( Mecanique des fluides )

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1 INSTITUT NTION GRONOMIUE ERTEMENT U GENIE RUR SECTION YRUIUE GRICOE YRUIUE GENERE ( Mecanique des fluides ) TRONC COMMUN ème NNEE atie : Statique des Fluides ( ydostatique ) atie : ynamique des Fluides ( ydodynamique ) a : Sellam Fouad

2 N U COURS I.- INTROUCTION I..- e Système d Unités SI I..- es opiétés des Fluides I...- es ensités a.- ensité de masse ou Masse olumique : b.- oids Spécifique : c.- ensité Relative : I...- es iscosités a.- a iscosité ynamique b.- a iscosité Cinématique II.- STTIUE ES FUIES : YROSTTIUE II..- Notion de ession II..- oi de ascal II..- Equation Fondamentale de l ydostatique II..- ispositifs de mesue de la pession II.5.- Foces de ession des Fluides su les Sufaces II...- Cas des Foces de ession execées pa les Fluides su des Sufaces lanes a.- Expession énéale de la Foce de ession b.- osition du point d application de la Foce de ession : c.- Cas d une suface veticale iaamme des pessions : II...- Cas des Foces de ession execées pa les Fluides su des Sufaces Coubes a.- Expession énéale de la Foce de ession b.- osition du point d application de la Foce de ession : III.- YNMIUE ES FUIES : ECOUEMENT NS ES CONUITES EN CRGE III..- es incipes de Base III...- incipe de Consevation de Masse ou Equation de Continuité III...- Equation Généale d Ecoulement ou Equation de Benoulli a.- Cas des Fluides afaits ( non visqueux ) b.- Cas des Fluides éels ( visqueux ) III...- es Réimes d Ecoulement : e Nombe de Reynolds III..- es etes de Cae III...- es etes de Cae inéaies ou Répaties a.- Notion de Ruosité des Conduites b.- ete de cae en éime laminaie : c.- ete de cae en éime tubulent : c..- Fomule de Colebook Wite : c..- Fomule de Blasius ( 9 ) : c..- iaamme de Moody : c..- Fomule de Cézy : III...- es etes de Cae ocales ou Sinulièes a.- Expession Généale d une ete de Cae Sinulièe b.- Cas d un élaissement busque de la section d écoulement : c.- Cas d un étécissement busque de la section d écoulement : d.- utes petes de cae sinulièes :

3 III..- pplications aticulièes de l Equation Généale d Ecoulement III...- Cas d un Ecoulement à taves un Oifice : Fomule de Toicelli III...- Cas d un Ecoulement à taves un tube de entui III..- Bancements de Conduites III...- Conduite à Section Constante ( Conduite simple ) a.- Sotie à l ai libe b.- Sotie immeée : III...- Conduites à Section vaiable ( Conduites multiples ) a.- Bancement en Séie b- Bancement en aallèle : c.- Conduite assuant un sevice de oute : d.- Bancement Mixte ( Séie et aallèle ) : 5

4 I.- INTROUCTION I..- e Système d Unités SI En mécanique des fluides, le système d unités SI ( Système Intenational ) compote unités pimaies à pati desquelles toutes les autes quantités peuvent ête décites : Gandeu de Base Nom de Unité Symbole imension onueu Mète m Masse iloamme k M Temps Seconde s T e tableau suivant ésume les unités SI des difféentes caactéistiques utilisées en mécanique des fluides : Caactéistique Unité SI imension itesse m/s, m.s - T - ccéléation m/s, m.s - T - Foce.m/s, N (Newton), k.m.s - MT - Eneie.m./s, N.m, J (Joule), k.m.s - M T - uissance.m /s, N.m/s, W (Watt), k.m.s - M T - ession /m/s, N/m, a (ascal), k.m -.s - M - T - Masse Spécifique /m, k.m - M - oids Spécifique /m /s, N/m, k.m -.s - M - T - iscosité /m/s, N.s/m, k.m -.s - M - T - I..- es opiétés des Fluides I...- es ensités a ensité d une substance est la quantité de matièe contenue dans une unité de volume de cette substance. Elle peut ête expimée de difféentes manièes : M a.- ensité de masse ou Masse olumique : Unités : k/m imensions : M - aleus aticulièes : Eau : ρ w = 000 k/m Mecue : ρ = 56 k/m W M b.- oids Spécifique : Unités : N/m imensions : M - T - aleus aticulièes : Eau : w = 98 N/m c.- ensité Relative : Mecue : = 9 N/m Elle epésente la masse spécifique d une substance expimée pa appot à celle d une substance de éféence : eau : Unité : dimensionnel ( sans unité ) aleus aticulièes : Eau : w = Mecue : =,6 I...- es iscosités a viscosité µ est une popiété d un fluide due à la coésion et à l inteaction ente les molécules qui pésentent une ésistance aux défomations. Tous les fluides sont visqueux et obéissent à la loi de viscosité établie pa Newton : du avec : Containte de défomation tanentielle dy 6

