Une personne myope ayant un d pr de 2 m veut voir correctement les objets lointains. Quelle est la puissance des lunettes qu il doit porter? visionfuturelyon.fr/operation-myopie-laser-lyon.php Voyez la réponse à cette question dans ce chapitre.
La loi Quand la lumière passe d un milieu à l autre, il y a un changement dans la direction de propagation de la lumière. en.wikipedia.org/wiki/refraction www.refractometer.pl/snell-law Ce phénomène est connu depuis longtemps puisqu on a des tables donnant les valeurs des angles avant et après l entrée de la lumière dans l eau faites par Ptolémée (1 er siècle), bien que les valeurs ne soient pas toujours bonnes. On en vint quand même à découvrir la loi qui relie les angles et. Elle fut donnée pour la première fois par Ibn Sahl, un savant musulman, en 984. Elle fut redécouverte ensuite par Thomas Harriot en 1602, par Willebrord Snell en 1621 et par René Descartes en 1637. (Comme Harriot et Snell ne publièrent pas immédiatement leurs résultats, il existe une certaine controverse concernant le nom de cette loi. Pour tous, sauf les Français, on parle de la loi de Snell, alors que pour les Français, on parle de la loi de Snell-Descartes ) Loi de la réfraction n sinθ = n sinθ 1 1 2 2 où n est l indice de réfraction du milieu. Les indices 1 font référence au milieu où est initialement la lumière et les indices 2 font référence au milieu où la lumière va passer (ou tente de passer ). En voici une démonstration expérimentale. http://www.youtube.com/watch?v=yfawfjcrdse Examiner bien la photo qui montre la réfraction et le vidéo : il y a aussi une réflexion de la lumière sur l interface. Quand la lumière arrive à un changement de milieu, on peut Version 2015 6-La réfraction de la lumière 2
avoir de la réflexion et de la réfraction. Il existe des formules qui donnent la proportion de l énergie qui ira dans chaque rayon, mais on ne les étudiera pas ici. Vous pouvez voir ici les variations qu occasionne une différence d indice de réfraction de deux substances : l eau et l huile http://www.youtube.com/watch?v=fm1g1znucm0 Démonstration de la loi C est Christiaan Huygens qui fit le premier, en 1678, la démonstration de la loi de la réfraction en considérant la nature ondulatoire de la lumière. On va considérer ici que l onde va moins vite dans le deuxième milieu. Pendant une période, l onde va donc avancer de vt, qui est aussi la longueur d onde. Puisque la vitesse est plus petite dans le deuxième milieu, elle parcourt une distance plus petite dans le deuxième milieu. Il ne faut pas oublier que la direction de propagation de l onde est toujours perpendiculaire au front d onde. On voit donc que ce changement de vitesse entraine un sites.google.com/site/bromfieldphysics/waves changement d orientation du front d onde et donc de la direction de propagation de l onde. On peut également le voir dans cet applet http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/refraction/eau/refraction.htm Selon la figure, on a donc v1t v2t sinθ1 = et sinθ2 = x x En divisant l un par l autre, on obtient sinθ v sinθ = v 1 1 2 2 Version 2015 6-La réfraction de la lumière 3
Il faut ensuite montrer que l angle que fait le front d onde avec la surface correspond bien au changement de direction. On peut voir assez facilement sur la figure ci-contre que l angle entre la surface et le front d onde est exactement le même qu entre la direction de propagation (le rayon) et la normale à la surface. sites.google.com/site/bromfieldphysics/waves On a donc la loi suivante Forme plus générale de la loi de la réfraction sinθ v sinθ = v 1 1 2 2 (Cette forme est plus générale, car on peut l appliquer à toutes les formes d onde possible, comme le son, les vagues, et les tremblements de terre) Dans le cas de la lumière, la vitesse est donnée par www.refractometer.pl/snell-law c v = n On a donc sinθ1 = sinθ 2 c n 1 c n 2 sinθ n = sinθ n 1 2 2 1 n sinθ = n sinθ 1 1 2 2 Ce qui est bien la loi de la réfraction pour la lumière. La preuve de la loi de la réfraction de Descartes était bien différente puisqu il était partisan de la théorie corpusculaire de la lumière. Cependant, pour arriver à la bonne loi avec la théorie corpusculaire, Descartes devait supposer que la lumière doit aller plus vite si l indice de réfraction est plus grand. (C est le contraire avec la théorie ondulatoire.) On pourrait penser qu on avait là un test pour déterminer quelle théorie était correcte. Il aurait suffi de mesurer la vitesse de la lumière dans l eau et dans l air. Si elle va plus vite dans l eau, la théorie corpusculaire est correcte et si elle va moins vite dans l eau, la théorie ondulatoire est correcte. Toutefois, on ne parvint à mesurer la vitesse de la Version 2015 6-La réfraction de la lumière 4
lumière dans l eau qu en 1850. Les résultats confirmèrent que la théorie ondulatoire, qui avait remporté la victoire depuis une vingtaine d années, était correcte. Exemple 6.1.1 Un rayon lumineux ayant une longueur d onde de 500 nm dans l air entre dans l eau (n = 1,33) avec un angle d incidence de 50. a) Quel est l angle du rayon réfléchi? Selon la loi de la réflexion, on a θ = 50 b) Quel est l angle du rayon réfracté? Selon la loi de la réfraction, on a www.refractometer.pl/snell-law n sinθ = n sinθ 1 1 2 2 1 sin 50 = 1,33sin θ θ = 35,16 2 2 c) Quelle est la longueur d onde de la lumière dans l eau? La longueur d onde est λvide 500nm λ eau = = = 376nm n 1,33 (Cela ne veut pas dire que la couleur de la lumière change. Les couleurs en fonction de la longueur d onde sont données pour des longueurs d onde dans le vide. Ce que notre œil mesure en réalité, c est la fréquence. Comme la fréquence ne change pas en changeant de milieu, la couleur reste la même.) d) Quelle est la vitesse de la lumière dans l eau? La vitesse est 8 m c 3 10 s v = = = 2, 26 10 n 1,33 8 m s Version 2015 6-La réfraction de la lumière 5
