Lentilles minces Le but du module est de décrire les propriétés fondamentales des lentilles minces en établissant une classification de celles-ci et en apprenant à construire la marche des rayons lumineux à travers elles ainsi qu'en établissant les formules de conjugaison pour caractériser les images obtenues. Objectifs: Lorsque vous aurez parcouru ce module vous serez capable de: reconnaître la nature (convergente ou divergente) d'une lentille mince. de construire l'image d'un objet à travers cette lentille. de construire le rayon émergent correspondant à un rayon incident quelconque à travers cette lentille Prérequis: d'utiliser les formules de conjugaison pour caractériser les images obtenues d'accocier deux lentilles minces pour fabriquer des doublets. Pour étudier ce module vous aurez besoin de: connaître la loi de propagation rectiligne de la lumière connaître les lois de la réfraction et de la réflexion connaître les relations fondamentales de trigonométrie savoir utiliser les grandeurs algébriques et les relations s'y rapportant
Centre optique, points principaux, points nodaux. Nous considérerons dans ce qui suit que la lentille a ses deux faces au contact de l'air. En premier lieu on pourra dire qu'une lentille est mince lorsque son épaisseur est négligeable devant les rayons de courbure de ses deux faces. Les sommets pourront alors être confondus en un même point S; mais cette condition ne permet pas de confondre S avec le centre optique O. Rappelons que pour une lentille épaisse nous avions la relation: qui permet d'écrire: On pourra donc considérer que O et S 2 sont confondus si l'épaisseur S 1 S 2 est petite devant la valeur absolue de la différence des valeurs algébriques des rayons de courbure R 2 - R 1. Lorsque les deux conditions précédentes seront satisfaites, le centre optique O pourra être confondu avec les sommets S 1 et S 2 ; les points nodaux seront également confondus en O. Ainsi un faisceau convergent en O n'est modifié ni en direction ni en position par une lentille mince dont le centre optique est en O. Si l'on place un petit objet contre la lentille son image est confondue avec l'objet: le grandissement est égal à +1 et les plans principaux sont confondus avec la lentille. La propriété qu'a la lentille mince d'avoir ses plans principaux confondus nous permettra d'en donner une représentation réduite à une portion de droite perpendiculaire à l'axe principal. Pour les lentilles à bords minces les flèches sont dans le sens où l'on s'éloigne de la droite perpendiculaire par rapport à l'axe principal (a) et sont orientées en sens inverse pour les lentilles à bords épais (b).
Les animations vidéo suivantes montrent le cheminement d'un rayon passant par le centre optique d'une lentille convergente ou divergente: Déviation d'un rayon lumineux passant par le centre optique d'une lentille convergente Déviation d'un rayon lumineux passant par le centre optique d'une lentille divergente Foyers, plans focaux. Distances focales. La lentille mince qui est un système centré dioptrique possède deux plans focaux perpendiculaires à l'axe principal aux foyers objet F et image F'. Comme les milieux extrêmes sont identiques les distances focales sont égales en valeur absolue et l'on a: On déterminera la valeur de la distance focale image à partir de la vergence C d'une lentille épaisse en considérant que: On obtient alors: d'où: où S 1 et S 2 sont confondus avec le point O. L'expression de la vergence C d'une lentille mince permet de montrer qu'il existe deux sortes de lentilles minces: - les lentilles minces convergentes pour lesquelles f ' est positive. Le foyer objet F est situé dans espace objet et le foyer image F ' est situé dans l'espace image; les deux foyers sont réels. - les lentilles minces divergentes pour lesquelles f ' est négative et les foyers sont virtuels. sera compté positivement si la face est convexe et négativement si la face est concave.
