CHAPITRE VI : Le potentiel électrique

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1 CHPITRE VI : Le potentiel électiue VI. 1 u chapite III, nous avons vu ue losu'une foce est consevative, il est possible de lui associe une énegie potentielle ui conduit à une loi de consevation de l'énegie. Nous allons voi ue la foce de Coulomb ente chages électiues est consevative. On peut pa conséuent défini une énegie potentielle électiue, ui dépend de la position des chages électiues, et appliue la loi de consevation de l'énegie aux poblèmes d'électicité. L'énegie potentielle électiue caactéise un ensemble de chages. En électicité, on péfèe souvent tavaille avec le potentiel électiue ui caactéise un point de l'espace, tout comme le champ électiue : le champ électiue donne la foce de Coulomb pa unité de chage en un point donné, le potentiel électiue est défini comme l'énegie potentielle pa unité de chage. VI.1 : La foce de Coulomb est consevative La foce de Coulomb ui existe ente deux chages électiues (voi IV. 6)) dépend de la distance ente les deux chages et est diigée suivant la ligne ui joint les positions des deux chages. C'est ce u'on appelle une foce centale. En oute, elle ne dépend d'aucune aute vaiable cinématiue telle ue la vitesse, pa exemple. La foce execée pa la chage 2 su la chage 1 peut donc s'écie sous la fome : F12 = F()1 (VI.1) où 1 1 F() = 2 4 πε 0 2 (VI.2) et 1 est un vecteu de longueu unité, diigé suivant la ligne ui joint les positions des chages 1 et 2, diigé de 2 ves 1. Pou monte u'une telle foce est consevative, nous allons monte ue son tavail ente deux points uelconues de l'espace, et, ne dépend pas du chemin suivi, seulement des positions de dépat et d'aivée (voi figue VI.1).

2 VI. 2 W = F 12.dl = F() 1. dl Figue VI.1. Le vecteu de longueu infinitésimale dl, tangent à la tajectoie peut ête décomposé en un vecteu de longueu infinitésimale d, diigé suivant 1 et un vecteu de longueu infinitésimale dt g, pependiculaie à 1 (voi figue VI.2) : Figue VI.2.

3 VI. 3 Dès los le tavail de F 12 de à devient : W = F() 1. (d + dt g ) = F() d (VI.3) où d est la longueu du vecteu d. En effet, 1.dt g = 0 ca dt g est pependiculaie à 1 et 1. d = d 1. 1 = d. L'expession du tavail ente et ci-dessus (VI.3), se éduit à une intégale simple dont le ésultat ne dépend ue de et et pas du chemin paticulie pou alle de à. Ceci monte ue la foce de Coulomb est bien consevative, comme toute foce centale ui ne dépend ue de. VI.2 : L'énegie potentielle électiue La foce électiue étant consevative (voi VI.1), nous pouvons défini l'énegie potentielle de la même manièe u'au chapite III (voi (III.2)) : U= U() U() = F E.dl, (VI.4) où F E est la ésultante des foces électiues dues à un ensemble de chages, ui s'execeaient su une chage électiue ui seait déplacée de à suivant n'impote uel chemin. Dans le cas où seules deux chages électiues 1 et 2 sont concenées les elations (VI.3) et (VI.2) s'appliuant à la situation décite pa la figue VI.1, pemettent d'écie : 12 d 12 1 U = = 4πε 0 2 4πε = 4πε 0 (VI.5) Regadons uel est le contenu physiue de la elation (VI.5). Supposons ue les chages 1 et 2 soient de même signe. La foce de Coulomb est alos épulsive. Si <, cela veut die ue l'on éloigne les deux chages l'une de l'aute, le tavail à founi est négatif puisue les

