- Cours de mécanique - STATIQUE

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1 - Cous de mécanque - STTIQUE

2 SOMMIRE. GENERLITES 5.. RPPELS DE NOTIONS DE PHYSIQUE REPERE, CONVENTIONS REPÈRE DE L STTIQUE 6.3. SOLIDE RÉEL SOLIDE DÉORMLE SELON UNE LOI CONNUE : (HYPOTHÈSE DE L R.D.M.) OJET DE L STTIQUE DÉINITION D UN SOLIDE RIGIDE OU SOLIDE INDÉORMLE DÉINITION D UN SYSTÈME MTÉRIEL OJET DE L STTIQUE 8. CTIONS MECNIQUES 9.. DÉINITION D UNE CTION MÉCNIQUE CLSSIICTION DES CTIONS MÉCNIQUES CLSSIICTION SELON L NTURE PHYSIQUE DES CTIONS : 9... CLSSIICTION SELON LEUR POSITION PR RPPORT U SYSTÈME MTÉRIEL ISOLÉ CTIONS DISTNCE cton de la pesanteu : utes actons à dstance..4. CTIONS DE CONTCT cton ponctuelle cton lnéque cton sufacque..5. ORCE..5.. Mesue et unté des foces :..6. MOMENT D'UNE ORCE..6.. Défnton..6.. Conventon de epésentaton d'un vecteu moment su un système d'axes plan : Méthode patque de calcul des coodonnées (ancennement composantes) du VECTEUR moment Calcule le bas de leve 3.3. MODÉLISTION DE L'CTION MÉCNIQUE D'UNE ORCE PPLIQUÉE SUR UN SOLIDE : NOTION DE TORSEUR MODÉLISTION DE L'CTION MÉCNIQUE D'UN SYSTÈME DE ORCES SUR UN SOLIDE TORSEURS PRTICULIERS COMMENTIRES SUR LE COUPLE 7.6. PPLICTION DE L RELTION ONDMENTLE CHRGE UNIORMÉMENT RÉPRTIE CHRGE RÉPRTIE LINÉIREMENT ÉQUIVLENCE DES SYSTÈMES D CTIONS CENTRE DE GRVITÉ DÉINITION COORDONNÉES DU CENTRE DE GRVITÉ CENTRE DE GRVITE DE SURCES ET VOLUMES USUELS LIISONS ENTRE SOLIDES CTIONS DE LIISON CINÉMTIQUE DES LIISONS DEGRÉ DE LIERTÉ: 6

3 5. LIISONS MECNIQUES CRCTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES DES CONTCTS CONTCT PONCTUEL CONTCT LINÉIQUE CONTCT SURCIQUE NOTION DE LIISON «PRITE» LIISONS ÉLÉMENTIRES EN ÂTIMENT Remaques pélmnaes : Modèle cnématque : Schéma mécanque : Lason de type «PPUI SIMPLE» : Lason de type «RTICULTION» : Lason de type «ENCSTREMENT» : TLEU RÉCPITULTI DES LIISONS EN ÂTIMENT PRINCIPE DES CTIONS MUTUELLES UN UTRE CLSSEMENT- ORCES INTÉRIEURES - ORCES EXTÉRIEURES : NOTION D ISOLEMENT CLSSIICTION SELON LEUR POSITION PR RPPORT U SYSTÈME MTÉRIEL ISOLÉ EXERCICE D PPLICTION PRINCIPE ONDMENTL DE L STTIQUE RPPEL DU PRINCIPE DE L INERTIE ÉNONCÉ DU PRINCIPE DE L STTIQUE CS DES PROLÈMES PLNS THÉORÈME DES CTIONS MUTUELLES ETUDE DE L'ÉQUILIRE EQUILIRE D UN SYSTEME MTERIEL RIGIDE DÉINITION D UN SYSTÈME MTÉRIEL RIGIDE RPPEL DU PRINCIPE ONDMENTL DE L STTIQUE THÉORÈME CONDITION NÉCESSIRE D ÉQUILIRE D UN SYSTÈME MTÉRIEL S PRINCIPE DE SUPERPOSITION DOMINE DE VLIDITÉ ORMULTION, ÉNONCÉ PROLÈME DE RÉSISTNCE DES MTÉRIUX : COMMENT DÉTERMINER L LÈCHE MXIMUM DNS UNE POUTRE SOUMISE À UN CS DE CHRGE COMPLEXE, MIS DÉCOMPOSLE EN CS SIMPLES REPRESENTTION DES CHRGES REPRTIES 54. NLYSE DE L STILITE D'UNE STRUCTURE. : DEINITION DU DEGRE D'HYPERSTTICITE D'UNE STRUCTURE PLNE COMPOSEE DE POUTRES OJET DÉINITION MODÉLISTION DE L STRUCTURE Modélsaton des lasons Modélsaton de la stuctue REMRQUE SUR L REPRÉSENTTION DES NOEUDS OÙ TOUTES LES RRES Y SONT RTICULÉES STRUCTURES CONSTITUEES DE RRES RTICULEES UX NOEUDS MECNISME EXEMPLES DE STRUCTURES (DEGRÉ D HYPERSTTICITÉ À DÉTERMINER)...65

4 . STRUCTURES ISOSTTIQUES DÉINITION D UNE STRUCTURE ISOSTTIQUE COROLLIRE THÉORÈME INVENTIRE DES STRUCTURES LES PLUS COURNTES COMPRISON DES STRUCTURES ISOSTTIQUES ET HYPERSTTIQUES...7. METHODES GRPHIQUES 73.. EXEMPLE D PPLICTION THÉORÈMES ONDMENTUX THÉORÈME POUR UN SOLIDE OU UN SYSTÈME MTÉRIEL RIGIDE SOUMIS À ORCES THÉORÈME POUR UN SOLIDE OU UN SYSTÈME MTÉRIEL RIGIDE SOUMIS À 3 ORCES PPLICTION U PROLÈME PROPOSÉ LORSQUE LE SYSTÈME MTÉRIEL ÉTUDIÉ, ICI LE SOLIDE DE NOTRE EXEMPLE, EST SOUMIS À 4 ORCES DONT DE CONNUES, IL EST POSSILE D UTILISER LE THÉORÈME PRÉCÉDENT UTRE CS PRTICULIER : LE SYSTÈME ÉTUDIÉ EST SOUMIS À 4 ORCES DONT UNE PRITEMENT CONNUE, POUR LES 3 UTRES SEUL LEUR SUPPORT EST CONNU NOTIONS SUR LE ROTTEMENT DÉINITIONS MISE EN ÉVIDENCE EXPÉRIMENTLEMENT. ETUDIONS L ÉQUILIRE D UN SOLIDE EN ORME DE PRLLÉLÉPIPÈDE RECTNGLE NOTÉ SOLIDE ET POSÉ SUR UN PLN INCLINLE CS DU PLN HORIZONTL ÉTT CS DU PLN INCLINÉ D UN NGLE α SUR L HORIZONTLE cas α< ϕ ( P m g R ) adhé, on sole, nventae des actons =, / cas α = ϕ adhé, c est l équlbe lmte cas α> ϕ adhé, le solde est en mouvement UTRE EXPÉRIENCE : SOIT LE MÊME SOLIDE POSÉ SUR UN PLN HORIZONTL ET SOUMIS À UNE ORCE D INTENSITÉ VRILE. ON CONSTTE QU IL EXISTE UNE VLEUR LIMITE l, TELLE QUE SI < l LORS LE SOLIDE EST EN ÉQUILIRE, ET SI > l LE SOLIDE EST EN MOUVEMENT LOI DU ROTTEMENT DITE DE COULOM CONCLUSION ICHE SYNTHESE DEGRÉ D HYPERSTTICITÉ : UTRE MÉTHODE DE DÉTERMINTION 9

5 . GENERLITES PHYSIQUE.. RPPELS DE NOTIONS DE PHYSIQUE On utlsea les notons suvantes dédutes de la physque Réféentel = epèe généalement chos othonomal (ancennement désgné othonomé)+ un epèe de temps Repèe hélocentque : epèe dont l ogne est stuée au cente du solel, et dont les axes pontent ves 3 étoles que l on consdèe comme fxe. Repèe géocentque : epèe dont l ogne est stuée au cente de la tee, et dont les axes estent constamment paallèles à ceux du epèe hélocentque. Repèe de Copenc epèe attaché au cente d nete du système solae(donc tès pès du cente du solel) et dont les axes pontent ves 3 étoles fxes. Réféentel galléen. Les Réféentels galléens sont des éféentels patcules ou le pncpe d nete est applcable. Les éféentels hélocentque, géocentque et de Copenc sont de tès bonnes appoxmatons du éféentel galléen. Pncpe d nete : Tout cops este mmoble ou en mouvement ectlgne et unfome s aucune foce ne s exece su lu. Pncpe de elatvté : les los de la physque estent les mêmes dans n mpote quel éféentel galléen. Cente de masse, le cente de masse se désgne auss pa le cente d nete. On appelle cente de masse d un solde ndéfomable S, le baycente G de tous les ponts matéels M affectés de coeffcents espectfs n m. ( m epésente la masse du pont matéel M.), m= m n Défnton du baycente G : mgm = = = n n mgm = avec GM = G + M = M G étant un pont quelconque m. M = m. G = n m M. G = = m x G n n m. x m. y m. z = = = = yg = zg = m m m Pa appot à un epèe, les coodonnées de G s obtennent pa les elatons : n S le solde S peut ête décomposé en soldes élémentaes dont on connaît leu cente de masse espectfs G, on peut éce : n m= m m. G = m. G G = m. G n = = = m n S Ω est une suface géométque, en toute gueu G devat s appele cente de suface. Le cente de gavté est le pont d applcaton du pods, s on admet (c est une smplfcaton) que le champ de pesanteu est unfome au vosnage de la tee (en toute gueu, le champ de pesanteu g est un vecteu dgé ves le cente de la tee, ces vecteus ne sont pas paallèles n de même ntensté, comme le solde étudé est de pette dmenson, on consdèe le même vecteu g pou tous les ponts du solde étudé), alos le cente de gavté et le cente de masse sont confondus. Défnton d un système matéel Un système matéel S est un ensemble de patcules M, un mleu qu peut ête consdéé comme contnu ou dscet (nous étudeons des systèmes à baes, c est-à-de des systèmes composés de baes et éventuellement de câbles toujous tendus. Ces éléments sont lés ente eux aux ponts de concous que l on nomme nœud. On nomme ces systèmes matéels : stuctue, ossatue, tells losque les nœuds sont des atculatons,. C est une quantté de matèe, homogène ou non, dont la masse este constante pendant son étude. On appelle confguaton à l nstant t, notée S t t, le domane défn pa l ensemble des postons M des patcules M de S à l nstant t. Chos un système matéel consste à dvse l unves en deux pates : d une pat, le système matéel consdéé, objet de l étude ; d aute pat, l extéeu, c est-à-de tout ce qu n est pas le système consdéé. Il est tès mpotant au début de toute étude de ben le délmte, d nventoe tous les éléments qu font pate du système consdéé afn de le défn tès pécsément. Il convenda de l sole fctvement pa la pensée. Nous pécseons, dans le cous qu sut, les dfféents systèmes matéels. = - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 5/93

6 .. REPERE, CONVENTIONS... epèe de la statque Le epèe de éféence utlsé en statque est un epèe othonomal lé à la tee qu peut ête consdéé comme galléen avec une bonne appoxmaton: Dans toute la sute du cous de mécanque, on penda comme epèe de l'espace, le REPERE ORTHONORML DIRECT ( ancennement nommé othonomé ) suvant: z y O x Repèe: ( Oxyz,,, ) ( ) ou O,, jk, O est l'ogne du epèe. En statque plane, le epèe aua les dfféentes epésentatons c-dessous: y x Les vecteus x, y, z sont othogonaux et untaes. x = y = z = x. y = y. z = z. x = Le epèe est dect x y = z y z O x y O z x O En généal, nous tavalleons dans le plan epésenté pa le tableau ou la feulle de pape, nous utlseons la epésentaton de gauche, dans laquelle l'axe des Z est pependculae à la feulle. epèe dect, sens postf: Nous seons amenés à défn des déplacements (tanslatons, otatons) dans l'espace ans que des pojectons de gandeus mécanques dveses dans le epèe dect. Pa conventon, nous pendons les sens postfs suvants: z pou les tanslatons: y pou les otatons: y z + + O + x z + O + + x Le chox du epèe en statque est tès mpotant, Les foces coespondant au pods pope, à la chage d explotaton et à la nege étant vetcales, l est ntéessant de chos l axe Y vetcal pou smplfe la détemnaton de leus coodonnées, de plus ce epèe est unque, l dot ête consevé pou toute la ésoluton du poblème. On le nomme epèe de la statque ou epèe global. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 6/93

7 .3. SOLIDE REEL C'est le solde tel qu'l appaaît éellement, l possède : - une masse constante - un volume dont les lmtes vaent sous l'acton d'un système de foces. Ex. : tous les cops dans la natue.4. SOLIDE DEORMLE SELON UNE LOI CONNUE : (HYPOTHESE DE L R.D.M.) C'est un solde qu possède : - une masse constante - un volume dont les lmtes vaent suvant une lo théoque connue. Ex : un essot P = k. L Lo de compotement du essot : Le essot à un compotement élastque L P L allongement du essot est popotonnel à P. k est la adeu du essot s = est appelé la souplesse du essot : L = sp k La ésstance des matéaux étude les matéaux dont le compotement est élastque. (ace, ).5. OJET DE L STTIQUE C'est l'étude de l'équlbe des ensembles de cops soldes dans leu géométe ntale; c est-à-de dans la stuctue non défomée pa appot à un epèe Galléen. Le solde sea consdéé comme nfnment gde..5.. Défnton d un solde gde ou solde ndéfomable Pa défnton, un solde gde est un cops supposé ndéfomable. Un solde ndéfomable possède une masse constante et un volume dont les lmtes sont nvaantes quelles que soent les actons extéeues auxquelles l est soums. Sot S un solde, les ponts et S, = cte. On peut l'expme en dsant que la dstance d( ), = cte ou nvaante. Un fl (câble) toujous tendu poua ête consdéé comme ndéfomable. (suspentes, haubans, tants, ).5.. Défnton d un système matéel On appelle système matéel, une quantté de matèe homogène ou non dont la masse este constante pendant son étude. Un système matéel peut ête consttué: - d'un pont matéel : cops de masse m et de dmensons néglgeables - d'un solde «défomable» : Ex.: une masse de flude compessble (gaz) ou ncompessble (eau) - d'un solde «ndéfomable» : Ex : une semelle de fondaton - d'un ensemble de soldes : Ex : un bâtment consttué de poutes, poteaux...que l on appelle ossatue ou stuctue. On appellea système de soldes ou système matéel (en géne cvl, on pale de stuctue ou d ossatue), un ensemble de soldes connectés ente eux, complètement ou patellement, pa dveses lasons et soums à un système de foces ou d actons mécanques. Un système mécanque est un ensemble destné à tansmette, tansfome ou stocke de l énege. On dstngue types de systèmes : - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 7/93