Les mirages Les mirages sont le résultat de la réfraction de la lumière dans l air. L indice de réfraction de l air dépend de la densité de celle-ci et donc de sa température. La chaleur du Soleil passe, en bonne partie, à travers l atmosphère et chauffe le sol, qui à son tour chauffe l air. L air près du sol est donc souvent plus chaud que l air à une hauteur plus élevée, ce qui diminue sa densité et son indice de réfraction. La vitesse de l onde est donc plus grande près du sol. Prenons un front d onde vertical (instant 1) pour illustrer ce qui arrivera alors. On se rappelle aussi que la direction de propagation de l onde est toujours perpendiculaire au front d onde. Comme la vitesse de l onde n est pas la même partout, le front d onde n ira pas partout à la même vitesse. Dans notre exemple, la vitesse du front d onde est plus grande en bas du front d onde qu en haut. Cela fait que le bas du front d onde va avancer plus vite que le haut du front d onde et va donc le dépasser. Le front d onde ne sera donc plus vertical, mais incliné (instant 2). Cela implique aussi que la direction de propagation de l onde a changé, car elle doit toujours être perpendiculaire au front d onde. L onde va maintenant un peu vers le haut. Plus le bas de l onde va prendre les devants par rapport au haut de l onde, plus la direction de propagation de l onde sera déviée vers le haut. sites.google.com/site/bromfieldphysics/waves Cette déviation est aussi de la réfraction parce que c est la même chose qui se passe quand la lumière passe d un milieu à un autre. Quand le front d onde dans l air entre de l eau, sa vitesse diminue. La partie du front d onde dans l air prend donc les devants par rapport à la partie dans l eau, ce qui change l orientation du front d onde de même que la direction de propagation de l onde. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 6
Supposons maintenant qu il y a de la lumière reflétée par un palmier et que cette lumière se dirige vers le sol. Puisque l onde va vers le bas, le haut du front d onde a les devants par rapport au bas du front d onde au départ (on voit les fronts d onde sur le rayon lumineux le plus haut). Mais comme le bas du front d onde va plus vite, il va lentement dépasser le bas du front d onde pour ensuite prendre les devants. Cela implique que la direction de propagation de l onde va lentement changer pour maintenant se diriger vers le haut. (La trajectoire est beaucoup plus courbée sur cette trajectoire que ce qu on a en réalité.) www.tutorvista.com/content/physics/physics-ii/light-refraction/mirage-and-looming.php Quand l observateur reçoit la lumière, il va interpréter la lumière comme il le fait depuis toujours. Il pensera que les rayons lumineux se propagent en ligne droite. L observateur va donc penser que le palmier est au point de croisement des rayons en le prolongeant en ligne droite (lignes pointillées). Il va donc voir le palmier en regardant vers le sol! En l absence de palmier, il aurait vu le ciel dans cette direction. Comme le ciel est bleu, il verrait du bleu en regardant vers le sol et il va penser qu il y a un lac. On peut voir cet effet sur les photos suivantes. www.sflorg.com/nature_trail/atmospheric/atmospheric_10 Version 2015 6-La réfraction de la lumière 7
www.crystalinks.com/mirage.html Le mirage qu on voit dans ce vidéo (à 1 : 10) est pas mal impressionnant. On dirait vraiment qu il y a un lac http://www.youtube.com/watch?v=hzibmulhmse Cet effet peut se produire de façon inverse au-dessus de l eau si l air est plus chaud que l eau. L eau va alors refroidir l air au-dessus du lac et l indice de réfraction sera plus grand près de l eau. La lumière va donc dévier dans la direction indiquée sur la figure. www.alcione.org/fraudes/00turquia/ La lumière va dévier, mais dans l autre sens. On peut voir une démonstration d une telle réfraction dans ce vidéo http://www.youtube.com/watch?v=bv3aril64ak On a mis du sirop de maïs au fond du bac et ensuite de l eau. Au bout de quelques jours, le sirop s est dissous, mais l eau est plus dense près du fond, ce qui fait que l indice de réfraction est plus grand au bas du bac. On pourra alors voir des choses telles que celles montrées sur cette image. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 8
scribol.com/featured/a-world-of-mirages-10-dazzling-optical-phenomena-from-round-the-globe/7497 Enfin, on peut avoir des variations de température plus complexes qui pourront dévier la lumière de façon plus spectaculaire, comme on peut le voir sur cette image. www.flickr.com/photos/dcartiersr/2283060804/ Version 2015 6-La réfraction de la lumière 9
La déviation du son Ce phénomène n est pas spécifique à la lumière puisque plusieurs types d ondes font de la réfraction. Le son peut également faire des trajectoires semblables puisque la vitesse du son dépend de la température et une vitesse plus élevée fait exactement le même effet qu un indice de réfraction plus petit. Supposons par exemple que vous êtes en chaloupe à la surface d un lac et que vous parlez. Pendant l été, l air est généralement plus chaud que le lac ce qui va faire que l air près de la surface du lac est plus froid que l air plus haut. Le son près du lac va donc moins vite qu à une altitude plus élevée, ce qui fera courber la trajectoire du son vers la surface du lac. Quand le son revient sur le lac, il va se réfléchir et repartir vers le haut. La réfraction va alors dévier à nouveau la trajectoire vers la surface du lac où le son va se réfléchir à nouveau. Ce processus va se répéter jusqu à ce que le son atteigne le bord du lac. C est pour ça que lors de journée chaude d été, on entend très bien tous les sons, comme les moteurs, qui proviennent de la surface du lac quand on est sur le rivage. Si l air refroidit avec l altitude, la déviation du son se fera vers le haut. Sur cette image, la personne n entend même pas le bruit de l auto puisque tous les sons sont déviés et passent au-dessus de sa tête. C est ce qui va se produire à la surface du lac la nuit puisque dans ce cas, le lac est plus chaud que l air. Vous pouvez aller faire le party sur le lac, et personne ne va vous entendre autour du lac www.pa.op.dlr.de/acoustics/essay1/brechung_en.html Sachez que le vent peut aussi provoquer des effets semblables avec le son. Dans la figure ci-contre, le vent est plus fort en altitude qu au sol (ce qui est généralement le cas). Cela a pour effet de ralentir davantage le haut des fronts d onde que le bas des fronts d onde. Le front d onde change alors lentement de direction comme illustrée sur la figure, ce qui a pour www.pa.op.dlr.de/acoustics/essay1/brechung_en.html Version 2015 6-La réfraction de la lumière 10
effet de changer la direction de propagation de l onde. Le son est donc dévié vers le ciel dans cette situation et le petit bonhomme n entend pas l auto. Il est donc très possible que, si vous criez quelque chose à quelqu un qui est loin et que le son va contre le vent, cette personne ne vous entende pas du tout. Ce n est pas parce que le vent a arrêté votre cri (ce qui est impossible puisque la vitesse du son est beaucoup plus grande que la vitesse du vent), mais plutôt parce que la différence de vitesse du vent selon l altitude a fait dévier le son vers le haut. L angle critique Il est possible dans certains cas que la réfraction soit impossible. Illustrons le tout par un exemple. Il faut déterminer l angle inconnu dans la situation suivante. Si on applique la loi de la réfraction, on obtient n sinθ = n sinθ 1 1 2 2 1,33 sin 50 = 1sinθ sinθ = 1,019 2 2 www.refractometer.pl/snell-law Il y a alors un petit problème : il n y a pas de solution pour cette équation! Cela signifie simplement qu il n y a pas de réfraction dans ce cas. La lumière va donc se réfléchir entièrement et aucune lumière ne va sortir de l eau. C est ce qu on appelle la réflexion totale (appelée aussi réflexion interne totale) et qui fut découverte par Kepler en 1604. L image suivante vous montre une lumière rouge qui fait une réflexion totale à une surface. Pour qu il y ait réflexion totale, on doit donc avoir www.sciencephoto.com/media/97795/view Version 2015 6-La réfraction de la lumière 11