Ainsi la lentille biconvexe, plan convexe ou le ménisque convergent avec lentilles convergentes. sont des Tandis que la lentille biconcave, plan concave ou le ménisque divergent sont des lentilles divergentes. Un rayon incident en I et parallèle à l'axe traverse la lentille suivant IJ et sort en JF'. Entre I et J la lentille se comporte comme un prisme dont les faces seraient les plans tangents en I et J à la lentille; la base du prisme équivalent est située du côté de l'axe principal. Les rayons étant déviés du coté de la base du prisme le rayon est rabattu vers l'axe principal. Ainsi une lentille à bords minces sera convergente. Par contre pour les lentilles à bords épais le prisme équivalent à sa base tournée en dehors de l'axe principal et les rayons s'écartent de l'axe principal: ces lentilles sont divergentes. Les lentilles à bords minces sont convergentes.
Les lentilles à bords épais sont divergentes. L'animation suivante présente une classification des lentilles suivant l'épaisseur de leur bord: Classification des lentilles minces L'animation vidéo suivante montre l'existence du foyer principal image pour une lentille convergente: Foyer principal image d'une lentille convergente Les animations vidéo suivantes montrent la convergence ou la divergence d'une lentille selon qu'elle est à bords minces ou épais: Divergence d'une lentille à bords épais Convergence d'une lentille à bords minces Lentille plan-concave et planconvexe et leur association Construction de l'image d'un objet AB perpendiculaire à l'axe. Dans le cadre de l'approximation de Gauss, l'image A'B' d'un objet AB perpendiculaire à l'axe est également perpendiculaire à l'axe. Pour trouver l'image A'B' de AB il suffira donc de déterminer l'image B' de B et d'abaisser de B' une perpendiculaire à l'axe principal pour obtenir A'. Pour ce faire nous pourrons utiliser trois rayons particuliers issus de B: - le rayon qui passe par le centre optique O et qui n'est pas dévié. - le rayon qui passe par le foyer objet F de la lentille et qui émerge parallèlement à l'axe principal.
- le rayon parallèle à l'axe principal et qui émerge en passant par le foyer image F'. Seuls deux des trois rayons utilisés suffisent à déterminer la position du point B'. Les deux animations suivantes présentent la construction de l'image d'un objet à travers une lentille convergente puis divergente: Image d'un objet dans une lentille convergente Image d'un objet dans une lentille divergente Construction de l'émergent correspondant à un incident quelconque. Deux méthodes de construction peuvent être envisagées pour tracer le rayon émergent correspondant à un incident quelconque: - la première méthode consiste à remarquer que tout faisceau issu d'un foyer secondaire Fs appartenant au plan focal objet émerge en un faisceau de rayons parallèles à l'axe secondaire FsO - la deuxième méthode utilise le fait qu'un faisceau de lumière parallèle incident sur la lentille converge en un foyer secondaire image F's appartenant au plan focal image; F's est l'intersection de l'axe secondaire parallèle au faisceau incident avec le plan focal image. d'où les constructions suivantes pour un rayon incident quelconque: On cherche l'intersection du rayon incident avec le plan focal objet Fs; le rayon émergent sera
parallèle à FsO. On trace une parallèle au rayon incident passant par le centre optique O qui coupe le plan focal image en F's; le rayon émerge en passant par le foyer secondaire F's. Les animations suivantes présentent la marche d'un rayon lumineux puis d'un faisceau lumineux à travers une lentille convergente puis à travers une lentille divergente: Marche d'un rayon dans une lentille convergente Marche d'un rayon dans une lentille divergente Marche d'un faisceau dans une lentille convergente Marche d'un faisceau dans une lentille divergente Formules de conjugaison avec origine au centre. Si l'on reprend la formule de conjugaison des systèmes centrés avec origine aux points principaux: comme les points principaux sont confondus avec le centre optique et que les distances focales objet et image sont égales en valeur absolue: on pourra écrire: que l'on écrit souvent en posant: Le grandissement linéaire s'exprimera par: Formules de conjugaison avec origines aux foyers. On a:
soit en posant: on a également: on en déduit la formule du grandissement linéaire: Formules de Lagrange-Helmholtz. Le rayon AI admet IA' comme rayon conjugué et on peut écrire dans les conditions de Gauss: d'où la formule de Lagrange-Helmholtz: Le grandissement axial est défini par: où dp' est le déplacement de l'image correspondant à un déplacement dp très petit de l'objet. En reprenant la relation: et en la différentiant on obtient: soit: g est toujours positif
Récapitulatif des formules de conjugaison des lentilles minces à milieux extrêmes identiques (no=1). Association de deux lentilles minces accolées. L'utilisation d'associations de lentilles minces accolées ou non est fréquente lorsqu'il s'agit d'atténuer les aberrations ou d'augmenter une convergence ( oculaires). Nous considérerons dans cette première association que les lentilles sont amenées aussi près que le permet leur géométrie et qu'ainsi l'épaisseur résultante totale est faible: on admettra alors que les plans principaux des lentilles sont confondus en O et que l'ensemble est équivalent à une lentille mince unique de centre optique O dont la vergence est donnée par la formule de Gullstrand dans laquelle on fait e=0 (puisque H' 1 et H 2 sont confondus): résultat que l'on retrouve facilement en appliquant les formules des lentilles minces à chacune des lentilles L1 et L 2 : ce qui montre que l'ensemble des deux lentilles est équivalent à une lentille mince de centre optique O et de distance focale f' telle que: Ce qui nous conduit au théorème des vergences: la vergence d'un système de deux lentilles minces accolées est la somme des vergences de chacune des lentilles minces constituant le système. Si l'on utilise les formules de grandissement pour chacune des lentilles minces on montre:
le grandissement linéaire du système des deux lentilles minces accolées est égal au produit des grandissements linéaires de chacune des lentilles minces. Association de deux Doublet. Deux lentilles minces L 1 et L 2 de distances focale f ' 1 et f ' 2 séparées par: forment un doublet que l'on définit en général par son symbole, ensemble de 3 nombres algébriques m, n et p, généralement entiers et tels que: si l'on applique la formule de Gullstrand à cette association: H' 1 est en O 1 et H 2 est en O 2 donc: lentilles est donnée par: et la convergence de l'association des deux où f ' est la distance focale du doublet. Posons: et donc: soit: le foyer image F ' du doublet est le conjugué de F ' 1 dans L 2 : d'où: de même le foyer objet F est le conjugué de F 2 dans L 1 : d'où:
Tous les éléments cardinaux peuvent alors être mis en place. Doublet symétrique. Doublet afocal. Les doublets sont souvent symétriques et admettent le milieu C de O 1 O 2 comme centre de symétrie. Les points nodaux objet N et image N' sont les conjugués de C à travers L 1 et L 2 respectivement. Les points antinodaux sont les foyers F 1 et F ' 2. Le foyer objet F du doublet est le milieu du segment NF 1. Un doublet est afocal si l'image d'un objet à l'infini est également à l'infini. Les foyers F ' 1 et F 2 sont confondus. Nous prendrons les foyers F 1 et F ' 2 qui sont conjugués, comme origines pour fixer la position de l'objet AB et celle de son image A'B'.Un doublet est afocal si l'image d'un objet à l'infini est également à l'infini. Les foyers F ' 1 et F 2 sont confondus. Nous prendrons les foyers F 1 et F ' 2 qui sont conjugués, comme origines pour fixer la position de l'objet AB et celle de son image A'B'. Si l'on pose: la relation donnant le grandissement axial s'écrit: soit: Ce qu'il faut retenir :
Les lentilles sphériques ne sont pas de façon générale rigoureusement stigmatiques