8 système matéel gde : losque les lasons sont telles que tout mouvement elatf d un des soldes pa appot aux autes est mpossble. Les systèmes utlsés pou les ouvages de géne cvl appatennent à cette catégoe. On les classea en systèmes sostatques ou hypestatques. Les déplacements ésultent des seules défomatons des éléments qu le consttuent. Dans ce cas, l énege mse en jeu appaaît sous fome d énege de défomaton. n = Un système matéel gde composé de n soldes sea noté : S = S = S + S S +... S n système matéel défomable : losque les lasons sont telles qu l pusse exste un mouvement elatf d un ou de pluseus soldes les uns pa appot aux autes. On utlse auss les dénomnatons suvantes : systèmes hypostatques ou mécansmes. Exemple : une pae de cseaux. Ces systèmes ne dovent pas ête utlsés en constucton GC. La fome sous laquelle est tansfomée l énege dépend de la cnématque de ces mécansmes Objet de la statque ae l'étude statque d'une stuctue c'est étude sa stablté extene, d'une pat en véfant qu'elle ne se compote pas comme un mécansme ( hypostatque ), et d'aute pat en détemnant les actons aux lasons (assemblages ente les dfféents soldes et ente la stuctue et la fondaton ou le sol, ces dfféents ponts sont des zones généalement sensbles des stuctues) ou dans une secton dote quelconque en céant une coupue vtuelle dans un des soldes. L'objet de la ésstance des matéaux est l'étude de la stablté ntene c'est à de la détemnaton des contantes et des défomatons à l'ntéeu de la matèe et les déplacements des lgnes moyennes des stuctues généés. Elle est basée su des hypothèses smplfcatces véfées expémentalement. Le solde est alos consdéé défomable selon une lo de compotement connue (pa exemple la lo de Hooke qu tadut le compotement élastque). Il possède toujous une masse constante, mas les lmtes du volume vaent de façon pévsble et quantfable en foncton des actons applquées. La statque et la ésstance des matéaux consttuent l'outl ndspensable de l'ngéneu constucteu pou concevo et éalse des ouvages économques qu ne squent n de se ompe n de se défome excessvement sous les actons qu leu sont applquées. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 8/93

9 . CTIONS MECNIQUES.. DEINITION D UNE CTION MECNIQUE On appelle acton mécanque toute cause susceptble de manten un cops au epos, de cée ou de modfe un mouvement, de défome un cops. L'état d'équlbe ou de mouvement du cops dépend de la natue des lasons mécanques avec le este de la stuctue. Le teme généal "acton mécanque" epésente sot une foce, sot un couple, sot les deux enttés pécédentes pésentes smultanément... CLSSIICTION DES CTIONS MECNIQUES... classfcaton selon la natue physque des actons : on dstngue : π acton à dstance (telles que celles execées pa le champ de gavtaton, ou de pesanteu, ce sont généalement des foces, elles sont communément dénommées chages pemanentes ou pods pope en géne cvl) π actons de contact (au nveau d une lason mécanque)... classfcaton selon leu poston pa appot au système matéel solé on dstngue ; π Les actons mécanques extéeues : actons qu execent, su les dfféents éléments du système solé, tous les soldes n appatenant pas au système matéel solé. (actons de contact qu s execent à la fontèe du système solé ou actons à dstance). Ce qu n est pas solé est souvent appelé le mleu extéeu. π Les actons mécanques ntéeues : ce sont les nte-effots qu execent les dfféents éléments du système solé les uns su les autes aux dfféents ponts de contact. Ces effots ntéeus peuvent ête des effots de cohéson tadusant la ésstance du matéau aux sollctatons. ttenton! Ces actons ne peuvent pas ête vsualsées donc epésentées. Elles n appaassent pas dans l nventae des actons los de l solement...3. CTIONS DISTNCE L acton mécanque ente soldes est dte à dstance s elle ne ésulte pas d une lason mécanque ente les soldes cton de la pesanteu : C'est l'acton mécanque execée pa la tee su un solde. L'acton de la pesanteu est appelée «pods», elle a pou caactéstques : - pont d'applcaton : cente de gavté du solde - decton : vetcale du leu Solde G P = mg - sens : ves le cente de la tee - ntensté : P = mg. P P = pods du solde en N (Newton) m masse du solde en klogamme m = ρ.v avec ρ : masse volumque, v : volume g = g 9, 8 m / s accéléaton de la pesanteu (on peut pende pou smplfe la valeu de g m / s ) Ex. : pou une masse P = 9, 8 multples N m = kn = N dan = N kg - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 9/93

10 utes actons à dstance Elles peuvent ête d'attacton ou de épulson mant - les actons magnétques ou électomagnétques ae métallque - les actons électostatques Ex : épulson..4. CTIONS DE CONTCT Une acton mécanque est dte de contact losqu elle ésulte d une lason mécanque ente au mons deux soldes. Tout contact ente deux soldes donne nassance à une acton de contact. Ex. : - un lve posé su une table acton de contact ente le polycopé de méca. et la table. - la table epose su le sol acton de contact ente la table et le sol. Cous de méca Table Les actons de contact peuvent ête classées en foncton du type de contact ente deux soldes : - actons ponctuelles - actons lnéques - actons sufacques cton ponctuelle cton applquée en un pont matéel, pa exemple une foce Ex.: l'acton d'une boule (sphèe) su un plan ponctuelle. L'unté de foce ponctuelle est N (Newton) Multples : dan,kn, MN boule / plan cton lnéque Exemple d une foce lnéque, foce applquée su un ensemble de ponts matéels fomant une lgne dote ou coube. L'unté de foce lnéque est : Ou multples : N / m dan / m,kn / m, MN / m Ex.: l'acton d'un cylnde su un plan p cton sufacque Exemple d une foce sufacque, foce applquée su un ensemble Ex.: l'acton d'un cube su un plan de ponts matéels fomant une suface. L'unté de l'acton sufacque est : Ou multples : dan / m,kn / m N / m, MN / m S p.losque la foce est toujous pependculae à la suface de contact, on nomme cette foce une pesson, celle-c peut ête d ntensté vaable (pesson de l eau su les paos du écpent)...5. ORCE - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n /93

11 Défnton d une foce. On appelle foce, l'acton mécanque qu s'exece mutuellement ente patcules élémentaes appatenant à deux soldes, pas focément en contact. Une foce est toujous applquée en un pont, elle est modélsable pa un vecteu (on dt auss un ponteu). Le vecteu est le concept ou objet mathématque utlsé pou epésente ( ou modélse ) la foce. Ce VECTEUR sea entèement défn pa les caactéstques suvantes: - pont d'applcaton - decton ( suppot ) - sens - nome ou ntensté ( teme spécfque de la mécanque) - unté légale de foce le Newton N On admetta que l acton mécanque, qu ésulte du contact de cops selon sufaces tangentes, est epésenté pa un vecteu (ponteu) applquée au pont de contact. Pou vsualse cette foce, l faut sole l'un des soldes en contact. Pa exemple, Sot soldes en contact au pont. / /..5.. Mesue et unté des foces : L'ntensté des foces est évaluée pa la mesue de défomatons. Les dynamomètes, nstuments destnés à mesue l'ntensté des foces, compennent une pate défomable et un dspostf d'évaluaton des défomatons. Gaduaton La taducton des défomatons en foces se fat pa étalonnage. Les étalons conventonnels sont défns pa le pods de soldes dont la masse est connue. Ex. : - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n /93

12 ..6. MOMENT D'UNE ORCE En statque, une foce peut ête epésentée pa un vecteu glssant (apès avo solé le système étudé, on peut déplace la foce su son suppot, le pont d applcaton n ntevent plus). La défnton du moment d'une foce est donc smlae au moment d'un vecteu. La seule noton de foce est nsuffsante pou epésente une acton mécanque. En effet suvant le pont d'applcaton d'une foce, un solde peut toune; ce mouvement peut ête assocé au moment de la foce en un pont. Losqu on vsse ou devsse un écou, losqu on vsse un te-bouchon, losqu on agt su le volant d une votue, le solde en queston tend à toune su lu-même ; l subt un mouvement de otaton, autou d un axe de otaton. Ce mouvement est de natue dfféente de la tanslaton, l a pou cause une acton de natue nouvelle, le moment Défnton On appelle moment pa appot au pont d'une foce applquée au pont, le vecteu d'ogne défn pa la elaton suvante : podut vectoel de et, l ode de ces deux vecteu est mpotante! M ( ) = M : Caactéstques de ( ) ogne le pont decton plan fomé pa le suppot de la foce et le pont sens tel qu un obsevateu tavesé pa le vecteu moment des peds ves sa tête vot toune la foce dans le sens tgonométque. M = d. ; ntensté: ( ) d = H est le bas de leve, c est la plus coute dstance ente et le suppot de la foce. M ( ) Il exste d autes expessons donnant l ntensté M ( ) =..sn β en emaquant que d H ( π ) = H d.sn β =.sn β = β M P On peut fae ccule la foce su son suppot c est un vecteu glssant, le moment est ndépendant de la poston du pont Conventon de epésentaton d'un vecteu moment su un système d'axes plan : L'essentel des poblèmes tatés en statque peut ête amené à des systèmes coplanaes (toutes les foces dans un même plan). Exemple : y ns, pou évte de epésente les vecteus moments (de decton pependculae au plan fomé pa les foces et le pont de calcul du moment) pa des pespectves, on adopte la conventon de epésentaton suvante : o + x y - Le moment d une foce ou d un système de foces pa appot à un pont est epésenté pa une flèche ncuvée dont le sens se appote au sens de otaton de la foce ou du système de foces autou du pont. - Le sens postf du moment coespond au sens tgonométque dect (angles postfs). o + M ( ) x - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n /93

13 Méthode patque de calcul des coodonnées (ancennement composantes) du VECTEUR moment: X Y Z x y z x y z On dspose les coodonnées sous fome de détemnants en commençant pa y y et Y et on détemne les dfféentes coodonnées du podut vectoel en calculant les détemnants d ode (dfféence des poduts des temes dagonaux). y y Y z z Z x x X y y Y L y Z z z Y = M( ) M = z z X x x Z N = x Y y y X ( y ) ( ) ( ) ( ) ( x ) ( ) Une deuxème soluton plus smple consste à consdée que les coodonnées sont postves, les sens des foces étant alos connus, on peut détemne le moment de celles-c, ca le sgne s en dédut vsuellement. Vo appels de Maths. S on se lmte à la statque plane, la défnton du moment la plus patque à utlse est la suvante: On appelle valeu algébque du moment d'une foce pa appot à un pont la gandeu égale au podut de la nome (ou ntensté) de notée pa la valeu du "bas de leve" d affectée du sgne défn pa la otaton autou de. ttenton! Il faut toujous commence pa détemne le sgne. Le sgne est détemné vsuellement, l faut compae le sens de otaton potentel ndut pa la foce autou du pont, avec celu du epèe de éféence. Su le epèe c-conte, le sens dect (toune de x ves y autou de z) condut au sgne postf et est matéalsé pa un ac oenté sumonté du sgne Calcule le bas de leve y O x Pou calcule le bas de leve Depus le pont, on abasse la pependculae su le suppot de la foce, sot H l ntesecton. d = d(, H) = H C est la plus coute dstance depus le pont au suppot de la foce. M = sgne. d ( ) ( ) Ic, avec > on éca la valeu algébque du moment : M = d - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 3/93

14 .3. MODELISTION DE L'CTION MECNIQUE D'UNE ORCE PPLIQUEE SUR UN SOLIDE : NOTION DE TORSEUR Sot un solde soums à l'acton d'une foce unque / mécanque ( foce / ) su le solde au pont pa le vecteu R / applquée au pont. On poua epésente l'acton et le moment M ( ) / tels que: R = M ( ) = (moment de / / / / / en pont de l' espace) / / / / / L'ensemble de ces vecteus est appelé TORSEUR de l'acton mécanque ( foce / et est noté { T } / ) su le solde au pont Pluseus éctues sont possbles suvant les calculs à développe: { T ( )} / R = M / / / = / = X Y Z / / / L M N / / / Le toseu est composé de vecteus toseu en. R / M /,, ces vecteus sont appelés les éléments de éducton du X Y Z / / / coodonnées de L/ / M/ N / coodonnées de M / L'éctue des actons mécanque sous fome de toseus n'ajoute en. C'est seulement une façon synthétque d'éce ces actons. Elle paaît peut-ête loude au peme abod, mas c'est une méthode tès effcace. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 4/93

15 .4. MODELISTION DE L'CTION MECNIQUE D'UN SYSTEME DE ORCES SUR UN SOLIDE Un solde S en équlbe est soums de la pat du mleu extéeu à au mons foces, et s l'on veut détemne l'acton mécanque du système composé de n foces que l'on peut note ( S ) ou ( ), l faut détemne le vecteu somme des dfféentes foces ans que la somme des vecteus moments en un pont commun que l on a péalablement chos. On obtent ans le toseu de l'acton mécanque du système de foces ( S ) au pont. ( S ) = ( ( ) ) = (,,..., n ). RS = n M ( S) = M ( ) + M ( ) M ( ) M ( ) RS ( ) n est appelé la ésultante du toseu de l'acton mécanque du système consttué des n foces applquées su le solde S étudé. M ( S) est appelé le moment du toseu au pont coespondant à l'acton mécanque du système consttué des n foces applquées su le solde S étudé. { } Le TORSEUR ( ) ( S ) = (,,..., n ) T S modélse l'acton mécanque du système de foces su un solde S. Ses éléments de éducton au pont sont: RS ( ) somme vectoelle des foces (Résultante du toseu) M ( ) S { T ( S) } somme vectoelle de tous les moments des foces pa appot au pont (Moment du toseu au pont ) RS = = M ( ) ( S) = n = n M Pncpe: Les éléments de éducton du toseu d'un système d'actons mécanques (S) caactésent entèement au pont de vue mécanque ce système (S). Cela tadut que l'on peut emplace au pont ces n foces pa éléments : une foce ( ) RS M S et un moment ( ). Cela tadut auss que l'on peut emplace une chage épate pa une foce unque (sa ésultante généale). Il content le pncpe de tansmssblté des foces qu peut s énonce : «l équlbe ou le mouvement d un solde este nchangé s on déplace une foce su sa lgne d acton (ou suppot).» En statque, les foces sont des glsseus, le pont d applcaton n ntevent pas. Ce pncpe ne peut ête utlsé qu apès avo effectué l solement. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 5/93