5 du : Gadient de vitesse d écoulement dy : iscosité dynamique Ils sont donc appelés Fluides Newtoniens a.- a iscosité ynamique du dy du dy Foce Suface itesse is tan ce FocexTemps Suface N. s. m k. m. s Remaque : est énéalement expimée en oise (o) : 0 o = k.m -.s - aleus aticulièes : Eau : =, x 0 - k.m -.s - Mecue : =,55 k.m -.s - b.- a iscosité Cinématique Elle epésente le appot ente la viscosité dynamique et la masse spécifique d un fluide : Unité : m /s imension : T - Remaque : est énéalement expimée en Stokes (St) : 0 St = m.s - aleus aticulièes : Eau : =, x 0-6 m.s - Mecue : =,5 x 0 - m.s - a viscosité des fluides dépend en ande patie de sa tempéatue. e tableau suivant donne quelques valeus des viscosités cinématiques de l eau en fonction de la tempéatue : Tempéatue, C iscosité cinématique, m /s ( x 0-6 ) 0,790 5,50 0,0 5,0 0,00 5 0, ,80 5 0,7 0 0, , , ,96 II.- STTIUE ES FUIES : YROSTTIUE 7

6 II..- Notion de ession a pession est définie comme la foce execée pa un fluide pa unité de suface : F Unité : N/m ou k.m -.s - imension : M - T - S Remaque : a pession peut aussi s expime en : ascal ( a ) : a = N/m Ba ( Ba ) : Ba = 0 5 N/m II..- oi de ascal Considéons un élément d un fluide BCEF ( pisme tianulaie ) et soient x, y et s les pessions dans les diections x, y et s. Etablissons la elation ente x, y et s : - Selon la diection x : Foce due à x : F.( BFE) dydz Foce due à y : F 0 xx x x. yx dy Composante due à s : Fsx s.( BC.sin ) s. dsdz ds ca donc : Fsx s. dydz et puisque le fluide est en équilibe : F F F 0 d où : x.dydz - s. dydz 0 x s - Selon la diection y : Foce due à y : F.( CFE) dxdz Foce due à x : F 0 xx yx sx yy y y. xy dx Composante due à s : Fsy s.( BC.cos ) s. dsdz ca ds donc : Fsy s. dxdz et puisque le fluide est en équilibe : Fyy Fxy Fsy 0 d où : y.dxdz - s.dxdz 0 y s et finalement : x y s dy sin ds dx cos ds Conclusion oi de ascal : a pession d un fluide en un point est la même dans toutes les diections 8

7 II..- Equation Fondamentale de l ydostatique Soit un élément de fluide de masse spécifique ρ epésentant une colonne veticale de section tansvesale constante. Considéons sections situées à des distances et pa appot à un plan de éféence OO. Soient et les pessions dans ces sections. - Expimons la vaiation de pession - : e fluide étant en équilibe, la somme des foces dans la diection veticale est donc éale à éo : Foce due à : F. Foce due à : F. Foce due au poids de la colonne du liquide : W m ( ) avec = olume de l élément considéé = ρ..( - ) Si l on considèe le sens positif ves le aut, la condition d équilibe s écit donc : F F W 0 ( ) 0 et donc : Remaques :.- oi de la statique des fluides ( ) et donc : C ste : oi de la statique des fluides.- En posant - = et = 0, On aua : 0 Et si 0 = 0 : Conclusion a pession aumente donc linéaiement en fonction de la pofondeu.- Ealité des pessions su un même plan oizontal : 9

