DEUXIEME ANNEE TRONC COMMUN TECHNOLOGIE TRAVAUX DIRIGES DE PHYSIQUE VIBRATIONS ONDES

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1 UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE A TECHNOOGIE HOUARI BOUMEDIENNE INSTITUT DE PHYSIQUE DEPARTEMENT DES ENSEIGNEMENTS DE PHYSIQUE DE BASE DEUXIEME ANNEE TRONC COMMUN TECHNOOGIE TRAVAUX DIRIGES DE PHYSIQUE VIBRATIONS ONDES A.C. CHAMI, H. DJEOUAH, S. KESSA Edition

2 SOMMAIRE RAPPES DE MATHEMATIQUES.... DYNAMIQUE DU SOIDE EN ROTATION AUTOUR D'UN AXE... 5 EQUATIONS DE AGRANGE OSCIATIONS IBRES DE SYSTEMES A UN DEGRE DE IBERTE. 8 OSCIATIONS IBRES DE SYSTEMES AMORTIS A UN DEGRE DE IBERTE.. OSCIATIONS FORCEES DE SYSTEMES A UN DEGRE DE IBERTE. 5 OSCIATIONS IBRES DES SYSTEMES A PUSIEURS DEGRES DE IBERTE. OSCIATIONS FORCEES DES SYSTEMES A PUSIEURS DEGRES DE IBERTE..3 GENERAITES SUR ES ONDES 7 CORDES VIBRANTES...9 ONDES EASTIQUES DANS ES SOIDES 34 ONDES MECANIQUES DANS ES MIIEUX DISCRETS ONDES ACOUSTIQUES DANS ES FUIDES. 36 ONDES EECTROMAGNETIQUES 39 PROBEMES ET SUJETS D EXAMENS.43

3 RAPPES DE MATHEMATIQUES TRIGONOMETRIE : Eecice : Un déplacement hamonique est décit pa (t)cos(πt/5) ( en mm, t en secondes et la phase en adians). Détemine : (a) la féquence et la péiode du mouvement; (b) l'amplitude du déplacement, de la vitesse et de l'accéléation; (c) le déplacement, la vitesse et l'accéléation au instants ts et t.s. Eecice : Un accéléomète indique que l'accéléation d'un dispositif mécanique est sinusoïdale de féquence 4Hz. Si l'amplitude de l'accéléation est de m/s, détemine l'amplitude du déplacement et de la vitesse. Eecice 3 : Un mouvement hamonique est décit pa (t)x cos(t+ϕ). es conditions initiales sont ()4.mm et & ( ).m/s. a) Calcule X et ϕ. b) Epime (t) sous la fome A cos(t) + B sin(t) et en déduie les valeus de A et B. Eecice 4 : Monte que (t) sin(t) + 3 cos(t) peut se mette sous la fome : (t) X cos(t+α). Quelles sont les valeus de X et α? Eecice 5 : Repésente gaphiquement les vaiations au cous du temps d'un mouvement péiodique décit pa: a) (t) 3 sin(πt) + 3 sin(πt); b) (t) 3 sin(πt) + 3 sin(.πt). DEVEOPPEMENT EN SERIES DE FOURIER Eecice 6 : ) Repésente gaphiquement chacune des fonctions suivantes dont la péiode est égale à T. Pécise la paité de chacune de ces fonctions : ft () t pou T/ t a) f(t) t pou -T/ t T/ b) ft () t pou t T/ c) e) f(t) a pou T / t f(t) a pou t T / ft () pou T/ t ft () t pou t T/ d) f(t) t pou -T/ t T/ ) Calcule les coefficients du développement en séie de Fouie de chacune de ces fonctions. 3) Quelle est la valeu moenne su une péiode de chacune de ces fonctions?

4 3 NOMBRES COMPEXES : Eecice 7 : Epime les nombes complees suivants sous la fome Z Z ejφ : 3 a) j 3 b) - c) d) 5j 3 j 3 3 j e) f) ( 3 + j)( 3+ 4j) g) j + 3j+ 3 j 3 4j EQUATIONS DIFFERENTIEES : h) ( ) 8 Eecice 8 : Calcule et epésente gaphiquement la solution de l'équation difféentielle homogène : +. b) () et ( ). 4, pou les conditions initiales suivantes : a) () et ( ) Eecice 9 : Pou les conditions initiales suivantes : calcule et epésente gaphiquement les solutions des équations difféentielles homogènes suivantes: a) () et ( ). b) () et ( ). c) () et ( ) , calcule et epésente gaphiquement la solution généale de chacune des équations difféentielles inhomogènes suivantes : Eecice : Pou les conditions initiales () et ( ) cos(3t) cos(t) cos(3t) cos(3t) cos(3t) Eecice : Calcule la solution paticulièe de chacune des équations difféentielles inhomogènes suivantes :. + 4 f(t) f(t) f(t)

5 4 f (t) apou T / t où f(t) est une fonction. de péiode T, définie pa : f (t) apou t T /

6 5 DYNAMIQUE DU SOIDE EN ROTATION AUTOUR D'UN AXE Eecice : Touve le moment d'inetie, pa appot à son ae de évolution, d'un clinde doit, plein et homogène, de aon R, de hauteu h et de masse M. Eecice : Utilise le théoème d'hughens pou touve le moment d'inetie d'un clinde pa appot à l'une de ses généatices. Eecice 3 : Soit une bae homogène de faible section, de longueu et de masse M. ) Calcule son moment d'inetie pa appot à un ae pependiculaie passant pa son milieu. ) Calcule son moment d'inetie pa appot à un ae pependiculaie passant pa une de ses etêmités. Eecice 4 : Une bae homogène de faible section, de masse M et de longueu, toune sans fottement dans un plan vetical autou d'un ae hoizontal fié à l'une de ses etêmités. ) Calcule son énegie mécanique. ) En déduie l'équation difféentielle qui égit son mouvement. Eecice 5 : Un clinde oule sans glisse su un plan incliné faisant un angle θ avec l'hoizontale. ) Calcule son énegie mécanique. ) En déduie son accéléation. Eecice 6 : Etabli l'équation difféentielle qui égit le mouvement d'une bille de aon qui oule sans glisse dans une demi sphèe de aon R. On se limitea à l'étude du cas paticulie du mouvement dans un plan vetical.

7 6 EQUATIONS DE AGRANGE DEGRES DE IBERTE ET COORDONNEES GENERAISEES Eecice : On considèe un point matéiel asteint à se déplace su un cecle de aon R et de cente contenu dans le plan O. ) Taduie la liaison pa une ou des elations mathématiques; quel est le nombe de degés de libeté de ce point? ) Quelles sont les coodonnées généalisées que l'on peut utilise pou epée ce point? Eecice : On considèe un point matéiel asteint à se déplace su une sphèe. Réponde au mêmes questions que l'eecice pécédent. Eecice 3 : Pou epée la position d'un solide dans l'espace, il faut epée la position de tois points non alignés A, B et C de ce solide. ) Taduie les liaisons phsiques pa des elations mathématiques; quel est le nombe de degés de libeté de ce solide? ) Quelles sont les coodonnées généalisées les plus couamment utilisées pou décie le mouvement d'un solide? 3) Quel est le nombe de degés de libeté pou un solide qui possède : a) un point fie? b) deu points fies? Eecice 4 : On considèe une haltèe constituée de deu masses identiques m, supposées ponctuelles, eliées pa une tige de longueu a, de diamète et de masse négligeables. ) Comment s'écit mathématiquement la liaison ente les deu masses? ) Quel est le nombe de degés de libeté de ce sstème? EQUATIONS DE AGRANGE POUR ES SYSTEMES CONSERVATIFS Eecice 5 : On considèe une masse M qui glisse sans fottement selon une doite su un plan hoizontal. Elle est eliée à un bâti fie pa un essot pafait de aideu, colinéaie avec la tajectoie. ) Quel est le nombe de degés de libeté? ) Quelles sont les foces qui s'eecent su la masse M. Quelles sont celles qui déivent d'un potentiel? Quelles sont celles qui ne tavaillent pas? 3) Calcule l'énegie cinétique et l'énegie potentielle de ce sstème; en déduie l'équation difféentielle du mouvement pa la méthode des équations de agange. 4) Etabli l'équation difféentielle du mouvement en utilisant la seconde loi de Newton; que emaque-t-on? Quelles sont les foces qui n'inteviennent pas dans l'équation de agange et qui sont pises en compte dans les équations de Newton? Quelle est leu paticulaité? Eecice 6 : On considèe un pendule simple constitué d'une masse m eliée à un point fie O pa un fil de longueu l et de masse négligeable. Cette masse peut oscille libement dans le plan vetical O.

8 ) Quel est le nombe de degés de libeté de ce sstème? Quelles sont les coodonnées généalisées les plus patiques à utilise? Ecie les coodonnées et de la masse m dans le epèe O en fonction des coodonnées généalisées choisies. ) Quelles sont les foces qui s'eecent su la masse m. Quelles sont celles qui déivent d'un potentiel? Quelles sont celles dont le tavail n'est pas nul au cous du mouvement? 3) Etabli les équations du mouvement pa la méthode des équations de agange. 4) Ecie les équations du mouvement pa la méthode de Newton; etouve-t-on le même ésultat que pa la méthode de agange? Détemine le module de l'action du fil su la masse m; pouvait-on détemine ce module pa la méthode de agange? Commente le ésultat. Eecice 7 : Etudie le mouvement d'un clinde de masse M et de aon R, qui oule sans glisse le long de la ligne de plus gande pente d'un plan incliné qui fait un angle θ avec l'hoizontale. 7 EQUATIONS DE AGRANGE POUR ES SYSTEMES NON CONSERVATIFS Eecice 8 : Etudie à l'aide des équations de agange, le mouvement d'une masse M qui glisse su un plan incliné faisant un angle θ avec l'hoizontale, avec un coefficient de fottement de glissement µ. a masse est soumise de plus à une foce F(t) paallèle au plan incliné. Eecice 9 : Etudie, à l'aide des équations de agange, le mouvement d'un clinde de masse M et de aon R autou de son ae de évolution fié hoizontalement, entaîné en otation pa l'action de foces etéieues dont le moment pa appot à l'ae de otation est M(t). Eecice : Une paticule de masse m est lâchée sans vitesse initiale dans un fluide caactéisé pa un coefficient de fottement visqueu α. Etudie son mouvement à l'aide des équations de agange. Eecice : Etabli l'équation difféentielle du mouvement, dans un plan vetical, d'une masse ponctuelle m eliée à un point O pa une tige de longueu R et de masse négligeable. a masse est soumise à une foce F(t) qui este pependiculaie à la tige los du mouvement. es foces de fottement de viscosité peuvent ête amenées à une foce f()α t v appliquée à la masse m dont la vitesse instantanée est v. e coefficient de fottement visqueu α est supposé constant.