sinθ 2 > 1 Ce qui veut dire, en utilisant la loi de la réfraction, sinθ > 1 2 2 n1 sinθ1 > 1 n n sinθ1 > n 2 1 On peut réécrire cette condition sous la forme suivante. Angle critique pour la réflexion totale n2 sinθ c = n1 Si est plus grand que, alors il y a réflexion totale. Pour de la lumière dans l eau qui tente de passer à l air, l angle critique est 1 sinθc = 1,33 θ = 48,75 c On voit qu avec l angle de 50, qu on avait précédemment dans l exemple, on avait bel et bien une réflexion totale. On voit sur la figure suivante ce qui se passe avec de la lumière dans l eau qui tente de passer dans l air selon l angle d incidence. coraifeartaigh.wordpress.com/category/introductory-physics/ Version 2015 6-La réfraction de la lumière 12
Pour des angles inférieurs à l angle critique, il y a de la réflexion et de la réfraction. Quand l angle d incidence dépasse l angle critique (dernier rayon ici), il n y a plus de réfraction, il n y a que de la réflexion. On peut très bien voir ce phénomène dans ce vidéo inutilement long http://www.youtube.com/watch?v=2kboqfs0nme Pour de la lumière dans l air qui tente d entrer dans l eau, l angle critique est 1,33 sinθ c = 1 Comme il n y a pas de solution, il est impossible que la lumière dans l air fasse une réflexion totale à la surface de l eau. Pour qu il y ait réflexion totale, on doit absolument avoir n 1 > n 2. On utilise des prismes pour réfléchir la lumière dans certains appareils optiques, comme les jumelles. L angle critique du verre étant autour de 42, les rayons qui arrivent à 45 sur la surface font une réflexion totale. On le voit bien sur cette figure. Pourquoi prendre un prisme alors qu un miroir aurait très bien fait l affaire? Un miroir n est www.visualphotos.com/image/1x7467350/total_intern al_reflection_at_the_hypotenuse_of_a jamais efficace à 100 %, il y a toujours une partie de la lumière qui n est pas réfléchie et passe à travers le miroir. On perd donc une partie de la lumière. Avec la réflexion totale, toute la lumière est réfléchie et on ne perd rien. La réflexion totale est aussi à la base du fonctionnement des fibres optiques. On envoie le laser dans la fibre qui fait alors de la réflexion totale sur les côtés de la fibre. La lumière reste donc prisonnière à l intérieur de la fibre jusqu à ce qu elle arrive au bout de celle-ci. On peut donc transmettre des signaux lumineux sur de grandes distances sans aucune perte d énergie. www.hk-phy.org/iq/optical_fiber/optical_fiber_e.html www.thimphutech.com/2009/04/optical-fiber-link-fixed.html Version 2015 6-La réfraction de la lumière 13
On peut aussi observer cet effet dans ce vidéo. http://www.youtube.com/watch?v=rlo2xeb2qt4 Exemple 6.2.1 Quel est le trajet de ce rayon lumineux dans l air qui arrive à la surface du morceau de verre? En arrivant à la surface du verre, on aura de la réflexion (à 30 selon la loi de la réflexion) et de la réfraction avec un angle de n sinθ = n sinθ 1 1 2 2 1 sin 30 = 1,6sin θ θ = 18,2 2 2 Ce rayon va continuer sa route et arriver de nouveau à l interface avec un angle d incidence de 71,8. Encore une fois, il y aura de la réflexion à 71,8 et de la réfraction avec un angle de Version 2015 6-La réfraction de la lumière 14
n sinθ = n sinθ 1 1 2 2 1,6 sin 71,8 = 1sinθ sinθ = 1,52 2 2 Comme il n y a pas de solution, il n y a pas de réfraction et il y a réflexion totale. La réponse finale est donc la suivante. La lumière peut aussi être enfermée dans un jet d eau. On peut alors obtenir les effets suivants http://www.youtube.com/watch?v=s7w1z1fcgwa Les variations d indice de réfraction Partout dans ce cours, on travaille avec des milieux non dispersifs, sauf dans cette section. Dans un milieu non dispersif, toutes les ondes, peu importe leur fréquence, vont à la même vitesse. Cependant, il arrive souvent qu il y ait une légère variation de vitesse en fonction de la longueur d onde pour la lumière dans des milieux transparents. Cela signifie que l indice de réfraction varie en fonction de la longueur d onde de la mathscinotes.wordpress.com/2010/10/06/dispersion-power-penaltymodeling-part-1/ Version 2015 6-La réfraction de la lumière 15
lumière. Le graphique suivant vous montre la variation de l indice pour plusieurs milieux transparents. On pourrait croire que l indice de réfraction diminue toujours avec la longueur d onde, mais ce n est pas le cas. Le graphique suivant montre les variations de l indice de réfraction de l eau pour une plus grande plage de longueur d onde. On peut voir que parfois il monte, parfois il diminue. La séparation des couleurs www.philiplaven.com/p20.html Le changement de longueur d onde en fonction de la longueur d onde fait que chaque couleur fera une réfraction un peu différente des autres couleurs. Il y aura alors une séparation de toutes les couleurs. www.e-education.psu.edu/astro801/content/l3_p3.html Version 2015 6-La réfraction de la lumière 16
Pour le verre, l indice de réfraction des petites longueurs d onde du visible est très souvent plus grand que pour les grandes longueurs d onde du visible. Cela veut dire que les petites longueurs d onde (comme le mauve) seront un peu plus déviées que les grandes longueurs d onde (comme le rouge) lors d une réfraction. C est ce qu on peut voir sur la figure. On appelle cette séparation des couleurs la dispersion. Pouvez-vous voir l erreur dans ce vidéo? http://www.youtube.com/watch?v=p27lyzcxfcm L arc-en-ciel La dispersion est responsable d un phénomène optique assez spectaculaire : l arc-en-ciel. Elle se produit quand la lumière du Soleil passe à travers des gouttes de pluie et fait de la dispersion. Deux éléments sont donc essentiels à la formation d un arc-en-ciel : le Soleil et la présence de gouttes d eau, généralement de la pluie. En fait, la lumière qui fait l air en ciel a un trajet un peu particulier : elle entre dans la goutte en faisant une réfraction puis fait une réflexion dans la goutte puis ressort en faisant une autre réfraction. Environ 5 % de la lumière va faire ce trajet. Marc Séguin, Physique XXI, Ondes et physique moderne, ERPI, 2010 Puisque les indices de réfraction de chaque couleur sont légèrement différents, les réfractions vont causer une séparation des couleurs, ce qui va créer l arc-en-ciel. La lumière entre avec différents angles dans la goutte et en ressort avec des angles différents. Cependant, avec ce trajet, il y a quelque chose de particulier qui se passe : il y a un angle maximal de déviation des rayons (ligne en pointillée sur la figure de la page suivante). Version 2015 6-La réfraction de la lumière 17