Les lentilles minces seront utilisées dans les conditions de stigmatisme approché, c'est-à-dire à faible ouverture et en utilisant des rayons peu inclinés sur l'axe principal. Les lentilles à bords minces sont convergentes. Les lentilles à bords épais sont divergentes. Tout rayon passant par le centre optique d'une lentille mince n'est pas dévié. Tout rayon incident parallèle à l'axe principal émerge de la lentille en passant par le foyer principal image. Tout rayon incident passant par le foyer objet émerge de la lentille parallèlement à l'axe principal. Pour une lentille sphérique mince, il existe deux plans focaux symétriques par rapport à la lentille: le plan focal objet et le plan focal image. Ces plans comme les foyers qui les forment sont réels pour une lentille convergente et virtuels pour une lentille divergente. Une lentille mince est optiquement définie par sa distance focale. Les relations de conjugaison: origine au centre origine aux foyers
Lentilles minces
Optique géométrique Lentilles caractéristiques de l'image d'un objet donnée par une lentille.(1) 1/10 Retrouver la relation de conjugaison, dans l'air, des lentilles minces, (2), c'est-à-dire, en utilisant la déviation, dans l'air, par les prismes de petit angle : (1). Décomposer la section de la lentille en morceaux de prisme. Optique géométrique Lentilles caractéristiques de l'image d'un objet donnée par une lentille.(2) 2/10 Trouver la position (par rapport au centre optique de la lentille) et la taille (grandissement) de l'image A'B' d'un objet AB (AB = 1 cm), par construction géométrique, puis par les formules de conjugaison. Le sens de propagation de la lumière, de gauche à droite, est choisi comme sens positif. La distance focale de la lentille est f, son centre optique est O. A.N: f = +10 cm; OA = - 10 cm Positionner les foyers et utiliser des rayons particuliers. Optique géométrique Lentilles caractéristiques de l'image d'un objet donnée par une lentille.(3) 3/10 Trouver la position (en cm par rapport au centre optique de la lentille) et la taille (grandissement) de l'image A'B' d'un objet AB (AB = 1 cm), par construction géométrique, puis par les formules de conjugaison. Le sens de propagation de la lumière, de gauche à droite, est choisi comme sens positif. La distance focale de la lentille est f, son centre optique est O. A.N: f = +10 cm; OA = +5 cm Positionner les foyers et utiliser des rayons particuliers.
Optique géométrique Lentilles caractéristiques de l'image d'un objet donnée par une lentille.(4) 4/10 Trouver la position (en cm par rapport au centre optique de la lentille) et la taille (grandissement) de l'image A'B' d'un objet AB (AB = 1 cm), par construction géométrique, puis par les formules de conjugaison. Le sens de propagation de la lumière, de gauche à droite, est choisi comme sens positif. La distance focale de la lentille est f, son centre optique est O. A.N: f = +10 cm; OA = + 10 cm Positionner les foyers et utiliser des rayons particuliers. Optique géométrique Lentilles caractéristiques de l'image d'un objet donnée par une lentille.(5) 5/10 Trouver la position (en cm par rapport au centre optique de la lentille) et la taille (grandissement) de l'image A'B' d'un objet AB (AB = 1 cm), par construction géométrique, puis par les formules de conjugaison. Le sens de propagation de la lumière, de gauche à droite, est choisi comme sens positif. La distance focale de la lentille est f, son centre optique est O. A.N: f = -10 cm; OA = - 20 cm Positionner les foyers et utiliser des rayons particuliers. Optique géométrique Lentilles caractéristiques de l'image d'un objet donnée par une lentille.(6) 6/10 Trouver la position (en cm par rapport au centre optique de la lentille) et la taille (grandissement) de l'image A'B' d'un objet AB (AB = 1 cm), par construction géométrique, puis par les formules de conjugaison. Le sens de propagation de la lumière, de gauche à droite, est choisi comme sens positif. La distance focale de la lentille est f, son centre optique est O. A.N: f = -10 cm; OA = - 10 cm Positionner les foyers et utiliser des rayons particuliers.