9 8 OSCIATIONS IBRES DE SYSTEMES A UN DEGRE DE IBERTE Eecice: Association de essots Calcule la féquence des oscillations pou chacun des sstèmes suivants: m m m Eecice : Oscillateu électique Un cicuit électique est constitué d'une self (de ésistance supposée négligeable) et d'un condensateu de capacité C. a capacité possède une chage Q. A l'instant initial., l'inteupteu K est femé puis le sstème oscille libement (voi figue). ) Ecie l'équation qui égit les vaiations de la chage q du condensateu au cous du temps. ) Résoude cette équation et détemine la péiode de cet oscillateu. Effectue l'application numéique pou.5h, C.5µF.et Q.5µC. 3) Calcule l'énegie du condensateu, celle de la self et l'énegie totale du cicuit. Que emaque-t-on? 4) Faie l'analogie avec une masse m accochée à un essot. +q -q K C i Eecice 3: Code plombée Une masse ponctuelle m glisse sans fottement su une table hoizontale. Elle est fiée à deu bâtis fies pa deu codes de masse négligeable tendues hoizontalement. En supposant que la tension T des codes este constante los du mouvement, calcule la péiode des oscillations pou de faibles amplitudes du mouvement dans la diection. Eecice 4 : Oscillations d'un icebeg Un icebeg de masse volumique ρ', assimilable à un paallélépipède égulie et homogène de masse M flotte su de l'eau de masse volumique constante ρ. Sa suface de base est S et sa hauteu est. On appelle que la poussée d'achimède qui s'eece su un m / / ρ' ρ

10 objet immegé est: PA ρ Vg 9 où V est le volume immegé et g l'accéléation de la pesanteu. ) Calcule, à l'équilibe, le volume immegé de l'icebeg en fonction de son volume total. a masse volumique de la glace est ρ'9 g/m 3 ; celle de l'eau est ρ g/m 3. ) 'icebeg est écaté d'une distance veticale h pa appot à sa position d'équilibe. Calcule la péiode de ses oscillations quand les fottements sont considéés comme négligeables. Faie l'application numéique pou 5m, hm, g9.8m/s. Eecice 5 : Pendule de tosion Une tige d'acie de constante de tosion C est soudée pa son etémité au cente d'un disque homogène de masse M et de aon R. 'aute etémité est encastée dans un bâti fie. Une masse m est soudée au point le plus bas du disque. On toune le disque d'un angle φ et on le lâche sans vitesse initiale. Détemine l'epession en fonction du temps de l'angle φ(t) d'écat du sstème pa appot à sa position d'équilibe. On néglige la fleion de la tige d'acie. φ M,R m C Eecice 6 : Métonome Un métonome est schématisé su la figue ci-conte. a masse M est soudée à l'etémité de la tige. a position de la masse m su la tige peut ête églée. a tige est supposée de masse négligeable; elle est mobile sans fottements autou de O. a masse M étant en bas, on l'écate d'un angle θ petit et on l'abandonne sans vitesse initiale. ) Quelle(s) condition(s) doit satisfaie le sstème pou M qu'il puisse oscille? ) Détemine l'epession de la péiode pou des oscillations de faibles amplitudes. 3) A.N.: Sachant que M 8g, m g et 4cm, détemine la distance l pou que la péiode du métonome soit égale à s. 4) On veut augmente la péiode d'oscillation du métonome. Faut-il appoche ou éloigne la masse m du point O? Eecice 7 : Dans les figues ci-dessous, une tige homogène de masse M et de longueu oscille sans fottement, dans un plan vetical, autou d'un ae fie pependiculaie au plan du mouvement en O. m l O θ

11 A O θ a M A O θ M a O a A θ M (a) (b) (c) ) Quelle est la défomation du essot à l'équilibe, sachant qu'à cette position θ? ) Etabli l'équation difféentielle du mouvement dans le cas des mouvements de faibles amplitudes. 3) A quelle condition le sstème de la figue (b) peut-il oscille? Quelle est la natue du mouvement losque cette condition n'est pas satisfaite? 4) Eplique pouquoi la péiode des oscillations est indépendante de g dans le cas de la figue (c). 5) Calcule l'effot appliqué su le mu au point A. Eecice 8 : On considèe le dispositif schématisé su la figue ci-conte. Un disque homogène M,R de masse M et de aon R est attaché pa son O O'.. ae à l'etémité d'un essot de aideu. Une tige igide, de longueu l, de masse négligeable, est solidaie du disque qui peut l oule sans glisse su un plan hoizontal. φ Détemine la pulsation pope du sstème. m Sachant qu'à t, la tige est écatée d'un angle petit φ pa appot à la veticale et lâchée sans vitesse initiale, détemine l'epession de φ(t). Donne l'epession de la vitesse de la masse m quand la tige passe pa la veticale. Eecice 9: Dans le sstème ci-conte, la code oule sans glisse autou du clinde de masse M5g et de aon R4cm, qui toune autou de son ae fie. Elle pote à son etémité une masse mg. Un essot de aideu 6 N/m, fié à un bâti fie, est accoché au point A distant de cm de l'ae du clinde. ) Sachant qu'à l'équilibe θ et dans l'hpothèse des oscillations de faible amplitude, établi l'équation difféentielle du mouvement. Donne l'epession de θ en fonction du temps pou les conditions initiales suivantes : θ(t) 5 et & θ(t). M A R m θ

12 ) Au bout de cinq péiodes d'oscillation, la masse m se décoche; quelle est la natue du mouvement à pati de cet instant? Autou de quelle position se font les oscillations? Calcule la nouvelle péiode du mouvement et l'amplitude des oscillations. 3) Tace le gaphe epésentant les vaiations de θ en fonction du temps pou <t<s. Eecice : Soit une masse m fiée à l'etémité d'une tige de masse négligeable et de longueu l. a tige effectue des oscillations de faibles amplitudes autou d'un ae fie passant pa le point O et m θ pependiculaie au plan du mouvement. e point A de la tige, tel que OAa, est elié à deu bâtis fies B et B espectivement pa deu essots de aideu et. A l'équilibe, la tige est veticale. a) Sachant qu'à l'équilibe, les essots ne sont pas défomés, établi l'équation difféentielle du mouvement du sstème. b) Si m,, et l sont donnés, quelle condition A O doit satisfaie la longueu a pou que le sstème puisse oscille? c) Cette condition étant satisfaite, détemine l'epession de la pulsation pope du sstème. B B Eecice : Oscillations d'un moment magnétique : On veut mesue la composante hoizontale du champ magnétique teeste B à l'aide d'un pendule fomé O' d'un aimant hoizontal de moment magnétique M et de masse M mobile dans le plan hoizontal, autou d'un ae d vetical OO'. 'aimant a la fome d'un paallélépipède ectangle de côtés, l et h. On toune ce baeau d'un angle θ pa appot à sa position d'équilibe et on l'abandonne sans vitesse initiale. m O m ) Sachant qu'aucun couple de tosion aute que magnétique n'agit su le sstème, écie l'équation du mouvement dans le cas où les fottements sont négligeables. En déduie la S N péiode d'oscillation du baeau dans le cas des faibles amplitudes. Retouve l'équation du mouvement en utilisant la méthode de agange. ) Calcule B si T 8, s, M A.m, cm, l h cm, M8g. 3) Dans la patique, on pocède autement afin d'évite le calcul du moment d'inetie J du baeau. 'epéience pécédente étant achevée, on la épète en plaçant su le baeau deu masses clindiques en cuive, de masse m 5 g, à des distances d 4 cm de l'ae OO'. a nouvelle valeu de la péiode est alos T ',7 s. Calcule B. N.B. On appelle qu'un aimant de moment magnétique M,placé dans un champ magnétique B, est soumis à un couple Γ M B.

13 OSCIATIONS IBRES DE SYSTEMES AMORTIS A UN DEGRE DE IBERTE Eecice : Une masse m g est montée su deu essots de aideu 4 N/m et un amotisseu de coefficient de fottement visqueu α3 g/s. A l'instant initial, la masse est écatée de 5 cm de sa position d'équilibe puis lâchée sans vitesse initiale. a) Calcule le déplacement et la vitesse de la masse m en fonction du temps. b) Quels sont le déplacement et la vitesse à l'instant t s? m α Eecice : e cicuit ci-conte est constitué d'un condensateu de capacité CµF, d'une bobine d'inductance.mh et d'une ésistance R pouvant pende les valeus Ω, 5Ω et Ω. e condensateu est initialement chagé sous une tension de 5V. A l'instant ts, on feme busquement l'inteupteu K. ) Etabli l'équation difféentielle qui égit les vaiations de la tension v(t) au bones du condensateu. ) Pou les tois valeus de la ésistance: a) Quelles sont les valeus de δ et? b) En déduie les vaiations de v(t) au cous du temps. c) Tace le gaphe de v(t) en fonction du temps. v C R Eecice 3 : Un bloc de masse 5 g est monté su un suppot en caoutchouc, de masse négligeable, qui se compime de 6.cm sous ce poids. Quand le bloc vibe libement, on enegiste les positions de la masse apès l'avoi déplacé de 5cm à pati de sa position d'équilibe (voi figue ciconte) Sachant que le tapis -6 de caoutchouc peut ête,,5, smbolisé pa un essot de t(s) aideu K associé à un,5, amotisseu de coefficient de fottement visqueu α, calcule ces coefficients K et α. (cm) K

14 3 Eecice 4 : e sstème de la figue ci-conte est constitué d'un clinde homogène de masse M et de aon R en otation autou de son ae de évolution fie. Un fil inetensible, de masse négligeable, entaîne le clinde sans glissement su sa péiphéie ; ses deu etémités sont eliées à un bâti fie (B) pa un essot de aideu K et un amotisseu de coefficient de fottement visqueu α. Quelle la valeu citique du coefficient α? Eecice 5 : e sstème mécanique de la figue cidessus est constitué d'une tige ectiligne AD, homogène, de masse M3g et de longueu m. Cette tige peut toune, dans le plan vetical, sans fottement, autou d'un ae hoizontal ( ) fie. es etémités A et D de la tige sont eliées au bâti fie B pa deu amotisseus identiques de coefficient de fottement visqueu α. e point C, milieu de la tige, est elié au bâti B pa un essot de aideu. A l'équilibe, la tige est hoizontale. α (B ) (B ) osque la tige est écatée de sa position d'équilibe d'un angle θ puis lâchée sans vitesse initiale, elle pend un mouvement oscillatoie amoti de pseudo-péiode s. On constate qu'au bout de 5 pseudo-péiodes, l'amplitude est égale à % de l'amplitude initiale. En déduie la valeu numéique de α puis celle de. Eecice 6: e sstème de la figue ci-conte est M R constitué d'un clinde homogène de masse Mg et de aon Rcm, O θ qui oule sans glisse su un plan A hoizontal. Une tige OA de longueu θ l K α lm et de masse négligeable, est soudée pependiculaiement su l'ae O du clinde. Son etémité A est eliée au plan hoizontal pa l'intemédiaie d'un essot de aideu K et d'un amotisseu de coefficient de fottement visqueu α. A l'équilibe, la tige OA est hoizontale. losque cette tige est écatée de cette position d'équilibe puis lâchée sans vitesse initiale, le sstème effectue des oscillations de petite amplitude faiblement amoties. / On supposea que la longueu l de la tige est gande devant le aon R du clinde. Monte que dans le cas des oscillations de faibles amplitudes, on peut considée que l'etémité A de la tige n'effectue que des oscillations veticales. A K θ a R C a ( ) a α (B) D α

15 4 / Sachant que la péiode des oscillations est Ts et que l'amplitude des vibations chûte de moitié apès 5 péiodes d'oscillation, calcule la aideu K du essot et le coefficient de fottement visqueu α.

16 5 OSCIATIONS FORCEES DE SYSTEMES A UN DEGRE DE IBERTE Eecice : Dans la figue ci-conte, on a: m 4.5 g, 35 N/m, α 3 g/s, F 3 N, d/s. Détemine l'amplitude de vibation du bloc de masse M et l'amplitude de la foce tansmise au sol. (t) F cos t m α Eecice : Un disque ciculaie homogène, de masse M, de aon R, peut oscille sans fottements autou de son ae hoizontal. Deu masses m et m sont soudées au etémités d'une tige de masse négligeable liée igidement au disque et passant pa O. es distances de m et m au cente sont notées espectivement l et l. Un essot vetical, de constante de aideu K a une etémité fie et l'aute est eliée au disque en un point A situé à une distance a de O. En position d'équilibe la tige est veticale avec m en bas et le point A est au même niveau que le cente O. e disque subit un fottement visqueu de coefficient α au point B. a masse m est soumise à une foce F(t)F cos(ωt) pependiculaie à la tige. Valeus numéiques : Mg, m m.g, K6N/m, Rcm, l 5cm, l 5cm, acm, gm/s, α7.5 - g/s. a) Etabli l'équation difféentielle du mouvement. b) Touve sa solution en égime pemanent. c) Calcule le facteu de qualité Q du sstème. d) Détemine la valeu de F pou qu'à la ésonance l'amplitude maimale soit égale à π/3 ad. K A F(t) m l a R O l m B α

17 6 Eecice 3 : a masse m, epésentée su la figue ci-conte, est soudée à l'etémité de la tige de longueu l de masse négligeable. Cette masse est soumise à une foce pependiculaie, sinusoïdale de pulsation. 'aute etémité est aticulée au point O. a tige est eliée au point A au bâti fie B pa un essot de coefficient de aideu et un amotisseu dont le coefficient de fottement vaut α. Elle est, en oute, eliée au bâti fie B pa un essot de aideu. a distance OA est égale à l/.. Détemine l'epession de l'amplitude des oscillations en fonction de la pulsation. En déduie la pulsation de ésonance.. Détemine la puissance instantanée et la puissance moenne founie au sstème. 3. Détemine la puissance instantanée et la puissance moenne dissipée dans le sstème. Conclusion. Eecice 4 : e dispositif mécanique ci-conte epésente le schéma de pincipe d'un appaeil de mesue de vibations. a masse m est liée pa deu essots et un amotisseu de coefficient de fottement visqueu α, un suppot igidement lié au sstème mécanique dont on veut étudie les vibations. e mouvement du suppot est epéé pa s(t) tandis que le mouvement de la masse est epéé pa (t). On étudie des vibations sinusoïdales de la fome s(t) S cos(ωt). 'oigine est pise à la position d'équilibe. ) Ecie le lagangien du sstème. En déduie l'équation du mouvement de la masse m en fonction de la coodonnée elative (t) (t) - s(t). ) Détemine la solution stationnaie (t). 3) Dans le cas de essots de faible aideu, la pulsation pope est petite devant la pulsation Ω. Donne dans ce cas l'epession de (t). Monte que l'on peut ainsi détemine facilement l'amplitude S de la vibation (on a éalisé ainsi un vibomète). 4) osque la aideu des essots est élevée, la pulsation pope est gande devant la pulsation Ω des vibations. Monte, dans ce cas, que l'on peut détemine facilement l'accéléation du suppot (on a ainsi éalisé un accéléomète). Eecice 5: (suite de l'eecice 5 de la page 3) e bâti B est maintenant animé d'un mouvement vetical sinusoïdal donné pa: X cos(ω t) où X cm. /Monte que l'équation difféentielle qui égit le mouvement du sstème peut s'écie: (t) s(t) P α m O θ m A / α / F(t) P

