CARACTERISTIQUES DES SECTIONS PLANES

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1 CRCTERITIQUE DE ECTION PLNE OENT TTIQUE D UNE ECTION PLNE oient une aie pane et une doite Le moment statiue de a section pa appot à m est défini pa intégae : m ( ) ( ) δ d (doénavant, on note e moment statiue pa appot à m ) d δ o d Les moments statiues pa appot au aes et s epiment pa : m d et m d Remaues : 1 Le moment statiue est omogène à un voume I s epime en mm, cm etc Le moment statiue d une section pa appot à un ae ueconue passant pa son cente de gavité est nu Le moment statiue d une section pa appot à un ae de smétie est nu, puisue cet ae passe pa son cente de gavité 4 u a figue ci-dessus, on peut note ue : + d Pa conséuent : m m + d (cette epession est vaae uniuement si es doites et sont paaèes) i ae passe pa e cente de gavités de, e moment statiue pa appot à est donné pa : d m ession de mise à niveau oût 7 1/5 Lennoui-dou

2 CENTRE DE GRVITE D UNE ECTION PLNE La distance d G du cente de gavité d une section pane à une doite est définie pa a eation suivante : m d G Cette eation pemet aussi de cacue e moment statiue d une section connaissant a position de son cente de gavité d G G OENT D INERTIE, RYON DE GIRTION D UNE ECTION PLNE Le moment d inetie I de a section pa appot à est défini pa intégae : I δ d Le aon de giation de a section pa appot à est donné pa a eation : I Pou es aes et, nous avons : I d, I d, I et I Téoème d Hugens : Le moment d inetie I d une section pa appot à un ae ueconue, situé dans e pan de cette section, est éga au moment d inetie I G pa appot à ae G, paaèe à et passant pa e cente de gavité G augmenté du poduit de a gandeu de a suface pa e caé de distance ente es deu aes et G : I I + G d G d G G G OENT POLIRE D UNE ECTION PLNE Le moment d inetie poaie d une section pa appot au point O est donné pa intégae : K d ( + ) d I I K + d O ession de mise à niveau oût 7 /5 Lennoui-dou

3 PPLICTION : Énoncé G oit une section caée de ageu et de auteu On demande de cacue e moment statiue et e moment d inetie de cette section pa appot au deu aes suivants : - Un ae vetica () passant pa e côté gauce de a section - Un ae vetica ( G ) passant pa e cente de gavité de a section G Cacu de m oution m et I : d d d ( ) d m d De même : m Remaue : Le coi de a position de ae n infue pas su a vaeu du moment statiue I d d d ( ) d I d De même : I Touvons a position du cente de gavité pa appot à ae : m d Et pa appot à ae : m d ession de mise à niveau oût 7 /5 Lennoui-dou

4 ession de mise à niveau oût 7 4/5 Lennoui-dou Cacu de G m et G I : ( ) d d d d m G 4 4 d m G ( ) d d d d I G d I G + De même : ( ) d d d d I G d I G + DEVOIR Eecice 1 Cacue e moment statiue et e moment d inetie d une section cicuaie de diamète d, pa appot au deu aes vetica () et oizonta () passant pa son cente de gavité Indication : Utiise es coodonnées poaies : [ ] Π et sin cos d θ θ θ vec : θ d d d Eecice êmes uestions pou une section cicuaie ceuse (voi figue ci-conte) d d d G G

5 Eecice oit a conièe epésentée ci-conte On demande de cacue : - on cente de gavité - Les moments d inetie pa appot à G et G e e Eecice 4 êmes uestions pou a section ci-conte : ppication numéiue : 15mm 75mm e 1mm e e ession de mise à niveau oût 7 5/5 Lennoui-dou