8 Si l on considèe la diection oizontale, on aua : 0 0 ( ca la composante du poids W selon l oizontale est nulle ) Conclusion : Su un même plan oizontal, toutes les pessions sont éales (essions Isobaes).- ession effective et ession absolue : u point M, la pession est éale à : M o la suface libe du fluide, la pession est énéalement epésentée pa la pession atmospéique atm, d où : M : ession bsolue atm Et si l on nélie l influence de la pession atmospéique ( atm = 0 ) : M : ession Effective 5.- Cae piézométique, auteu piézométique : On a vu que : ste C avec : : auteu de position ou côte éométique : auteu piézométique : auteu ou cae totale 6.- Notion de auteu du vide : ans cetains cas, la pession absolue est inféieue à la pession atmospéique : M atm atm Il se cée alos une dépession dont la auteu coespondante, appelée auteu du ide, est éale à : 0

9 vide atm abs 7.- Sinification éneétique de l équation de la statique des fluides : ste On a vu que : C E p Si l on multiplie les temes de cette équation pa le poids élémentaie m, on aua : m m me p avec : Nm m : Eneie potentielle de position m Nm : Eneie potentielle de pession me p Nm : Eneie potentielle totale II..- ispositifs de mesue de la pession e dispositif utilisé dépend de l impotance des pessions à mesue. Il existe types de dispositifs de mesue des pessions : es tubes manométiques : utilisés pou la mesue de pessions elativement faibles ( en laboatoies ) es manomètes mécaniques : utilisés pou la mesue de pessions elativement plus élevées ( à /cm ) Mesue des pessions pa les tubes manométiques :

10 .- e tube manométique simple ou piézomète : B Remaque : et B sont appelées essions Manométiques et sont appelées auteus Manométiques C est un dispositif utilisé uniquement pou la mesue des pessions des iquides et non les az b.- e tube manométique en fome de : Il s ait d un dispositif utilisé pou la mesue des pessions dans les liquides et les az. On a : B = C atie Gauce : B atie oite : C m atm m uisque l on mesue une pession manométique, on soustait donc atm : C m et comme B C m m Remaque : - Si le fluide de densité ρ est un az, sa densité est nélieable devant celle du liquide manométique : m m.- Mesue de la difféence de pession pa un manomète en U :

11 oblème : Calcul de la difféence de pession B : On sait que : C = Bance de Gauce : C Bance de oite : ( ) B B m et comme C B ( ) ( ) ( ) B m B B m et si le fluide est un az ( ρ m >> ρ ) : B m.- Manomète à Eau et manomète à Mecue : es manomètes à eau sont utilisés pou mesue des pessions elativement faibles ca leu utilisation pou les fotes pessions conduiait à l élaboation de tubes de dimensions top exaéées. C est pou cela, et compte tenu de sa densité élevée, que l on péfèe utilise du Mecue comme liquide manométique. Illustation : uelle seait la auteu manométique donnée pou mesue une pession = 0 N/m : a.- ans le cas d un manomète à eau b.- ans le cas d un manomète à Mecue * Cas de l Eau : w w 0.0 9,8.0,m! * Cas du Mecue : 0.0 9,8.56 0,9m! II.5.- Foces de ession des Fluides su les Sufaces

12 II...- Cas des Foces de ession execées pa les Fluides su des Sufaces lanes a.- Expession énéale de la Foce de ession Soit une suface plane B inclinée d un anle α pa appot à l oizontale et immeée dans un fluide de densité massique ρ et C son cente de avité. Etablissons l expession de la foce Résultante F des foces execées pa le fluide su la suface B ( voi diaamme des foces execées ) : Considéons pou cela la foce élémentaie df s exeçant su une suface élémentaie d : df d ( atm ) d atm d d a foce ésultante F est éale à l intéale de df su toute la suface B : F d d d o, F atm ysin d ou : atm y sin d atm sin yd e teme yd epésente le Moment Statique de la suface B pa appot à Ox : yd yc avec y c : Odonnée du cente de avité de la suface B. expession de F devient : et comme F y c c F atm sin y sin : ofondeu du cente de avité de la suface B : atm c En énéal, la pession atm est néliée et donc l expession finale de F devient : c F Remaque : En ydostatique, ρ = ρ w ( Eau ) : F c w c b.- osition du point d application de la Foce de ession : éteminons, la pofondeu du point d application de la foce ésultante F : ou cela, utilisons le pincipe des moments : o F B i