18 7 ( t) & θ + δθ & + θ A cos Ω On pécisea de manièe eplicite le teme A. Calcule sa valeu numéique. / Quelle est l'epession de la solution θ(t) losque le égime pemanent est établi? Véifie que le sstème est tès faiblement amoti; en déduie la féquence de ésonance et l'amplitude de θ(t) à la ésonance. 3/ Quelle est, à la ésonance, l'amplitude de la foce FT tansmise au sol pa chaque amotisseu? Eecice 6 : Un véhicule oulant est un sstème complee à plusieus degés de libeté. a figue ciconte peut ête considéée comme une pemièe appoimation d'un véhicule qui se déplace su une oute ondulée décite pa le pofil (t). Dans ce modèle simplifié, on suppose que: a aideu élastique des pneus est infinie, c'est-àdie que les ondulations de la oute sont intégalement tansmises à la suspension du véhicule. es oues ne décollent pas de la chaussée. vt m On s'intéesse uniquement au déplacement vetical (t) du véhicule dans le plan de la figue. On se place dans le cas simple où le véhicule se déplace hoizontalement à une vitesse constante v su une oute à pofil sinusoïdal ()Y sin(π/λ). ) Etabli l'équation difféentielle qui égit les vaiations au cous du temps de la coodonnée du véhicule. ) En déduie l'amplitude Y du mouvement du véhicule dans le sens vetical. 3) Application numéique m35 g, 35 N/m, vm/h, Λ5m, Y cm; a) pou α N.s/m, b) pou α N.s/m. Eecice 7 : es machines tounantes (moteus électiques, tubines, machines à lave, etc...) peuvent ête le siège de vibations impotantes ca tès souvent le cente de masse ne coïncide pas avec l'ae de otation. Pou limite ces vibations on utilise des suppots antivibatoies constitués généalement de caoutchouc enfocé. En aison de leus popiétés mécaniques ces suppots peuvent ête modélisés pa un amotisseu en paallèle avec un essot. On se popose d'étudie à tite d'eemple le cas d'une machine à lave le linge (figue). Soit M la masse de cette machine. a patie tounante est constituée d'un tambou de aon e tounant à une vitesse angulaie constante. On considèe que la masse tounante est constituée pa le linge de masse m. Pou des aisons de simplicité, on suppose que le lavelinge ne peut effectue que des mouvement veticau epéés pa la coodonnée. ) Etabli l'équation difféentielle du mouvement pou la coodonnée. ) Monte qu'un tel dispositif est équivalent au schéma simplifié de la figue ; donne l'epession de Feq. 3) Dans l'hpothèse des faibles amotissements ( δ << ), tace et commente le gaphe de l'amplitude Y du déplacement vetical du lave-linge en fonction de la vitesse de otation. Λ α (t) (t)

19 8 4) Calcule l'amplitude de la foce tansmise au sol à la ésonance. M M (t) e (t) F eq m α α Figue Figue Eecice 8: Soit une masse m liée à un suppot P P pa un essot de constante de aideu K et pa (t) un amotisseu à fottement visqueu de coefficient α. 'aute etémité de la masse est K K' liée à un essot de constante de aideu K'. e s(t) point d'attache de K' est soumis à un α m déplacement s(t) sinusoïdal de pulsation et d'amplitude S. / Détemine l'équation difféentielle du mouvement de la masse m. En déduie la pulsation pope et la foce ecitatice agissant su m. / Touve le déplacement en égime pemanent de la masse m et établi l'epession de son amplitude de vibation X en fonction de la pulsation. 3/ Calcule le coefficient d'amotissement α pou que l'amplitude des mouvements de la masse m soit égale à S/ losque. A.N.: K K' N/m ; m, g ; S cm 4/ Détemine le module de l'amplitude de la foce tansmise au suppot P. 5/ On définit comme facteu de tansmission T, le appot ente le module de l'amplitude de la foce tansmise au suppot P et celui de l'amplitude de la foce ecitatice agissant su la masse m : T F tans Fec a/ Détemine T. b/ Calcule T pou A.N.: K K' N/m ; m, g et α g/s c/ Que devient T pou >>? Conclusion.

20 9 Eecice 9 : R e(t) C E u(t) -E e(t) T t e cicuit RC ci-dessus est alimenté pa un généateu délivant une foce électomotice péiodique e(t) telle que epésentée su le schéma. ) Donne le développement en séie de Fouie de e(t). ) Détemine la tension u(t) au bones du condensateu en égime pemanent. 3) Faie l'application numéique pou EV, f/t6hz, mh, C.µF, R Ω Que emaque-t-on? ce ésultat est-il valable pou d'autes valeus de la féquence du généateu?

21 OSCIATIONS IBRES DES SYSTEMES A PUSIEURS DEGRES DE IBERTE Eecice : Soit le sstème mécanique epésenté pa la figue ci-conte, composé de deu oscillateus linéaies (m,) couplés pa un essot de aideu '.. Ecie le lagangien du sstème.. a) Mette ce agangien sous la fome:.. m ( + ) + C. ' Donne les epessions de ² et C (coefficient de couplage). b) En déduie les équations du mouvement. 3. a) Détemine les pulsations popes du sstème. b) Sachant que Tπ/,5s et C,3, calcule les valeus numéiques des péiodes popes. 4. e coefficient de couplage C étant faible, donne les solutions (t) et (t) avec les conditions initiales suivantes: à ts: ( ) X, & ( ) et ( ), & ( ). Quel phénomène phsique obseve-t-on? 5. a) Tace l'allue des coubes epésentatives de (t) et (t). b) Calcule le temps t au bout duquel l'énegie se touvant à l'instant ts dans le pemie oscillateu (donné pa ), est intégalement tansféée pou la pemièe fois au second m m Eecice : Soit le sstème mécanique epésenté figue ci-conte. es vaiables (t) et (t) epésentent les déplacements hoizontau (à pati de l'équilibe) des masses m et m dans le cas des petites oscillations. a tige de longueu est de masse négligeable. / K / m K m K 3 On se place dans le cas où: 3 et m m m. On posea: 5 g 4m + m. Calcule les pulsations popes. Détemine les appots des amplitudes de chacun des modes. 3. En déduie l'epession généale des mouvements de (t) et (t). 4. Donne les solutions de (t) et (t) si à ts, on a: ( ), & ( ) et ( ), & ( )

22 Eecice 3: Soit le sstème mécanique suivant compenant ente autes une bae hoizontale de masse négligeable et qui peut pivote sans fottement autou d'un ae passant pa son milieu. On penda Mm et 3. Etabli les équations égissant les petites oscillations.. Touve les pulsations popes et les appots des amplitudes pou les difféents modes. 3. Ecie les solutions généales (t) et θ(t). m 3 θ M 3 m Eecice 4: On considèe le sstème ci-conte constitué de deu clindes identiques, M M K/4 homogènes, de aon R, et de masse M. es clindes oulent sans glisse su une platefome hoizontale. es clindes oulent O O' sans glisse autou de leu ae O et O' auquels sont eliés les essots K. K K Dans le cas des faibles oscillations et en penant les déplacements (t) et (t) des centes O et O' des clindes comme paamètes, détemine:. e agangien du sstème.. es pulsations popes du sstème et les appots des amplitudes de chacun des modes. 3. es solutions généales du mouvement sachant qu'à ts: et & v, & v 4. Que deviennent ces solutions losque : a)v v et b) v -v? Eecice 5: Dans la figue ci-conte, M et R epésentent espectivement la masse et le aon de la poulie. et epésentent les écats des deu masses pa appot à leu position d'équilibe. On pend: M(m -m ) et m m;.. Ecie le agangien du sstème.. Détemine les pulsations popes et le appot des amplitudes de chacun des modes en fonction de m et. m M m

23 Eecice 6 : Su la figue ci-dessous, nous avons schématisé un véhicule avec sa suspension (sans amotisseus). Nous supposons que les essots estent veticau. a masse du véhicule est m et son moment d'inetie pa appot à un ae hoizontal D passant pa le cente de gavité G et pependiculaie au plan de la figue, est J. e déplacement du cente de gavité pa appot à l'équilibe est epéé pa (pompage). 'angle θ (tangage) que fait le chassis avec le sol, pa otation autou de D, sea supposé petit. 'inclinaison su les côtés (oulis) est supposée nulle. On donne les valeus suivantes: masse du véhicule mg distance ente l'ae avant et G: m distance ente l'ae aièe et G:.5m constante de aideu du essot avant: 8N/m constante de aideu du essot aièe: 8N/m moment d'inetie du véhicule: J m ;.9m G θ. Détemine les pulsations popes du sstème ainsi que le appot des amplitudes dans chacun des modes.. Ecie les solutions de (t) et θ(t). 3. a/ Quelle condition doit ête éalisée si l'on désie avoi un découplage ente et θ? b/ Quelles sont alos les féquences popes de pompage f p et de tangage f t? Eecice 7:. Détemine les pulsations popes du cicuit électique de la figue ci-dessous où M est le coefficient d'inductance mutuelle.. On définit le coefficient de couplage du cicuit pa Γ M avec Γ Calcule les pulsations popes en fonction de Γ pou CC dans les cas suivants: a) selfs éloignées (Γ) b) selfs appochées ( Γ ) On donne mh et CµF. 3. Pou quelles valeus de ', ' et 3', le cicuit électique de la figue admet les mêmes pulsations popes que le cicuit pécédent? M ' ' C C C ' C 3 Fig. Fig.

24 3 OSCIATIONS FORCEES DES SYSTEMES A PUSIEURS DEGRES DE IBERTE Eecice : Dans la figue ci-conte, M et R F(t) epésentent espectivement la masse et le α aon de la poulie, et les écats des deu masses pa appot à leu position m M d'équilibe. On pend: M(m -m ) et m m;. e sstème sea étudié en égime pemanent avec : F(t)F cos(t). /Calcule l'impédance d'entée. m /Calcule les vitesses ẋ (t) et ẋ (t). 3/ a)a quelle pulsation la masse m este-telle immobile? b)dans ce cas, quelle est l'amplitude d'oscillation de la masse m? 4/a)A quelles pulsations, la vitesse de la masse m est en phase avec la foce F(t)? b)en compaant ces pulsations à celles calculées dans l'eecice 5 de la séie 7, déduie le déphasage de ẋ pa appot à F(t) pou chacune des pulsations. Eecice : /Etabli les équations difféentielles égissant le fonctionnement des sstèmes epésentés pa les figues et. /Pou ²5/4m + g/,mm pou la figue et ²/m,mM/ + m pou la figue, calcule en égime pemanent sinusoïdal : a)l'impédance d'entée. b) ẏ, ẏ, et. M R / / m / / m m F(t) m α F(t) α FIG. FIG.

25 4 Eecice 3: Pou les sstèmes mécaniques des figues et et avec F(t)Fcos(t) et pou ²/m, calcule: )'impédance d'entée. )a puissance instantanée founie pa le généateu mécanique, la puissance instantanée dissipée pa le sstème. Compae et commente. 3)a puissance moenne founie pa le généateu mécanique, la puissance moenne dissipée pa le sstème. Compae et commente. m m α α m m F(t) F(t) α α FIG. FIG. Eecice 4: /Ecie les équations difféentielles qui égissent les sstèmes des figues et. On penda F(t)F cos(t) et e(t)e cos(t). /Y-a-t-il analogie ente les deu sstèmes? Si oui, donne les coespondances ente les éléments électiques et mécaniques; pécise obligatoiement les sens des coodonnées, des couants dans chaque banche ainsi que la polaité de la f.é.m du généateu. 3/Comment se compotent les deu sstèmes losque la pulsation est égale à / m et / C espectivement? α F(t) m m e(t) C Fig. R Fig.