Marc Séguin, Physique XXI, Ondes et physique moderne, ERPI, 2010 Vous pouvez vérifier l existence d un angle maximum et explorer le changement de cet angle avec l applet de ce site http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/arc_en_ciel/arc_en_ciel.htm Quand il y a un angle maximal de la sorte, une proportion importante de la lumière sort avec cet angle maximum. Il y a donc un maximum d intensité important à l angle maximum. De plus, cet angle pour lequel l intensité est maximale varie selon la couleur à cause de la dispersion. Pour le rouge, l intensité est maximale quand il y a 42,4 (l indice de réfraction est 1,3311) entre la direction initiale des rayons et le rayon émergent de la goutte. À l autre extrémité du spectre (donc pour le mauve), l angle est 40,6 (l indice de réfraction est 1,3435). On a donc la situation suivante. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 18
La lumière rouge va faire un angle de 42,4 avec la direction opposée au Soleil alors que le mauve va faire un angle de 40,6 avec la direction opposée au Soleil. Or il y a plusieurs directions pour lesquelles l angle est de 42,4. On peut faire un cercle avec tous les points à 42,4 autour de la direction opposée au Soleil. On aura aussi un cercle pour toutes les autres couleurs. Notez que la direction opposée au Soleil correspond au centre de l ombre de votre tête. Marc Séguin, Physique XXI, Ondes et physique moderne, ERPI, 2010 Dans ces figures, on n a pas le cercle au complet, car il se termine au sol. En combinant tous ces arcs de cercle de tailles différentes, on obtient la forme suivante. Marc Séguin, Physique XXI, Ondes et physique moderne, ERPI, 2010 On obtient un arc avec le mauve à l intérieur et le rouge à l extérieur. Remarquez que plus le Soleil est bas sur l horizon, plus l arc sera haut dans le ciel. Il en est ainsi, car il doit y avoir toujours 42 entre l arc et le centre de l ombre de votre tête. Si le Soleil est bas, l ombre est plus haute et l arc est plus haut. Si le Soleil est trop haut au-dessus de l horizon (plus de 42 ), il n y aura pas d arc-en-ciel, car le point le plus haut de l arc sera moins haut que le sol. La photo suivante montre le meilleur arc-en-ciel qu il est possible de voir. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 19
www.tredeponline.com/post/?p=44667 Premièrement, on a l arc le plus grand possible (180 ). Parfois, on n a qu une portion de l arc quand il ne pleut pas partout le long de l arc. Deuxièmement, l arc est très haut dans le ciel. Cet arc s est formé un peu avant le coucher du Soleil, ce qui signifie que le Soleil est très bas au-dessus de l horizon. Si le Soleil est bas, l arc est haut puisque le Soleil et l arc sont toujours opposés un à l autre. En fait, on peut voir tout le cercle fait par l arc-en-ciel si on est en avion. Dans ce cas, il peut y avoir de la pluie dans toutes les directions et on peut observer ceci. apod.nasa.gov/apod/ap140930.html Version 2015 6-La réfraction de la lumière 20
Vous avez peut-être remarquez sur les deux images précédentes qu il peut également se produire un deuxième arc. Il provient de la lumière qui a fait deux réflexions à l intérieur de la goutte (rayon dont l intensité est de 0,5 % sur la première figure de cette section). L angle entre le point opposé au Soleil et cet arc secondaire est d environ 72. Cet angle varie légèrement selon la couleur, mais cette fois-ci, c est le rouge qui est plus fortement dévié. Sur l arc secondaire, le rouge est donc à l intérieur de l arc et le mauve à l extérieur. wiki.pingry.org/u/physics/index.php/rainbows,_reflection,_and_refraction On dit parfois qu il y a de l or au pied des arcs-en-ciel. Ceci n est pas possible pour deux raisons. 1) L arc-en-ciel n est pas à la même place pour tous les observateurs. Comme il est centré sur l ombre de votre tête, le centre de l arc est différent pour chaque personne. kenokazaki.com/tag/rainbow/ www.cevector.com/ilustration/rainbow-vector-post-1 Version 2015 6-La réfraction de la lumière 21
2) L arc n est pas à une distance précise. Chaque goutte de pluie envoie de la lumière pour former l arc-en-ciel et il peut y avoir des gouttes qui sont proches et des gouttes qui sont plus loin. S il y a de la pluie de 1 km à 2 km de vous, la lumière que vous voyez provient de toutes les gouttes entre ces distances. axiomcafe.fr/pourquoi-les-arc-en-ciel-ont-ils-sept-couleurs S il ne pleut pas, vous pouvez vous faire un arc-en-ciel avec un arrosoir http://www.youtube.com/watch?v=_c6hsiixfs8 et ce n est pas parce que votre eau est contaminée que ça fait ça, comme l affirme la personne qui filme Voici un gars qui tripe un peu trop sur les arcs-en-ciel http://www.youtube.com/watch?v=oqsnhk5icti En 1657, Pierre de Fermat formulait le principe suivant Principe de Fermat En passant d un point à un autre, la lumière prend toujours le chemin qui prend le moins de temps Version 2015 6-La réfraction de la lumière 22
Pour illustrer cette idée, imaginons que la lumière va du point A au point B dans la situation illustrée sur la figure. La distance horizontale entre les points A et B est L. On va maintenant montrer que la trajectoire prévue par la loi de la réfraction est celle qui prend le moins de temps pour aller de A à B. En tenant pour acquis que la lumière se propage en ligne droite quand l indice de réfraction est constant, on en conclut que la lumière va dévier uniquement en changeant de milieu dans cette situation. Ainsi, les trajectoires montrées sur cette figure seraient alors toutes des trajectoires possibles. On va maintenant montrer que, parmi toutes ces trajectoires, celle qui est parcourue le plus rapidement par la lumière est celle qui respecte la loi de la réfraction. Pour ce faire, on va prendre la situation suivante et trouver la valeur de x pour que le temps de passage de la lumière de A à B soit le plus petit possible. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 23
Le temps qu il faut pour parcourir la trajectoire entre le point A et l interface est t 1 = a + x v 2 2 1 Le temps qu il faut pour parcourir la distance entre l interface et le point B est t 2 = ( ) 2 2 b L x + v 2 Le temps total pour aller de A à B est donc 2 2 a + x t = + v ( ) 2 2 b + L x v 1 2 On cherche maintenant la valeur de x qui fera en sorte que le temps pour aller de A à B est minimal. Il faut donc trouver le minimum de cette fonction, ce qu on peut trouver en égalant à la dérivée du temps à zéro. On a donc dt dx = 0 Version 2015 6-La réfraction de la lumière 24