13 avec : F F. o y et i ydf y. y sin d y sin d sin B B B B B le teme B Ox = I ox y d On aua donc : epésente le Moment d Inetie de la suface B pa appot à l axe sin y sin I Et donc : ox y Remaque : Utilisation du téoème de uyens : Ce téoème nous pemet d écie que : I ox I cc yc avec : I cc : Moment d inetie de la suface B pa appot à un axe passant pa son cente de avité C. ans ce cas, la fomule pécédente devient : y y I cc oo c ou bien c ' y c c avec : - : ojection veticale de la suface B - I oo : Moment d inetie de la suface pa appot à l axe passant pa son cente de avité. Conclusion : e point d application de la ésultante F se touve toujous plus bas que le cente de avité d une distance éale à : e tableau suivant ésume les moments d inetie de quelques sufaces paticulièes : I c I oo ' I y c y ox d c.- Cas d une suface veticale iaamme des pessions : 5

14 Soit une plaque B plane veticale etenant une auteu d eau. e scéma epésente le diaamme des pessions execées su la suface B. Expimons la ésultante F des foces de pessions su la suface B de façons difféentes :.- apès le diaamme des pessions : e diaamme des pessions est epésenté pa un tianle dont la suface est éale à la ésultante des foces de pessions : F. et F passe pa le cente de avité du tianle, d où :.- apès les fomules de l ydostatique : F c.ml et : Ioo. c c 6. II...- Cas des Foces de ession execées pa les Fluides su des Sufaces Coubes a.- Expession énéale de la Foce de ession 6

15 Soit une paoi coube B etenant un fluide de densité massique ρ. Soit un élément d de la suface B situé à une pofondeu et su lequel s exece une foce élémentaie df qui se décompose en foces : - Une foce df x, aissant su la suface d z pojection de d su l axe z. - Une foce df z, aissant su la suface d x pojection de d su l axe x. On sait que : df d d où : df x df. sin d sin d z ca d sin d z df z df. cos d cos d ca dcos d x x d où : df x F d z c z z avec : z : ojection veticale de la suface coube B. c z F CONCUSION : e calcul de la composante oizontale F est amené au calcul d une foce de pession su une suface plane veticale. e même : df z W F d dw W v x x W F v vec W : olume délimité pa : a suface coube B a suface libe du fluide es veticales menées des extémités et B de la suface. CONCUSION : e calcul de la composante oizontale F se ésume donc au calcul du oids du fluide epésenté pa le volume déplacé pa la suface B. e calcul des composantes F et F pemet ensuite de détemine la ésultante F pa l expession suivante : F F F Remaque : Selon que la suface B en contact avec l eau est concave ou convexe, on aua : 7

16 b.- osition du point d application de la Foce de ession : e point d application de la ésultante F est obtenu si l on connaît les composantes F et F. ans le cas énéal, il fauda établi l équation de la coube B et celle du sement epésentant la foce F ( équation d une doite ) en tenant compte que l anle d inclinaison de la foce ésultante F pa appot à l oizontale est obtenu pa la fomule suivante : act F F v Fin de la atie Statique des Fluides ydostatique 8