26 5 Eecice 5: Soit le sstème mécanique de la figue ciconte. Une foce sinusoidale d'amplitude F et de pulsation est appliquée su la masse epéée pa la coodonnée. / Donne le schéma électique équivalent dans l'analogie foce-tension. / a)calcule l'impédance électique d'entée. b)pou quelle pulsation a-t-on anti-ésonance? Détemine alos la puissance moenne founie pa le généateu. 3/ Décie le mouvement des deu masses du sstème mécanique analogue pou la pulsation d'anti-ésonance? F(t) m m ' α Eecice 6: Soit le sstème mécanique suivant. a masse m est soumise à une foce veticale, sinusoidale d'amplitude F et de pulsation. a tige, de longueu, est de masse négligeable; elle peut toune sans fottement autou de son etémité fie O. On considèe les mouvements de faible amplitude dans le cas suivant: m m/ m et / /4 / Monte que les équations du mouvement peuvent se mette sous la fome suivante: O m m α F(t) M && + α & + K ( ) Ft () M && + K + K ( ) Détemine M et K en fonction de m et. / Ecie les équations pécédentes en fonction des vitesses & et &. 3/ a)calcule la (ou les) pulsation(s) pou laquelle la vitesse de la masse m est en phase avec la foce d'ecitation en égime stationnaie. b)quelle est dans ce(s) cas la puissance moenne dissipée dans le sstème? 4/ On considèe le cas où la pulsation de la foce d'ecitation est telle que 3K / M. a)calcule la vitesse de la masse m; en déduie la valeu de l'impédance d'entée. Commente. b)touve le module de l'amplitude du déplacement de la masse m. c) Pou cette pulsation, donne le schéma électique équivalent dans l'analogie foce-tension.

27 6 Eecice 7: Un clinde homogène de masse M et de aon R, oule sans glisse su une plate-fome A hoizontale. Une tige de masse négligeable et de longueu l, oscille libement autou du point O à une O φ etémité et compote une masse ponctuelle m à son α aute etémité. es points O et A sont eliés au bâtis fies espectivement pa un essot de aideu, un θ amotisseu de coefficient de viscosité α, et un essot m de aideu (voi figue ci-conte). Ce sstème constitue un sstème à deu degés de libeté. On choisit les coodonnées θ et φ pou décie ce sstème. A l'équilibe θφ. Dans le cas des petites oscillations et pou + 4 mg/l et m3/m.. Donne les pulsations popes du mouvement.. e bâti vibe à une pulsation avec une amplitude a. En négligeant l'amotissement, calcule les pulsations de ésonance et d'anti-ésonance. On poua utilise les coodonnées lθ et Rφ 3. Donne le schéma électique équivalent. Eecice 8: Dans le écepteu ci-dessous la bobine mobile, de coefficient de selfinductance négligeable, est constituée d'un fil de longueu l et de ésistance néligeable. Elle est liée à une masse m qui est eliée à un bâti fie pa un essot de constante de aideu. Ce sstème est amoti et la constante d'amotissement est α. a masse m est mise en mouvement pa l'action de la foce F(t); sa position est epéée pa son écat pa appot à sa position d'équilibe. On considèe le cas d'un foce F(t) sinusoïdale d'amplitude F et de pulsation. /e cicuit électique est-il tavesé pa un couant losque: a)b et F; b)b et F; c)b et F et d)b et F /Etabli les équations intégo-difféentielles égissant le fonctionnement de ce sstème. En déduie l'impédance mécanique d'entée. 3/Calcule le endement du sstème. 4/A quelle pulsation, ce endement est-il maimum? Donne l'epession de ce endement maimal. C essot masse m B R B α F(t) aimant

28 7 GENERAITES SUR ES ONDES Eecice : Une code est ecitée pa u (cm) un ébanlement tansvesal qui se 3 popage le long de O à la vitesse v. es fomes de la code à t et t,5s ts sont données su les figues ci-conte. / Détemine la vitesse de popagation de l'onde. / Repésente en fonction du temps le déplacement u ( A, t) du point A ainsi - que la vitesse de déplacement. u &( A, t) du - point A tel que A 8 cm. N.B.: Il est ecommandé de ésoude le poblème gaphiquement. t,5s (cm) Eecice : Véifie que les fonctions suivantes: a/ ut (, ) Asin( ( t V )) d/ ut (, ) Aep( j ( t V )) b/ ut (, ) Acos( ( Vt) ) e/ ut (, ) Aep( j ( t+ V )) c/ ut (, ) α( + Vt) sont solutions de l'équation: u V u, si,t et V epésentent espectivement t la position, le temps et la vitesse de popagation. Détemine les dimensions des constantes A,, et α. Eecice 3 : On étudie la popagation d'un ébanlement tansvesal su une code. Cet ébanlement se popage dans le sens des coissants avec une vitesse V. A l'instant ts, la fome de la code est donnée pa: u (,) Ae α. Donne l'epession de la fome u(,t) de la code à un instant t. Repésente gaphiquement cette code au instants ts, et t.3s pou: Acm, α.5cm -, Vcm.s -. A Eecice 4 : e dispositif epésenté su la figue ciconte pemet de communique à l'etémité S d'une code tendue hoizontalement, une vibation veticale sinusoïdale entetenue : u, t 5sin t (en cm). ( ) ( ) u(,t) S Moteu Feute Poulie M / a longueu totale de la code est 5m et sa masse est mg. Sachant que la vitesse de popagation des ondes tansvesales dans une code de masse linéique µ et tendue pa une

29 8 tension T est donnée pa :V T.Quelle doit ête la valeu de la masse M qui tend la code µ pou que la longueu d'onde des vibations tansvesales de pulsation soit λ m losque le moteu toune à la vitesse de 36 t/mn. / Juste avant la poulie P, la code est pessée à fottement dou ente deu plaques de feute, empêchant toute éfleion de se poduie. a/ Ecie l'epession en fonction du temps de l'élongation u(,t) du point A tel que SA. b/ Donne les abscisses des points qui vibent en phase avec S et de ceu qui vibent en opposition de phase avec S. c/ Repésente su un même gaphique le mouvement de S ente les instants t et t/3 s et le mouvement du point A tel que,75m. d/ Repésente l'aspect de la code su un même gaphique au instants t et t/6s, ente et 4m. Eecice 5 : / On considèe deu ébanlements A et B se popageant le long de l'ae O au vitesses VV'm/s. Repésente le déplacement du point O en fonction du temps. On conseille une étude gaphique). / Réponde à la même question pou les ébanlements C et B A V -3 - C V u(,) (cm) 3 O V' B (m) Eecice 6 : Une onde sonoe se popageant dans un tuau est donnée pa: où le déplacement de paticules u ( t) 4 t u (, t) sin π , s'epime en mm, en m et t en s. / Quelle est la diection de popagation? Eplique pouquoi on peut die que cette onde est plane. Quelle est la natue de l'onde (longitudinale ou tansvesale)? Quelle est l'amplitude A de cette onde? Calcule la pulsation, la vitesse de popagation V et le module du vecteu d'onde. / Quels sont les points du tuau où l'onde est déphasée de π/3 pa appot à la souce située à l'oigine ()?, Epime la distance de ces points à la souce en fonction de la longueu d'onde λ. 3/ Quelle difféence de phase eiste-t-il ente deu points du tuau distants de 3λ/4? 4/ On supepose à cette onde, une deuième onde pogessive de même amplitude A, de même pulsation, de même vitesse de popagation V et se popageant dans le même sens mais déphasée de ϕ pa appot à la pemièe. Donne l'epession de l'onde ésultante (amplitude et phase en fonction de A et ϕ). Que devient l'onde ésultante losque ϕ π? Quel son peut-on alos entende? -

30 9 CORDES VIBRANTES Eecice : Soit une code de longueu m, de masse totale m 8 g et soumise à une tension T églable. Comme indiqué su la figue ciconte, elle est fiée en A, à un essot vetical de aideu K dont l'etémité C subit un déplacement focé vetical sinusoidal de féquence f 5 Hz, d'amplitude s cm et décit pa: s(t) s ep(jπft) a seconde etémité B ( ) de la code est fiée à un amotisseu de coefficient de fottement visqueu α égal à, N.s/m. Des guides pafaitement glissants n'autoisent que les mouvements veticau (tansveses) des points A, B et C. e mouvement d'un point M quelconque d'abscisse su la code est alos epésenté pa son élongation u (,t). a tension T est églée de telle sote qu'il n' ait pas d'onde éfléchie en B. / Que epésente l'amotisseu pa appot à la code? Calcule l'impédance en un point quelconque de la code. En déduie la tension T de la code. / En déduie la vitesse de phase V et la longueu d'onde λ. 3/ Monte que les etémités A et B vibent en phase. 4/ Quelle est la valeu de l'impédance de la code au point A. Calcule l'amplitude et la phase φ de l'élongation u (,t) du point A. En déduie l'epession de l'élongation u (,t) d'un point quelconque de la code. Dans quel cas la phase φ est nulle? Que vaut, dans ce cas, l'amplitude de vibation de chaque point de la code? s(t) B α Eecice : Une code de longueu l m et de masse g est tendue ente deu points fies avec une tension T N. Calcule les féquences popes des oscillations tansvesales. Dessine la code losqu'elle oscille dans le mode fondamental et dans les tois pemies hamoniques.

31 3 Eecice 3 : Une code de longueu et de masse m est tendue ente deu points fies avec une tension T. A l'instant t, la code est pincée en son milieu, écatée pa appot à l'hoizontale d'une distance h puis lâchée sans vitesse initiale. es positions (,) des difféents points de la code, à l'instant t, sont epésentés su la figue ci-conte. Ces positions sont données pa la elation : / Monte que : h (,) pou / h (,) ( ) pou / π (,) an sin(n) avec n n n / Monte que les amplitudes des modes popes d'indice n sont données pa : a n (,) sin( n) d 3/ Ecie l'epession de (,t) en se limitant au tois pemies hamoniques. Eecice 4 : Une code constituée de deu segments disposés bout à bout est fiée à ses deu etémités et tendue avec une tension T (voi figue a). et désignent les longueus des deu segments de code; µ et µ epésentent les masses linéiques de chaque segment de la code. a code est le siège de vibations tansvesales polaisées ectilignement., µ, µ / Ecie les conditions au limites. / En déduie l'équation au pulsations popes.

32 3 Eecice 5 : Un fil d'aluminium de longueu l 6, cm et de section doite s, - cm est fié à un fil de fe de même section. e fil mite, attaché à un bloc m de, g, est disposé tel qu'indiqué su la figue, de telle sote que la distance de la jonction à la poulie est l 86,6 cm. a densité de l'aluminium est ρ,6 g/cm3, et celle du fe est ρ 7,8 g/cm3. a/ Touve la féquence pope de vibation tansvesale la plus basse et pou laquelle la jonction des fils est un noeud. b/ Quel est le nombe total de noeuds qu'on peut emaque à cette féquence, si ceu des etêmités du fil ne sont pas comptés? Eecice 6 : Une code de masse linéique µ est tendue, à l'aide d'une masse M, ente deu points A et B tels que AB. e point A est fie. Au point B, la code est teminée pa une masse m tenue pa deu essots veticau identiques de aideu K/ (figue ci-conte). Des guides pafaitement glissants n'autoisent que les déplacements veticau de la masse m. A l'équilibe, la code AB est hoizontale. / Vibations libes: a/ Monte qu'en égime de vibation hamonique la code AB peut ête considéée comme un milieu limité pa deu impédances ZA et ZB que l'on déteminea. b/ Calcule les coefficients de efleion A (au point A) et B (au point B). Donne leus modules RA et RB ainsi que leu agument θa et θb. c/ Apès avoi écit les conditions au limites en A et en B, établi l'équation au pulsations popes de vibation de la code. / Vibations focées: On impose au point A une vibation tansvesale, sinusoidale de pulsation et d'amplitude S. a tension de la code est la même que pécédemment. a/ Calcule l'amplitude de vibation de chaque point de la code. Quelle est l'amplitude de vibation ainsi que la position des ventes et des noeuds de vibation? En déduie les valeus de la pulsation pou mette en ésonance la code. es compae au valeus des pulsations popes obtenues dans la question pécédente. b/ a pulsation d'ecitation est égale à / m, calcule dans ce cas l'impédance d'entée de la code en A et en déduie l'amplitude de la foce que l'on doit applique en A pou obteni l'amplitude S.