16 Théoème, Relaton fondamentale des toseus: Sot un système matéel S soums à un système d'actons mécanques ( S ) Connassant le toseu de ( S ) au pont, le toseu de ( S ) au pont se détemne comme sut : { T ( S) } ( ) ( ) = RS RS ( ) ( ) { T S } M S = M ( S) M S = M S + R S avec ( ) ( ) ( ) S RS ( ) est othogonal à ( ) M RS ( ) alos une dote contenant I tel que { T ( S) } = I S Cette dote contenant I est appelé axe cental du toseu, elle consttue le suppot du glsseu équvalent. I S l'on veut calcule le moment de en un aute pont de l'espace on peut donc utlse la elaton suvante: M ( ) = M ( ) + ^.5. TORSEURS PRTICULIERS ( ) Le Couple: T S { } = ( ) M S { T ( S) } = O O Théoème: Un couple a même valeu en tout pont. { } ( ) Le Glsseu: T S ( ) Le Toseu nul T S = { } RS ( ) = - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 6/93

17 .5.. Commentaes su le couple On peut toujous emplace un couple pa un ensemble de deux foces égales et opposées mas ayant des suppots dfféents. d C = d O - M C Exemple concet: encastement d'une poute console. l Sot le solde solé Le moment d'encastement en, acton du suppot su la poute a pou expesson. (la détemnaton sea effectuée plus tad) p M enc = pl M enc = d d = dstance ente les ponts et fctfs. p P P=pl Connassant d, on peut en dédue : pl d = et nvesement. et d vaent en sens contaes. On peut emplace un moment d encastement pa foces // de suppots dfféents et de sens contaes. - -P P=pl - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 7/93

18 .6. PPLICTION DE L RELTION ONDMENTLE.6.. Chage unfomément épate Y L p On consdèe la chage épate su comme une juxtaposton de chages élémentaes épates su un tonçon élémentae de longueu dx dx p X x C'est équvalent à: R R p ( ) (p) M = pl. y M ( p) p L = z. C'est équvalent à: R( p) L/ = pl I (p) R (p) Démonstaton c-dessous (pou TS) Cette chage épate su dx est assmlée à une foce ponctuelle applquée à l abscsse x. dr p ( ) R ( p) = p. dx. y epésente la somme vectoelle de ces chages élémentaes. L R p dr p p y dx ( ) = ( ) =.. La chage p est constante, le vecteu untae y est constant. Ces éléments peuvent sot de l ntégale L L L R p = p.y.dx = p.y. dx = p.y. x =... L ( ) [ ] pl. y M p M dr p p x z dx ( ) ( ) = ( ) =... la chage p est constante, le vecteu untae z est constant Ces éléments peuvent sot de l ntégale M L L x ( p) = p.x.z.dx = p.z xdx = p.z = p. z... Détemnons la poston du pont I, pont d applcaton de la ésultante généale. Dans les applcatons, l faut utlse le théoème c-conte, sans le démonte. L ( R( p) ) = d(,i ). R( p).z = d(,i ).pl.z = p. z (,I ) d = L L L - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 8/93

19 .6.. Chage épate lnéaement. L p(l) Y p (x) p (x) dx X x C'est équvalent à: R R p ( ) (p) M ( ) pl = Ly. (p) M ( p) p( L) L = z 3. On pose pl ( ) px ( ) ( ) >, > px = ax+ b examnons les condtons aux lmtes, au nveau des ponts et. en ( ) en ( ) p = b= pl = al a= ( ) ( ) pl L pl px ( ) =.x L pl ( ) dr( p) = p( x). dx. y =. xdx.. y L L pl ( ) R( p) = dr( p) =. xydx.. L L L ( L) p( L) x p( L) p R( p) =.y. xdx.y. L = == L L pl ( ) M( p) = M( dr( p) ) =. xxzdx... L M ( p) L = ( ) pl. x. z. dx L.L.y M ( p) L 3 L ( L) p( L) x p( L) p =.z x dx = L.z 3 = L....L 3.z C'est équvalent à: R (p) I L/ 3 L /3 Détemnons la poston du pont I, pont d applcaton de la ésultante généale. Dans les applcatons, l faut utlse le théoème c-conte, sans le démonte. M ( p) R p ( ) p = ( L).L 3.z = d (,I ) p. pl ( ) = L d (,I ) = L 3 ( L).L.z - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 9/93

20 .7. EQUIVLENCE DES SYSTEMES D CTIONS Compaons les deux systèmes d actons c-dessous: ( S ) et ( ) matéel : une feme. S. Ils s applquent su le même système Une foce est un vecteu glssant ( ou glsseu ), on peut la déplace su son suppot, le pont d'applcaton peut ête ps quelconque su son suppot. Les actons de contact en et sont dentques dans les deux systèmes. Pa conte, les effots nomaux dans les baes dffèent. On peut déplace la foce ponctuelle, mas unquement apès avo solé le système étudé, c la feme. En effet, s on s ntéesse unquement à la détemnaton des actons de lasons, on sole le système complet : la feme, les actons de lason en et sont stuées à la fontèe du système. S nous voulons détemne les actons dans les baes, l faut consdée le système ntal ( ) sute d solement. Le pont d applcaton de la foce des solements sauf pou l solement de l ensemble. S, pocéde à une dot ête consevé tel qu l est éellement pou l ensemble système ( S ) système ( S ) E E C D C D a/4 a/4 S H S a/4 a/4 H a a - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n /93

21 Sot la stuctue suvante : S nous ne echechons que les actons de contact aux appus, les schémas mécanques sont équvalents. La stuctue étant sostatque extéeuement, nous pouons détemne ces actons de contact en utlsant les équatons de la statque.. S : système éel S C D C D Pa conte, s nous nous ntéessons aux actons en C et D, nous devons consdée que la foce éellement en appatenant à la tavese. est applquée La stuctue étant hypestatque extéeuement de degé, nous ne pouons pas attende les actons en C et D du mons en utlsant les équatons de la statque statque. Los de l solement de la bae CD dans le système éel S, cette bae est un solde soums à foces. Elle ne peut ête sollctée qu en tacton. Dans S, la bae CD est soumse à 3 foces et sollctée en flexon. C D - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n /93

22 Toujous dans le même ode d dée, Sot la stuctue suvante S soumse à ( S p ) consdéons la même stuctue S soumse à ( ) S PR p L Nous avons l équvalence pou la détemnaton des actons de lason en et C unquement. C P = pl P C Nous souhatons détemne l acton de contact en. S nous solons la poute qu consttue le solde S depus ( S PR ), nous commettons une eeu. S nous solons la poute qu consttue le solde S depus ( S PR ), nous commettons une eeu. P C Il faut sole la poute : S, pus emplace la chage épate pa sa ésultante généale p P = pa P a a concluson : Remplace une ou pluseus actons pa un système équvalent n est valde qu apès avo solé le système étudé. Nous pouons emplace une chage épate applquée su le solde solé pa sa ésultante généale, mas unquement en statque, pou la détemnaton des actons de contact avec le mleu extéeu; pa conte s nous nous ntéessons aux lasons ntéeues, à la ésstance des matéaux ( pa exemple pou la détemnaton des sollctatons, les contantes,...) l n'y a plus d équvalence et l faut donc conseve les chages telles qu elles sont éellement applquées (su le schéma c-dessus, la chage épate). - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n /93

23 3. CENTRE DE GRVITE 3.. DEINITION Le cente de gavté d'un système matéel est le pont, noté G, pa lequel passe la lgne d'acton de la ésultante des foces de pesanteu. C est le pont d applcaton du pods du système matéel. Le C.d.G. est ndépendant du chox du epèe et de la poston du système matéel dans l'espace. Exemples : G G G P P P 3.. COORDONNEES DU CENTRE DE GRVITE Le cente de gavté d'un système matéel se dédut de la poston du baycente de n ponts affectés de coeffcents popotonnels aux masses assocées à ces ponts. Sot un solde (S) qu peut se décompose en n éléments géométquement smples (s ), (s ),..., (s n ) de cente de gavté (g, g,..., g n ) et de masse (m, m,..., m n ). Les coodonnées du cente de gavté G du solde se détemnent à pat de la elaton : M. OG = Σ(m. Og ) vec : M = Σm = m +m +...+m n x (S3) g 3 M = masse totale du solde (S) z (S) O g 4 (S4) (S) g g y OG= XG YG ZG M.XG M.OG= M.YG M.ZG démonstaton à pat de : OG ( MZ ) Les coodonnées du cente de gavté sont : Og= xg yg zg [ ] = [ Og ( m Z )] Σ(m.xg) Σ(m.Og) = Σ(m.yg) Σ(m.zg) Og = OG + Gg M.XG Σ(m.xg) M.YG= Σ(m.yg) M.ZG Σ(m.zg) XG = (m.xg) (m) YG = (m.yg) (m) ZG = (m.zg) (m) Smplfcatons possbles des coodonnées du cente de gavté : dans les équatons c-dessus s le solde est homogène on emplace les masses m pa des volumes s le solde est d'épasseu constante on emplace les masses m pa des sufaces le cente de gavté appatent au plan moyen de syméte S le solde consdéé possède un plan, un axe ou un cente de syméte alos le cente de gavté se stue espectvement dans le plan, su l axe ou au cente de syméte. ttenton : ne pas confonde la masse m et le pods P en foncton de sa poston spatale. Pods : P mg v le volume. la masse est nvaante, caactéstque ntnsèque, le pods vae = avec g l accéléaton de la pesanteu ; la masse m : m = ρ. v avec ρ la masse volumque, - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 3/93

24 3.3. CENTRE DE GRVITE DE SURCES ET VOLUMES USUELS SURCES Paallélogamme Tangle Tapèze H G h K G H J I C h E D C I G h H J G : pont d'ntesecton des dagonales HG h = G : ntesecton des médanes G = I et GI = I 3 3 HG = h 3 s DC = b (pette base) = (gande base) HG h + = b 3 + b Gaphquement : pote d'un coté DE=, de l'aute =CD; jonde E pus les mleux I et J de CD et Dem-dsque Secteu cculae Segment de secteu cculae G O R O G α R O G α R OG R = 4 3π R OG =.snα 3. α α en d R sn α OG = 3 α sn α.cosα 3 α en d Secteu de couonne cculae Paabole Dem-paabole Tangente vetcale en G O α R H G C a a H G b snα R OG = 3 α R 3 3 α en d G = 3 a 5 H a = 3 5 HG b = Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 4/93

25 VOLUMES Psme dot à base quelconque Cylnde (psme dot à base cculae) Tonc de cylnde G O h O G h α O G H h OG = h OG = h OH R = tg α 4 h α HG = h + R tg 8 h α en d Onglet cylndque Pyamde à base quelconque Cône S S O R H G h g H G h O H G h 3 OH = R 6 π 3 HG = h 3 π Sg Sg gg= gg= 4 4 HG = h HG = h 4 4 Tonc de cône Segment sphéque plen Secteu sphéque R G O h R G O α h R G α O h OG h R + R + 3 = 4 R + R + α en d 3 ( R h) 3 ( + cos α) OG = = R 4 3R h 4 + cosα α en d 3 OG = R h = R ( ) ( cos α) 8 - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 5/93

26 4. LIISONS ENTRE SOLIDES 4.. CTIONS DE LIISON Dès que soldes sont en contact, on pale de lason ente ces soldes. Ce contact mplque qu'une acton mécanque d'un solde su l'aute tanste au contact. Pou vsualse l'acton de lason, l faut sole l'un des soldes CINEMTIQUE DES LIISONS Une lason ente soldes pemet ou bloque cetans déplacements de l'un des soldes pa appot à l'aute. Il exste une coélaton ente l'acton tansmse à taves la lason et les déplacements possbles que celle-c autose. Tansmsson des actons: une acton mécanque sea tansmse pa une lason, s cette acton n'entaîne pas de déplacement elatf ente les soldes en contact Degé de lbeté: Sot soldes et lés, sans que sot pécsée la natue de cette lason. Sot ( OXYZ,,, ) cette lason. le epèe local assocé à Le mouvement d'un solde dans l'espace peut se défn pa la combnason d'une tanslaton et d'une otaton. Ce mouvement est epésenté vectoellement, dans le système d'axes othonomés dect Oxyz pa : - un vecteu tanslaton et - un vecteu otaton T R Tx Ty Tz Rx Ry Rz où T x ;Ty ; Tz et R x ; Ry ; Rz epésentent les composantes ou coodonnées dans le système d'axes Oxyz du vecteu mouvement. z Rz Tz O y Ty Ry Tx Rx x Composante ou coodonnée su l'axe Tanslaton T Tout déplacement elatf d'un solde pa appot à un solde peut ête "décomposé" en pluseus déplacements élémentaes suvant les axes d'un epèe ( OXYZ,,, ). Ces Ox TX déplacements élémentaes sont appelés les degés de lbeté Oy TY de la lason -. Dans l'espace le nombe de degés de lbeté possbles est 6. Oz TZ D.D.L. Rotaton R RX R R Y Z T x sgnfe une lbeté de mouvement de tanslaton des soldes / (l un pa appot à l aute), suvant la decton défne pa le vecteu untae x. R x sgnfe une lbeté de mouvement de otaton des soldes / (l un pa appot à l aute), autou de l axe défn pa le vecteu untae x. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 6/93

27 Dans le plan le nombe de degés de lbeté possbles est 3. Dans le plan le nombe de degés de lbeté possbles est 3. Composante ou coodonnée su l'axe Tanslaton T D.D.L. Rotaton R Ox TX ---- Oy TY ---- Oz ---- Z R Pou passe de sa poston ntale à sa poston fnale, le mouvement du solde peut se décompose en 3 mouvements smples (tanslaton su x, tanslaton su y, otaton autou de z), de plus l'ode n'ntevent pas. On auat pu commence pa : tanslaton su y, pus otaton autou de z, pus tanslaton su x ou un tout aute odonnancement. Nous avons epésenté les confguatons ntemédaes en tats dscontnus. ETT INL θ z z Rotaton autou de z Tanslaton su y ETT INITIL Uy y Ux x z Tanslaton su x x Pou suppme un degé de lbeté à un solde en mouvement, l faut oblgatoement exece une acton mécanque su ce solde. Pou suppme une tanslaton élémentae l faut exece une foce capable de s oppose à cette tanslaton. Exemple : une poute appuyée su un mu, le mu exece une foce qu s oppose au mouvement potentel de tanslaton vetcal descendant. Pou suppme une otaton élémentae l faut exece un moment ou couple capable de s oppose à cette otaton Exemple : acton execée su un volant pou s oppose à sa otaton : - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 7/93