17 III.- YNMIUE ES FUIES : YROYNMIUE III..- es incipes de Base III...- incipe de Consevation de Masse ou Equation de Continuité e pincipe de continuité expime la consevation de masse, ce qui sinifie qu aucun fluide ne peut ête céé ni dispaaîte dans un volume donné : Notion de débit d écoulement : e débit d écoulement s expime pa les elations suivantes : : ébit volumique ( volume pa unité de temps ), Unité SI = m/s : ébit massique, Unité SI = /s m Etant donné que le débit d écoulement este constant ( mouvement pemanent ), équation de continuité ste s écit donc : C III...- Equation Généale d Ecoulement ou Equation de Benoulli a.- Cas des Fluides afaits ( non visqueux ) équation de Benoulli expime que, tout le lon d un filet liquide en mouvement pemanent, l éneie totale pa unité de poids du liquide este constante ( d/dx = 0 ). apès le scéma, on peut donc écie que : 9

18 v v C ste Cette équation s écit donc dans le cas énéal : v ste C : Equation de Benoulli pou un Fluide afait b.- Cas des Fluides éels ( visqueux ) Contaiement au fluide pafait non visqueux, la cae pou un fluide éel visqueux diminue dans la diection de l écoulement ( d/dx < 0 ). Ceci est du à la natue visqueuse dy fluide qui dissipe une patie de l éneie: cette pete d éneie est appelée ete de cae. a epésentation apique en cas de fluide éel est donc monté pa le scéma suivant : équation de Benoulli, pou un liquide éel, devient donc ( voi scéma ) : v v w : Equation de Benoulli pou un Fluide Réel avec : w : ete de cae totale ente les sections et. Selon l oiine des petes de cae, on distinue : a pete de cae pimaie ou épatie, noté, qui est la conséquence de la viscosité du fluide et de la uosité des paois de la section d écoulement a pete de cae secondaie ou locale ou sinulièe, noté s, qui est la conséquence d une modification busque dans la natue pysique de la section d écoulement ( élaissement, étécissement, canement de diection, etc ). a pete de cae totale est donc la somme des petes de cae épatie et sinulièe : w s 0

19 III...- es Réimes d Ecoulement : e Nombe de Reynolds es écoulements sont classés en éimes pincipaux : aminaie et Tubulent sépaés pa une pase tansitoie appelée éime citique ou caactéise ces éimes d écoulement, on intoduit un nombe adimensionnel, appelée Nombe de Reynolds, noté R e et calculé pa la fomule : R e avec : = itesse moyenne d écoulement = / = iamète de la section d écoulement ( ciculaie ) ν = iscosité cinématique du fluide = µ/ρ µ = viscosité dynamique du fluide En intoduisant l expession du débit et de la section d écoulement ( ciculaie ), le nombe de Reynolds s écit : R e es limites du Nombe de Reynolds définissant les difféents éimes d écoulement peuvent ête ésumées comme suit : R 000 : e éime est MINIRE e 000 R 000 : e éime est CRITIUE ou TRNSITOIRE e R 000 : e éime est TURBUENT e III..- es etes de Cae III...- es etes de Cae inéaies ou Répaties a.- Notion de Ruosité des Conduites Contaiement à une suface lisse, une suface uueuse implique un état de suface dont les iéulaités ont une action diecte su les foces de fottements. Une suface uueuse peut ête considéée comme étant constituée pa une séie de potubéances élémentaies caactéisées pa une auteu, notée k, et appelée Ruosité : fin de compae la uosité pa appot au diamète de la conduite, on intoduit le appot : k : Ruosité Relative Expession de la pete de cae due aux fottements : a pete de cae linéaie est calculée pa la fomule de acy Weisbac ( 857 ) : : Fomule de acy Weisbac ( 857 )

20 vec : - = iamète de la section d écoulement ( m ) - = onueu de la conduite ( m ) - = itesse d écoulement ( m/s ) - = Coefficient de fottement ( sans unité ) lusieus fomules sont poposées pou le calcul de et dépendent du éime d écoulement : b.- ete de cae en éime laminaie : R e < R e c.- ete de cae en éime tubulent : R e > 000 lusieus fomules de calcul du coefficient λ sont poposés pa difféents auteus : c..- Fomule de Colebook Wite : Cette fomule monte que λ peut ête influencée pa :.- a Ruosité de la conduite à taves le teme k/ : ans ce cas [ λ = f ( k/) ], on palea d un Ecoulement ydauliquement Ruueux et la fomule de Colebook Wite devient :.- a iscosité du fluide à taves le teme R e : ans ce cas [ λ = f (R e ) ], on palea d un Ecoulement ydauliquement isse et la fomule de Colebook Wite devient :.- a Ruosité de la conduite et la iscosité du fluide en même temps : Il s ait dans ce cas d un éime de tansition ou l on a : λ = f (R e ;k/ ) ou l on utilise la fomule complète de Colebook-Wite pou le calcul de λ.