33 3 Eecice 7 : Une code de longueu infinie de masse linéique µ est soumise à une tension T. Au point, on accoche une masse m. Au epos, la code est paallèle à l'ae O (voi figue ci-conte).on néglige le poids de la code ainsi que le poids de la masse m. On étudie les petits déplacements. Une onde incidente de déplacement i(,t) de pulsation et d'amplitude a aive de - et se popage dans le sens des coissants. / Ecie l'epession de (,t) pou la patie des < et (,t) pou la patie des > en fonction des données du poblème et des coefficients de éfleion et tansmission t en déplacement au point O. / Monte que la foce tansvese agissant su la masse m vaut: F(,t) T (, t) (, t) 3/ En tenant compte de la continuité de la code en et à l'aide de la elation fondamentale de la dnamique appliquée à m, monte que le coefficient de éfleion, en, vaut: jm jm + ZC avec ZC µ T Que epésente le teme jm? 4/ Démonte que le sstème est équivalent à une code s'étendant de - à et teminée en ce point pa une impédance Z () qui s'écit: Z() jm + Z C En déduie le coefficient de efleion, en, en fonction de Z C et Z(). Retouve-t-on le ésultat de la question pécédente? 5/ Calcule le module R et l'agument θ du coefficient de efleion. Monte que le module de est toujous inféieu à. Quelles sont les valeus limites de losque m et m? Commente. 6/ Calcule la position et l'amplitude des minima et des maima de vibation pou la patie des <. En déduie le tau d'ondes stationnaies. Quelle distance sépae la masse m du maimum le plus poche de? Que deviennent ces ésultats losque m et m?

34 35 ONDES ACOUSTIQUES DANS ES FUIDES Eecice : Dans les conditions nomales de tempéatue et de pession, l'ai est caactéisé pa une masse volumique à l'équilibe ρ. g/m 3 et une valeu de γ c p /c v.4. Calcule la vitesse de popagation du son dans l'ai et son impédance acoustique spécifique dans ces conditions de tempéatue et de pession ( T C et P o 5 N/m ). Eecice : osque la tempéatue est égale à C, la masse volumique et le module de compession de l'eau distillée valent ρ 998 g/m 3 et κ.8 9 N/m. Calcule la vitesse de popagation du son dans l'eau et son impédance acoustique spécifique. Compae au ésultats de l'eecice. Eecice 3 : Soit une onde acoustique plane qui se popage dans l'eau avec une vitesse de 48 m/s. Elle véhicule une puissance moenne de W unifomément épatie su une section ciculaie de 4 cm de diamète, nomale à la diection de popagation. a féquence de l'onde est égale à 4 Hz. a) Calcule l'intensité acoustique; quel est en db le niveau de l'intensité acoustique elativement à un niveau de éféence - W/m qui coespond à un seuil à peine audible? b) Calcule l'amplitude de la pession acoustique, l'amplitude de la vitesse de paticules et l'amplitude du déplacement de paticules. c) Compae au ésultats que l'on auait obtenus si cette onde se popageait dans l'ai. Eecice 4 : Une onde acoustique plane se popageant dans l'eau aive en incidence nomale à la suface de sépaation avec l'ai. Calcule les valeus numéiques des appots suivants : P R /P i, P T /P i, U R /U i, U T /U i,u R /U i, U T /U i, I R /I i, I T /I i où U, U, P et I epésentent espectivement le déplacement des paticules, la vitesse des paticules, la pession acoustique et l'intensité acoustique. es indices i, R et T se appotent espectivement à l'onde incidente, l'onde éfléchie et l'onde tansmise. Eecice 5 : Réponde au mêmes questions que pou l'eecice pécédent en supposant que l'onde acoustique se popage initialement dans l'ai et se tansmet dans l'eau. Compae au ésultats de l'eecice pécédent. Eecice 6 : On définit l'impédance acoustique d'une suface éfléchissante pa : Z s p s / u s où p s est la pession su la suface et u s la vitesse de paticules pependiculaie à cette suface. Dans les conditions nomales de tempéatue et de pession, on considèe une onde acoustique plane de féquence Hz qui se popage dans l'ai avec une vitesse de 34 m/s et qui aive en incidence nomale su un mu dont l'impédance acoustique est égale à : Z s -j 3 aleighs (M.K.S.A). ) Calcule le coefficient de efleion pou la pession acoustique. ) Calcule le tau d'ondes stationnaies. 3 ) A quelle distance du mu se touvent le pemie maimum et le pemie minimum de vibation?

35 36 Eecice 7 : a figue epésente un Fluide ρ, V Fluide ρ, V tuau clindique de longueu infinie et Onde incidente masse m, section S de section S qui contient un fluide de masse volumique ρ. Au point, se touve une masse m constituée d'un clinde igide, de section S et d'épaisseu négligeable; cette masse peut coulisse sans fottement dans le tuau. Une onde acoustique de pulsation et d'amplitude de pession P oi aive de - et se popage dans le sens des coissants avec une vitesse de popagation V. ) Donne l'epession de la pession p (,t) pou la patie des < et p (,t) pou la patie des >, en fonction des données du poblème et des coefficients et t qui epésentent espectivement le coefficient de efleion et de tansmission pou la pession au point. En déduie l'epession de la vitesse de paticules u (,t) et u (,t) pou chacune des deu égions < et >. ) Monte que la foce ésultante agissant su la masse m est : F (,t) S p (,t) p (,t) 3 ) Ecie la continuité de la vitesse de paticules en et en déduie la pemièe elation qui elie et t. A l'aide de la elation fondamentale de la dnamique appliquée à la masse m, établi la seconde elation qui elie et t. Monte alos que le coefficient de efleion, en, vaut : jm α + jm Epime α en fonction des données du poblème. 4 ) Monte que le module de est toujous inféieu à. Quelles sont les valeus limites de losque m et m? Commente le ésultat. Eecice 8 : Une onde acoustique plane sinusoïdale d'amplitude de pession P se popage, à la vitesse V, de la gauche ves la doite dans un tuau de longueu infinie et de section S et contenant un gaz pafait de masse volumique ρ. A l'etêmité de ce tuau, en, est elié un second tuau, de même ae et de section S. de longueu et contenant un gaz pafait de masse ρ, V,S ρ, V,S volumique ρ. Ce deuième tuau est teminé en pa une impédance égale à son impédance caactéistique Z. ) Donne l'epession des coefficients de efleion (), et de tansmission (t)en pession au passage d'un tuau à l'aute. ) Dans le cas où ρ V ρ V et S S, étudie le compotement des coefficients de efleion et de tansmission pou S <<S et S >>S. 3) On considèe le cas où les deu tuau ont la même section et contiennent le même gaz supposé pafait pou lequel γ c p /c v.4. Sachant que la tempéatue dans le pemie tuau est égale à T 3 K et que dans le second tuau elle est égale à T+ T, détemine T si.. Z

36 37 Eecice 9 : Une onde acoustique plane sinusoïdale de pulsation se popage à la vitesse V, de la gauche ves la doite, dans un tuau de longueu infinie, de section ciculaie de aon R et qui contient un fluide de masse volumique ρ. A l'etêmité de ce tuau, en, sont eliés deu tuau BC et CD de aon espectif et R et de longueu espective BCd et CDλ/8 où λ est la longueu d'onde. e tuau CD est femé en D pa une paoi igide. On donne /R3/4. Calcule l'impédance acoustique du tuau en, puis touve d en fonction de λ pou que cette impédance soit nulle. Quelle est, dans ces conditions, la valeu du coefficient de efleion pou la pession en? R d λ/8 R B C D ' Eecice : Un tuau clindique de section S constante est empli d'un gaz, de masse volumique ρ, où les ondes acoustiques peuvent se popage à la vitesse V. A l'une des etêmités du tuau, en, on place un piston plan qui est animé, suivant l'ae O du tuau, d'un mouvement sinusoïdal d'amplitude U et de pulsation. A la position, le tuau est teminé pa une impédance acoustique Z. A. Etude du déplacement de paticules : ) En un point, le déplacement de paticules u(,t) dû à la popagation de l'onde acoustique est donné pa : j( t) j( t+ ) u(, t) Ae + Be En tenant compte des conditions au limites, calcule A et B en fonction de Z, Z, et U où /V et ZρV/S. ) Dans le cas paticulie où le tuau est femé pa une paoi igide en : a) Monte que le déplacement peut se mette sous la fome :u t U e j ( (, ) ( ) t + φ) où U() est éel. Donne l'epession de l'amplitude U() et de la phase φ de l'onde ésultante. b) En déduie les positions et les valeus des maima et des minima de l'amplitude U() en valeu absolue. c) Pou quelles féquences obtient-on un phénomène de ésonance? Quelle est alos l'amplitude du déplacement au niveau des ventes de déplacement. d) Dans le cas où 3λ/, λ étant la longueu d'onde, tace su un gaphe les vaiations de U() en fonction de. Echelle : cm λ/. Quel est le nombe de maima (ventes) et de minimas (noeuds)? B. Etude de la pession acoustique : Réponde au mêmes questions qu'en A. ) pou étudie les vaiations de la pession acoustique en fonction de. u(,t) ρ, V,S Z

37 38 ONDES EECTROMAGNETIQUES Eecice : Une onde électomagnétique plane sinusoïdale de pulsation se popage dans le vide selon une diection faisant un angle θ avec O et contenue dans le plan O. e champ électique E de polaisation ectiligne selon Oz (vecteu unitaie e z ) s'écit en un point j( tab ) (,, z) et à l'instant t: E(, t) Ee ez. / a/ Quelle elation eiste-t-il ente a, b,, θ et c (céléité de la lumièe dans le vide)? b/ Détemine a et b en fonction de la longueu d'onde λ et de la diection θ de popagation de l'onde. / a/ Détemine l'epession du champ magnétique B (, t) de l'onde. b/ En déduie l'impédance caactéistique du vide en pécisant sa valeu numéique. c/ Détemine les composantes du vecteu de Ponting R et la valeu moenne de son module dans le temps. d/ Calcule la valeu moenne dans le temps de la densité d'énegie électomagnétique en fonction de E, c et µ. 3/ Calcule les amplitudes des champs E et B d'un faisceau lase de section ciculaie de diamète dmm dont la puissance tanspotée est de 6W. On donne: la peméabilité du vide µ4π-7 SI et la céléité de la lumièe dans le vide c3.8m/s (SI Sstème Intenational). Eecice : Une souce de aonnement électomagnétique de puissance P5W et de longueu d'onde λ5m émet de façon isotope dans l'espace. / Comment vaie l'amplitude E du champ électique avec la distance d à la souce? Calcule alos E à une distance dm de la souce de aonnement. / Un cade fomé de N5 spies conductices est placé dans le plan O à une distance dm de la souce de aonnement électomagnétique et a une fome ectangulaie de dimensions a,5m et b,8m et est disposé pependiculaiement au champ magnétique jt B. e champ électique est polaisé ectilignement selon O ( E Ee e ) en O (,) ( voi figue ). Epime le flu Φ(t) du champ magnétique à taves le cade. Déduie la valeu efficace de la foce électomotice induite appaaissant au bones du cade. 3/ Repende la même question pou les mêmes conditions et pou un cade tiangulaie de côtés a et b ( voi figue ). Repende ce calcul pou aλ/4 et aλ/. b E B a Figue b E B a Figue

38 39 Eecice 3 : / Détemine l'état de polaisation des ondes électomagnétiques epésentées pa leus champs électiques: E E E, et. E ( ) ( ) E E cosαcos t z ; E E sinαcos t z ; Ez E E E ( t z c ) E E ( t z cos ; sin c ); Ez E E E ( t z c ) E E ( t z cos ; sin c ); Ez / Quel est l'état de polaisation de l'onde dont le champ électique est E E + avec E E? Eecice 4 : Une onde électomagnétique plane monochomatique de longueu d'onde λ et de polaisation ectiligne se popage dans l'ai selon la diection Oz. e champ électique est dans le plan O et fait un angle α45 avec la diection O. Une lame cistalline d'un matéiau anisotope E d'épaisseu e est disposée paallèlement au plan O. Ceci a pou conséquence que chacune des diections O et O pésente espectivement une α z vitesse de popagation V et V difféentes (donc des indices de éfaction n et n difféents). / Calcule le déphasage ente les deu composantes E et E à la sotie de la lame. e / Décie les composantes du champ électique apès la tavesée de la lame si ce déphasage est un multiple impai de π/. Eplique pouquoi on appelle cet état de polaisation: polaisation ciculaie. Que se passe-t-il si le déphasage est un multiple entie de π? 3/ Calcule la plus petite épaisseu e pou obteni une polaisation ciculaie à l'aide d'une lame de quatz. n.5533 et n.544 pou la longueu d'onde λ m. Eecice 5 : Une onde lumineuse monochomatique atteint sous incidence nomale un milieu diélectique infini d'indice de éfaction n pou la longueu d'onde λ utilisée. Donne l'epession du coefficient de éfleion du champ E ainsi que celle du coefficient de tansmission t. Dans la suite on se popose de décie un sstème capable d'annule la éfleion de l'onde pa l'utilisation d'une couche diélectique antieflet. Une couche diélectique non absobante d'épaisseu e ecouve un milieu infini. es indices sont pou cette féquence pou l'ai, n pou la couche et n pou le milieu suppotant la couche. Des éfleions multiples se poduisent au intefaces (S) et (S). 'amplitude du champ électique de l'onde incidente vaut a et on désigne pa a, a,..., am celles des champs électiques éfléchis (Ondes R,R., Rm... su la figue ciconte). 'épaisseu de la couche e est (S ) (S ) R R ai n n R m e