( L x)( ) 2 ( ) ( L x) 2 ( ) ( L x) 2 ( ) 1 2x 1 2 1 + = 0 2 v a + x 2 v b + L x 2 2 2 1 2 x + = 0 v a + x v b + L x 2 2 2 1 2 x = v a + x v b + L x 2 2 2 1 2 Or, on remarque que ( L x) ( ) x sinθ = sinθ = a + x a + L x Notre équation de la dérivée devient donc 1 2 2 2 2 2 sinθ1 sinθ2 = v v 1 2 Ce qui est la formule de la loi de la réfraction. Cela veut donc dire que parmi toutes les trajectoires possibles que la lumière pouvait prendre entre A et B, elle est passée par le chemin qui prend le moins de temps. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 25
Image avec de la réfraction On peut former des images d objets avec de la réfraction. La lumière, en changeant de milieu, est déviée. Comme on interprétera que les rayons sont des lignes droites, on va penser que la lumière provient d un autre endroit que l endroit où est véritablement situé l objet. On va donc voir l image de l objet. Par exemple, dans la figure, on va voir l image du poisson à un endroit différent de la véritable position du poisson. On peut voir l effet de cela sur cette image. Pour la partie du crayon dans l eau, on ne voit que l image du crayon. Comme l image est plus près de la surface que l objet (ce sera démontré plus tard), cela donne l impression que le crayon est plié. www.passmyexams.co.uk/gcse/physics/reflection-and-refraction.html wiki.metropolia.fi/display/physics/reflection+and+refraction Version 2015 6-La réfraction de la lumière 26
Nous allons donc déterminer comment trouver la position de l image quand il y a un changement de milieu. La surface séparant les deux milieux porte le nom de dioptre. On va faire un cas général dans lequel la surface séparant les deux milieux est courbée. Ce sont les dioptres sphériques. Calcul de la position de l image Pour calculer l endroit où les rayons se concentrent, prenons la figure suivante. Les rayons partent de l objet ponctuel (point O). Il y a un rayon qui suit l axe principal et il y a un autre rayon (en rouge) qui fait une réfraction au point P. Les deux rayons se rencontrent alors au point I, l image de l objet. fr.wikiversity.org/wiki/lentilles_en_optique_géométrique/dioptre_sphérique Nous allons également supposer que le point P, n est pas tellement loin de l axe principal, ce qui signifie que tous les angles indiqués sur la figure (α,β,γ, et ) sont petits. On a p = distance entre l objet et le dioptre q = distance entre l image et le dioptre R = distance entre le dioptre et le centre de courbure du dioptre Pour le triangle OPC, nous avons, en radians Pour le triangle PCI, nous avons 1 ( ) α + β + π θ = π Version 2015 6-La réfraction de la lumière 27 1 θ = α + β
2 2 ( ) γ + θ + π β = π θ = β γ La loi de la réfraction est, avec des petits angles, nθ = n θ 1 1 2 2 (car sinθ θ pour des petits angles en radians). En utilisant les valeurs de et obtenues précédemment, on a On a ensuite n ( α + β ) = n ( β γ ) + = ( ) 1 2 n α n γ n n β 1 2 2 1 tanα h tan β h tanγ h p R q Pour expliquer pourquoi ce sont des approximations, prenons la première de ces équations. Pour que l équation soit exacte, il faudrait que le diviseur soit un peu plus petit que p car la hauteur est un peu plus loin que le dioptre. Il y aurait une petite correction à faire, mais elle sera très petite si le point P est près de l axe principal. Puisque les angles sont petits, on peut aussi utiliser On a alors En utilisant ces valeurs, on obtient tan x x h h h α β γ p R q ( ) n α + n γ = n n β 1 2 2 1 h h h n1 + n2 = ( n2 n1 ) p q R Ce qui nous donne Version 2015 6-La réfraction de la lumière 28
Formule des dioptres sphériques n n n n + = p q R 1 2 2 1 Bien qu on ait fait la preuve avec un dioptre courbé dans la direction illustrée sur la figure, cette formule est valide pour tous les dioptres, à condition de respecter la convention de signe suivante. Convention de signes pour les dioptres sphérique (Comme c est l objet qui émet la lumière, ça peut sembler bizarre que l objet soit du côté où la lumière va. Nous verrons plus tard comment cela est possible) Le grandissement Pour trouver le grandissement, examinons le trajet du rayon passant par le centre du dioptre. Pour des angles petits, on a fr.wikiversity.org/wiki/lentilles_en_optique_géométrique/dioptre_sphérique Version 2015 6-La réfraction de la lumière 29
yo θ1 θ2 p yi q et la loi de la réfraction nθ n θ 1 1 2 2 En utilisant les formules des angles, on obtient n y p o 1 2 y y i o = n n1q = n p qui est le grandissement. On va simplement ajouter un signe négatif pour nous indiquer que l image est inversée. On a alors Grandissement avec un dioptre sphérique y 2 yi q n q i 1 m = = y o n 2 p Exemples Exemple 6.5.1 Un poisson de 50 cm de long est 4 m sous la surface de l eau. a) Où est l image de ce poisson? Version 2015 6-La réfraction de la lumière 30
La lumière passe de l eau à l air, on a donc n 1 = 1,33, n 2 = 1 et p = 4 m. Comme la surface du lac n est pas courbée, R est infini. On a donc n n n n + = p q R 1 2 2 1 1, 33 1 1 1,33 + = 4m q 1,33 1 + = 0 4m q 4m q = 1,33 q = 3m Pour un observateur dans l air, le poisson semble donc être dans l eau, 3 m sous la surface. (Notez qu on aurait pu prendre le rayon de la Terre pour R car la surface du lac suit la courbure de la Terre, ça ne change pratiquement rien) L image suivante explique pourquoi, avec la réfraction, il semble moins profond. Le résultat obtenu pour la position de l image est q = -p/1,33. Les objets dans l eau semblent donc toujours 1,33 fois moins creux qu ils ne le sont en réalité. C est pour ça que le crayon dans l eau semble moins creux qu il ne l est en réalité et qu il donne l impression d être plié. b) Quelle est la grandeur de cette image? On a n1q m = n p 2 1,33 3m = 1 4m = 1 Le poisson semble donc avoir la même longueur que le poisson réel. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 31
Exemple 6.5.1 Une bulle de 1 mm de diamètre est à 3 mm du bord à l intérieur d une sphère de verre (n = 1,47) ayant un rayon de 2 cm. L observateur regarde la bulle du côté où elle est le plus proche du bord. a) Où est l image de la bulle? On trouve l image avec n n n n + = p q R 1 2 2 1 1,47 1 1 1,47 + = 3mm q 20mm q = 2,14mm La bulle semble donc être à 2,14 mm du bord, à l intérieur de la boule de verre b) Quel est le diamètre de l image de la bulle? On a n1q m = n p Version 2015 6-La réfraction de la lumière 32 2 1, 47 2,14mm = 1 3mm = 1,0504 L image de la bulle est 1,0504 fois plus grande que l objet. Elle aura donc un diamètre de 1,0504 mm.