28 5. LIISONS MECNIQUES Les lasons mécanques sont destnées à s'oppose à un ou pluseus mouvements elatfs élémentaes (d.d.l.) ente les soldes. L Exemple : - S = solde - S = solde - L = lason ente S et S S S Lasons mécanques pafates : Une lason mécanque est dte «pafate» losque les sufaces de contact sont géométquement pafates ; les effets de «l adhéence» (solde mmoble) ou du «fottement» (solde en mouvement) sont alos néglgeables. Les lasons mécanques sont classées en foncton de la fome géométque des contacts et des degés de lbeté suppmés. 5.. CRCTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES CONTCTS 5... CONTCT PONCTUEL S S S S S S C'est un contact théoque. Il peut ête adms ente deux soldes ndéfomables (hypothèse de la statque) losque les soldes ont un ayon de coubue espectf dfféent au vosnage du pont de contact CONTCT LINÉIQUE S S S S C'est auss un contact théoque. Il peut ête adms ente deux soldes ndéfomables (hypothèse de la statque) losque les soldes sont cylndques ou s'ls ont en commun une généatce et un plan tangent CONTCT SURCIQUE Contact plan Contact cylndque Contact sphéque S S Les soldes ont une suface de contact de même fome géométque S S S S - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 8/93

29 5..4. NOTION DE LIISON «PRITE» Rappel : Une lason mécanque est dte «pafate» losque les effets de «l adhéence» (solde mmoble) ou du «fottement» (solde en mouvement) sont néglgeables. Exemple : y y Lason «pafate» ponctuelle / = Y / Y La lason se caactése pa un smple contact ente deux soldes S et S en un pont. Poblème : On veut défn les actons de lason execées pa le solde S su le solde S au pont de contact. z S S x z S x Recheche des actons mécanques de lason applquées au solde S : Composante ou coodonnée su l'axe Ox D.D.L. Tanslaton Rotaton T TX Oy Y Oz T Z R Composante su l'axe ctons mécanques en oce Moment / M / RX Ox R Oy Y / R Oz Z Démache : Défn les d.d.l. = et compatbles avec la lason étudée. Dédue des d.d.l., les actons mécanques execées su le solde solé (c actons de S/S pusque S est solé) Concluson : Dans le cas d une lason pafate (sans adhéence), l acton de lason se édut à une foce de decton toujous pependculae ( ) au plan tangent des sufaces en contact. Quel que sot ( ) le système des foces applqué, une lason ponctuelle pafate ne possède qu une seule nconnue de lason Remaques : On peut obseve la complémentaté ente le tableau des d.d.l. et le tableau des actons de lason. une valeu nulle de l un des tableaux coespond une valeu non nulle de l aute. pat des degés de lbeté possbles des lasons on peut en dédue les actons tansmssbles pa ces lasons. On modélsea ces actons de lason pa un toseu. On dédua ce toseu en applquant la méthode suvante: Le toseu des actons de lason en se note : { T } = Y S S / - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 9/93

30 Un degé de lbeté suppmé Une acton tansmssble = dans une decton dans cette decton ou Un degé de lbeté possble Pas d' acton tansmssble = dans une decton dans cette decton L ensemble des lasons possbles est obtenu en combnant tous les degés de lbeté possbles. Losque les sufaces en contact sont de dmensons suffsamment fables pa appot aux dmensons des soldes on peut les assmle à un contact ponctuel ou à un contact lnéque. Exemples : - le contact ente un ped de table et le sol : Lason ponctuelle. - le contact ente une dalle de bâtment et un mu. Lason lnéque. Contact Table-Sol Table Contact Dalle-Mu Dalle Sol Mu - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 3/93

31 5..5. LIISONS ÉLÉMENTIRES EN ÂTIMENT Remaques pélmnaes : L'étude de la majoté des éléments d'ouvages du bâtment peut ête amenée, pou ason de syméte, à l'étude de systèmes plans. De même, pa soucs de smplfcaton, les phénomènes physques comme l'adhéence sont souvent néglgés dans les calculs. Toutefos, les DTU (Documents Technques Unfés) pévoent l'applcaton de dspostons constuctves mnmales, pou compense les smplfcatons pécédemment admses. Les lasons élémentaes utlsées en bâtment sont : - les appus smples - les atculatons - les encastements Modèle cnématque : La modélsaton cnématque d un solde ou d un ensemble de soldes consste à epésente le(s) modèle(s) : - de chaque solde pa leu lgne moyenne, - de chaque lason pa une epésentaton symbolque. Exemples : modélsaton des lasons élémentaes en bâtment - ppu smple ou ou - tculaton péféence ou ou - Encastement ou encastement nœud gde Schéma mécanque : La schématsaton mécanque d un solde ou d un ensemble de soldes consste à epésente le(s) solde(s) et les actons mécanques extéeues du système solé pa : - la(les) lgne(s) moyenne(s) pou le(s) solde(s), - - les symboles des actons extéeues pou les foces et les couples. Exemple : Elévaton lgne moyenne Modèle cnématque Chox d un epèe de la statque appelé epèe global, l dot appaaîte su le schéma mécanque, l dot ête unque pou l ensemble de l étude. Y 3 4 modèle de lason Schéma mécanque z O x - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 3/93

32 Lason de type «PPUI SIMPLE» : La lason de type appu smple ésulte du smple contact ente deux soldes (un seul d.d.l. bloqué). Elle peut ête assmlée à une lason pafate : ponctuelle, lnéque ou sufacque. Exemples : - les poutes et dalles de planche couant qu n'assuent pas un ôle de conteventement d'ouvage, - tous les soldes smplement appuyés qu ne peuvent pas s oppose aux foces tendant à les fae glsse. DETILS DE L LIISON Poute.. ou.p. Poute.. ou.p. couante Mu ou poteau Lason pa contact dect.. /.. maçonnee Poute.P. d'ouvage d'at ou de bâtment ndustel ppael d'appu Lason pa nteposton d'un matéau éslent ou de glssement (néopène, téflon...) potée défne / axe de l'appu Lason Poute.. avec poteau.. potée défne / au nu de l'appu Modèle cnématque de la lason Schéma mécanque assocé y Poute S Y / Y S + Poute S x on emplace S pa son acton (attenton S ne dot pas ête epésenté) Recheche des actons mécanques de lason applqués au solde S : D.D.L. ctons mécanques Composante ou coodonnée su l'axe Ox Tanslaton T Rotaton R Tx --- Oy --- Composante ou coodonnée su l'axe oce / Moment M / Ox --- Oy --- Y / R Oz --- Oz ---- z " " : sans objet dans le cas d'un système de foces coplanaes dans le plan Oxy Concluson : Dans le cas d une lason de type appu smple, l acton de lason est une foce au plan tangent de contact. Une lason de type appu smple est caactésée pa une seule coodonnée nconnue : Y /. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 3/93

33 Éctue sous fome de toseu (de la lason appu smple en ), l exste pluseus notatons { T } = Y = Y Y / S S / ttenton dans le cas ou l appu smple est à déplacement vetcal y S Poute S y + X / X Poute S Dans le cas ou la foce / n est pas paallèle à un des axes du epèe : on emplace S pa son acton (attenton S ne dot pas ête epésenté) y x β Poute S β S + Poute S x / on emplace S pa son acton (attenton S ne dot pas ête epésenté) Une soluton consste à se fxe un sens (hypothèse) pou la foce /. La decton est connue, l angle β peut ête détemné, seule l ntensté / est nconnue : Les coodonnées dovent ête éctes en fasant appaaîte unquement l ntensté /. + / cos β / cos β.x / sn β Y. = = S sn β { } T S / ppu smple blatéal : Cet appu smple fonctonne dans les sens Un appu smple peut ête modélsé pa une bae b-atculée β Poute S β Poute S S S - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 33/93

34 Lason de type «RTICULTION» : La lason de type atculaton pemet la otaton elatve ente deux soldes. Dans les ouvages du bâtment cette otaton elatve est généalement nfme. Exemples : le ped d'un ac en bos lamellé-collé la lason d'une poute en.p de bâtment ndustel su un poteau la lason ente les baes des chapentes tangulées en bos ou en métal... c bos L-C Poute -P oches de lason Gousset Massf - Modèle cnématque de la lason Poteau - Schéma mécanque assocé y ssemblage C.M. On pouat emplace une atculaton pa baes b-atculées S Poute S Y / Y + X / X Poute S x poute S on emplace S pa son acton (attenton S ne dot pas ête epésenté Recheche des actons mécanques de lason applqués au solde S : D.D.L. ctons mécanques Composante ou coodonnées su l'axe Tanslaton T Rotaton R Composante ou coodonnées su l'axe oce / Moment M / Ox --- Ox X / --- Oy --- Oy Y / Oz --- Z " " : sans objet dans le cas d'un système de foces coplanaes dans le plan Oxy. --- R Oz --- Concluson : Dans le cas d une lason de type atculaton, l acton de lason est une foce de decton et de sens nconnus, Cette foce étant nclnée dans le plan X Y, Une lason de type atculaton est caactésée pa nconnues de lason : les coodonnées : X /, Y / Éctue sous fome de toseu (de la lason atculaton en ), l exste pluseus notatons { T } + X / X Y = X Y / Y / S = S / - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 34/93

35 Lason de type «ENCSTREMENT» : Les soldes lés pa encastement sont elés gdement l un pa appot à l aute. Ils ne peuvent avo aucun déplacement elatf (pas de tanslaton, pas de otaton). Dfféence ente encastement pafat et nœud gde : L encastement est dt pafat losque l'un des soldes est ndéplaçable, fgé, c est-à-de fxe pa appot au epèe, (pa exemple c la semelle du mu de soutènement peut ête consdéée comme un massf fxe, le vole est encasté dans la semelle vo fgue centale), le nœud est fxe en tanslaton et en otaton. Le nœud est dt gde (losque l'angle ente les soldes et est consevé, le nœud pouvant se déplace en tanslaton ou en otaton au sens de la R.D.M.(les déplacements sont petts et povennent unquement des défomatons de la stuctue), l y a contnuté totale de la matèe, en éalté les deux soldes et n'en foment qu'un au sens de la statque. (exemple de la fgue de dote : lason poute poteau) Exemples lason du ped d'un mu de soutènement su sa semelle lason d'un balcon à une dalle de planche alcon Vole Semelle lason d'une poute métallque su un poteau Poteau Poute ttenton : l extémté d un balcon, le sommet du vole du mu de soutènement sont appelées extémtés lbes. Sot on consdèe que l extémté lbe n est pas une lason ou une extémté lbe est une lason (à 3 degés de lbeté dans le plan, 6 dans l espace) caactésée pa une absence d acton de lason. Modèle cnématque de la lason S Poute S Schéma mécanque assocé y + Y Y / M Z Z / X / X Poute S on emplace S pa son acton (le solde S ne dot pas ête epésenté) Recheche des actons mécanques de lason applquées au solde S : D.D.L. ctons mécanques x Composante ou coodonnée su l'axe Tanslaton T Rotaton R Composante ou coodonnée su l'axe oce / Moment M / Ox --- Ox X / --- Oy --- Oy Y / --- M Z / Oz --- Oz --- " " : sans objet dans le cas d'un système de foces coplanaes dans le plan Oxy. Concluson : Dans le cas d une lason de type encastement, l acton de lason se édut à : une foce de decton et de sens nconnus, cette foce étant nclnée dans le plan X Y, elle est epésentée pa nconnues de lason : les coodonnées : X /, Y / un moment (ou couple) dt d encastement, c est un vecteu au plan des foces. Une lason de type encastement est caactésée pa 3 nconnues de lason : X /, Y /, M Z / Éctue sous fome de toseu (de la lason atculaton en ), l exste pluseus notatons { T } S S = + X / X Y M Z / Z / Y = X Y / / M Z / - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 35/93

36 5..6. TLEU RÉCPITULTI DES LIISONS EN ÂTIMENT Nom de la lason Repésentaton modélsée Schéma mécanque assocé Degés de lbeté D.D.L { T R} ctons de contact Composantes dans Oxyz des actons de contact ppu smple Poute S X y Y Y + R Z x Poute S / T foce au plan tangent de contact, une seule nconnue de lason Y / S tculaton Poute S Y / y Y X / + X Poute S x oce nclnée epésentée pa coodonnées (ou composantes) R Z nconnues X Y / / S Encastement S Poute S y + Y Y / M Z Z / X / X Poute S x oce nclnée epésentée pa coodonnées nconnues Un moment d encastement X Y / / M Z / Compléments TS unquement : encastement moble, degé de lbeté TY O Y x { T } S S = X / M Z / Tanslaton Rotaton X --- Y TY --- Z Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 36/93

37 5.. PRINCIPE DES CTIONS MUTUELLES Les actons de contact ente soldes S et S, sont constamment d égale ntensté et dectement opposées. Nous donneons plus lon une fome plus généale ; autefos appelé pncpe de l acton et de la éacton c est en éalté un théoème qu se démonte à pat du Pncpe ondamental de la Statque. Ex : L'acton d'une blle S su un plan S est égale et dectement opposée à l'acton du plan S su la blle S. / = / / = / S / S S S / 5.3. UN UTRE CLSSEMENT- ORCES INTERIEURES - ORCES EXTERIEURES : NOTION D ISOLEMENT classfcaton selon leu poston pa appot au système matéel solé on dstngue ; π Les actons mécanques extéeues : actons qu execent, su les dfféents éléments du système solé, tous les soldes n appatenant pas au système matéel solé. (actons de contact qu s execent à la fontèe du système solé ou actons à dstance). Ce qu n est pas solé est souvent appelé le mleu extéeu. π Les actons mécanques ntéeues : ce sont les nte-effots qu execent les dfféents éléments du système solé les uns su les autes aux dfféents ponts de contact. Ces effots ntéeus peuvent ête des effots de cohéson tadusant la ésstance du matéau aux sollctatons. ttenton! Ces actons ne peuvent pas ête vsualsées donc epésentées. Elles n appaassent pas dans l nventae des actons los de l solement. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 37/93