39 4 telle que le déphasage ente les ondes consécutives éfléchies m et m+ vaut ϕ. / Calcule les amplitudes complees des ondes éfléchies dans le milieu d'indice. / Calcule l'amplitude complee de l'onde éfléchie ésultante.(on appelle la elation: pou i la suite altenée pou -<<) i 3/ Quelle elation eiste-t-il ente la longueu d'onde λ et l'épaisseu e pou la valeu ϕπ du déphasage? 4/ Calcule le coefficient de éfleion total pou ϕπ. A quelle condition est-il nul? 5/ Calcule l'indice et l'épaisseu d'une couche antieflet pou le sstème ai-vee; nvee.5 pou les longueus d'onde du specte visible? 6/ Peut-on etouve ces ésultats en calculant l'impédance équivalente au milieu d'indice n et de la couche mince (impédance amenée en S ). Eecice 6 : Un milieu ionisé (qui possède des électons libes comme pa eemple l'ionosphèe) est caactéisé pa une pemittivité elative ε où est une pulsation pope qui dépend de la densité d'électons libes. / Donne l'epession de l'amplitude du champ électique d'une onde électomagnétique se popageant dans ce milieu dans les cas < et >. Conclusion. / Dans le cas des hautes féquences ( >> ), monte que la vitesse de popagation dépend de la pulsation. Calcule les valeus des vitesses de phase et de goupe. Eecice 7 : Une suface plane sépae l'ai (n ) d'un conducteu métallique pafait (>). On epèe un point de l'espace pa ses coodonnées catésiennes ( OM e + e + zez ). Une onde Métal électomagnétique incidente, polaisée ectilignement, se popage dans l'ai, l'amplitude du z champ électique E Ai i vaut E et son vecteu d'onde est θ et sa pulsation. Cette onde tombe su le métal avec un angle θ ( < θ < π ) et se éfléchit. e vecteu d'onde est contenu dans le plan Oz. A/ 'onde incidente est polaisée pependiculaiement au plan d'incidence ( E i Oz). Détemine en fonction des données,, c, θ, ε, et E: / es champs ( E i, B i ) de l'onde incidente et les champs ( E, B ) de l'onde éfléchie pa le métal en tout point M(,,z). / es champs ( E, B ) de l'onde ésultante dans l'ai en tout point M(,,z). Que deviennent ces champs au voisinage de la suface du métal? 3/ a vitesse de phase vϕ de l'onde ésultante. 4/ es sufaces d'amplitude nulle et les sufaces d'amplitude maimale pou le champ E. 5/ a pession de adiation moenne et die comment elle vaie avec θ. B/ 'onde est polaisée paallèlement au plan d'incidence Oz ( E i // Oz). Réponde au mêmes questions,,3 et 5. 4/ es sufaces d'amplitude nulle et les sufaces d'amplitude maimale pou le champ B

40 4 6/ Pou θ45, détemine les points pou lesquels l'onde ésultante est polaisée ciculaiement. Eecice 8 : Une onde électomagnétique polaisée ectilignement selon O (pependiculaie au plan de figue) et de pulsation aive ente deu plans pafaitement a conducteus paallèles distants de a et faisant un angle θ. On étudie la popagation selon la θ diection Oz de ce guide (voi figue). O / En écivant les conditions au limites pou les plans et a, donne la condition que doit véifie θ pou que l'onde puisse se popage ente les plans. / Calcule les champs électique et magnétique dans cet espace: 3/ En utilisant l'équation de popagation du champ électique: E E c, détemine la t valeu de en fonction de et a. Monte que seules les ondes de pulsation supéieue à une féquence de coupue c peuvent se popage dans le guide dans la diection Oz. Comment vaie l'amplitude du champ électique si < c? 4/ Pou le mode fondamental (n), détemine la vitesse de phase v ϕ et la vitesse de goupe vg et déduie la elation: vϕ. vg c Eecice 9 : Un ésonateu électomagnétique z est constitué pa deu plans métalliques supposés () (a) conducteus pafaits paallèles occupant les positions et a. On étudie les popiétés d'une onde plane polaisée selon Oz sinusoïdale Métal Vide Métal de pulsation dans l'espace vide ente les deu plans (voi figue). / Etabli l'epession du champ électique O Et (, ) ente les plans conducteus en un point quelconque M(,,z). En déduie l'epession du champ magnétique Bt (, ). / Calcule les pulsations popes m des ondes stationnaies dans la cavité. A.N.: Calcule la féquence pope f la plus basse pou une distance ente les plans a5cm. 3/ Calcule la valeu moenne dans le temps de la densité d'énegie électomagnétique U dans la cavité pou les difféents modes (difféentes valeus de m). 4/ Calcule la densité sufacique de couant j ( t) s qui appaait su le plan pou chaque mode, ainsi que la pession de adiation électomagnétique p à laquelle est soumise ce plan. A.N.: Amplitude du champ électique E V/m. Calcule U et p pou m. z

41 4 PROBEMES

42 43 PROBEME n On considèe le cicuit suivant où R est une ésistance vaiable, C est un condensateu de capacité fie et est une bobine d'inductance fie et de ésistance. e généateu de ésistance intene négligeable délive une tension sinusoidale de pulsation et dont la valeu efficace est V. es mesues de couant I (en valeu efficace) en fonction de ont donné les ésultats suivants: e(t) A B R, C f(hz) RΩ I(mA) RΩ I(mA) RΩ I(mA) Tace les gaphes I I() su une même feuille. Conclusion.. Quelle est la valeu de la pulsation pope? Sachant que.h, calcule C. 3. Détemine pou les tois cas, les valeus des pulsations de coupues et. En déduie la bande passante et le coefficient de qualité dans les tois cas. 4. A pati des difféentes valeus de l'intensité maimum I M, déduie la valeu de la ésistance de la bobine. 5. A la ésonance et pou les tois valeus de R, calcule la puissance moenne founie pa le généateu.

43 44 PROBEME N On considèe une code de longueu l, de masse négligeable, de tension T et hoizontale. On colle su cette code des masses identiques m égulièement espacées. Ces masses peuvent glisse su un plan hoizontal avec un fottement tès faible. On considèe les oscillations tansvesales des masses. Eemple d'un sstème à tois masses: l m masses au epos masses en mouvement CORDE IBRE / Code à une masse: Monte que la pulsation pope vaut: / Code à deu masses: Détemine les pulsations popes et les modes popes. Dessine l'aspect de la code pou chaque mode pope. 3/ Code à tois masses: Détemine les pulsations popes et les modes popes. Dessine l'aspect de la code pou chaque mode pope. 4/ Que peut-on die losque le sstème oscille avec sa plus basse féquence pope et avec sa plus haute féquence pope? CORDE EXCITEE Code ecitée pa une foce F(t) On applique une foce sinusoîdale d'amplitude F et de pulsation su la pemièe masse ( la plus à gauche su la figue). On suppose que l'on a atteint le égime pemanent. / Code à une masse: Donne la solution (t) en égime pemanent. Quelle est la pulsation caactéistique? Décie le compotement à cette pulsation. / Code à deu masses: Donne les solutions (t) et (t) en égime pemanent. Quelles sont les pulsations caactéistiques? Décie le compotement à ces pulsations. 3/ Mêmes questions pou une code à tois masses. Ecitation pa déplacement imposé à une masse On impose un déplacement s(t) tansvesal sinusoîdal de pulsation et d'amplitude s à la pemièe masse (la plus s(t) à gauche). Pou les tois cas considéés pécédement (code à une, deu ou tois masses), détemine les pulsations pou lesquelles on obtient un égime pemanent stable. Repésente la fome des codes dans ces cas. Ecitation pa déplacement imposé à une etémité On impose maintenant un déplacement tansvesal sinusoîdal de pulsation et d'amplitude s à l'etémité gauche de la code. Pou les tois cas considéés pécédemment (code à une, deu ou tois masses): Détemine les déplacements i (t) de chaque masse. s(t) T ml

44 45 Donne les pulsations caactéistiques Repésente les fomes de ces codes à ces pulsations. CORDE IBRE Pou 3 masses: ( ) Eléments de solution 4 T ml ; 8 T CORDE EXCITEE Code ecitée pa une foce Avec: β 4T ( ) β β ml ; β β β 3 β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β β β F m e j t 4 T ml ml ; ( ) 3 + F m e j t ; β ( ) Il a ésonance pou,, et 3. Il a antiésonance pou β et 3β. β β F m e j t ; et Ecitation pa déplacement imposé à une masse 3 Pou masses: st ( ) s e j t. e égime est stable pou: T 9 ml et T ml pulsations popes du sstème. Ecitation pa déplacement imposé à une etémité: (pou masses) β' ( β' ) st ( ) s e j t : s e ( ) j β' t ; s e β' β' ( ) j t avec: β' 3T β' β' ml Il a ésonance pou β' et 3β' et antiésonance pou β'. A cette pulsation le mouvement des masses est: et -s(t). 'aspect de la code est: s(t) qui sont les -s(t)

45 46 PROBEME N 3 osque nous avons étudié les cicuits électiques, en égime sinusoïdal focé, nous avons considéé que dans une banche quelconque du cicuit, le couant électique est le même en tout point et ne dépend que du temps. Cette hpothèse n'est valable que si la longueu d'onde associée au signal d'ecitation (λc/f) est gande devant les dimensions du cicuit. Pa eemple pou une féquence f5hz, λ 6m). Cette hpothèse evient de façon équivalente à néglige le temps de popagation de l'onde électomagnétique (popagation de vitesse infinie). Si λ est du même ode de gandeu des dimensions du cicuit, cette appoimation n'est plus valable ( si f GHz; λ 3cm compatible avec les dimensions d'un cicuit ou d'un fil). Dans ce cas, il faut teni compte de la vitesse finie des ondes électomagnétiques dans les diélectiques qui est de l'ode de c3 8 m/s. On étudiea dans ce poblème la popagation d'une onde électique dans un câble coaial (câble d'antenne) supposé sans pete (sans ésistance) pou simplifie. Un câble coaial est constitué d'un conducteu cental de aon R et un conducteu (cuive tessé) de aon R et dont on peut néglige l'épaisseu ce conducteu est souvent mis R à la tee (potentiel zéo). Ente les deu conducteus est disposé un diélectique pafait (isolant) de pemittivité elative ε ε et de peméabilité elative µ. / Monte, en appliquant le théoème de Gauss que la capacité pa unité de longueu du câble C l est: C l πε R ε ln R / Monte, en appliquant le théoème d'ampèe que la self-induction pa unité de longueu R du câble l est: l µ ln π R 3/ Un élément du câble de longueu d est epésenté ciconte à un instant t et à une position. Etabli les elations suivantes: v i (, t) l (, t) t i v (, t) Cl (, t) t Etabli les équations de popagation de la tension v et du couant i. Déduie que la vitesse de popagation de ces ondes dans ce câble s'écit: V C l l... i()... v() ld C ld A.N.: Calcule V pou un câble coaial dont l'isolant est constitué de poléthlène ( ε,3) et R R. d... i(+d) +d v(+d)...