6 L TTIQUE Nous nous imitons dans e cade de ce cous au soides indéfomaes en configuation idimensionnees LE ORCE Définition d une foce Une foce est une action mécaniue capae de cée une accééation, ce ui induit un dépacement ou une défomation de ojet En ésistance des matéiau, une foce est une gandeu vectoiee définie pa : - Une diection : doite d action - Un sens : pemet d estime e mouvement u ee va poduie (foce motice ou de ésistance) - Un point d appication - Une intensité : epimée en Newton ctions et éactions Un cops pacé su un so oizonta, soumis uniuement à son poids pope, este en éuiie pace ue e so eece su a suface de contact (ente e cops et e so) une éaction R égae et opposée au poids du cops (voi eempe ci-apès) Les degés de ieté de dépacement d un soide Les degés de ieté de dépacement d un soide epésentent es possiiités de dépacements d un soide osu i est ie Dans e cas d un poème idimensionne, e degé de ieté de dépacement d un soide est éga à : - Deu tansations dans es diections ( u ) et ( u ) - une otation dans e pan ( ) autou de ae z ( θ z ) u θ Z u ession de mise à niveau oût 7 6/5 Lennoui-dou

7 Eempe : Un cops, d une masse de caactéisée pa : - a diection : veticae - on sens : ves e as (pesanteu) - on point d appication : cente de gavité du cops - on intensité : P m g N La éaction de a suface de pose est aussi scématisée Ce cops peut se dépace seon es deu diections et, et peut toune autou d un ae pependicuaie au pan Kg est posé su une suface pane on poids P est une foce LE OENT DE ORCE Le moment d une foce epime aptitude d une foce à faie toune un sstème mécaniue autou d un point, appeé pivot Pou une iustation, nous considéons eempe ci-conte i intensité de a foce est nue, e poids de P fait toune a pouie dans e sens tigonométiue Cette otation est povouée pa e moment de P éga à intensité de cette foce mutipiée pa e aon intéieu de a pouie (otation pa appot à ae de a pouie) P P ( ) fin d évite cette otation, i faut éuiie ce moment pa un moment éga en vaeu asoue et de sens opposé La foce fait toune a pouie dans e sens des aiguies d une monte (sens opposé à ceui de P ) on moment est éga à : ( ) R fin d assue cet éuiie, a foce doit avoi pou intensité : e P R i > e : a pouie va toune dans e sens des aiguies d une monte opposé, si < a pouie va toune dans e sens tigonométiue e m Kg P R G R P ession de mise à niveau oût 7 7/5 Lennoui-dou

8 PPLICTION EN GENIE CIVIL Tpes de foces Les foces en génie civi sont diveses Ees peuvent ête : - Ponctuees (ou concentées epimées en Kg,t, N ) : essieu d un - Répaties (epimées en Kg m, t m, N m ) : effet du vent, poids de a neige, pession appiuée pa un iuide etc Tpes de iaisons Les iaisons (appuis) sont des dispositifs pemettant d empêce totaement ou patieement un ou pusieus dépacements (tansation ou otation) ppui simpe : Un appui simpe pemet de oue a tansation dans une seue diection Pou eempe ci-conte : u u et θ z fin ue a tansation dans a diection soit ouée, une foce veticae ( ) se déveoppe au niveau de appui (éaction d appui) ppui doue (aticuation) Un appui doue pemet de oue es tansations dans es deu diections Pou eempe ci-conte : u u θ z fin ue es tansations soient ouées, deu foces veticaes ( et ) se déveoppent au niveau de appui Encastement L encastement oue tous es dépacements (tansations et otation) : u θ u z Pa conséuent, es effots déveoppés au niveau de encastement sont : X Z Y ession de mise à niveau oût 7 8/5 Lennoui-dou