Exemple 6.5.2 Dans la situation illustrée sur la figure, où est l image finale de l objet et quel est le grandissement final? www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/physics-archive-2012-march-28 Quand il y a plusieurs dioptres l une à la suite de l autre, on doit 1) Faire un dioptre à la fois 2) Prendre l image du premier dioptre comme objet pour le deuxième dioptre, et ensuite prendre l image du deuxième dioptre comme objet pour le troisième dioptre et ainsi de suite. 3) Calculer le grandissement total en multipliant tous les grandissements faits par chaque dioptre. La dernière règle est simplement une question de logique puisque si le premier dioptre fait une image 2 fois plus grande que l objet et qu ensuite le deuxième dioptre prend cette image comme objet et la grandit encore 10 fois, elle sera 20 fois plus grande que l objet d origine. 1 er dioptre La distance entre l objet et le premier dioptre est p 1 = 10 cm La position de l image est Version 2015 6-La réfraction de la lumière 33
n n n n + = p q R 1 2 2 1 1 1 1 1, 33 1,5 1,5 1, 33 + = 10cm q 20cm 1 1 q = 10,6cm Le grandissement est m n q 1.5 10, 6cm 1 2 2 = = = n2 p2 1,33 10 1,195 2 e dioptre La distance entre l image de la première lentille et la deuxième lentille est p2 = d1 q1 = 30cm 10,6cm = 40, 6cm Cette équation (la distance entre les dioptres moins la position de l image du dioptre précédente soit pn = dn 1 qn 1) est toujours valide. La position de l image est n n n n + = p q R 1 2 2 1 2 2 2 1,5 1 1 1,5 + = 40,6cm q q 2 2 = 27,07cm Le grandissement est m n q 1.5 27,07cm 1 2 2 = = = n2 p2 40,6cm 1 L image est donc à 27,07 cm derrière l interface air-verre selon l observateur. Le grandissement total est mtotal = m1 m2 = 1,195 1 = 1,195 Version 2015 6-La réfraction de la lumière 34
Lentilles convergentes et divergentes Il y a deux types de lentilles : convergente et divergente. La lentille convergente fait converger les rayons parallèles pour qu ils se rencontrent en un point, le foyer (F) www.svcausa.com/topic/2010/twokindsoflenses.html La lentille convergente est toujours plus épaisse au centre que sur les bords quand elle est dans l air. La lentille divergente fait diverger les rayons parallèles de telle sorte qu ils semblent provenir d un point, le foyer (F). www.svcausa.com/topic/2010/twokindsoflenses.html La lentille divergente est toujours plus mince au centre que sur les bords quand elle est dans l air. Dans les deux cas, la distance entre la lentille et le foyer est la distance focale (f). Il y a en fait deux foyers de chaque côté de la lentille et nous prouverons plus tard que, peu importe la forme de la lentille, les deux foyers sont à la même distance de la lentille de chaque côté. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 35
Il existe des symboles pour représenter ces lentilles. On peut les voir sur cette figure ww.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/physics-archive-2011-july-02 La lentille selon le principe de Fermat Selon le principe de Fermat, la lumière passe par le chemin qui prend le moins de temps pour passer d un endroit à un autre. Or, avec une lentille, tous les rayons passent du même point (l objet) à un autre (l image) en prenant des chemins différents. www.gettyimages.ca/detail/illustration/converging-lens-focuses-the-rays-from-a-distant-object-stockgraphic/141484542?language=en-gb Selon le principe de Fermat, cela signifie simplement que tous les rayons qui partent de l objet pour arriver à l image prennent tous exactement le même temps pour parcourir leur trajet. Rappelons-nous que la lumière qui voyage dans le verre va moins vite que la lumière qui voyage dans l air. Ainsi, la lumière qui est passée au milieu de la lentille a perdu du temps parce que la lentille est plus épaisse à cet endroit. Le rayon qui est passé par le bord de la lentille avait une trajectoire plus longue à parcourir, mais la lumière a traversé une épaisseur de verre plus petite, ce qui a ralenti la lumière pendant moins de temps que pour le rayon passé au centre. Le temps perdu pour parcourir la trajectoire plus longue est exactement compensé par le ralentissement moins long dans une épaisseur de verre plus petite. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 36
Les aberrations En fait, il n est pas tout à fait exact que tous les rayons vont se rencontrer au foyer. Si les surfaces de la lentille sont sphériques, seuls les rayons près de l axe principal vont arriver au foyer. Les rayons qui passent loin de l axe principal vont se concentrer un peu avant le foyer pour une lentille convergente. C est ce qu on appelle l aberration de sphéricité. en.wikipedia.org/wiki/lens_(optics) Elle se corrige en prenant une lentille dont la surface n est pas sphérique. (J ignore la forme exacte nécessaire pour y arriver.) Il y a également un problème à cause de la dispersion. Les différentes couleurs font des réfractions légèrement différentes ce qui fait que la position du foyer varie selon la couleur de la lumière. L indice de réfraction du mauve étant plus grand que celui du rouge, les rayons sont davantage déviés pour le mauve et le foyer du mauve est plus près de la lentille que le foyer du rouge. C est l aberration chromatique en.wikipedia.org/wiki/lens_(optics) Méthode graphique pour trouver la position de l image Il y a trois rayons principaux qu on peut utiliser pour trouver la position de l image d un objet. Pour la lentille convergente, ces trois rayons sont 1) Le rayon parallèle à l axe principal passe par le foyer de l autre côté de la lentille après son passage à travers la lentille. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 37
2) Le rayon passant par le foyer devient parallèle à l axe principal après son passage à travers la lentille. 3) Le rayon passant par le centre de la lentille n est pas dévié. Ce qui donne Pour la lentille divergente, il y a de légères différences. Les trois rayons sont 1) Le rayon parallèle à l axe principal semble provenir du foyer du côté d où provient la lumière après son passage à travers la lentille. 2) Le rayon se dirigeant vers le foyer de l autre côté de la lentille devient parallèle à l axe principal après son passage à travers la lentille. 3) Le rayon passant par le centre de la lentille n est pas dévié. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 38
Le calcul de la position de l image et de la distance focale d une lentille Les lentilles sont en fait deux dioptres l un après l autre. Pour trouver l image d une lentille, il faut donc appliquer l équation des dioptres deux fois. Quand on fait cela, on se sert de l image obtenue avec le premier dioptre (image 1) comme objet pour le deuxième dioptre. L image finale (Image 2) est l image qui nous intéresse. Pour le premier dioptre, on a fr.wikiversity.org/wiki/lentilles_en_optique_géométrique/dioptre_sphérique n n n n + = p q' R m l l m 1 où n m est l indice de réfraction du milieu et n l est l indice de réfraction de la substance qui compose la lentille. Pour le deuxième dioptre, on a nl nm nm nl + = p ' q R nl nm nm nl + = L q' q R 2 2 On va travailler ici avec des lentilles minces. Tellement minces qu on va négliger leur épaisseur. On va donc poser L = 0. On a donc, pour le deuxième dioptre, Version 2015 6-La réfraction de la lumière 39