46 47 4/ Monte, pou une onde sinusoïdale se popageant dans la diection des coissants le long d'un câble infini, que l'impédance caactéistique vaut: RC l. a calcule pou Cl les valeus numéiques données question 3/. 5/ On banche en un point d'abscisse, une ésistance R, monte que le coefficient de R R éfleion en tension en, s'écit: C. R + RC 6/ On banche en, un généateu... de f.e.m. e, de ésistance intene i R et de pulsation. Des ondes e i successives se popagent ente R v et où elles sont patiellement R v éfléchies. En penant pou... oigine des phases, la phase de la f.e.m. e,monte que le déphasage pou un alle-etou su la ligne vaut:ϕ O V. Calcule l'amplitude des difféentes ondes v,v..vi en en fonction des coefficients de éfleion., en et O et de ϕ En déduie la tension v ésultante. 7/ Quelles sont les valeus de R et R pou que la puissance au bones de R soit maimum. 8/ Calcule le tau d'ondes stationnaies (TOS) pou R R 5Ω. 9/ Détemine les féquences pou lesquelles ϕ n π et ϕ ( n + )π. Calcule les tensions de soties v dans ces deu cas en fonction de e. Eléments de éponse / es deu conducteus sont en influence totale et potent les chages±q avec: qρh (ρ densité linéique de chage). e théoème de Gauss pemet d'obteni la valeu du champ à une distance de l'ae du câble: E( ) < < R λ E( ) R < < R πε ε E( ) > R a difféence de potentiel ente les deu conducteus vaut alos apès intégation: λ R V ln πεε R -q +q i i E E h B B R

47 48 q R hπεε ln R ; la capacité d'un élément de longueu h est alos: C hπε ε et la qv R ln R capacité pa unité de longueu: C l πε R ε. ln R / e théoème d'ampèe appliqué à un cecle C de aon pemet de calcule la ciculation de H (ou B).. µ i µ i H dl i B pou (R < < R ) C π π. e flu Φ du champ magnétique à taves un élément de suface du câble de longueu h vaut: R µ ih R d µ ih R Φ B. ds B( ) hd ln S R π. pa définition du coefficient de self-indiction R π R h R : Φi, on a: µ R ln et pa unité de longueu de câble: l µ ln. π R π R i v i 3/ a elation ente tensions est: v (, t) v( + d, t) + ld (, t) l (, t).[] t t a elation ente couants est: v v v( + d, t) i' dt ; i' i(, t) i( d, t) Cld ( d, t) Cld (, t) Cld + + d'où: t t i v (, t) Cl (, t) [] t En déivant la elation [] pa appot à et la elation [] pa appot à t on obtient: v v ( t) C (, t) [3]; de même en déivant la elation [] pa appot à t et la elation [], l l t i i pa appot à on obtient: ( t) C (, t) [4]. Ces équations sont les équations de, l l popagation des ondes de tension v et de couant i dont la vitesse de popagation est: V t C c Pou le câble coaial: V qui epésente la vitesse de popagation des C l l εµε ε ondes électomagnétiques dans le diélectique. A.N.: V,98 8 m/s j ( t ) j ( t ) V V 4/ pou une onde pogessive sinusoïdale: v (, t) ve, i (, t) ie : l'équation [] s'écit: (, t) V i (, t) (, t) l R (, t) Cl v. l v l i C C l i R A.N.: Pou un câble coaial: RC l C µ ln R 9Ω. l π εε 5/ Avec une impédance teminale, il a une onde éfléchie v coespondant à une onde incidente v. a tension en tout point s'écit, compte tenu de la définition de : j( t) j( t+ ) jt j j j v(, t) v (, t) + v (, t) ae + ae ae ( e + e e ) jt j j ( ) j ( ) a e e ( e + e ); (/V) de même d'apès l'équation []: l. l

48 49 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j t j C j j j t j e e e e a R e e e e a t i l, au point ; ( ) ( ) t i R t v,, d'où: ( ) ( ) C R R + R R R R C C + 5/ Pou une onde de tension émise en, des ondes éfléchies espectivement en et vont se supepose. Une onde met un temps τ V pou un alle-etou d'où un déphasage ϕ τ V

49 5 Epeuve de moenne duée Année 94/95 Eecice (su 6 points): Une oue clindique de masse M et de aon R peut ête mise en otation autou de son ae pa un moteu de masse négligeable. Su cette oue est fiée une masse m à une distance de l'ae C de la oue (figue a). Ce sstème est suspendu pa un mécanisme équivalent à un essot de coefficient de aideu et un amotisseu de coefficient de fottement visqueu α (figue b). A l'équilibe, le essot est allongé d'une distance d et la masse m est à la veticale sous C. a vitesse de otation angulaie du moteu est constante. e cente de masse du sstème n'etant pas confondu avec l'ae de la oue, cette denièe va oscille suivant l'ae OY. a position du cente C de la oue est epéée pa qui epésente son écat pa appot à la position d'équilibe O.. Quelles sont dans le epèe XOY, les coodonnées de la masse m à l'instant t, losque le moteu toune à une vitesse angulaie.. Calcule l'énegie potentielle du sstème losque le moteu est en otation. 3. Calcule l'énegie cinétique totale losque le moteu est en otation. 4. Monte que le lagangien peut se mette sous la fome: ( M + m) & + m& sint + A(, t) où A(,t) est une fonction de et de t, indépendante de et &. Donne l'epession de A(,t). 5. Détemine l'epession de l'amplitude () du déplacement de la tige en égime pemanent pou une vitesse angulaie. 6. Application numéique: M5g; m5g; R5cm; 4cm; 55N/m et α5g/s. 'amotissement est-il fot ou faible? Quelle est la valeu de pou laquelle est maimale? Calcule cette valeu maimale. 7. Pou élimine ces vibations quelle que soit la vitesse de otation, on ajoute une masse m' à une distance 'R. Détemine sa position pa appot à celle de m ainsi que la valeu de m'. Eecice (su 4 points): Une molécule diatomique est schématisée figue ci-conte. Ses deu atomes sont identiques et ne peuvent se déplace que su l'ae O hoizontal. Calcule les pulsations popes. Calcule les appots d'amplitudes de oue (a) masse Position d'équilibe O m α R C O Y t (b) M m m α X

50 5 chaque mode. Décie le mouvement des atomes dans chacun des modes. Eecice: CORRIGE sint. m cost. Condition d'équilibe: ( M + m) g d Enegie potentielle totale: V Mg + mg( cos t) + ( d ) Avec la condition d'équilibe: V mgcos t 3. Enegie cinétique de la oue TR M& + JC M& + MR 4 cost Vitesse de la masse m: v m & + sint Enegie cinétique de m: m( + & + & sint) T m Enegie cinétique totale: T TR + Tm M& + MR + m( + & + & sint) 4 4. e agangien vaut: T V M& + MR + m( + & + & sint) + mg cost 4 qui s'écit: ( M + m) & + m& sint + A(, t) ; avec: MR A(, t) m + mg cost + 5. a fonction A(,t) n'intevient pas dans l'équation de agange qui s'écit: d D avec: D α& dt & & ( M + m) & + m cost + α& m α & + δ& + cost avec : et δ M + m M + m ( M + m) En notation complee pou le égime focé: cost e j t jt jϕ ; Ye et Y e 'équation de agange s'écit: m + jδ+ M + m ej t m j t e M m ( ) j d'où l'amplitude : + + δ m ( ) M + m ( ) + 4 δ 6. : s ; δ s δ <<

51 5 Mouvement faiblement amoti la pulsation de ésonance R d'où: ma m m ( ).m cm M + m δ ( M + m) δ 7. Pou élimine la "foce" etéieue:il faut place une masse m' diamétalement opposée et à une distance ' de l'ae telle que: mm'' soit m'4g. Eecice: ( m ) e sstème d'équations linéaie s'écit: + ( m ) 'équation séculaie s'écit: ( m ) ( m ) ± ; es pulsations popes sont: et m a pemièe coespond à un mouvement de tanslation unifome (accéléation nulle) et. Ce mode coespond à une tanslation unifome de la molécule sans vibation. Pou le deuième mode -, les deu molécules vibent en opposition de phase et le cente de masse este immobile.

52 53 Epeuve de moenne duée Année 94/95 Eecice (su 3 points): On considèe le sstème epésenté su la figue ci-conte. Su la masse m agit une foce hoizontale sinusoïdale de pulsation et d'amplitude F. es déplacements des masses m et m pa appot à leus positions d'équilibe sont espectivement (t) et (t). α F(t) m m Patie : / Etabli les équations difféentielles qui égissent le mouvement du sstème. / En utilisant les notations complees, déduie les équations algébiques satisfaites pa & () t et & () t en égime sinusoïdal pemanent. () 3/ En calculant le appot & t &, monte que le mouvement des masses () t m et m, ne peuvent ête qu'en phase ou en opposition de phase. Détemine les pulsations pou lesquelles & () t et & () t sont en phase. 4/ Donne le cicuit électique équivalent dans l'analogie foce-tension en pécisant la coespondance ente les éléments électiques et mécaniques. Patie : Pou la suite de l'eecice la pulsation de la foce est: m 5/ En utilisant soit les équations obtenues question (/) soit le schéma électique équivalent, calcule & () t et & () t. 6/ Quelle est alos l'impédance d'entée Z F( t) e &. () t 7/ Quelle est la foce appliquée pa le essot su la masse m? Eecice (su 7 points): Une code de longueu est tendue ente deu points situés espectivement en et. e point situé en est fie et le point situé en est elié à un essot de aideu K. a tension de la code est T. a code est hoizontale à l'équilibe et on O K

53 54 poua néglige son poids. On étudie les ondes tansveses stationnaies sinusoïdales de pulsation. a vitesse de popagation est V. / Ecie le déplacement (,t) en un point quelconque d'abscisse et à l'instant t. / En écivant la condition limite pou, monte que (,t) peut se mette sous la jt fome: (, t) A e f ( ) ; où f() est une fonction que l'on eplicitea. 3/ Démonte que pou, on a la elation: T (, t) K(, t). 4/ Monte que les pulsations popes doivent véifie la condition: tg C où C est V V une constante que l'on pécisea. 5/ Détemine les tois pemièes pulsations popes, et 3 dans le cas où CORRIGE T K. Eecice (su 3 points): m & + α& + + ( ) F( t) / m && + ( ) + α + j m & + j & F() t / j m & + j & & m 3/ ce appot est éel, les deu mouvements sont en phase.ou en opposition de phase & suivant le signe du appot. en phase si o < < m 4/ m, m, α R, /C, /C, & i & i, F(t) e(t)., C i i & 5/ F() t & j 6/ & Z e 7/ & somme Eecice (su 7 points): / (, t) des foces su m action de F ( t) ae j ( t ) j ( t+ ) V V + be sin V j / ( ) ( ) t, t b a V, t jae V jt (, t) Ae sin et f ( ) sin e(t) R C

54 55 3/ Pojection su du pincipe d'action et éaction ente code et essot: F FR T (, t) ( (, t) ) jt jt T 4/ TAe cos KAe sin d'où: tg C V V V V K V T 5/ pou K : tg V n π πv ( n + ) n ( n + ) V πv 3πV 5πV ; ; T K ; n,,,... d'où:

55 56 Toisième Epeuve de Moenne Duée (h 3mn) Eecice : (/ 4 points) Dans tous les véhicules disposant Section S d'un moteu à eplosion (essence, Section S Section S diesel,...), les gaz de combustion sont ' évacués pa un tuau d'échappement. O 'eplosion povoquée pa la combustion Ves le moteu Ves la sotie des gaz du mélange essence-ai donne naissance à une onde de pession qui se popage à l l'intéieu de ce tuau et peut donne lieu à des buits etêmement désagéables. Pou limite l'intensité de ce son, on utilise un pot d'échappement ( ou "silencieu" ) qui est tout simplement constitué d'un tuau de section supéieue à la section du tuau d'échappement. On se popose ici d'étudie le fonctionnement d'un tel dispositif qui peut ête modélisé pa le schéma ci-dessus. Ce sstème simplifié est constitué d'un tuau de longueu semi-infinie et de section S, teminé en pa un second tuau de longueu et de section S > S. En, ce tuau est polongé pa un tuau de longueu infinie et de section S. Ces tuau contiennent le même mélange gazeu de masse volumique ρ dans lequel les ondes acoustiques se popagent à la vitesse V. es impédances acoustiques caactéistiques espectives des tuau de section S et S sont espectivement Z ρv/s et Z ρv/s. ) 'onde acoustique issue du moteu est epésentée pa : A j (t - /V) e.eplique pouquoi le champ de pession acoustique peut s'écie : égiona égionb égionc p ( ) : Ae ( l) : p ( l ) : p 3e 3 Ae j ( t A j ( t / V ) j ( t / V / V ) + j ( t Be ) + Be + / V ) j ( t+ / V ) Que epésentent A, B, A, B et A 3? ) Calcule, en fonction des données du ) et des impédances Z et Z, les débits d S u&, d S u& et d 3 S u & 3 coespondant espectivement au égions a, b et c. u&, u& et u & 3epésentent la vitesse de paticules dans chacune de ces égions. 3 ) Ecie les elations de continuité (débit et pession) en et en déduie l'epession de A en fonction de A et B. 4 ) Ecie les elations de continuité (débit et pession) en et en déduie l'epession de A et B en fonction de A 3. 5 ) Monte que dans le cas où S 4 S, le coefficient de tansmission en intensité acoustique défini pa αt A 3 /A peut se mette sous la fome : α t l + βsin V où β est une constante positive dont on pécisea la valeu.