21 c..- Fomule de Blasius ( 9 ) : 0,6 Cette une fomule poposée pou : Re < 0 5 : 0, 5 R e c..- iaamme de Moody : es tavaux de Nikuadse su les petes de cae dans les conduites ont pemis d élaboe un apique ( iaamme de Moody ) pemettant de détemine le coefficient λ en fonction de R e pou les difféents types d écoulement et des uosités elatives k/ allant de /0 à /0 : e diaamme pemet d obseve et d identifie plusieus éions :.- one à Ecoulement aminaie : R e < 000 λ = f(r e ).- one de tansition : 000 < Re < one de Tubulence isse : λ = f(r e ).- one de Tubulence Tansitoie : λ = f(r e ;k/) 5.- one de Tubulence Ruueuse : λ = f(k/) c..- Fomule de Cézy : a fomule de Cézy est inspiée de celle de acy-weisbac : En intoduisant la notion de Rayon ydaulique R éal au appot ente la suface et le péimète d écoulement : R R R 8 a fomule de la pete de cae devient : R et comme : J : ente ydaulique J 8 R 8 RJ RJ 8 En posant : C : Coefficient de Cézy, on obtient finalement : C RJ 8 ou bien, en intoduisant le ébit : C RJ e plus, Cézy popose la fomule empiique suivante pou le calcul de C :

22 R / k 6 C avec : k = uosité de la conduite ce qui donne : R k / 6 R / J / k R / J / et comme = π / / et R = / : J k / 8 / / 8 / J 5 / 5 / / k k / en posant : k 8/ 5 / : Module de ébit ( /S ) on obtient : et donc : Remaque : - ou teni compte des petes sinulièes, on majoe en énéal de 0 % - ou teni des vaiations de vitesse,on intoduit le coefficient de vitesse donné pa des tables : β=f() Et la fomule énéale s écit donc :, w III...- es etes de Cae ocales ou Sinulièes a.- Expession Généale d une ete de Cae Sinulièe En plus de petes de cae linéaies, la pete de cae sinulièe se poduit localement au niveau d une modification busque de la natue pysique de la section d écoulement. Elle se calcule pa la fomule énéale suivante : s s vec : ξ s = Coefficient qui dépend de la natue de la défomation a.- Cas d un élaissement busque de la section d écoulement : ans ce cas : seb seb

23 Remaque : Cas paticulie d une sotie ves un ésevoi : ans ce cas, le teme conduite, et la fomule pécédente devient : tend ves zéo du fait que la section du ésevoi est tès ande devant celle de la so so b.- Cas d un étécissement busque de la section d écoulement : a fomule de calcul s écit : sb b vec : ξ b = Coefficient due au étécissement busque donné pa le tableau suivant : / 0, 0,5 0,7 ξ b 0, 0, 0, Remaque : Cas paticulie d une sotie à pati d un ésevoi : Fomule de calcul : sen en vec : ξ en = 0,5 5

24 c.- utes petes de cae sinulièes : autes types de petes de cae peuvent avoi lieu dans les conduites : Coudes annes Cépine, etc Exemple : Cas d un coude : III..- pplications aticulièes de l Equation Généale d Ecoulement III...- Cas d un Ecoulement à taves un Oifice : Fomule de Toicelli pplication de l équation de Benoulli ente les sections - et - pa appot à l axe de éféence O-O : - Section - : * = * = atm * = 0 - Section - : * = 0 * = atm * = On aua donc : atm atm 0 0 w Si nous nélieons les petes de cae : w = 0, l équation devient : et donc : : Fomule de Toicelli Si nous passons au débit d écoulement à taves l oifice : ' avec = Section contactée de l écoulement ' En posant = m avec m = / = Coefficient de contaction de l écoulement ' m avec : - m 0,597 ou fomule empiique : m 0,59 6,5 R e