nl nm nm nl + = q' q R 2 On va ensuite additionner les deux équations des deux dioptres. On obtient le résultat suivant. n n n n n n n n + + + = + p q' q' q R R m 1 1 m l m m l 1 2 Avec les deux termes qui s annulent, on a nm nm nl nm nm nl + = + p q R R 1 2 1 1 nl n m 1 1 + = p q n R R m 1 2 On peut faire le lien avec le foyer si on examine ce qui se passe avec des rayons parallèles (qui correspondent à p = infini) qui se concentrent au foyer (qui correspond à q = f). On a alors 1 1 n n 1 1 + = l m f nm R1 R2 On voit donc que tout le côté droit de l équation nous permet de calculer la distance focale de la lentille. C est l équation de l opticien ou du lunettier. Notez qu on définit la puissance d une lentille (P, en dioptrie (D, qui sont des m -1 )) comme l inverse de la distance focale. On a donc Distance focale et puissance d une lentille 1 nl n m 1 1 P = = f n R R m 1 2 où n m est l indice du milieu dans lequel est la lentille, n l est l indice du matériau qui compose la lentille, R 1 est le rayon de courbure de la première surface de la lentille rencontrée par la lumière et R 2 est le rayon de la deuxième surface de la lentille rencontrée par la lumière. Les signes des rayons de courbure sont importants et ils suivent la même convention de signe que les dioptres. Sachant maintenant que le côté droit de l équation est l inverse de la distance focale, l équation des lentilles Version 2015 6-La réfraction de la lumière 40
devient 1 1 nl n m 1 1 + = p q n R R m 1 2 Équation des lentilles minces 1 1 1 + = p q f La convention de signe est la même que celle des dioptres puisque la formule des lentilles fut faite avec la formule des dioptres. Convention de signes avec les lentilles Lentille convergente : f est positif Lentille divergente : f est négatif Preuve que la distance focale des deux foyers est la même. On peut maintenant démontrer que les deux foyers d une lentille sont à la même distance de chaque côté de la lentille. Prenons une lentille et faisons passer la lumière dans un sens. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 41
La lumière rencontre en premier une surface dont le rayon de courbure est R A et ensuite une surface de rayon de courbure R B. La distance focale pour la lumière qui passe dans ce sens est donc Si on inverse maintenant la lentille, on a 1 nl n m 1 1 = f nm RA RB On voit que maintenant, la lumière rencontre en premier la surface avec la courbure R B et ensuite celle avec R A. De plus, en inversant la lentille, on inverse les signes des rayons de courbure, car les centres de courbure des surfaces changent de côté. Dans notre exemple, ils sont passés du côté où la lumière arrive pour aller du côté où la lumière va. Ainsi, la distance focale pour la lumière passant dans ce sens est 1 nl n m 1 1 = f nm ( RB ) ( RA ) 1 nl n m 1 1 = f nm RA RB qui est la même valeur que pour la lumière passant dans l autre sens. Cela prouve que les distances focales sont les mêmes de chaque côté. Le grandissement Pour trouver le grandissement, prenons le rayon passant par le centre de la lentille, c est-à-dire celui qui n est pas dévié. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 42
Avec les deux triangles semblables, on a yo p = yi q Ce qui nous donne un grandissement yi y o = q p Comme on l a fait précédemment, on va ajouter un signe négatif pour indiquer que l image est inversée. On a alors Grandissement avec une lentille q m = p Exemples Exemple 6.6.1 Une lentille dans l air a une puissance de 10 D et est faite d un matériel ayant un indice de réfraction de 1,5. a) Si un des côtés a la courbure indiquée sur la figure, quel est le rayon de courbure de l autre surface? Si on suppose que la lumière passe de gauche à droite, on a nl n m 1 1 P = n R R 1 m 1 2 1,5 1 1 1 10D = 1 R 0,25m 1 R = 0,0625m = 6, 25cm Comme la valeur est positive, cela signifie que le centre de courbure est du côté où la lumière va, donc à droite de la lentille sur la figure. La figure montre donc bien à quoi ressemble cette lentille. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 43
b) Quelle est la puissance de cette lentille dans l eau? Cette lentille dans l eau a une puissance de nl n m 1 1 P = n R R m 1 2 1,5 1,33 1 1 = 1,33 0, 0625m 0, 25m = 2,56D Ce qui correspond à une distance focale de 39,11 cm. Exemple 6.6.2 Dans la situation illustrée sur la figure, où est l image finale de l objet et quel est le grandissement final? Quand il y a plusieurs lentilles l une à la suite de l autre, on doit 1) Faire une lentille à la fois 2) Prendre l image de la première lentille comme objet pour la deuxième lentille, et ensuite prendre l image de la deuxième lentille comme objet pour la troisième lentille et ainsi de suite. 3) Calculer le grandissement total en multipliant tous les grandissements faits par chaque lentille. La dernière règle est simplement une question de logique puisque si la première lentille fait une image 2 fois plus grande que l objet et qu ensuite la deuxième lentille prend cette image comme objet et la grandit encore 10 fois, elle sera 20 fois plus grande que l objet d origine. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 44
1 re lentille La distance entre l objet et la première lentille est p 1 = 30 cm La position de l image est Le grandissement est m 1 1 1 + = p q f 1 1 1 1 1 1 + = 30cm q 10cm 1 1 q = 15cm q 15cm 1 30 2 = 1 1 p = 1 cm = 2 e lentille La distance entre l image de la première lentille et la deuxième lentille est p2 = d1 q1 = 35cm 15cm = 20cm Cette équation (la distance entre les lentilles moins la position de l image de la lentille précédente soit pn = dn 1 qn 1) est toujours valide. La position de l image est 1 1 1 + = p q f 2 2 2 1 1 1 + = 20cm q 15cm q 2 2 = 60cm Le grandissement est m q 60cm = 2 2 p = 2 20cm = 3 Version 2015 6-La réfraction de la lumière 45
3 e lentille La distance entre l image de la deuxième lentille et la troisième lentille est p3 = d2 q2 = 40cm 60cm = 20cm Ce signe négatif est correct, car l objet pour la troisième lentille est du côté où la lumière s en va puisque l image de la deuxième lentille se forme à une distance plus grande que la distance entre les lentilles. (En réalité, l image ne s est jamais formée, car les rayons ont été déviés par la lentille suivante avant de se rencontrer.) Donc, pour ceux qui se demandaient comment un p négatif était possible, vous avez maintenant la solution. Il faut que l image se forme plus loin que la distance de la lentille ou du miroir suivant (s il y en a un) pour qu on ait un p négatif. La position de l image est 1 1 1 + = p q f 3 3 3 1 1 1 + = 20cm q 10cm q 3 3 = 20cm Le grandissement est m q 20cm 3 3 = = = p3 20cm 1 L image est donc à 20 cm à gauche de la troisième lentille (elle est donc à mi-chemin entre la deuxième et la troisième lentille). Le grandissement total est mtotal 1 3 = m1m 2m3 = 3 1 = 2 2 Lentilles accolées On va maintenant chercher la puissance équivalente de deux lentilles accolées. Autrement dit, on va chercher la puissance équivalente de la lentille qui ferait une image exactement à la même place que la position finale de l image avec les deux lentilles. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 46
Pour les deux lentilles, allons-y une lentille à la fois. Pour la première lentille on a 1 1 1 + = p q f 1 1 Pour la deuxième lentille, on a Donc p2 = d q1 1 1 1 + = p q f 2 2 1 1 1 + = d q q f 1 2 Comme les lentilles sont accolées, on va dire que d = 0. On a donc 1 1 1 + = q q f 1 2 Si on additionne les deux équations de nos lentilles, on a 1 1 1 1 1 1 + + + = + p q1 q1 q f1 f2 et donc 1 1 1 1 + = + p q f f 1 2 Pour la lentille équivalente, on a simplement Version 2015 6-La réfraction de la lumière 47