9 z EQUILIRE D UN OLIDE L éuiie d un sstème est égi pa e pincipe fondamenta de a statiue : Deu conditions sont nécessaies et suffisantes pou éuiie d un soide indéfomae : - La ésutante généae des foces (actions et éactions) appiuées à ce soide est nue : - Le moment ésutant de toutes es foces appiuées à ce soide, cacué pa appot à un point ueconue est nu : Dans e cas idimensionne, et apès pojection des effots, éuiie du cops est donné pa : / z Nous disposons de tois éuations ( k ), et es inconnues du poème ( ) sont es éactions d appui Nous pouvons constate es tois cas suivants : - i < k : e sstème est instae ou postatiue - i k : e sstème est isostatiue (statiuement déteminé) - i > k : e sstème est pestatiue Le degé d pestaticité du sstème est éga à ( k ) Ces tois cas sont iustés dans a figue ci-dessous C C Un appui simpe en ( ) Un appui simpe en ( ) et k, e sstème est instae En effet, e dépacement seon n est pas oué Un appui simpe en ( ) Un appui doue en (, ) k, e sstème est isostatiue Les éuations de a statiue pemettent de détemine es éactions d appui Un appui simpe en et C (, C ) Un appui doue en (, ) 4 et k, e sstème est pestatiue Les éuations de a statiue sont insuffisantes pou détemine es éactions d appui ession de mise à niveau oût 7 9/5 Lennoui-dou

10 Remaue : L pestaticité d un sstème ne dépend pas du cagement Ee dépend uniuement du tpe de iaisons et de eu nome ppication oit une poute de ongueu, soumise à une cage unifomément épatie t m On demande de cacue es éactions d appuis En : un appui simpe, donc une éaction veticae En : un appui doue (ou aticuation), donc une éaction veticae et une éaction oizontae Le pincipe fondamenta de a statiue (P) pemet d écie ue : / z + (1) () () Remaue : Pou e cacu du moment, i faut coisi un sens de otation positif Dans cet eempe, e moment est considéé positif dans e sens tigonométiue Le coi de ae de otation (pou e cacu des moments) n a pas d infuence su a détemination des éactions d appuis Dans ce cacu, nous avons coisis de e cacue pa appot à un ae passant pas e point Ce coi pemet d avoi une epession en seu, ca e moment de pa appot à est nu L éuation (1) donne diectement L éuation () pemet de cacue L epession de Remaue : injectée dans éuation () pemet de cacue Pou des aisons de smétie, nous avons es éactions d appui Cette popiété pemet aussi de cacue DEVOIR Les eecices du capite «La statiue» sont communs avec e capite «Etude des poutes doites isostatiue» (voi Page ) ession de mise à niveau oût 7 1/5 Lennoui-dou

11 ETUDE DE POUTRE DROITE IOTTIQUE THEORIE DE POUTRE Définition d une poute Une poute est un soide engendé pa une aie pane (Σ) dont e cente de gavité G décit une coue C et ui se dépace en estant nomae à cette coue G (Σ) C On appee (Σ) a section doite ou a section tansvesae de a poute Losue a coue C est pane, a poute est dite pane i C est une doite, nous avons une poute doite Hpotèses fondamentaes de a téoie des poutes Hpotèse de aint Venant Enoncé : «Les containtes poduites pa un sstème de foces dans une section Σ éoignées du point d appication de ces foces ne dépendent ue de a ésutante généae et du moment ésutant du sstème G des foces appiuées à gauce de Σ» Hpotèse de Navie-enoui Enoncé : «Les sections doites Σ estent panes dans a défomation de a poute» ession de mise à niveau oût 7 11/5 Lennoui-dou

12 Loi de Hooke Enoncé : «Les containtes sont popotionnees au défomations» Pou a définition des containtes et des défomations voi page 1 Le coefficient de popotionnaité ente a containte et a défomation est appeé modue d Young ou modue éastiue E CONTRINTE GENERLIEE ET OLLICITTION oicitations V (Σ) V z G t N z z Patie gauce Patie doite oit une poute en éuiie sous action d un sstème de foces etéieues (foces ponctuees, foces épaties, moments etc) Effectuons une coupe afin d isoe a patie gauce de a patie doite fin ue a patie gauce este en éuiie, i doit eiste un toseu d action de continuité appiué pa a patie doite su a patie gauce (pincipe fondamenta de a statiue) Ce toseu s epime dans e epèe ( G,,, z) pa : 1) Une ésutante généae : R N + V + Vz z La pojection de R seon ae est effot noma N, et seon es aes et z est effot tancant seon a diection considéée ) Un moment ésutant : ( G) + + z t et z sont es moments de feion et t est e moment de tosion L effot noma, effot tancant, e moment de tosion et e moment de feion sont appeés soicitations z ession de mise à niveau oût 7 1/5 Lennoui-dou

