08/04/2015 Lycée la Martinière Monplaisir Devoir commun de mathématiques Éléments de correction VARIANTE A Exercice 1 Vrai ou aux :(5 points ; 15 minutes) Pour chacune des affirmations suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse et indiquer clairement votre choix dans l'annexe 1. Aucune justification n'est demandée. Il sera compté 1 point par bonne réponse, -0,5 point par réponse incorrecte et 0 pour absence de réponse (si le total des points pour l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0). Affirmation 1 Affirmation 2 Affirmation 3 Affirmation 4 Affirmation 5 Vrai ou aux V Affirmation n 1 : pour tout x réel strictement positif, x 1 x. AUX Contre exemple : pour x=0,5, on a 1 x =2 et donc : x 1 x Affirmation n 2 : Dans la série de nombre suivante, la médiane est plus grande que la moyenne. AUX 7 9 5 13 4 9 6 4 15 Soit le tableau des valeurs dans l'ordre croissant. 4 4 5 6 7 9 9 13 15 72 La médiane est la 5ème valeur soit 7 et la moyenne est égale à 9 =8 Affirmation n 3 : Dans tout triangle ABC, le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle AUX Affirmation n 4 : Les vecteurs u(1 3; 2) et v( 1 ;1+ 3) sont colinéaires. VRAI (1 3) (1+ 3) (2 ( 1))= 2+ 2=0 Affirmation n 5 : Voici les notes de 35 élèves d'une seconde au DS commun de l'an dernier : Notes 3 5 8 9 10 12 13 14 15 17 19 Nombre d'élèves 1 3 5 5 3 4 6 3 3 1 1 La moyenne de cette classe (arrondie au centième) est de 11,36. AUX
La moyenne pondérée ( (3 1+5 3+...19 1) 35 ) est environ égal à 10,9 Exercice 2 ( 10 points ; 25 minutes) : étude de fonction Un artisan bijoutier débutant estime que son bénéfice dépend du nombre de pièces x qu'il produit en un mois, selon la fonction B définie pour x positif ou nul par : B( x)= 50 x 2 + 1000 x 3750. Partie A : Le bijoutier se pose le problème suivant : quel nombre de pièces produire par mois pour être certain de réaliser un bénéfice positif? 1. Donner les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction B. Comme il s'agit d'une fonction polynôme du second degré définie par B(x)=ax 2 +b x+c avec b a= 50,b= 1000 et c= 3750, le sommet a pour abscisse 2a =10 soit x =10 et y =1250 s s 2. En utilisant par exemple le tableur de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs de B(x) donné en annexe 2. x 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B(x) -550 0 450 800 1050 1200 1250 1200 1050 800 450 0-550 3. Tracer le courbe représentant la fonction B sur le repère donné en annexe 2. 4. En laissant les traits de construction, résoudre graphiquement B(x) >0. Apporter une réponse au bijoutier. On a représenté en rouge les points de la courbe correspondant à un bénéfice positif. Il suffit alors de considérer leurs abscisses. S = ]5 ; 15[. Le bijoutier doit fabriquer plus de 5 pièces et moins de 15 pièces par mois pour réaliser un bénéfice positif. Partie B : Cet artisan souhaite maintenant connaître le nombre de pièces à produire pour réaliser un bénéfice maximum.