38 Exemple : Système matéel (++3+4) 4 D E 3 C Sot un système matéel consttué de tos blles placées dans un écpent. Les contacts blle-blle et blle-écpent sont supposés sans fottement. Établssons le blan des actons agssant su : - la blle (), - la blle (), 3 - la blle (3) 4 - le système matéel (++3), 5 - le système matéel (+) 6 - le système matéel (+3), 7 - le système matéel (+3), etc. Repésente unquement les actons extéeues ae l nventae des actons ntéeues pplquons le pncpe des actons mutuelles à chaque système matéel. Concluons. Isolons le solde () D lan des foces extéeues :... E Isolons le solde ()... lan des foces ntéeues et Pncpe des actons mutuelles :... lan des foces extéeues :... D... lan des foces ntéeues et Pncpe des actons mutuelles :... 3 Isolons le solde (3) lan des foces extéeues :... 3 C E... lan des foces ntéeues et Pncpe des actons mutuelles : Système matéel (++3) 3 C D E lan des foces extéeues : lan des foces ntéeues et Pncpe des actons mutuelles : Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 38/93

39 5 - Système matéel (+) D E 6 - Système matéel (+3) D 3 E 7 - Système matéel (+3) 3 C D E C lan des foces extéeues : lan des foces ntéeues et Pncpe des actons mutuelles : lan des foces extéeues : lan des foces ntéeues et Pncpe des actons mutuelles : lan des foces extéeues : lan des foces ntéeues et Pncpe des actons mutuelles : Conclusons : Dans chaque système matéel les contacts non ompus font appaaîte des actons mutuelles qu s'annulent deux à deux. Les actons agssant aux contacts non ompus n'ntevennent pas dans le blan des foces applquées au système matéel, elles sont appelées CTIONS INTÉRIEURES. Les actons applquées aux contacts ompus, les actons à dstance (pods) et toutes les autes actons dectement applquées au système matéel sont appelées CTIONS EXTÉRIEURES. Pou dstngue les actons ntéeues et les actons extéeues d'un système matéel l faut mpéatvement pécse les fontèes d'solement «ISOLER LE SYSTÈME MTÉRIEL ÉTUDIÉ». - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 39/93

40 Pésentaton du blan des foces dans un tableau : Systèmes matéels solés () () (3) (++3) (+) (+3) (+3) P ctons mécanques c de type foces P P 3 4 / 4 / C 4 / 3 / D D / E / 3 E 3 / / 3 3 / Légende : I: cton ntéeue, E: cton extéeue, /: Sans objet - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 4/93

41 5.4. EXERCICE D PPLICTION Étude du stockage de tuyaux ente voles encastés à leu base. Les tuyaux étant de même longueu b, on se amènea à un poblème dans le plan de syméte de l ensemble ou à une étude lmtée à un tonçon de mète de tuyaux. On néglgea le fottement, les contacts sont consdéés comme pafats. On se popose de détemne les actons de contact en M, N,,,C,D et I, I3. L=8 tuyaux ( e, ) e = sot P le pods pope d'un mète de tuyau G C α I I3 D G G3 M N Il faut au péalable détemne l angle α - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 4/93

42 On ajoute un tuyau supplémentae dont toutes les dmensons sont édutes de % à l excepton de la longueu. Le pods pope pa mète de ce tuyau est alos égal à ( 8. ) P = 64. P. Vous justfeez cette valeu, pus vous détemneez ses caactéstques géométques (dmensons) ans que les actons de contact aux dfféents ponts M, N,,,C,D et I, I3, I4, I4. G4 γ β I4 C I4 β δ α I G δ I3 D G G3 M N En fat les lasons en M et N se compotent comme des atculatons, quelles sont les solutons technologques (schéma mécanque à epésente) que vous poposeez, pou conseve les voles vetcaux et assue la stablté du système. On peut monte que : G G = ( mm ) G G = G G = ( mm ) 4 4 = α + δ + β = 9 δ + γ + β = 8 9 cosα = =, 9 α = 5, cosδ = = δ = 56, α + δ + β = 9 β = 9 ( α + δ ) = 7, 9 δ + γ + β = 8 γ = 9 ( δ α ) = 59, 6 - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 4/93

43 - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 43/93 6. PRINCIPE ONDMENTL DE L STTIQUE 6.. RPPEL DU PRINCIPE DE L INERTIE. Il exste au mons un epèe dans lequel le cente d nete d un système matéel quelconque possède les popétés suvantes : s l est en mouvement, son mouvement est alos ectlgne et unfome, sa tajectoe est une dote et sa vtesse est constante. S l n est pas en mouvement, l est mmoble. On appelle epèes galléens, les epèes dans lesquels le pncpe de l nete est véfé. S un epèe est en mouvement de tanslaton unfome pa appot à un epèe galléen, l est lu auss Galléen. 6.. ENONCE DU PRINCIPE DE L STTIQUE Il exste un epèe, appelé epèe galléen, tel que pou tout solde S, en équlbe (au epos) pa appot à ce epèe, les actons mécanques extéeues (S) applquées à S véfent qu en un pont de l espace le toseu de ces actons extéeues qu lu est applqué sot égal au toseu nul. Taducton mathématque : s S est en équlbe alos ( ) { } { } O O T S = S est en équlbe ( ) { } { } O O T S = Taducton analytque: Cela sgnfe que les éléments de éducton du toseu des actons extéeues sont nuls: - la ésultante est nulle - le moment ésultant est nul en tout pont. ( ) ( ) { } ( ) ( ) = = = = = = = + = = = = + = O O O ext O O ext ext O ext O N Z M Y L X couples ) ( M S M S R couples ) ( M S M S R ext ext ext o o o S T o o o S T o =

44 On obtent 6 EQUTIONS d'équlbe dans l'espace. Le chox du pont est mpotant unquement dans un but de smplfcaton, ca s le toseu est nul en un pont, l sea nul en tout pont. { ( )} {} T S = consttue les condtons nécessaes de l équlbe ; ca on peut avo ces équatons véfées O O avec un solde en mouvement de tanslaton ectlgne unfome pa appot au epèe galléen Rg. utes fomes du PS Pou qu'un solde S ntalement au epos este au epos, l faut et l sufft que le toseu des actons extéeues (S) qu lu est applqué éct dans un epèe Galléen sot égal au toseu nul en un pont de l'espace. Dans un epèe Galléen Rg, la condton nécessae et suffsante pou qu un solde S, ntalement au epos, este au epos est que le système des actons mécanques extéeues agssant su le solde S fome un système équvalent à zéo CS DES PROLEMES PLNS L'énoncé pécédent este ben entendu valable, mas son éctue et son explotaton se smplfent. Le solde et le système d'actons sont alos supposés ête dans le même plan. S ce plan est le plan (O, X, Y) le P..S. s'éct: s S est en équlbe alos o T S = o X ( S ) = Y ( S ) = X Y ext ext = = M z O ( S ) = N O = On obtent 3 EQUTIONS d'équlbe dans le plan. Équatons altenatves fn de smplfe les calculs, à la place des 3 équatons ntales, l peut ête avantageux d utlse sot : X (le équatons de moment pa appot aux ponts et avec une seule équaton de pojecton su un axe chox de cet axe est condtonné pou smplfe les calculs, pa exemple s cet axe est pependculae à un gand nombe de foces les pojectons de celles-c seont nulles, ou ben paallèle à un gand nombe de foces ), le segment de dote ne dot pas ête pependculae à l axe 3 équatons de moment, ces tos ponts n étant pas algnés. X - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 44/93

45 Pncpaux cas d équlbe oces colnéaes Solde solé X Equatons ndépendantes Nombe d nconnues détemnables 3 X( S ) = oces paallèles Z Y X 3 ( ) = ( ) X S M S = 4 oces concouantes (même pont) Y 3 ( ) ( ) X S Y S = = Z X I 4 Cas généal Z Y X 4 3 ( ) = ( ) = ( ) X S Y S M S = 3 - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 45/93

46 6.4. THEOREME DES CTIONS MUTUELLES Nous allons établ ce ésultat ben connu à pat du PS, mas l demeue valable losqu l y a mouvement. Sot S et S pates dsjontes d un système matéel S, en contact ou non ente elles. Isolons la pate S, elle est soumse d une pat aux actons execées pa S su S epésentées pa le toseu { T } / et d aute pat aux actons du mleu extéeu su S epésentées pa { T } soumse à { T } / de la pat de S et { T } / de la pat du mleu extéeu. pplquons successvement le PS à S, à S pus à S = S S. { T } { } {} / + T / = { T } { } { } / + T / = + { T } { } {} / T / ++- { T } { } { } { } ( { } { }) {} / + T / + T T T T / + / / + / = { T } + { T } = {} Le pont peut ête ps quelconque dans l espace. / / /. De la même manèe, S est + = Théoème des actons mutuelles pou un système matéel (ou des actons écpoques ou de l acton et de la éacton) Sot S et S deux pates dsjontes d un système matéel (défomable ou non, en mouvement ou non). chaque nstant, les actons execées pa S su S foment un toseu ésultant { T } / opposé au toseu ésultant { T } / des actons de S su S. Le pont est quelconque. { T } { } / = T / Énoncé dans le cas de soldes en contact en un pont. Sot soldes et.en contact en. On défnt la lason L(-) ans : le solde exece une acton mécanque su le solde, on peut caactése cette acton pa le toseu { T } /, de même le solde exece une acton mécanque su le solde que l'on peut caactése pa le toseu { T } /. { T } { } / = T / - Conséquences: les toseus dovent ête expmés dans le même epèe et au même pont, cependant le pont chos n est pas focément le pont de contact, ce pont peut ête chos quelconque. on a donc: X L M / Z N = M = M / / / { T/ } = = Y/ M / { T } / / / / / / / / = = M / X Y Z L M N / / / / / / On touve toujous dans les ouvages de mécanque, cet énoncé sous le nom de «PRINCIPE DES CTIONS MUTUELLES» : Un pncpe étant pa défnton ndémontable, le teme «pncpe» est c mpope. R/ R/ M / M / - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 46/93

47 6.5. ETUDE DE L'EQUILIRE ** ISOLEMENT: Isole un solde sgnfe: dstngue toutes les actons extéeues au solde ( les actons ntéeues ne peuvent pas ête vsualsées), éce tous les toseus des actons extéeues au même pont (condton mpéatve pou le P..S.). ** INVENTIRE DES CTIONS EXTERIEURES: on peut envsage pluseus classements. Classement n : En géne cvl on dstngue pluseus types d'actons: les actons connues du type: pemanentes (pods pope),vaables ( chage d'explotaton, vent, nege), tempéatue et les actons nconnues en généal aux appus (au nveau de la fontèe du domane solé ou aux assemblages). Classement n : lé à la epésentaton mathématque. - les actons ponctuelles : les foces ponctuelles, modélsées pa un vecteu et défnes pa la connassance (pont d applcaton, decton, sens, ntensté ) couples ponctuels - les foces de volume (à dstance) ésultant d'effets magnétques ou de pesanteu. On consdèe qu'elles s'applquent au cente de gavté de l'élément consdéé. - les actons lnéques: densté de chage expmée en kn / m tansmses suvant une généatce (poute, vole), les couples épats expmée en mkn / m. - les actons sufacques: expmées en kn / m² tansmses suvant une suface (planches, paos, totues) *3* REPERE D'ETUDE: Quand nous étudeons une stuctue complète, nous seons amenés à consdée sot l'ensemble de la stuctue sot un de ces éléments. En conséquence, nous devons utlse sot un epèe mécanque généal souvent dénommé epèe global. Les epèes mécanques locaux (dont l'ogne se déplacent su la lgne moyenne )et les epèes de poston fxes et attachés à une bae dote sont utlsés en RDM. Repèe mécanque généal : c'est un epèe en généal lé au sol, cependant l'ogne peut ête pse en n'mpote quel pont. Exemple: sot une stuctue composée de tos baes et de 4 nœuds,, C, D soumse à un effot ponctuel. Y O X C D Dans le epèe généal ( OXY,, ) la foce s'éct: y y x O x Repèes de poston: En RDM, on souhate étude chaque bae sépaément, on utlsea alos les epèes de poston lés aux baes. L'ndce coesponda au numéo de la bae consdéée. L'axe des x donnant le sens de pacous su la bae, l'ogne du epèe sea toujous placé à l'ogne de celle-c. C D x 3 y3 NOUS PPLIQUERONS LE P..S. EN RISONNNT DNS UN SEUL REPERE. Les changements de epèe sont souvent généateus d'eeus, les coodonnées dovent ête expmées dans le même epèe) - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 47/93

48 7. EQUILIRE D UN SYSTEME MTERIEL RIGIDE 7.. DEINITION D UN SYSTEME MTERIEL RIGIDE Un système matéel est composé de n soldes gdes, l ensemble étant auss gde. Rappel : un système est dt gde s l est sostatque ou hypestatque. On dt auss que la stuctue est stable. Quelque que sot le sous système solé, sous l acton d une acton mécanque même nfnment pette, l est mpossble de mette en mouvement un solde pa appot à un ante. Dans le cas contae on dt que le système matéel est un mécansme ou hypostatque ou est défomable. En statque, les soldes sont supposés ndéfomables ou nfnment gdes. n = S = S = S + S S +... S n Défnton, un système matéel gde S, composé de n soldes, est dt en équlbe pa appot à un système galléen s chaque solde le consttuant est en équlbe pa appot à ce epèe. chacun des soldes S est en équlbe système matéel S en équlbe 7.. RPPEL DU PRINCIPE ONDMENTL DE L STTIQUE Dans un epèe Galléen Rg, la condton nécessae et suffsante pou qu un solde S, ntalement au epos, este au epos est que le système des actons mécanques extéeues agssant su le solde S fome un système équvalent à zéo. taducton mathématque solde S en équlbe RS { ( ) ( ext solde ) T S } o ext solde Rg =../../ Mo( S. ext./ solde ) = O 7.3. THEOREME CONDITION NECESSIRE D EQUILIRE D UN SYSTEME MTERIEL S La condton nécessae pou qu un système matéel S de n soldes S sot en équlbe pa appot à un système galléen Rg est que le toseu du système des actons mécanques extéeues s exeçant su celu-c sot nul. { T( Sext../ système) } système matéel S en équlbe = o Rg RS M ( ext../ sytème) ( S../ ) o ext système = - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 48/93