4 VI. 4 chages tendent à s'éloigne d'elles-mêmes. Le tavail de la foce, lui, est positif et la vaiation 1 1 d'énegie potentielle est négative. En effet > et U < 0 (voi VI.5)). Donc U() < U(). Losu'on éloigne deux chages de même signe, leu énegie potentielle électiue diminue. Si on les appoche, il faut founi un tavail conte la foce électiue. Le tavail de cette denièe est négatif et l'énegie potentielle électiue augmente, comme pou un oche ue l'on amèneait au sommet d'une montagne. En épétant le aisonnement ci-dessus dans le cas de deux chages de signes opposés, ui conduisent à une foce de Coulomb attactive, on constate ue losu'on les éloigne, leu énegie potentielle augmente, losu'on les appoche, elle diminue, comme pou un oche ui dévaleait la pente d'une montagne. Losu'il n'y a pas d'autes foces ue la foce électiue ui entent en jeu, la loi de consevation de l'énegie (III.10) nous dit ue si les chages gagnent de l'énegie potentielle électiue, elles pedent de l'énegie cinétiue : elles alentissent comme une piee lancée en l'ai; si elles pedent de l'énegie potentielle électiue, elles gagnent de l'énegie cinétiue : elles accélèent, comme une piee ui tombe. Nous avons vu au chapite III u'une elation telle ue (VI.4) définit la difféence d'énegie potentielle ente deux points. Pou connaîte l'énegie potentielle en un point, il faut choisi abitaiement la valeu de celle-ci en un point de éféence. En électicité, il est souvent commode de choisi comme niveau de éféence d'énegie potentielle nulle, l'infini : lim U() 0 (VI.6) Dès los si dans l'expession (VI.5), on fait tende et =, on obtient : lim U = U() lim U( ) = lim 4πε0 Et : 1 U() = 2 4πε0 (VI.7) La elation (VI.7) ci-dessus donne l'énegie potentielle électiue d'un système de deux chages électiues 1 et 2 distantes de. On emaue u'elle est positive si les chages 1 et 2 sont de même signe, négative si elles sont de signe opposés.

5 VI. 5 VI.3 : Le potentiel électiue et les difféences de potentiel La foce de gavitation univeselle, vue au chapite II (II.7), et la foce de Coulomb, vue au chapite IV (IV. 6) ont la même fome mathématiue : toutes deux sont en 1/ 2 ; elles dépendent de l'invese du caé de la distance ente les masses m 1 et m 2 ou ente les chages 1 et 2 ; dans la loi de Coulomb, le ôle des masses m 1 et m 2 est joué pa les chages 1 et 2, celui de la constante de gavitation G pa le facteu 1/4π ε 0. Cette similitude a pemis de défini une énegie potentielle dans les deux cas et de faie des compaaisons ente situations "mécaniues" et situations "électiues". Il y a toutefois une difféence ente les deux foces : la foce gavitationnelle est toujous attactive tandis ue la foce électiue est tantôt attactive, tantôt épulsive, suivant le signe espectif des chages électiues. Cela a pou conséuence u'en électicité, l'énegie potentielle électiue n'est pas tès patiue à utilise, ca elle change de signe avec le signe de la chage ue l'on considèe (voi elation VI.7). Voyons ce ue cette paticulaité impliue comme complication dans un exemple, celui de deux plaues conductices paallèles, infinies, distantes de d et chagées de manièe unifome d'électicité de signes contaies (voi figue VI.3). Figue VI.3. Nous avons vu ue dans une telle situation, le champ électiue égnant ente les deux plaues σ est unifome, E = où σ est la chage pa unité de suface, et ue le champ E est ε 0

6 VI. 6 pependiculaie aux plaues, diigé de la plaue positive ves la plaue négative (voi figue V. 5). Dès los, si on place une chage électiue n'impote où ente les deux plaues elle subit une foce électiue F = E. Supposons u'on amène cette chage depuis un point, situé conte la plaue positive, ves un point, situé conte la plaue négative. La difféence d'énegie potentielle ente ces positions et est donnée pa : U= U() U() = F.dl = E.dl La foce électiue étant consevative, le chemin choisi pou alle de à n'impote pas et nous allons le choisi pou facilite le calcul de l'intégale ci-dessus, soi = P + P, où P est un tajet pependiculaie aux plaues et P, paallèle à celles-ci. Le long de P, dl est paallèle à Eet E.dl Dès los : = Edl, tandis ue su le tajet P, dl est pependiculaie à E et E. dl = 0. l P U= Edl= E dl l = E ( l l) = Ed (VI.8) Remauons tout d'abod ue la difféence d'énegie potentielle U est la même uel ue soit l'endoit où le point est situé su la plaue positive et uel ue soit l'endoit où est situé su la plaue négative : tous les points d'une plaue sont à la même énegie potentielle. Pou une chage positive : Pou une chage négative : > 0 U < 0 U() < U() < 0 U > 0 U() > U(). Donc pou une chage positive, c'est en ue l'énegie potentielle est la plus élevée, tandis ue pou une chage négative, c'est en u'elle est la plus élevée. Pou évite ce changement de signe avec la chage considéée, on tavaille plus volonties avec le potentiel électiue V(), défini comme étant l'énegie potentielle électiue pa unité de chage : U() V() (VI.9)