Optique géométrique Lentilles caractéristiques de l'image d'un objet donnée par une lentille.(7) 7/10 Trouver la position (en cm par rapport au centre optique de la lentille) et la taille (grandissement) de l'image A'B' d'un objet AB (AB = 1 cm), par construction géométrique, puis par les formules de conjugaison. Le sens de propagation de la lumière, de gauche à droite, est choisi comme sens positif. La distance focale de la lentille est f, son centre optique est O. A.N: f = -10 cm; OA = - 5 cm Positionner les foyers et utiliser des rayons particuliers. Optique géométrique Lentilles caractéristiques de l'image d'un objet donnée par une lentille.(8) 8/10 Trouver la position (en cm par rapport au centre optique de la lentille) et la taille (grandissement) de l'image A'B' d'un objet AB (AB = 1 cm), par construction géométrique, puis par les formules de conjugaison. Le sens de propagation de la lumière, de gauche à droite, est choisi comme sens positif. La distance focale de la lentille est f, son centre optique est O. A.N: f = -10 cm; OA = + 5 cm Positionner les foyers et utiliser des rayons particuliers. Optique géométrique Lentilles caractéristiques de l'image d'un objet donnée par une lentille.(9) 9/10 Trouver la position (par rapport au centre optique de la lentille) et la taille (grandissement) de l'image A'B' d'un objet AB (AB = 1 cm), par construction géométrique, puis par les formules de conjugaison. Le sens de propagation de la lumière, de gauche à droite, est choisi comme sens positif. La distance focale de la lentille est f, son centre optique est O. A.N:f = -10 cm; OA = + 10 cm Positionner les foyers et utiliser des rayons particuliers.
Optique géométrique Lentilles caractéristiques de l'image d'un objet donnée par une lentille.(10) 10/10 Trouver la position (en cm par rapport au centre optique de la lentille) et la taille (grandissement) de l'image A'B' d'un objet AB (AB = 1 cm), par construction géométrique, puis par les formules de conjugaison. Le sens de propagation de la lumière, de gauche à droite, est choisi comme sens positif. La distance focale de la lentille est f, son centre optique est O. A.N: f = -10 Positionner les foyers et utiliser des rayons particuliers.
Lentilles minces
Optique géométrique Lentilles Détermination de lentille. 1/5 Un objet réel AB a pour image A'B', réelle, renversée et 4 fois plus grande que l'objet, à 5 m de l'objet. Déterminer la lentille mince qui donne cette image, graphiquement puis par les formules de conjugaison. Rédiger votre solution avant de demander la correction et l'évaluation Optique géométrique Lentilles Rayon de courbure d'une lentille. 2/5 Une lentille biconvexe a deux faces de même rayon de courbure R ( R > 0 ). Elle donne d'un objet AB de 5 cm, réel placé à 75 cm de la lentille, une image réelle à 150 cm de la lentille. On donne l'indice n du verre de la lentille ( n = 1,45 ). Calculer R Rédiger votre solution avant de demander la correction et l'évaluation Optique géométrique Lentilles Lentille mince et miroir plan (1) 3/5 Un objet AB est placé à une distance x devant une lentille convergente de focale f. On place derrière cette lentille un miroir plan, à une distance d de la lentille. Tracer et déterminer algébriquement l'image A'B' de AB par le système lentille-miroirlentille pour x = f ; d = f / 4. Rédiger votre solution avant de demander la correction et l'évaluation Optique géométrique Lentilles Lentille mince et miroir plan (2) 4/5 Un objet AB est placé à une distance x devant une lentille convergente de focale f. On place derrière cette lentille un miroir plan, à une distance d de la lentille. Tracer et déterminer algébriquement l'image A'B' de AB par le système lentille-miroirlentille pour x = 0; d = f. Rédiger votre solution avant de demander la correction et l'évaluation
Optique géométrique Lentilles Lentille mince et miroir plan (3) 5/5 Un objet AB est placé à une distance x devant une lentille convergente de focale f. On place derrière cette lentille un miroir plan, à une distance d de la lentille. Tracer et déterminer algébriquement l'image A'B' de AB par le système lentille-miroirlentille pour x = f / 2 ; d = 2 f. Rédiger votre solution avant de demander la correction et l'évaluation