49 Démonstaton chacun des soldes S est en équlbe en effectuant la somme [ RS ( ) RS ext S ( j../ S / S )] + = ( ) RS ( j ) RS + = ext../ S S / S ( j ) RS S / S = epésente la somme des foces ntéeues qu, d apès le pncpe des actons mutuelles, est nulle. ( ) RS ( ext sytème) RS = = ext../ S../ ( ) RS ( j ) RS + = ext../ S S / S ( ) ( j ) M S + M S = o ext../ S o S / S [ Mo( S ) + M ( S ext S o j ) ] =../ S / S Mo( S ) Mo( S j ) + = M ext../ S S / S ( S j ) o S / S = epésente le moment en O des foces ntéeues, celu-c est nul, d apès le pncpe des actons mutuelles ( j ) o( ext système ) Mo S = M S = S / S../ Remaque :Cette condton d équlbe n est pas une condton suffsante pou un système matéel défomable, ca on ne peut pas affme que la nullté de la somme entaîne la nullté de chaque teme. - S le système matéel est gde et ntalement en équlbe (c est à de au epos, avant l applcaton des actons) pa appot au epèe galléen, la condton d équlbe énoncée est une condton nécessae et suffsante d équlbe. En effet, le système matéel gde se compote comme un solde de fome unque de fome complexe, auquel on peut applque le PS. POUR QU UN SYSTEME MTERIEL RIGIDE INITILEMENT U REPOS (EN EQUILIRE) RESTE U REPOS (EN EQUILIRE), IL UT ET IL SUIT QUE : { T( S. ext./ système )} = o Rg RS M ( ext../ sytème) ( S../ ) o ext système = - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 49/93

50 8. PRINCIPE DE SUPERPOSITION 8.. DOMINE DE VLIDITE. fe O σ ε e ε Le matéau est lnéaement élastque, s les contantes sont popotonnelles aux défomatons. Exemple de l'ace Les contantes développées dans la stuctue appatennent au domane élastque su O (domane élastque). consttue le domane plastque. 8.. ORMULTION, ENONCE p α Les actons de lason dues à l applcaton de pluseus foces sont égales a la somme vectoelle des actons de lason dues à chacune des foces agssant solément. (,α) S p = ( ) +α. S( ) S p = S ( ) α.s( ) p + S( p) - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 5/93

51 Ce pncpe monte l ndépendance des effets de chacune des actons applquées au système étudé. Ce pncpe n'est valde que dans le domane élastque. Il tadut que: l'effet dû à la cause (+) = l'effet dû à la cause () + l'effet dû à la cause (). L effet ne dot pas ête estent aux seules actons de lason. Un effet (défomaton, déplacement, contante) podut pa pluseus causes (chages applquées,..) est la supeposton des effets poduts pa chacune de ces causes supposée ag solément. L'ode d'applcaton des actons n'ntevent pas. On peut donc éce que l'effet dû à la cause (+) = l'effet dû à la cause () + l'effet dû à la cause () et nvesement. ψ p (S) p (S) (S) Les elatons sont affnes et homogènes.( S) = ( S ) + ψ ( S ) Les ( sollctatons, contantes, déplacements, défomatons, ) sont ndépendantes de l'ode d'applcaton des actons extéeues ( chages ) et sont égaux à la somme des ( sollctatons, contantes, déplacements, défomatons, ) dus à chacune de ces actons agssant solément. ffne = foncton du e degé de la fome f( x) = ax+ b vant l avènement de l nfomatque, les bueaux d études utlsaent des fomulaes. L ngéneu décomposat le chagement su la stuctue étudée en chagements élémentaes. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 5/93

52 Remaque : Dans le cade des systèmes sostatques, pou la détemnaton des actons de lason au nveau des appus ou la détemnaton du toseu de cohéson, on peut le démonte, l hypothèse d un matéau élastque n étant pas nécessae. (elle n ntevent que pou la détemnaton des déplacements ou pou le calcul des contantes pou lesquels la lo de Hooke est utlsée ). j Sot un système sostatque quelconque ( S ) soums à systèmes de foces : applquées en j applquées en j /S (S) (S) j j /S actons de contact avec le mleu extéeu / S et / S Isolons ( S ) et écvons le PS au pont : sot ( ) + j + / S + / S = j + + = j j / S j S consttué de foces ; les actons de contact. / S / S Isolons ( ) + S et écvons le PS au pont : + / S + / S = + = / S applquées en et /S j /S (S) j ( ) S consttué de foces ; les actons de contact. / S / S Isolons ( ) j j applquées en S et écvons le PS au pont : j + / S + / S = j + = j j / S j et / S + / S ( / S + / S) ( / S + / S) = fomons -+- / S ( / S) ( / S) = ( / S / S / S) + ( / S / S / S) = ( / S / S / S) = Nous en dédusons que :( / S / S / S) = et ( / S / S / S) = + = + / S / S / S / S / S / S = d où - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 5/93

53 8... Poblème de ésstance des matéaux : Comment détemne la flèche maxmum dans une poute soumse à un cas de chage complexe, mas décomposable en cas smples c (p ) et ( ). Le pncpe de supeposton autose cette décomposton. p M fmax M Uy(M) La flèche max dans la secton M est donnée dans les fomulaes: fmax = 5pl 4 /384 EI M M Uy(M ) fmax De même les fomulaes donnent la flèche max fmax dans la secton M en foncton de la poston et de l'ntensté de la foce ponctuelle. p M M3 M fmax La flèche sea max. dans une secton dote notée M3 à po nconnue : fmax = Uy(M3) + Uy(M3) Généalement les fomulaes founssent les flèches max ans que leu poston. Nous ne pouvons pas éce : fmax =fmax + fmax Uy(M3) < fmax Uy(M3) < fmax En fasant la somme des expessons pécédentes, on obtent l'néquaton f max < fmax + fmax fmax + fmax consttue une bone supéeue de la flèche max ( f max ), ces deux valeus étant poches, la bone peut ête utlsée en pojet. Cette emaque s'applque auss au M max, Vy max,...; le pncpe de supeposton dot ête utlsé dans une secton dote quelconque mas ben défne. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 53/93

54 9. REPRESENTTION DES CHRGES REPRTIES Les tos epésentatons c-dessous sont équvalentes, emplace la chage épate pa sa ésultante n'est légtme qu'en statque, ca on s'ntéesse aux fontèes ( bones, lmtes ) du domane étudé, alos qu'en Résstance des Matéaux on pénète dans la matèe. Isolons un tonçon de poute su lequel est applquée la chage épate p : p p en KN/m h h = hozontal l équvalence P unquement en statque P = p l =p' l / cos α p' α P est la ésultante, c'est un nvaant. On en dédut que p' = p cos α p' = p cos α l cos α p' en KN/m de poute ( selon le ampant ) p' cos α 3 p' sn α p' sn α p' α p' cos α α Ces 3 epésentatons sont équvalentes en statque et en R. des M. La n est ntéessante pou la détemnaton du dagamme des moments, la n 3 pou les dagammes de N et Vy. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 54/93

55 . NLYSE DE L STILITE D'UNE STRUCTURE. : DEINITION DU DEGRE D'HYPERSTTICITE D'UNE STRUCTURE PLNE COMPOSEE DE POUTRES... OJET vant de se lance dans la ésoluton d un poblème de statque su une stuctue plane, l est nécessae de véfe s le poblème peut ête ésolu pa la seule applcaton des pncpes qu égssent la statque. En d autes temes, cette echeche va nous condue à détemne le nombe d équatons possbles et le nombe d nconnues du système. La dfféence ente ces valeus sea appelée degé d hypestatcté de la stuctue.... DEINITION Degé d hypestatcté (L) = Nombe d nconnues () - Nombe d équatons S L = La stuctue est sostatque. S L > La stuctue est hypestatque d'ode L S L < La stuctue est hypostatque, c'est un mécansme, système défomable à ejete ou à tansfome pa le concepteu. Sot une stuctue plane, composée de n soldes. Pou note exemple c-dessous, en statque on dstngue 3 soldes. la noton de solde est assocée la caactéstque de gdté, d ndéfomablté ce qu ce tadut pa la contnuté de la matèe. On emaque sngulatés aux ponts et 3. L exstence de ces atculatons et 3 cée une patton de la stuctue en 3 soldes : le solde -3, le solde -- 3 et 3-4. Pou détemne le nombe d équatons possbles, nous allons décompose la stuctue dfféemment. Cette nouvelle modélsaton dstngue les baes des nœuds. Une bae sea délmtée pa un nœud ogne et un nœud extémté, elle ne dot pas ête nteceptée pa une aute bae. Une bae peut ête dote, fomée de segments de dote, coube mas appatenant à un même plan. Pou chaque bae, le PS pemet d éce 3 équatons. Sot b le nombe de baes, le nombe d équatons possbles est égal à 3b. Le nombe d'nconnues est obtenu en solant tous les nœuds j. Le nœud, ben que pont géométque su le schéma mécanque appaaîta comme un solde su la modélsaton. Selon le type de lason ente l extémté d une bae et le nœud ntecepté on comptablse pou un encastement pafat ou une extémté dte gde 3 nconnues pou une atculaton nconnues pou un appu smple nconnue pou un encastement moble ou déplaçable nconnues En solant le nœud j, on obtent j, nombe d nconnues au nœud j, en sommant les nconnues povenant des extémtés des baes lées au nœud j consdéé, cependant ces nconnues ne sont pas ndépendantes, ca nous pouvons applque le PS au nœud (3 équatons pou un nœud stable, c est-à-de non susceptble de se déplace). Le nombe d'nconnues de la stuctue appelé degé d'hypestatcté noté L : L = 3b - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 55/93

56 3 4 Exemple: la stuctue c-conte est consttuée de 4 baes ( b = 4 ) et défne pa 4 nœuds. 4 consttue le nombe mnmum de baes que l on peut obten. ae - ae -3 lgne bsée fomée de segments dots ae 3-4 ae -3 segment dot ute décomposton 3 4 la stuctue c-conte est consttuée de 6 baes ( b = 6 ) et défne pa 6 nœuds. 5 6 ae - ae -3 ae 3-4 ae 4-5 ae 5-6 ae -5 Pou détemne la valeu de ans que L l faut modélse la stuctue en fasant appaaîte les nœuds. Remaque concenant la valdté du degé d hypestatcté L : Sa valdté suppose qu aucune pate de la stuctue étudée ne sot pas hypostatque. Panneau défomable Cette stuctue est un mécansme, ben que le calcul de L donne : L=. Le panneau cental est un paallélogamme qu consttue une sous stuctue défomable. Il manque une dagonale nécessae pou gdfe le panneau. Pa conte, dans le panneau de gauche, nous avons placé une bae excédentae. Cette compensaton masque l nstablté de cette constucton. stuctue mpope à la constucton Stuctue endue stable - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 56/93

57 .3. MODELISTION DE L STRUCTURE On va epésente la stuctue en dstnguant les nœuds et les baes Modélsaton des lasons ppu smple tculaton Encastement pafat Noeud gde Encastement moble.3... Modélsaton de la stuctue 3 est un nœud dt gde est un encastement pafat 3 4 o - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 57/93

58 Détemnons le nombe d'nconnues de lason en solant les dfféents nœuds de la stuctue. Isolons le nœud. La bae est encastée su le nœud d'où 3 nconnues. De plus, nous avons 3 nconnues ( les actons de contact au nveau de l'encastement avec la fondaton. ) L'équlbe du nœud fount 3 équatons. Nombe d'nconnues ndépendantes: = = = = 5 I3 = 7-3 = 4 I4 = = 3 = = 4 j j = = 5 L = 3 b = 5 = 3 La stuctue est hypestatque d'ode REMRQUE SUR L REPRESENTTION DES NOEUDS OU TOUTES LES RRES Y SONT RTICULEES ttenton: un nœud ou une bae dot ête stable. Il faut ête vglant los de la déclaaton des elaxatons des extémtés des baes exemples de nœuds nstables localement, c'est à de qu'ls peuvent toune su eux mêmes nœuds endus stables atculaton su une semelle ntesecton de tos baes atculées. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 58/93

59 .5. STRUCTURES CONSTITUEES DE RRES RTICULEES UX NOEUDS Exemple 6 7 epésentaton du nœud L = - 3 b Sot n le nombe de nœuds. Sot b le nombe de baes. Sot e le nombe d'nconnues de lason avec le mleu extéeu apès l solement de la stuctue. Les baes étant atculées, nous avons toujous nconnues à chacune des extémtés. En solant chacun des nœuds, la statque donne équatons. Nous pouvons expme : = (nconnues) * (extémtés) * b (baes) + e - (équatons) *n (nœuds) = 4b + e - n L = 4b + e - n - 3 b = b + e - n L = b+ e n Sot L e le degé d'hypestatcté extéeu. L e = e - 3, cela coespond au nombe d'nconnues de lason apès l'solement de l'ensemble du tells. Sot L le degé d'hypestatcté ntéeu. L = b+ e n L = L e + L L e = e - 3 L = L - L e = b n Sot une stuctue étculée sostatque extéeuement : ntéeuement L = == b+ 3 n b= n 3 e = 3 L =,, de plus la stuctue est sostatque e ( ) stuctue sostatque b = n 3 b = n 3 est une condton nécessae mas non suffsante d sostatcté de la stuctue. ( ) stuctue hypostatque nt éeuement b < n 3 b < n 3 est une condton nécessae et suffsante pou que la stuctue sot hypostatque ntéeuement. Défnton d un système smplement tangulé : système matéel étculé composé de tangles juxtaposés, chaque bae ntéeue fomant un coté commun à tangles. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 59/93

60 Pou un tel système, nous pouvons établ une elaton ente le nombe de baes b et n le nombe de nœuds. Une stuctue consttuée de 3 baes atculées aux extémtés fome un tangle. Un tangle est un système ndéfomable. b = 3 n= 3 n = 3+ b= 3+ Le fat d ajoute nœud se tadut pa la mse en place de baes supplémentaes. Pou j nœuds cela coespond à j baes supplémentaes n= 3+ j b= 3+ j Elmnons j dans ces expessons j n b = n 3 = 3, ( ) b= 3+ n 3 = n 3 Nous venons de monte que : ( ) stuctue tangulée smplement b = n 3 stuctue tangulée smplement sostatque nt éeuement b= n 3 - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 6/93

61 pplcaton numéque. En utlsant la méthode généale: L = - 3 b = ( ) - 3 b b = L = ( ) - 3 * = = En utlsant la fomule spécfque des tells: b = ; n = 7 ; a = 4 L = b + a - n = * 7 = ; L e = 4-3 = ; L = La stuctue est globalement hypestatque d'ode, hypestatque extéeuement d'ode et ntéeuement sostatque. Cela sgnfe que la connassance des actons de contact pemet de détemne tous les effots nomaux dans les baes. Le poblème est de détemne les actons de contact, ce sea l'objet du chapte concenant le calcul des stuctues hypestatques, lequel est abodé en ème année. Exemple pplcaton numéque. b = ; n = 6 ; e = 3 En utlsant la méthode généale: L = - 3 b = ( ) - 3 b L = ( ) - 3 * = = En utlsant la fomule spécfque des tells: b = ; n = 6 ; e = 3 L = b + e - n = * 6 = ; L e = 3-3 = ; L = La stuctue est globalement hypestatque d'ode, sostatque extéeuement et ntéeuement hypestatque d'ode. Cela sgnfe que les actons de contact peuvent ête détemnées, pa conte, nous ne pouvons pas attende les effots nomaux dans les baes, ce sea l'objet du chapte concenant le calcul des stuctues hypestatques. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 6/93