7 VI. 7 Le potentiel électiue en un point de l'espace, dû à un ensemble de chages, est égal à l'énegie électiue de cet ensemble de chages auuel on adjoint une petite chage d'essai, de signe uelconue, située au point considéé, divisée pa cette chage. De même, la difféence de potentiel ente deux points de l'espace est donnée pa la difféence d'énegie potentielle divisée pa la chage : U V (VI.10) ppliuons cette notion de potentiel et de difféence de potentiel à l'exemple ci-dessus des deux plaues chagées. Pou une chage positive : U > 0 U < 0 V = < 0 V() < V() Pou une chage négative : < 0 U > 0 U V = < 0 V() < V() C'est la plaue positive ui est au potentiel le plus élevé, uelle ue soit la chage ue l'on envisage de place ente les plaues. Il n'en este pas moins ue si on place une chage positive ente les deux plaues, elle va alle du point de potentiel le plus élevé ves le point de potentiel le plus bas, comme une piee ui tombe d'une montagne. En effet, la foce électiue u'elle subit, F = E, a même sens ue le champ électiue, c'est-à-die de la plaue positive ves la plaue négative (voi figue VI.3). Une chage négative, uant à elle, va alle du point de potentiel le plus bas ves le point de potentiel le plus haut. En effet, la foce électiue u'elle subit, F de la plaue négative ves la plaue positive. = E, est de sens opposé à E et est donc diigée Le compotement de la chage négative est comme le seait celui d'un objet de masse négative, s'il en existait, ou celui d'un tou dans le sol ui se combleait pa la chute de oches depuis le sommet d'une montagne. La chute des oches cée un tou au sommet de la montagne et fait dispaaîte le tou au pied de la montagne : le tou, considéé comme un objet, de masse négative, a emonté la pente de la montagne!

8 VI. 8 En fait, la notion de potentiel électiue a l'avantage de caactéise de manièe uniue un point de l'espace pa appot aux chages ui l'entouent, sans u'il soit besoin d'y place une chage, tout comme le champ électiue est défini en un point de l'espace sans u'il y ait nécessaiement une chage à cet endoit. Mais attention, le champ électiue est une uantité vectoielle alos ue le potentiel électiue est une uantité scalaie. L'unité d'énegie potentielle électiue du SI est la même ue celle de l'énegie potentielle mécaniue et ue celle du tavail, soit le joule (voi III.2). L'unité de potentiel électiue du SI est le volt (V) : 1V 1 J/C (VI.11) VI.4 : La elation ente le potentiel et le champ électiue pati des elations (VI.4) et (VI.10), on établit aisément la elation ui existe ente potentiel et champ électiue : F E.dl (E).dl U V = = = D'où l'on tie : V = V() V() = E. dl (VI.12) VI.5 : L'électonvolt Losu'on étudie les énegies ui entent en jeu au niveau moléculaie et atomiue, on découve ue celles-ci sont extêmement petites pa appot à l'unité d'énegie du SI, le joule. Comme il est peu patiue d'avoi à manipule des puissances de 10, pou ce gene d'étude, on péfèe tavaille avec une aute unité d'énegie, plus petite, l'électon volt (ev). Un électonvolt se définit comme l'énegie cinétiue acuise pa un électon accéléé pa une difféence de potentiel de 1 V. Etant donné ue la chage d'un électon vaut 1, C (voi IV.1) et ue U = V (elation (VI.9)), on a : 1 ev = 1, C 1 V = 1, J (VI.13)

