ u θ θ u z donc θ cste. on eut calcule m v m θ m 0 v 0 m ( x 0 ux b u y (v 0 ux mbv 0 uz donc θ v 0 b. v ṙ u + θ u θ et au oint le lus oche, ṙ 0 ca est minimal donc v N θ min uθ v0b uθ min. 3. E m mv 0 mv N G T m min m v 0 b G min T m min donc 0 min v 0 + G T min v0b 4. La valeu citique coesond à min R T donc v 0 b c R T v 0 + G T R T ie b c R T + G T R T v 0 R T + v lib v 0 Daniel Suchet - 0

3 Execice Extinction des Dinausoes Il y a de cela envion 65 millions d'années, les dinosaues et de nombeuses autes esèces vivantes ont été victimes d'une extinction massive et butale. Pami les diveses hyothèses oosées, la lus communément admise est celle de l'imact d'une comète à la suface de la Tee. Cet execice oose d'étudie la vitesse que eut avoi une telle comète los de son imact avec la Tee. Un ensemble d'astéoïdes de faible dimension se touve vaisemblablement éati dans le système solaie au dela de l'obite de luton. La masse de ces astéoïdes (nuage de Oot eésente envion le ties de la masse totale des 9 lanètes du système solaie. Losqu'un de ces astéoïdes est susamment dévié de sa tajectoie quasi-ciculaie (a l'eet gavitationnel d'autes lanètes ou astéoïdes, il eut s'aoche à tès coute distance du soleil et end le nom de comète. Nous étudions ici une comète C de masse m, kg ayant ou tajectoie autou du soleil une ellise tès allongée. Elle est aussi caactéisée a une distance maximale au soleil d max 5.04 a où a est le ayon de la tajectoie suosée ciculaie de la Tee autou du soleil. On note T 0 la éiode du mouvement de la Tee autou du soleil.. Comment aelle t-on a? Que valent a et T 0?. Détemine numéiquement la vitesse v 0 de la Tee su son obite ciculaie autou du Soleil. 3. On note G la constante de gavitation univeselle et S la masse du Soleil. Exime le oduit G s en fonction de v 0 et a. 4. Les distances minimales et maximales de C au soleil sont notées d m et d. Exime, en fonction ded m, a, v 0 et d, les vitesses maximale v et minimale v m de C su son obite. On utilisea les elations de consevation. 5. Quelle elation doivent véie d m et a ou qu'un imact de C su la suface de la Tee uisse ête envisagé? En déduie une évaluation numéique de la lus etite valeu ossible de v. 6. On considèe d m a. Quelles sont les valeus extêmes ossibles de la vitesse elative de la Tee et de C (vitesse d'imact au moment du choc de C su la Tee? Execice ise en obite d'un satellite Dans le éféentiel géocentique (suosé galiléen, un satellite aticiel de masse m se délace suivant une obite ciculaie de ayon R + h autou du cente de la tee (h étant son altitude a aot à la suface teeste.. onte que la vitesse v est constante et donne sa valeu.. En déduie la éiode T du mouvement et elie la éiode T à l'altitude. Comment s'aelle cette loi? 3. Exime l'énegie cinétique et l'énegie mécanique du satellite ; quelle est la elation simle ente les deux? Commente le signe de l'énegie mécanique. 4. Un satellite est dit géostationnaie s'il est immobile a aot au éféentiel teeste. Quelle est alos sa éiode? En déduie son altitude h. 5. Un satellite est initialement immobile a aot à la tee, su une base de lancement située à une latitude λ. Une fusée lui founit un tavail W ou l'amene su son obite avec la vitesse initiale calculée écédemment. (a Quelle est l'énegie mécanique du satellite avant son lancement (on n'oubliea as de teni comte de la otation de la tee? (b Calcule le tavail W que la fusée doit founi au satellite. Où doit-on lace de éféence la base de lancement? 3 Daniel Suchet - 0

4 Execice Obite de tansfet de Hoffman Pou E m K a.. Patie. Etude d'un mouvement ciculaie. Un satellite de masse m est en obite ciculaie autou de la Tee à un altitude. On cheche à le faie asse à une obite ciculaie d'altitude. Pou cela, on asse a une obite de tansfet : losque le satellite atteint le oint P, on active endant un cous instant des fusées que font vaie sa vitesse de v P et le font asse su une obite ellitique, dite obite de Hohmann. Losque le satellite aive au oint A, on éactive les fusées ou faie vaie la vitesse de v A et faie asse le satellite su son obite nale. (a ontez qu'un mouvement est ciculaie si et seulement si il est décit à vitesse angulaie constante. (b Déteminez la nome et la diection de la vitesse du satellite su chacune de ses obites ciculaies. (c Déteminez l'exession de l'énegie mécanique su chacune des obites ciculaies.. Etude de la tajectoie ellitique. (a Raelez la fome généale de (θ. (b Déteminez dans le cas de l'obite de Hohmann la valeu de l'excenticité e. (c Déteminez l'exession de l'énegie mécanique su l'obite de Hohmann. 3. Etude du tansfet d'obite. (a Déteminez les valeus de v P et de v A. (b Déteminez le tems nécessaie ou que le satellite asse de l'obite à l'obite. ( +e cosθ, E m K mc (e K (e. Pou une ellise, a e + +e e (a Constante des aies : θ cste donc si cste (tajectoie ciculaie, θ cste. donc a v u (b Pou une tajectoie ciculaie, m v u m T G u donc v T G (c E m E c + E m T G. Patie (a +e cosθ (b On veut que min T Gm (c Su une ellise, E m G T m a 3. Tansfet m T G +e et max e donc +e e et a + donc E m G T m donc e A + (a En A: on veut asse de l'énegie de l'obite ciculaie : m T G à l'énegie de l'obite de Homan G T m. On doit donc founi l'énegie G T m m T G G T m G T m, ce qui coesond à un changement de vitesse v tel que E c ((v m + v v G T m ie v +v v G T 0 avec v T G, on touve v T G ± ( T G + G T T G ( + T G + donc 4 Daniel Suchet - 0

5 (b En B : En A: on veut asse de l'énegie de l'obite de Homan G T m à l'énegie de l'obite ciculaie : m T G à. On doit donc founi l'énegie m T G G T m G T m G T m ( + G T m, ce qui coesond à un changement de vitesse v tel que E c m (v (v v etc 5 Daniel Suchet - 0