62 .6. MECNISME. S le nombe d'nconnues de lason est nféeu au nombe d'équatons, la stuctue est hypostatque. C'est un mécansme qu s'effonde sous la monde acton. C'est une stuctue à posce en constucton. Pou ende le potque c-conte sostatque, l faut emplace une atculaton pa un encastement. Pou ende le potque c-dessus sostatque, l faut place une bae en dagonale s la celle-c est susceptble de epende des effots de compesson. snon, place deux baes en dagonale s celles-c ne sont pas capables de epende des effots de compesson. Les éléments qu assuent la stablté globale de la stuctue fome ce que communément on nomme le conteventement. Palée de stablté - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 6/93

63 La stuctue c-dessous est un mécansme L = - 3. b = - I C D ' I C' C D I C D L'nstablté se manfeste pa un déplacement tès mpotant. toune autou de, DC toune autou de D, C = 'C' Cette confguaton est stable tant que passe pa I. Pou ende la stuctue c-dessus stable l faut pa exemple, ncopoe une bae supplémentae EH, ou place une bae C ou D. Le nouveau système est sostatque. L = - 3. b = I E C H D TTENTION SI LES RRES SONT CONCOURNTES. Confguaton ctque - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 63/93

64 I E C H D S passe pa I, l'équlbe du système est ndétemné. S ne passe pas pa I, l exste des effots nfns qu se développent dans les baes. Pa exemple la ésultante de + C CD C + C CD C a pou suppot CI = a même suppot que la ésultante de R CDC E + EHC C On touve alos que les effots dans les baes tendent ves l'nfn. Ce ésultat n'a aucune sgnfcaton physque, en éalté, le système se défome de manèe tès sensble dès que des foces même fables sont applquées. On obtent ans des systèmes qu, ben que géométquement ndéfomables, sont tès défomables en éalté pace qu'l n'exste pas de matéaux ayant un module de YOUNG nfn. De tels systèmes nommés systèmes à confguaton ctque sont évdemment à posce des constuctons. La confguaton ctque est une popété puement géométque ( ne dépend pas des foces applquées ). Dans un système à confguaton ctque, des vaatons de longueu du second ode des baes entaînent des déplacements du e ode des nœuds, donc nfnment gands pa appot aux vaatons de longueu des baes. Il en ésulte que pou calcule coectement un tel système, on ne peut plus néglge les déplacements des nœuds ésultant des vaatons de longueu des baes, l'hypothèse de ""déplacements petts " de l'élastcté et de la ésstance des matéaux classque n'est plus valable et les équatons d'équlbe ne sont plus lnéaes. Consdéons la stuctue élémentae consttuée pa baes atculées ente elles et stuées dans le même polongement l une de l aute. S les baes étaent dsjontes en, leu extémté lbe décat un ac de cecle de centes espectfs et C. Ces cecles sont tangents en. Il s ensut que sous l effet d une chage extéeue quelconque, l extémté de la bae tendat à se déplace d une pette longueu suvant la tangente au cecle de cente, cependant la bae C ne pouat s oppose effcacement à ce déplacement. ; De tès fables chages engendent des effots nomaux consdéables dans les baes. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 64/93

65 Pou le cas c-dessous, les cecles de cente et C n ont pas de tangente commune en, ce qu end mpossble tout déplacement du peme ode de. pat du système pécédent déplaçable à baes atculées, on en obtent un nouveau, non déplaçable, en postonnant les baes atculées ente elles non algnées..7. EXEMPLES DE STRUCTURES (DEGRE D HYPERSTTICITE DETERMINER) EXEMPLE - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 65/93

66 EXEMPLE EXEMPLE 3 EXEMPLE 4 - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 66/93

67 EXEMPLE 5 EXEMPLE 6 EXEMPLE 7 poute contnue - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 67/93

68 EXEMPLE 8 poute sous tendue EXEMPLE 9 palée de stablté - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 68/93

69 . STRUCTURES ISOSTTIQUES... DEINITION D UNE STRUCTURE ISOSTTIQUE Les sollctatons sont défnes en toute secton pa les seules équatons de la statque... COROLLIRE Les sollctatons ne dépendent pas des caactéstques des éléments..3. THEOREME Toute sous stuctue d une stuctue sostatque est elle même sostatque..4. INVENTIRE DES STRUCTURES LES PLUS COURNTES.. Poute sostatque à tavée unque.. Poute sostatque à tavée unque qu se polonge en console à une ou aux deux extémtés. 3. Poute en console. 4. Poute dte " Cantleve " - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 69/93

70 5. Potques sostatques. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 7/93

71 .5. COMPRISON DES STRUCTURES ISOSTTIQUES ET HYPERSTTIQUES STRUCTURES ISOSTTIQUES. Les équatons de la statque suffsent pou détemne les actons de contact On peut donc utlse la R des M pou dmensonne. p STRUCTURES HYPERSTTIQUES. Le nombe d'nconnues de lason. ( actons de contact ) est supéeu à celu des équatons de la statque. La statque, seule, ne pemet pas de ésoude le poblème. Il faut fae appel à la R. des M. Le degé d'hypestatcté est égal à la dfféence ente le nombe d'nconnues et le nombe d'équatons. Les systèmes S, S (c-dessous) sont tous les deux hypestatques d'ode. S p C 3 équatons de la statque 4 nconnues de lason X, Y, Y C, Y. p S Dans le cas ou un appu peut se déplace ( pa exemple en C ), les actons de contact dans S sont dfféentes de celles de S p C p Les actons de contact en et estent nchangées, même s l'une d'elle coespond à un appu élastque ( essot, flotteu,...). Les tassements dfféentels n'ont pas d'nfluence su la stuctue sostatque. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 7/93

72 Influence de la tempéatue. u moment de la éalsaton de l'ouvage, à l'nstant to, la tempéatue est To Dans le cas d'une stuctue hypestatque, les vaatons de tempéatue T = T - To povoquent des défomatons paastes non néglgeables et ndusent des actons mécanques aux appus et des sollctatons ( N effot nomal, V effot tanchant, M moment fléchssant ) le long de la stuctue. Ceux-c sont à pende en compte dans les calculs des ouvages losque la potée est mpotante ou losque T est gand. L l'nstant t, la tempéatue est T avec T >To L + L L ' ( ) L = λl T T L λ est le coeffcent de dlataton themque pou l'ace λ =, -5 / C Dans une stuctue sostatque le déplacement engendé pa la défomaton themque peut s'effectue tout à fat lbement. Dans un système sostatque, s on modfe le matéau ( epésenté pncpalement pa son module d'young ) ou sa secton dote ( epésentée pncpalement pa son ae, ses moments quadatques, ), les déplacements dffèent mas pa conte les sollctatons seont dentques donc nvaantes. Pa conte, dans un système hypestatque, la modfcaton du matéau ou de la secton dote engende des sollctatons et des déplacements dfféents. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 7/93

73 . METHODES GRPHIQUES.. EXEMPLE D PPLICTION Pou des poblèmes smples, ces méthodes se dstnguent pa leu smplcté et la apdté de ésoluton d'où une cetane effcacté. On se popose de détemne les actons de contact au nveau des lasons,, C. = 4 kn. Le pods pope de la stuctue est néglgé. D étant un encastement, l exste en ce pont un moment d encastement, avec les pocédés usuels utlsés l ne nous sea pas possble de détemne gaphquement les actons de contact en ce pont C 3 8. D 4. Pou l analyse statque, l faut suve la méthodologe ndquée su la fche synthèse. En statque gaphque, le epèe global n est pas nécessae. Il faut epée et nomme les dfféents soldes, (c, ls sont au nombe de 3) pus étude la stablté de cette stuctue en détemnant son degé d hypestatcté. S la stuctue complète ou une pate de celle-c est un système matéel dt défomable, l faut la modfe pou la ende gde, snon la efuse. Dans une stuctue, l faut, en peme leu, sole les soldes soums à foces (notamment les baes b-atculées de pods pope néglgé) C 3 C D D stuctue hypestatque de degé stuctue hypostatque ou mécansme, cette stuctue est dte défomable, elle est à posce en Géne Cvl. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 73/93

74 .. THEOREMES ONDMENTUX Nous allons énonce théoèmes mpotants pou la ésoluton de systèmes matéels gdes. Théoème pou un solde ou un système matéel gde soums à foces. Théoème pou un solde ou un système matéel gde soums à 3 foces.... Théoème pou un solde ou un système matéel gde soums à foces Théoème pou un solde ou un système matéel gde soums à foces. Un solde soums à l acton de foces este en équlbe s les foces sont de même ntensté (ou nome) et dectement opposées (dectement opposées sgnfe même suppot et de sens contaes) Le fat de de : «este en équlbe» sgnfe qu ntalement, avant l applcaton des foces, le système matéel gde état déjà en équlbe pa appot au epèe. ute fome mons ntéessante pou le constucteu elatve à un système matéel quelconque, gde ou non : S un système matéel est en équlbe sous l acton de foces, celles-c sont nécessaement dectement opposées. Cela sgnfe que pou un système matéel quelconque, cette condton est nécessae mas pas suffsante. démonstaton : Sot un solde S soums à foces Nous noteons le système d actons ( S ) ( ) RS = + = = ( ) ( ) M S = M + M = o Nous chosssons le pont pa exemple, o =,,. pplquons le PS M= M = cela mplque que le bas de leve pa appot à de la foce passe pa. est nul. utement dt le suppot de = suppot commun - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 74/93

75 solde en équlbe aute exemple de solde soums à foces en équlbe la fome de la poute (ou solde) ente les atculatons et n ntevent pas pplcaton au poblème étudé Théoème pou un solde soums à foces. / Un solde soums à l acton de foces este en équlbe s les foces sont de même ntensté (ou nome) et dectement opposées. = Taducton mathématque: / / suppot commun Pou chaque applcaton, vous devez énonce le théoème ans que sa taducton mathématque. / attenton : ce théoème ne pemet pas de pécse l ntensté et le sens des foces. Su le schéma c-conte, nous avons ndqué le suppot sans pécse le sens qu est nconnu. Pou ête en accod avec les usages mathématques, pou une détemnaton analytque, l est péféable de chos un sens, pa hypothèse, (vo le chapte concenant la epésentaton des actons) / Pa exemple : Pa hypothèse nous chosssons le sens de / que la bae sot sollctée en tacton. de telle façon Théoème Un solde soums à l acton de foces este en équlbe s les foces sont de même ntensté et dectement opposées. Taducton mathématque: / = / suppot commun Le théoème mpose le sens de / / - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 75/93

76 ... Théoème pou un solde ou un système matéel gde soums à 3 foces Un solde ou un système matéel gde soums à l acton de 3 foces este en équlbe s les 3 foces sont : coplanaes concouantes en un pont I ou paallèles ou colnéaes leu ésultante est nulle. Le fat de de : «este en équlbe» sgnfe qu ntalement, avant l applcaton des actons, le système matéel gde état déjà en équlbe pa appot au epèe. ute fome mos ntéessante pou le constucteu : s un système matéel est en équlbe sous l acton de 3 foces, celles-c sont nécessaement : coplanaes concouantes en un pont I ou paallèles ou colnéaes leu ésultante est nulle. Cela sgnfe que pou un système matéel quelconque, ces 3 condtons sont nécessaes mas pas suffsantes. démonstaton P O 3 P3 Sot S un système matéel soums à ( S ) (,, ) plan P Sot O un pont du suppot de M o o ( S ) = = 3 plan P3 pplquons le PS M+ M+ M= O O O 3 M= M+ M= O O O 3 3 M O = M O 3 o M O est un vecteu othogonal à P et M O 3 est un vecteu othogonal à P 3, comme ces deux vecteus dovent ête opposés, nous en dédusons que les plans P et P 3 sont confondus, nous noteons P ce plan. Deux cas peuvent se podue - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 76/93

77 e cas : 3, se coupent en I ème cas : 3, sont paallèles ou colnéaes, avec des suppots dstncts ou dentques I 3 3 P P I pplquons l aute équaton du PS RS = + + = ( ) + = notons = 3 3 Nous pouvons emplace les foces 3, pa pa le pont I ntesecton des suppots des foces, 3 3 passant 3 3 P 3 - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 77/93

78 = avec = 3 P I 3 Nous pouvons utlse le théoème pécédent elatf à un système soums à foces. Ces foces sont nécessaement dectement opposées. plan P et passe pa I ute asonnement = avec = 3 est un vecteu // au plan P M S = M+ M+ M = ( ) I I I I 3 M I + M I 3 = plan P et passe pa I o d apès la défnton du pont I d où M= I I 3 3 P P - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 78/93

79 ..3. pplcaton au poblème poposé solons le solde ; bae C = le suppot est connu = / / Les deux foces /, concouent en I ce qu mplque que le suppot de C 3/ passe pa I Dans le plan des foces on tadut + + C = / 3/ ttenton la géométe de la stuctue dot ête epésentée à l échelle I Sot le pont O ogne des foces, on chost une tel échelle des foces. On tace le vecteu connu que l ogne de ce vecteu sot confondue avec O. Pus passant pa l extémté de on tace le suppot de l une des foces nconnues / pa exemple, pus pa l ogne O le suppot de / ca la ésultante étant nulle, l extémté du dene vecteu tacé dot coesponde avec l ogne de peme vecteu tacé. C 3 / C 3 / C Plan des foces O Ogne C 3 / / On en dédut les sens et les ntenstés des foces / et C 3/. Remaque : Dans le cas de 3 foces paallèles, l est péféable d utlse la méthode analytque. Résoude ce poblème pa la méthode analytque : Détemne les actons de contact au nveau des lasons,, C, D. avec = 4kN - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 79/93

80 ..4. Losque le système matéel étudé, c le solde de note exemple, est soums à 4 foces dont de connues, l est possble d utlse le théoème pécédent. Pou cela, l faut emplace les foces connues pa leu ésultante généale. + = avec passant pa K. I K C C / C 3 / / C 3 /..5. ute cas patcule : le système étudé est soums à 4 foces dont une pafatement connue, pou les 3 autes seul leu suppot est connu. Sot le système suvant : α a 4 E L-a χ H β Q C D 3 h Étude gaphque: cas : Q =, On sole d'abod les baes b-atculées:,4,3, pus on sole. solons le solde La ésultante est nulle: E4/ + C3/ + / + = / + = Ravec E4/ + C3/ = R avec R+ R = R passe pa I R passe pa I R passe pa I Nous pouvons détemne l'ensemble des actons de contact. R passe pa I et - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 8/93