25 7 III...- Cas d un Ecoulement à taves un tube de entui e débitmète de entui est un appaeil qui utilise l équation de Benoulli pou mesue le débit dans les conduites, et ce à l aide d une simple mesue des pessions et : a appot à OO, l équation de Benoulli appliquée ente les sections et donne : - Section : * * * - Section : * * * On aua donc : w Si nous nélieons les petes de cae : w = 0 : Comme l équation de continuité nous pemet d écie que : onc : Et finalement : Et comme = : Remaque : ans la plupat des cas, le débitmète de entui est placé oizontalement ce qui fait que = et donc : = 0 et la fomule pécédente se simplifie :

26 8 et si on intoduisait les diamètes d et d des sections : d : d d d III..- Bancements de Conduites III...- Conduite à Section Constante ( Conduite simple ) a.- Sotie à l ai libe On se popose d établi l expession du débit d écoulement du système : pplication de l équation de Benoulli ente les sections et pa appot à OO : - Section : * * = atm * = 0 ( niveau constant ) - Section : * * = atm * = w w atm atm 0 en en w et donc : en et comme le débit : : en

27 b.- Sotie immeée : On se popose d établi l expession du débit d écoulement du système : pplication de l équation de Benoulli ente les sections et pa appot à OO : - Section : * = * = atm * = 0 ( niveau constant ) - Section : * = 0 * = atm * = 0 ( niveau constant ) atm w 0 atm 0 en w so w en so et donc : en et comme le débit : : so en so 9

28 0 III...- Conduites à Section vaiable ( Conduites multiples ) a.- Bancement en Séie Equation de Benoulli ente les sections et pa appot à OO : - Section : * * = atm * = 0 ( niveau constant ) - Section : * * = atm * = 0 ( niveau constant ) w w atm atm 0 0 so eb en so eb en w O, so eb en so eb en et donc : so eb en

29 et le débit coespondant : so eb en Remaque : Simplification des Calculs : Utilisation de la fomule de Cézy : On a vu que la fomule de Cézy s écit : w, ppliquée au système du scéma pécédent, elle donne ( en considéant β =,0 et en nélieant les petes sinulièes ) : w et comme = = : et donc : Conclusion : Cas de n conduites placées en séie : - es petes de cae s ajoutent : w = + + n - es débits sont éaux : = = = = n Et la fomule énéale de calcul s écit : n i i b- Bancement en aallèle : Equation de Benoulli ente les sections et pa appot à OO : - Section : * = * = atm * = 0 ( niveau constant ) - Section : * = 0

30 * = atm * = 0 ( niveau constant ) ans ce cas, on a vu que l équation de Benoulli donne : w ans le cas d un bancement en paallèle : - es petes de caes sont éales : = = w - es débits s ajoutent : = + O, la fomule de Cézy nous pemet d écie que : et d où : et comme : = = w = ( Equation de Benoulli ) : et d une manièe énéale : n i i c.- Conduite assuant un sevice de oute : e scéma epésente une conduite de lonueu sevant à la fois à Tansite un débit et distibuant unifomément tout le lon un débit de Route q ( m/s/m ). Ce système peut ête assimilé au cas d une conduite équivalente de même onueu et dans laquelle passea un ébit calculé pa la fomule : t 55 0, et la pete de cae coespondante est calculée en fonction de ce débit pa la fomule : t w 0,55 Remaque : Cas d un débit d alimentation complètement consommé en sevice de oute : ans ce cas, cela veut die qu il n y aua pas de débit de tansit en fin de conduite et donc t = 0 et pa conséquent la fomule pécédente devient : w 0,55

31 d.- Bancement Mixte ( Séie et aallèle ) : ou ce système on peut écie les équations suivantes : - = w ( Equation de Benoulli ) - = = + = - = ( Conduites en paallèle ) Expimons les petes de cae à l aide de la fomule de Cézy : ; ; ; Comme on a : = = et et comme : = + : ce qui donne : et finalement, puisque : = w = + + : et donc :