13 Containtes généaisées oit un point P situé su a suface Σ (voi figue ci-dessous) Ce point est défini pa es coodonnées (,, z) et pa une suface éémentaie d (infiniment petite) On admet u en caue point de a suface d, a patie doite eece une foce de coésion popotionnee à a suface d : f f d f est e vecteu containte en P seon a diection n i on considèe successivement es tois diections otogonaes, et z, on peut défini e tenseu des containtes au point P pa : σ σ τ τ z τ σ τ z τ z τ z σ z i on s intéesse à a suface aant pou nomae e vecteu unitaie diigé seon, es containtes appiuées à cette suface sont : - Une containte nomae σ (diigée seon ) - Une containte tangentiee τ diigée seon - Une containte tangentiee τ z diigée seon z G P d n (Σ) f ( P, n) τ σ τ z z τ z τ z P σ z τ z τ σ z Remaues : - La containte dépend du sstème de foces etéieues appiué et de a section considéée (aie et oientation de a nomae) - Epéimentaement, et pou caue tpe de matéiau, une containte imite admissie est définie u-deà de cette containte, éément considéé suit une détéioation de ses caactéistiues mécaniues Le cacu de a «Résistance des matéiau» est de véifie ue es containtes engendées pa es effots etéieues ne dépassent pas a containte imite admissie du matéiau ession de mise à niveau oût 7 1/5 Lennoui-dou

14 Eempe : ae soumise à un effot noma de taction (tiant) oit un tiant d une section soumis à un effot de taction N i on effectue une coupue à une distance de etémité gauce du tiant, e pincipe N fondamenta de a statiue pemet de déduie ue toutes es sections (indépendamment de a distance ) sont soicitées en taction La containte appiuée à toutes ces sections est donnée pa : N σ (La containte est omogène à une pession) N ous effet de a foce appiuée (containte), e matéiau suit un aongement En supposant ue a ongueu initiae du tiant est, sa ongueu apès défomation est donc : + La défomation ongitudinae dans a diection est définie pa : ε eon a oi de Hooke, a eation ente a containte appiuée et défomation engendée est a suivante : σ E ε E est e modue d Young ou e modue éastiue CONVENTION DE IGNE Nous considéons es soicitations positives somme iusté su a figue ci-dessous V N V N ession de mise à niveau oût 7 14/5 Lennoui-dou

15 ELORTION DE DIGRE DE VRITION DE, V ET N Nous pésentons à taves eempe iusté ci-apès es étapes à suive pou étai es diagammes de vaiation de, V et N oit une poute de ongueu 6m, soumise à une cage unifomément épatie 4t m On demande de tace es diagammes du moment fécissant, de effot tancant V et de effot noma N Les appuis : En : un appui simpe, donc une éaction veticae En : un appui doue (ou aticuation), donc une éaction veticae oizontae et une éaction 1) Cacu des éactions d appuis Les éactions d appuis ont déjà été cacuées dans e capite «La statiue» Nous appeons ci-dessous es ésutats otenus : t et 1t ) Définition des epèes ocau Pou cette poute es epèes ocau sont pésentés su a figue ci-conte : Remaue : dans e cas d un potiue, ae des ascisses coespond à a fie moenne de éément (montant ou tavese) Un potiue est un sstème constitué de montant(s) et de tavese (s) Tavese C ontant ession de mise à niveau oût 7 15/5 Lennoui-dou