81 Géométe de la stuctue à l'échelle: R I Plan des foces: Pou la ésoluton gaphque l faut connaîte = 4kN E / E 4/ C 3/ I R utes execces: execce : Détemnaton gaphque dans le cas : =, Q Q = kn execce Détemnaton analytque: ésoluton lttéale cas :, Q = cas : =, Q cas 3 :, Q - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 8/93

82 3. NOTIONS SUR LE ROTTEMENT Dans les études pécédentes, nous avons consdéé les lasons pafates. En patque, la éalté est plus complexe. Nous allons c tate le cas des lasons mettant en jeu des sufaces de contact. Les los su le fottement découlent de l expémentaton de Coulomb et Mon. 3.. DEINITIONS S deux sufaces en contact se déplacent ou glssent l une pa appot à l aute, on dt qu l y a fottement. Losque ces deux sufaces tendent à glsse mas ne se déplacent pas, on dt qu l y a adhéence. 3.. MISE EN EVIDENCE EXPERIMENTLEMENT. ETUDIONS L EQUILIRE D UN SOLIDE EN ORME DE PRLLELEPIPEDE RECTNGLE NOTE SOLIDE ET POSE SUR UN PLN INCLINLE α Nous allons fae vae l angle α nstable état lmte de stablté P P stable P α <ϕ adhé ϕ adhé α > ϕ adhé P G - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 8/93

83 3... Cas du plan hozontal état schéma du système Isolement du solde (paalléléppède ectangle) et nventae des actons. Compléte le schéma c-dessous G G Le solde est soums à foces, dont le pods pope noté =. La lason ente le paalléléppède ectangle et le plan est du type contact plan. L équlbe du solde nous pemet de détemne le toseu de l acton du plan su le solde. On utlse le théoème elatf à un cops soums à foces. { } P = Γ / I I La ésultante est othogonale au plan de contact, la lason se compote comme un contact du type pafat. le pont d applcaton I coespond à l ntesecton du suppot du pods pope du solde avec le plan de contact. P m g 3... Cas du plan nclné d un angle α su l hozontale On constate que : α< ϕ adhé le solde este en équlbe α > ϕ adhé le solde glsse su le plan nclné Il exste un angle patcule noté ϕ adhé coespondant à l équlbe lmte - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 83/93

84 3... cas α ϕ < adhé, on sole, nventae des actons ( P m g R ) =, / schéma du système Isolement du solde (paalléléppède ectangle) et nventae des actons P P Compléte le schéma c-dessus pplquons le PS c est à de c le théoème elatf à un cops soums à foces, R R P / = suppot commun / n est plus othogonale au plan tangent de contact, s on décompose cette foce suvant une composante appatenant au plan de contact et une composante othogonale au plan de contact, on emaque que la composante tangentelle est opposée au sens de déplacement possble. Cette foce est qualfée de foce d adhéence. Le pont d applcaton I ne coïncde plus avec le cente de gavté de la suface de contact (ectangle), ce pont se déplace losque α vae. Ce pont I est l ntesecton de P avec la suface de contact. Le toseu de l acton du plan su le solde se édut à { Γ } I P = / I R/ ϕ G N/ I I T/ P - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 84/93

85 3... cas α = ϕ adhé, c est l équlbe lmte on sole, nventae des actons ( P = mg, R/ ) R/ P I ϕ adhé P cas α > ϕ adhé, le solde est en mouvement P P α Losque α > ϕ adhé, R pas de cette poston. On emaque alos que et. R/ + P le solde est en mouvement, l y a fottement ente / est stué su le cône de fottement de dem angle au sommet noté ϕ et ne bouge On constate que l angle ϕ est légèement nféeu à ϕ adhé ϕ ϕ < adhé. L angle ϕ est nommé angle de fottement. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 85/93

86 3.3. UTRE EXPERIENCE : SOIT LE MEME SOLIDE POSE SUR UN PLN HORIZONTL ET SOUMIS UNE ORCE D INTENSITE VRILE. ON CONSTTE QU IL EXISTE UNE VLEUR LIMITE l, TELLE QUE SI LE SOLIDE EST EN EQUILIRE, ET SI < l LORS > l LE SOLIDE EST EN MOUVEMENT P G En applquant le théoème elatf à un solde soums à 3 foces, on demande d étude les 3 états suvants. En dédue l acton de contact R / ans que son pont d applcaton I. < l P G = L = l P G > = P.tanϕ l l adhé P G - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 86/93

87 T l=p tan(ϕadhé) P tanϕ N=P T N P adhéence fottement 3.4. LOI DU ROTTEMENT DITE DE COULOM ϕ est appelé angle de fottement, cet angle ne dépend que de la natue des matéaux en contact, de la ugosté des sufaces de contact (lsse, ugueux) et de l état des sufaces de contact (sèche, lubfée,...). Losque les matéaux en contact sont dentques, ϕ est appelé angle de fottement ntene. En pemèe appoxmaton, on peut admette que ϕ est ndépendant de la pesson de contact, de la fome des sufaces de contact, de l ae des sufaces de contact, de la vtesse de glssement. µ = tan ϕ est appelé coeffcent de fottement Valeus du coeffcent de fottement µ = tan ϕ et du coeffcent d adhéence tanϕ adhé pou dfféents matéaux dhéence fottement matéaux état des sufaces de contact état des sufaces de contact à sec lubfé à sec lubfé bos bos à.7.6 à.4 ace ace ace fonte.9. sufaces sèches.6 sufaces gassées.8 à.4 ace bonze....9 Téflon ace.4.4 béton ace.4 pneu chaussée.8 oute sèche.6 à.7 oute moullée.35 à.6 oute veglacée. métaux bos.6 à.5..5 à..8 à. métal glace CONCLUSION l équlbe, la ésultante des actons de contact est stuée à l ntéeu du cône d adhéence, dgée ves la matèe, sa composante tangentelle su le plan de glssement s oppose au mouvement. Le pont d applcaton I dot appaten à la suface de contact, snon l y a basculement. l équlbe lmte, la ésultante est stuée su le cône d adhéence. S le solde est en mouvement, la ésultante est stuée su le cône de fottement. l équlbe, la ésultante ne peut sot du cône d adhéence. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 87/93

88 4. ICHE SYNTHESE METHODOLOGIE SUIVRE LORS D'UNE NLYSE STTIQUE D'UNE STRUCTURE PLNE.. Défn l objectf du poblème Pa exemple : détemne les actons de contact au nveau des appus ou dans les lasons ntenes ente les dfféents soldes, dans le but de tace les dagammes des sollctatons dans la stuctue ou ben de dmensonne les fondatons, l assemblage au nveau des appus, les assemblages ntenes.... Chos le epèe global Y Z o Repèe Global X Ce epèe est ndspensable los d une ésoluton analytque. L ogne peut ête pse quelconque, le chox consste à défn la decton de l axe des Y, généalement les foces étant vetcales, on a tout ntéêt à utlse celu epésenté cdessus. 3. Repée les soldes consttuant la stuctue en les nommant,,,, 3, 4,...,,..., n. est ésevé au mleu extéeu non étudé. Losque tos baes au mons ( ou soldes ) sont atculées su un nœud, pou évte des dffcultés au nveau de la désgnaton ndcelle, l est péféable de consdée ce nœud comme un solde et l'sole s nécessae. 3 Le nœud est consdéé comme un solde et à ce tte pote un numéo Pécse les hypothèses concenant la natue des lasons En géne cvl, les lasons communes utlsées sont au nombe de 3 et l faut les connaîte pafatement. On dstngue : l appu smple, l atculaton ou lason pvot, l encastement. 5. Étude la stablté de la stuctue en détemnant son degé d'hypestatcté L. Il faut epésente la stuctue en dstnguant les baes des nœuds. S L <, la stuctue étant nstable, elle est sot à ejete, sot à modfe. S L >, la stuctue étant hypestatque, l faut fae appel aux méthodes de la R. des M. S L =, la stuctue est sostatque ( les équatons de la statque suffsent pou détemne les actons de contact ). 6. Chos le solde ( ou l'ensemble des soldes ) que l'on dot sole, en le délmtant, ans que l'ode d'solement, et cec avant tout calcul. Pou chacun des solements, l sufft de fae l'nventae des nconnues, ce nombe devant ête nféeu ou égal à 3 pou avalse ce chox. D'une manèe généale, d'abod sole les soldes b-atculés ( soldes soums à deux foces ). On dot alos se pose la queston : la ésoluton est-elle possble à pat des éléments calculés du blan pécédent? S ce n est pas le cas, l faut détemne d autes éléments en solant d autes soldes et en utlsant le théoème des actons mutuelles. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 88/93

89 7. Isole: c'est extae et epésente le schéma mécanque complet pou chacun des soldes (ou ensemble de soldes) solés. Pou fae un nventae complet des actons de contact, on dot toujous se pose la queston suvante "Quels sont les éléments qu étaent pécédemment lés au solde solé et que je n'a pas epésentés su ce schéma?" Il faut toujous especte la ègle fondamentale suvante: su le solde solé, au nveau des ponts de lason des éléments élmnés, l faut emplace ceux-c pa leu acton, compte tenu du type de lason. On dstnguea: les actons connues ( données ou ssues d'un calcul pécédent ), s vous connassez les valeus numéques, emplacez les valeus lttéales pa celles-c, sauf s l'énoncé exge de ésoude unquement avec les valeus lttéales avec généalement en fn d énoncé, l'applcaton numéque. les actons à dstance ( le pods pope pou ce qu nous concene ) losque le pods pope est néglgé, l faut l ndque comme hypothèse smplfcatce. les actons de lason, j'atte vote attenton su la nécessté d'ndque pa le moyen d'ndces l'acton du solde enlevé su le solde solé. P p P p epésentaton à évte attenton! l est possble de emplace une chage épate pa sa ésultante généale, mas unquement apès avo solé la pate de stuctue su laquelle elle s exece. Remaque : Pafos, l est possble, compte tenu de la syméte, de amene un poblème spatal à un poblème plan. 8. Détemne les composantes des foces. On dot éce les coodonnées (composantes) des foces su une même lgne X Y ; P P = pl avec P, p, l paamètes postfs X, Y sont des composantes donc des valeus algébques dont le sgne nous est nconnu, le sgne est mplctement comps dans l'éctue X ou Y. Pou le fae appaaîte (le vsualse) l faut connaîte l'expesson lttéale ou numéque pa exemple P = pl. 7. pplque le Pncpe ondamental de la Statque. ( P..S. ) pou chacun des systèmes solés. nalytquement, cela se tadut pa l'éctue de 3 équatons algébques. Le pncpe de supeposton ans que théoème des actons mutuelles peuvent s'avée d'une gande utlté. Pou l éctue de l équaton des moments, le chox du pont de calcul est mpotant. Pou chaque détemnaton de moment, l faut pocéde pa ode : le sgne, l ntensté de la foce, le bas de leve. 8. ae un schéma complet de la stuctue. (cotaton,...) Schéma des solutons avec les valeus lttéales ou numéques pécédemment détemnées. Su ce schéma dovent fgue les chages épates et non leus ésultantes, ca ce schéma va nous sev pou le tacé des dagammes des sollctatons. Rapdement, véfe que les foces s équlbent. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 89/93

90 5. DEGRE D HYPERSTTICITE : UTRE METHODE DE DETERMINTION On découpe la stuctue en soldes élémentaes, baes et nœuds. La epésentaton est dentque à celle que nous utlsons. Les nœuds lés au mleu extéeu n ont pas à ête évélés. b+ n le nombe de soldes sot ( ) e le nombe d encastements a le nombe d atculatons p le nombe d appus smples la statque fount 3. ( b+ n) équatons le chox de la décomposton génèe ( 3e a p) + + nconnues L = 3e+ a+ p 3 b+ n On appelle degé d hypestatcté ( ) ( ) Remaque au leu de décompose en nœuds et baes, on peut décompose en baes unquement. Cependant le schéma ne dot pas fae appaaîte les nœuds. b=4 e=5 a= p= L=5 - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 9/93

91 Méthode de véfcaton de l'sostatsme : On décompose la stuctue en baes (dotes, bsées c-a-d composées de tonçons dots ou coubes) non nteceptés pa d autes baes. On pose : = nombe de baes ou soldes consttuant le système matéel. Nombe de lasons ntéeues au système matéel «ensemble» à l excluson des lasons avec le mleu extéeu P = nombe d'appus smples (ponctuel) = nombe d'atculatons E = nombe d'encastements et I = nombe total d'nconnues de lasons su chaque bae ou solde consttuant le système matéel les lasons avec le mleu extéeu dovent ête consdéées Pou détemne le degé d hypestatcté : L= I- ( E +. + P) 3. epésente le nombe d équatons dédutes du PS PS applqué à chaque bae ou solde + 3.E +. + P epésente le nombe d équatons dédutes du Pncpe des actons mutuelles PM applqué à chaque lason ntéeue E +. + P = nombe d'équatons founes pa la statque Pou que le système matéel sot sostatque l faut que L= : La condton nécessae «d'sostatsme» est véfée pou le système matéel s: nb. nconnues = nb. équatons de la statque Exemples : Rappel : l'sostatsme est ndépendant des foces applquées = E= = P= I = L=-3=- C est un mécansme (stuctue hypostatque) À ejete = E= = P= I =3 L=3-3= C est une stuctue sostatque = E= = P= I =4 L=4-3= C est une stuctue hypestatque de degé C = E= = P= I =8 L=8-8= C est une stuctue sostatque - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 9/93

92 C = E= = P= I = 4 L=4-3= Hypestatque de degé C = E= = P= I = 8 L=8-8=3 sostatque C = E= = P= I = 6 L=6-3=3 Hypestatque de degé 3 D C D C D E ' E' E =6 E=6 = P= I = 4 4 baes et noeuds L=4-36=6 Hypestatque de degé 6 Losqu'une bae est contnue su une lason ntéeue, on ntodut une bae fctve supplémentae au nveau de cette lason. E = E= = P= I = 8 baes L=8-=6 Hypestatque de degé 6 - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 9/93

93 C D E vec baes fctves C D C' D' E =7 E=6 =4 P= I = 5 L=5-47=5 Hypestatque de degé 5 E C D =3 E= = P= I = L=-5=5 Hypestatque de degé 5 C C D D =3 E= = P= I = 3 La stuctue est consttuée de 3 baes. Le nombe de lasons ntéeues: atculatons en C, D. L atculaton de la bae C su le nœud et l atculaton de la bae D su le nœud sont des lasons extéeues I=.4+.+=3 L=3-3= sostatque - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 93/93