56 57 6 ) et V étant données, pou quelles valeus de la longueu le coefficient αt est minimal? Calcule cette valeu minimale et conclue. Eecice : (/ 6 points) Une onde électomagnétique plane sinusoïdale et linéaiement polaisée, coespondant à de la lumièe de longueu d'onde λ m se popage dans le vide. Son intensité (puissance moenne pa unité de suface) est I. W.m -. Sa diection de popagation se touve dans le plan O et fait un angle α 3 avec l'ae O. a diection de polaisation (champ E ) est contenue dans le plan O. ) Ecie les epessions littéales et numéiques du champ électique E,du champ magnétique B et du vecteu de Ponting. Faie un dessin epésentant la stuctue de cette onde électomagnétique. ) Calcule la puissance moenne eçue pa un cade caé de cm de côté pependiculaie à la diection de popagation. N.B. On donne la vitesse de popagation de la lumièe dans le vide c 3 8 m.s- ainsi que l'impédance caactéistique du vide Z 377 Ω. CORRIGE Eecice. Région a: Suppeposition de l'onde émise pa le moteu plus celle éfléchie pa les paties b et c. Région b: Pemie teme :supeposition des ondes se popageant dans le sens des coissants. Deuième teme: supeposition des ondes se popageant dans le sens des décoissants. Région c: Onde tansmise dans le denie tuau et se popageant dans le sens des coissants. A, B, A, B, et A 3 sont les amplitudes complees de ces difféentes ondes.. ( ) ( ) + V t j V t j B e A e Z d ( ) ( ) + V t j V t j e B e A Z d ( ) V t j A e Z d ( ) ( ) Z Z B Z Z A A B A Z B A Z B A B A V j V j V j V j V j V j V j e Z Z A B Z Z A A A e Z e B e A Z A e e B e A l 3 3 l 3 l l l 3 l l

57 58 5. S /S 4 A A B 5 3 ; A A et B A e j V l V j V e e e e e A A V j V j V j V j V j l sin 34 l 6 cos l l l l l ; l sin l sin 8 7 l cos β β V V V A A 6. α t minimum pou ( ) l l sin π + n V V. a valeu ( ) min + t α 'intensité sonoe a été atténuée d'un facteu impotant d'où le nom de "silencieu". Eecice. I E Z E V m 868. / ; B E c T 8 9. π λ 377 c Hz. 5 ; m 3 9 π λ. 7 ; m 63 π λ. 6 ( ) ( ) ep 3 ep z E t j E E t j E E E et ( ) ep t j B B B B B z ( ) ( ). cos.73cos z z z R t Z c B E R t Z c B E R R H E R (en W/m ) On véifie que: R I. P Is W 5 E B α

58 59 EPREUVE DE SYNTHESE (DUREE h) Année 94/95 Eecice (su 9 pts) Su la figue ci-conte, la masse M est eliée à un bâti pa un essot de aideu. a bae homogène de masse m et de longueu l oscille autou M d'un point fie O dans le plan de la figue. Elle est eliée au α bâti, en son milieu pa un O 3 essot de aideu, et elle θ est couplée à la masse M pa l/ F(t) un essot de aideu 3 et un l/ amotisseu de coefficient α. Pa ailleus, elle est soumise à une foce F(t) pependiculaie à la bae sinusoidale, d'amplitude F et de pulsation. En considéant les oscillations de faibles amplitudes et sachant qu'à l'équilibe la bae est hoizontale: / Détemine le agangien du sstème. / Détemine les équations difféentielles du mouvement en (t)lθ(t) et (t). 3/ En déduie le schéma électique équivalent dans l'analogie Foce-Tension (On pécisea l'équivalence ente les difféents éléments). F( t) 4/ Calcule l'impédance d'entée du sstème mécanique dans le cas où & t Z e () M 5/ Détemine les vitesses & () t et & ( t) à cette pulsation. Décie le compotement du sstème dans ce cas. Eecice (su pts) Une onde acoustique plane de pulsation se popage à la vitesse V dans un fluide pafait de densité ρ. a diection de popagation coespond à la diection O. 'amplitude de l'onde de pession acoustique est p. Cette onde enconte un plan (P) pafaitement igide et pafaitement éfléchissant faisant un angle de 45 avec la diection de popagation de l'onde incidente. 'onde éfléchie se popage donc dans la diection O (voi figue ci-conte). es vecteus n, i et epésentent espectivement la nomale au plan (P), le vecteu d'onde de l'onde incidente et de l'onde éfléchie. p' est l'amplitude de l'onde de pession éfléchie. i n 45 O (P)

59 6 / Donne l'epession des ondes de pession incidente et éfléchie. / Donne l'epession des ondes de vitesses de paticules, incidente et éfléchie. Calcule les pojections nomales au plan (P) (selon n) de ces vitesses. 3/ Eplique pouquoi la ésultante des vitesses nomales doit ête nulle su le plan (P) d'équation. 4/ A pati de cette condition su le plan (P), détemine la pession acoustique totale pt(,,t) en tout point du milieu fluide. 5/ En effectuant le changement de vaiables X+ Y X Y et, où X et Y sont les coodonnées epésentées su la figue ci-conte. a/ Donne l'epession de la pession totale b/ Détemine l'amplitude de la pession acoustique totale su le plan (P). Détemine les positions pou lesquelles la pession acoustique totale est nulle. es epésente schématiquement. c/ Quelle est la diection de popagation de l'onde totale pt(x,y,t)? Quelle est la vitesse de popagation de cette onde? Y 45 O (P) X CORRIGE Eecice pi (, t) p epj t V p (, t) p' epj t V & p ui(, t) epj t V V e ρ / & p' u(, t) ep j t V V e ρ p ( ) u& in, t ep j t ρv V p' u ( t) & n, ep j t ρv V 3/ e plan étant igide & (,, t) pou u Tn p p' ep j t + ep j t ρv V ρv V 4/ & ( ) u Tn,, t

60 6 ep jt u& Tn (,, t) p' ep j p ep j su le plan (P) ρv V V ep jt u& Tn ( P, t) ep j ( p' p ) p' p ρv V, V V X Y pt,, t p ep j t cos V V p T P, t p p T 5/ a/ ( ) (, t) p ep jt ep j + ep j b/su (P):Y ( ) p T Y,, cos V ( t) Yn π ( n + ) V V π Y ( n ) n + pou n,...famille de plans paalleles à (P) distants de Y V π c/ Onde qui se popage selon OX Vitesse de popagation V ' V Y Y O (P) X

61 6 Epeuve de Snthèse - Juin 998 (Duée h) Eecice (/ 6 points). On considèe le champ électique E, dans le vide, défini pa ses coodonnées dans un epèe catésien Oz : π π E ; E E cos ep [ j( t z) ] ; Ez αe sin ep[ j( tz) ] a a E est éel et α peut ête complee. Quelles elations doivent véifie α,, a d une pat et a,, et c d'aute pat pou que E soit le champ électique d une onde électomagnétique dans le vide? Quelle est alos l epession de la vitesse de phase V φ en fonction de α? ( c est la vitesse de popagation de la lumièe dans le vide).. a. Dans quels plans le champ électique est-il polaisé tansvesalement? b. Dans quels plans le champ électique est-il polaisé longitudinalement? 3. Monte qu une telle onde satisfait au conditions au limites si l espace est limité pa deu plans conducteus pafaits, paallèles à Oz et situés en pa et -pa (p entie). Pemièe patie : Poblème (/ 4 points) M K M α F u u Figue On considèe le sstème à deu degés de libeté epésenté pa la figue. Il est constitué pa deu masses identiques M eliées pa un essot de aideu K. a seconde masse est eliée à un bâti fie pa un amotisseu de coefficient de fottement visqueu α, tandis que la pemièe masse est soumise à une foce sinusoïdale F de pulsation. es deu masses glissent sans fottement su le plan hoizontal. u et u epésentent les positions espectives de chacune des masses pa appot à l équilibe. I.. Etabli les équations difféentielles du mouvement pou les coodonnées u et u. K I.. Dans le cas où α est négligeable devant M, calcule en égime pemanent sinusoïdal l amplitude complee V de la vitesse de la seconde masse en fonction de l amplitude de F. I.3. En déduie l amplitude complee F de la foce tansmise à l amotisseu. I.4. Calcule le coefficient de tansmission β F F.

62 63 I.5. Si >> K, monte que le coefficient de tansmission β s écit sous la fome : M a β M ; donne l epession de a en fonction de α et K. 3 Deuième patie : e sstème décit ci-dessus smbolise un dispositif d isolation acoustique pa une double paoi. Un tel dispositif peut ête epésenté pa deu masses igides M, de section S, sépaées, à l équilibe, pa une distance e (figue.a). On suppose qu à l équilibe, la pession est égale à P dans chacune des tois égions a pemièe masse M se met en mouvement losqu elle est soumise à l action d une onde de pession. Ce mouvement entaîne la compession de l ai compis ente les deu masses, ce qui met en mouvement la seconde masse. Une patie de l onde acoustique est ainsi tansmise ves la doite.. osque une onde acoustique aive de la gauche ves la doite, la pession acoustique ésultante dans le milieu de gauche est égale à p, la pession acoustique tansmise est égale à p ; la pession acoustique ente les deu paois est supposée unifome et est notée p (figue b). On supposea que la succession de compessions et de détentes de la tanche de fluide limitée pa les deu masses, est un pocessus adiabatique. ρ est la masse volumique de l ai et C la vitesse de popagation des ondes acoustiques dans l ai (a) A l équilibe (b) En mouvement P P P p p p Section S M M e Figue u u II.. Si l onde acoustique incidente de pulsation, est supposée pogessive hamonique et plane, quelle est la natue de l onde acoustique tansmise au toisième milieu supposé infini? Monte qu en chaque point de ce milieu l impédance acoustique est éelle. Pécise la valeu de cette impédance. II.. Calcule le volume v de la tanche de fluide limitée pa les deu masses, à l équilibe. Calcule le volume v occupé pa cette tanche de fluide en fonction de u et u, losqu elle est v v en mouvement. En déduie la dilatation volumique θ. v II.3. Sachant que p γ P θ, monte que la foce eecée pa le fluide intemédiaie su chacune des masses M s écit F K( u u ). Donne l epession de K en fonction de P, S, e et de γ qui epésente le appot des chaleus spécifiques de l ai. II.4. Monte alos que la figue.b. est équivalente à la configuation donnée pa la figue. Donne l epession de F F (p,s), de KK(γ,P,S,e) et de αα(ρ,c,s). II.5. En tenant compte des ésultats de la pemièe patie, calcule le coefficient de tansmission en pession β P où P epésente l amplitude de la pession tansmise pa P la paoi. II.6. Application numéique : On donne les valeus numéiques suivantes : P 5 Pa, ρ. g/m 3, C34 m/s, γ.4, M g, S4 m, e.m,

63 64 f Hz et 5 Hz. a. Pou chacune de ces féquences, compae α et M, puis compae et appoimations faites plus haut sont-elles valables? b. Calcule β pou chacune de ces féquences. Conclusion. K M. es Coigé Eecice (/6 points) π. E + jα a π E E c c a Vφ c α. Polaisation tansvesale dans les plans : na a Polaisation longitudinale dans les plans : ( n+ ) 3. Continuité de la composante E en ±a Poblème (/4 points) Pemièe patie : I.. Mu&& + Ku Ku F Ku Mu&& u& + + α + Ku jkf I.. V K M M jαkf I.3. F K M M αk I.4. β K M M I.5. αk β 3 M aαk Deuième patie : II.. onde acoustique tansmise est une onde pogessive, plane hamonique. ρ u& p Z p t u& ρc ( é el) [ : diection de popagation] II.. v Se u u v v + e u u θ e II.3. γps γps F ps ( u u) K e e II.4. F ps

64 65 PS K γ e α ρcs II.5. ρ γ β CPS 3 em II.6. f Hz 68 ad/s M68 g/s α646 g/s K / M59 ad/s β.9-4 f5 Hz 34 ad/s M34 g/s α646 g/s K / M59 ad/s β.5-6