16 ) Effectue des coupues Les epessions des soicitations (, V et N) dépendent du cagement et des conditions d appuis Dès ue ces epessions cangent, i faut effectue une découpe suppémentaie Deu cas sont iustés ci-dessous : C C 1 C 1 1 a Une seue coupue C 1 suffit Deu coupues C1 et C sont nécessaies 4) Tace es diagammes de, V et N fin de tace es diagammes du moment fécissant, de effot tancant V et de effot noma N, i faut étai eus epessions et ce pou caue coupe Repenons eempe de a poute isostatiue soumise à une cage unifome En effectuant a coupue C 1, a poute est sépaée en deu paties (doite et gauce) La détemination des soicitations s effectue en epimant éuiie de une des deu paties I faut note ue es effots appiués à doite de a coupue éuiient es effots appiués à gauce de cette même coupue (voi eu sens su a figue ci-dessous) C 1 V() () () C 1 t N() N() V() Patie gauce Patie doite En appiuant e pincipe fondamenta de a statiue à a patie gauce de a poute, on otient : ession de mise à niveau oût 7 16/5 Lennoui-dou

17 ession de mise à niveau oût 7 17/5 Lennoui-dou ( ) ( ) ( ) ( ) + + () () (1) / V V N z ( ) ( ) ( ) ( ) 1 V N Donc : - En ( ), effot tancant est éga à : ( ) t V 1 (éuiie a éaction d appui) - En ( ), effot tancant est éga à : ( ) t V 1 (éuiie a éaction d appui) ( ) ( ) ( ) ( ) V Donc, su appuis en ( ) et en ( ) e moment fécissant est nu : ( ) ( ) m t Le moment ma est otenu à mi-tavée pou : ( ) m t 18 8 Remaue : i on appiue e pincipe fondamenta de a statiue à a patie doite de a poute, nous etouvons es mêmes epessions de, V et N Démonstation : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + () () (1) / V V N z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 V N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V pati des epessions de ( ), ( ) V et ( ) N, i est possie de tace eus vaiations

18 V() 1t () 18tm -1t N() t Remaue : L effot tancant est a déivée du moment fécissant pa appot à : V ( ) eation ente effot tancant et a cage est : ( ) dv d ( ) d La d Tpes de soicitations simpes tite indicatif, on pésente ci-apès ueues tpes de soicitations (es pus couantes) Taction ou compession simpe i es soicitations appiuées su une section se ésument en : N( ) V ( ), f ( ) on dit u ee soumise à a taction ou à a compession simpe Eempes : - Un tiant : éément soicité en taction simpe - Un poteau : éément encasté soumis à un effot de compession N ( ) ession de mise à niveau oût 7 18/5 Lennoui-dou

19 Tiant Poteau eion simpe i es soicitations appiuées su une section se ésument en : N( ) V ( ) ou V ( ), f ( ) on dit u ee est soumise à a feion simpe Losue effot tancant est nu (moment fécissant constant), a section est soumise à a feion pue V ( ) ( ) Cisaiement pu i es soicitations appiuées su une section se ésument en : N( ) V ( ), f ( ) on dit u ee est soumise au cisaiement pu V ( ) C DE YTEE PLN EN TREILLI RTICULE Un sstème en teiis aticué est un sstème composé de aes eiées ente ees pa des aticuations On appee nœud es aticuations communes à pusieus aes Losue es aes des aes et es cages appiuées sont situés dans e même pan, on pae de sstème pan ession de mise à niveau oût 7 19/5 Lennoui-dou