1 1 1 + = p q f eq En comparant ces deux derniers résultats, on trouve que 1 1 1 = + f f f eq 1 2 On peut donc faire la conclusion suivante Lentilles accolées 1 1 1 1 1 = + + + + f f f f f eq 1 2 3 4 P = P + P + P + P + eq 1 2 3 4 Formule du grossissement d une loupe Il y a deux éléments qui entrent en compte pour déterminer si on pourra voir mieux les détails de l objet. 1) La grandeur de l objet : Si on a deux objets identiques à la même distance, mais qu un est deux fois plus grand que l autre, on pourra voir plus facilement les détails de l objet qui est le plus grand. 2) La distance de l objet : Si on a deux objets identiques, mais qu un est plus près que l autre. On verra mieux les détails de l objet qui est le plus près. En fait, l angle sous-tendu par l objet combine ces deux éléments. Plus l objet est grand, plus l angle augmente et plus on approche l objet, plus l angle augmente. Pour voir le plus de détails, il faut donc augmenter cet angle au maximum. Avec un objet matériel, on n a pas beaucoup d autres choix que d approcher l objet. Il y a toutefois un angle maximum puisque notre œil ne peut pas voir clairement les objets si on les regarde de trop près. La plus petite distance qu il peut y avoir entre un objet et notre œil pour laquelle on voit l objet clairement est d pp où pp signifie punctum proximum ou point proche. L angle maximum est donc Version 2015 6-La réfraction de la lumière 48
y tanα = d On s intéresse en fait aux petits détails sur l objet et l angle sous-tendu par les petits détails n est jamais bien gros. Ainsi, l angle est petit et on peut donc écrire que l angle maximum est o pp y α = d o pp On peut améliorer cet angle en utilisant une lentille. On va ainsi regarder l image plutôt que l objet. Avec une image plus grande que l objet, il se peut que l angle sous-tendu augmente et on verra alors plus les détails. On notera β l angle sous-tendu quand on utilise une lentille. 1 re possibilité : Faire une image réelle On peut faire une image réelle plus grande avec la lentille. Si on regarde cette image, projetée sur un écran, on verra alors davantage les détails. C est ce qui se passe quand on utilise un rétroprojecteur, un projecteur de diapositive ou un canon pour afficher l écran de l ordinateur. En regardant cette image plus grande, on peut augmenter l angle sous-tendu en la regardant de plus près, mais sans être plus près que votre d pp. Ainsi, le meilleur angle sous-tendu qu on peut obtenir de cette façon est yi β = d pp On définit le grossissement comme le rapport entre l angle sous-tendu avec une lentille et l angle sous-tendu maximum obtenu sans lentille. Grossissement G = β α Avec une image réelle, on obtient donc, au maximum, Version 2015 6-La réfraction de la lumière 49
G max y i d pp β = = = α y o d pp yi y o qui est la même chose que la valeur absolue du grandissement. 2 e possibilité : faire une image virtuelle On peut aussi regarder une image virtuelle. Dans ce cas, il faut regarder l image à travers la lentille, qui agit alors comme une loupe. On va faire le cas dans lequel la personne a les yeux tout près de la lentille. On se doute qu on verra alors le plus de détails, car c est dans cette position qu on est le plus près de l image et plus on est près de l image, plus l angle sous-tendu est grand. Si on utilise le rayon passant par le centre de la lentille et qui n est pas dévié, on voit que l angle sous-tendu est y q i β = = yo p www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/engraver-uses-magnifyingglass-f-880-cm-examine-work-drawing-image-sees-located-200-cm-eye-q3862577 Puisque l objet est à une distance p et l objet à une distance q (il faut mettre un signe négatif pour changer le signe de q, car q est négatif pour une image virtuelle). Le grossissement est donc yo p β d G = = = α y p o d pp Il y a deux cas extrêmes puisque l image doit être entre q = - infini et q = d pp. Si l image est à l infini, on a pp Version 2015 6-La réfraction de la lumière 50
1 1 1 + = p q f 1 1 1 + = p f p = f L objet et donc au foyer. En remplaçant dans la formule du grossissement, on obtient Grossissement minimum d une lentille G min = d pp f On place l objet au foyer (p = f) pour obtenir ce grossissement Si l image est à la distance la plus près possible de l œil (q = d pp ), on a 1 1 1 + = p q f 1 1 1 + = p d f pp 1 1 1 = + p f d pp 1 d pp + f = p d f Ce qui nous donne le grossissement suivant d pp 1 G = = d pp p p On obtient ainsi = d d = pp pp d pp pp d + f pp + f f f Version 2015 6-La réfraction de la lumière 51
Grossissement maximum d une lentille G max = d pp + 1 f On place l objet un peu devant le foyer d p = d pp pp f + f pour obtenir ce grossissement Exemple 6.7.1 Une personne ayant un d pp de 24 cm utilise une loupe dont la distance focale est de 4 cm pour examiner les détails sur une pièce de monnaie ancienne. Quels sont les grossissements maximum et minimum qu on peut obtenir et où doit-on placer la pièce de monnaie pour obtenir ces grossissements? Le grossissement minimum est de G min = d pp 24cm 6 f = 4cm = et il s obtient en plaçant l objet au foyer, donc à 4 cm de la lentille. Le grossissement maximum est de G max = d pp 24cm 1 1 7 f + = 4cm + = et il s obtient en plaçant l objet à la position donnée par d pp f 24cm 4cm p = = = 3,429cm d + f 4cm + 24cm pp La pièce peut donc être n importe où entre 3,429 cm de la lentille et 4 cm de la lentille. On obtiendra alors des grossissements se situant entre 6 et 7, selon la position. Le microscope On peut faire encore mieux qu une simple loupe en utilisant l astuce suivante. On va prendre une lentille (l objectif) pour faire une image réelle plus grande que l objet et on va ensuite examiner cette image avec une loupe (l oculaire). Ainsi, on fait un peu mieux Version 2015 6-La réfraction de la lumière 52
qu avec une simple loupe, car on examine une image plus grande que l objet. C est le principe de base du microscope. Remarquez que dans le cas présent, l image qu on observe est inversée par rapport à l objet. Il existe des microscopes dans lesquels on va corriger cette inversion avec une autre lentille ou un miroir. Le télescope Il est impossible d observer un objet céleste avec une loupe. On a vu que l objet que l on observe doit être au foyer ou un peu devant le foyer de la loupe. Si on veut observer Jupiter avec une loupe, il faudrait donc une lentille ayant une distance focale égale à la distance entre la Terre et Jupiter. Avec la formule du grossissement maximum, on voit alors que, avec une distance focale très grande, ce grossissement est 1. Pas fameux On peut faire mieux avec l astuce suivante. Avec une lentille (l objectif) ou un miroir, on va faire une image réelle de l objet céleste et on va ensuite examiner cette image avec une loupe. Version 2015 6-La réfraction de la lumière 53
Pour les grands télescopes, on va toujours utiliser un miroir pour faire l image du corps céleste parce qu il n y a pas d aberration chromatique avec un miroir. Avec une lentille, il y aura une légère séparation de couleur lors de la réfraction, ce qui va donner l aspect montré sur la figure à l image. On voit qu il y a une légère séparation des couleurs. Encore une fois, ce qu on observe avec l oculaire est l image, qui est inversée par rapport à l objet. www.astrosystems.nl/projects_products/accessories/dispersion%20corrector/dispersie_correct.htm La formation de l image Pour voir clairement un objet, l image doit se former exactement sur la rétine dans le fond de l œil. Ainsi, tous les rayons provenant d un point lumineux arrivent tous sur la même cellule réceptrice de la rétine. www.lhup.edu/~dsimanek/scenario/miscon.htm De cette façon, si une seule cellule reçoit la lumière, on va percevoir un petit point lumineux. Si l image ne se forme pas sur la rétine, on aura la situation suivante (l image pourrait aussi être derrière la rétine). Version 2015 6-La réfraction de la lumière 54