9 VI. 9 Même si l'électonvolt peut s'avée ête une unité plus patiue à utilise au niveau des paticules, il ne faut pas oublie ue ce n'est pas une unité du SI. Quand on effectue des calculs, il faut d'abod la conveti en Joule à l'aide du facteu de convesion ci-dessus. VI.6 : Le potentiel électiue attibuable à une chage ponctuelle Replaçons-nous dans le cas de la figue VI.1 et calculons le potentiel électiue V() à une distance de la chage 2 : U() V() = = 2, 1 4π ε0 en utilisant la elation (VI.7) ui impliue u'on ait choisi, comme niveau de éféence, une énegie potentielle et un potentiel nuls à l'infini. Effectivement : lim V() = lim 2 0 4πε0 = Dès los, avec cette convention, le potentiel électiue à une distance d'une chage ponctuelle Q, vaut : Q V() = (VI.14) 4πε0 Remauons u'il est positif si Q > 0, négatif dans le cas contaie. VI.7 : Execices 1. Un électon acuiet une énegie cinétiue de 6, J losu'il subit une accéléation due à un champ électiue en passant d'une plaue à une plaue. Quelle est la difféence de potentiel ente les deux plaues? Lauelle possède le potentiel le plus élevé? (R : 4000 V ; V() > V()) 2. Le potentiel à une cetaine distance d'une chage ponctuelle est de 600 V et le champ électiue de 200NC 1. a) Quelle est cette distance? (R: 3 m)

10 VI. 10 b) Que vaut cette chage? (R : C ) 3. La distance moyenne des potons dans un noyau atomiue est d'envion m. Estime l'ode de gandeu de l'énegie potentielle électiue de deux potons dans le noyau. Expime le ésultat en J et en ev. (R : 2, J ; 1, ev ) 4. Une tès gande ( infinie) plaue métalliue plane est à un potentiel V 0. Elle pote une chage unifomément épatie d'une densité sufaciue σ(c /m 2 ). Déteminez le potentiel à une distance x de la plaue (R: V 0 σ x ). 2ε 0 5. Une paticule alpha (2 potons, 2 neutons) est envoyée avec une énegie cinétiue de 4 MeV su un noyau d'atome de mecue dont le nombe de potons est 80. a) Quelle est la distance d'appoche minimale? (R : 5, m) b) Compae avec la valeu du ayon nucléaie ( m ). 6. (Examen de mai 2004) Soit deux chages électiues Q 1 = 2,5 µc et Q 2 = 2,5 µc situées espectivement aux points de coodonnées P 1 = (-3 m, 0), P 2 = (+3 m, 0). a. Calcule le champ électiue dû à ces deux chages au point P 3 de coodonnées P 3 = (0, 4 m), gandeu et diection. b. Quelle seait l'accéléation initiale subie pa un électon placé en P 3 (m e = 9,11 x kg, e = 1,6 x C), gandeu et diection. c. Quel est le potentiel électiue dû aux chages Q 1 et Q 2 au point P 3 et en un point P 4 de coodonnées, P 4 = (6 m, 0), gandeu et signe. d. Quel est le tavail de la foce électiue losu'on déplace l'électon de P 3 en P 4, gandeu et signe. (R: (a) E 3 = 1440 N/C, le long de l'axe y, sens positif (b) a = 2,5 x m/s², le long de l'axe y, sens négatif (c) V 3 = 9 kv; V 4 = 10 kv (d) W 34 = +1,6 x J ) 7. La difféence de potentiel ente deux plaues paallèles de 2 cm de long, sépaées de 1 cm, est de 100 V.

11 VI. 11 e v 0 1 cm 2 cm Un électon est pojeté avec une vitesse initiale v 0 de 10 7 ms. 1 dans une diection pependiculaie au champ. Quelle est la vitesse de l'électon (gandeu et diection) losu'il émege des plaues (m e = kg)? (R : 1, m/s ; 19,6 pa appot à l'hoizontale)