20 Nous distinguons : - Les sstèmes cagés indiectement : toutes es foces etéieues sont appiuées au nœuds - Les sstèmes cagés diectement : es foces sont appiuées au nœuds ou su es aes On s intéesse dans ce cous au sstèmes en teiis cagés indiectement Dans ce cas, es aes sont soicitées pa des effots nomau (taction ou compessions) tansmis pa es nœuds Nous avons défini pécédemment es sstèmes isostatiues et es sstèmes pestatiues Dans e cas des sstèmes en teiis, e degé d pestaticité H est donné pa : ( + ) n H vec : : e nome de aes : e nome de iaisons dans es appuis n : e nome de nœuds emue supéieue Eempe : Pou e sstème epésenté ci-conte : 14 n 8 ( pou appui doue et 1 pou appui simpe) ontant emue inféieue Diagonae ( + ) ( 14 + ) 8 1 H n Pou ue ce sstème soit isostatiue, i faut especte a condition suivante : + n n ( ) Pou 8 nœuds, i faut 1 aes (voi figue ciconte) Remaue : On peut ende un sstème en teiis isostatiue, en modifiant e nome de nœuds ou de aes voi a poposition ci-conte pou e même sstème n 1 17 ession de mise à niveau oût 7 /5 Lennoui-dou

21 étode des nœuds I eiste pusieus métodes pemettent de cacue es effots dans es aes : - étodes gapiues (tacé de Cémona) - étodes anatiues (métodes des nœuds, métodes des sections) On ésume dans cette patie a métode appeée «métode des nœuds» Nous signaons ue ueue soit e tpe de métode utiisée, i faut pocéde en pemie au cacu des éactions d appuis Le pincipe de cette métode consiste à isoe un nœud pa des coupues, iéant des effots dans es aes et à pojete tout es effots (effots nomau et foces etéieues) agissant su e nœud suivant deu aes pependicuaies On commencea oigatoiement pa un nœud ui ne compote ue deu aes ( éuations pou deu inconnues) Puis on se dépace à un nœud adjacent ession de mise à niveau oût 7 1/5 Lennoui-dou

22 DEVOIR Pou enseme des eecices : - Véifie si e sstème est isostatiue - Pou es sstèmes isostatiues : o Cacue es éactions d appuis o Tace es diagammes du moment fécissant, de effot tancant V et de effot noma N Eecice 1 : Poute consoe (encastée en ) de potée Le cagement : Une cage épatie su une ongueu ppication numéiue : 6m 4t m Eecice : Poute consoe (encastée en ) de potée Le cagement : Une cage concentée P en ppication numéiue : 6m P 5t P Compae ces ésutats avec ceu otenus en eecice 1 Eecice : Poute consoe (encastée en ) de potée Le cagement : - Une cage épatie su une ongueu - Une cage concentée P en ppication numéiue : 4m t m P 6t P ession de mise à niveau oût 7 /5 Lennoui-dou

23 Eecice 4 : Poute consoe ie en C Le cagement : - Une cage épatie su une ongueu - Un coupe en C ppication numéiue : 6m t m 6t m / C Eecice 5 : Poute consoe ie en C et D R 1 C /m / / / D Le cagement : - Des cages épaties de fomes difféentes : 4t m et 1 t m - Une cage concentée (incinée de ) : R 8t Eecice 6 : Un potiue constitué de deu montants C et D et d une tavese CD Les appuis : Un appui simpe en Un appui doue en Le cagement : - Une cage concentée su C : R 1t appiuée à une distance de 4m de - Deu cages épaties de même intensité ( t m ) appiuées su CD et D ession de mise à niveau oût 7 /5 Lennoui-dou

24 1m R 4m C D m 4m Eecice 7 : Un potiue constitué de deu montants C et D et de deu taveses CE et ED eiées pa une aticuation Les appuis : - Un encastement en - Un appui simpe en - Une aticuation en E Le cagement : - Un coupe 4t m - Une cage concentée su ED : R 8t appiuée à une distance de m de E - Une cages épatie su CE ( 1 t m ) - Une cages tianguaie su D ( t m ) 1 R C E D 1,5m 1,5m 4m m m ession de mise à niveau oût 7 4/5 Lennoui-dou

25 Eecice 8 : P 1 P Teiis Le cagement : Deu cages concentées : P1 5kN P 8kN C D 4m m Eecice 9 : Poute à teiis Le cagement : Deu cages concentées : P1 5t P 1t Pou appication numéiue, on pend a m a P 1 P a a a ession de mise à niveau oût 7 5/5 Lennoui-dou