1. Dresser le tableau de variation de B. Puisque a <0 la fonction est croissante puis décroissante x 0 10 + B( x) 3750 1250? 2. Apporter une réponse à cet artisan. Le bijoutier doit fabriquer 10 pièces par mois pour réaliser un bénéfice maximum. Exercice 3 ( 12 points ; 35 minutes) : Vecteurs, coordonnées et équations de droites Soit (O ; i, j) un repère orthonormé du plan. On considère les points A(-2 ; 4), B(3 ; 5), C(5 ; -5) et D(0 ; -6). 1. Sur l'annexe 3, faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice. Pour les autres questions voir la fin de ce document. Exercice 4 ( 13 points ; 35 minutes) : Algèbre Partie I : Équations Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = ( x+ 3) 2 16. 1. Développer et réduire f (x ). f (x) = x 2 + 6 x 7 2. actoriser f (x ). On utilise l'identité remarquable sur la différence de carré f (x) = ( x+ 3 4)( x+3+4) = (x 1)( x+ 7) 3. Résoudre algébriquement les équations : a) f (x) = 0 Comme un produit de facteur est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, l'équation est équivalente à x = 1 ou x = 7. Les solutions de l 'équation sont donc 1 et - 7. b) f (x) = - 16 Cette équation est équivalente à (x+3) 2 =0 La solution de l'équation est donc -3. Partie II : Inéquations On considère les fonctions f et g définie sur R par f (x) = 5 4 x et g (x) = 1 3 x+ 7. 1. Donner le tableau de signe de f. f étant une fonction affine de coefficient directeur négatif (-4) elle est strictement décroissante et s'annule 5 pour. On a donc le tableau suivant : 4
2. Résoudre l'inéquation f ( x) < g ( x) et interpréter graphiquement les résultats. Les solutions de l'inéquation sont les réels x tels que x > 6 13 soit l'intervalle ] 6 13 ;+ [. Graphiquement, il s'agit des abscisses des points pour lesquels la courbe de g est au-dessus de celle de f 3. Résoudre les inéquations a. (5 4 x)( 1 3 x +7)< 0 Il s'agit de trouver quand un produit de facteurs du premier degré est négatif. On établit donc un tableau de signes. x 21 1,25 + 5 4 x + + 0 1 3 x+7 0 + + (5 4 x)( 1 3 x +7) 0 + 0 Les solutions de l'inéquation sont les réels x tels que x ] ; 21 [ ] 5 4 ;+ [ b. 26 3 x 1 3 x+ 7 3 Après transformation, cela reviens à résoudre 5 4 x 1 3 x+ 7 0. Soit le signe d'un quotient, donc de nouveau un tableau de signes qui est le même que précédemment sauf pour «la valeur interdite» - 21 : Donc les solutions sont les x tels que x ] ; 21 [ [ 5 4 ;+ [ Bonus (2 points) Au moment du coup de pied, le ballon de rugby se trouve au sol, en O, face aux poteaux de pénalité à une distance de 50 mètres. Le buteur le fait partir dans le plan ( xoy) avec un angle de 50 par rapport au sol horizontal. Les lois de la physique permettent de modéliser la trajectoire du ballon par un arc de la courbe d'équation : y= 0,02 x 2 +1,19 x ( y mesure en mètre la hauteur du ballon pour une distance au sol de x mètres) 1 La pénalité est réussie si le ballon passe au dessus de la barre. Le joueur a-t-il marqué la pénalité? oui si x =50 y=9,5 2 Jusqu'à quelle hauteur le ballon s'est-il élevé? y max =17,7013 3 A combien de mètres derrière la ligne de but le ballon est-il retombé à terre? Le ballon tombe 9m50 derrière la ligne de but
08/04/2015 Lycée la Martinière Monplaisir Devoir commun de mathématiques Éléments de correction VARIANTE B Toute réponse doit être justifiée sauf pour l'exercice 1. La rédaction et la présentation du devoir seront prises en compte. N'oubliez pas d'indiquer votre classe en plus du nom et prénom sur votre copie. Le sujet comporte 5 pages dont 2 pages d'annexes à rendre avec vos nom, prénom et classe Le barème comme le temps sont donnés à titre indicatif Pour cette variante les justifications ne seront généralement pas données. Elles reposent sur les mêmes principes que la variante précédente. Exercice 1 Vrai ou aux :(5 points ; 15 minutes) Pour chacune des affirmations suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse et indiquer clairement votre choix dans l'annexe 1. Aucune justification n'est demandée. Il sera compté 1 point par bonne réponse, -0,5 point par réponse incorrecte et 0 pour absence de réponse (si le total des points pour l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0). Affirmation 1 Affirmation 2 Affirmation 3 Affirmation 4 Affirmation 5 Vrai ou aux V Pour les justifications voir la variante A Exercice 2 ( 10 points ; 25 minutes) : étude de fonction Un artisan bijoutier débutant estime que son bénéfice dépend du nombre de pièces x qu'il produit en un mois, selon la fonction B définie pour x positif ou nul par : B( x)= 50 x 2 +800 x 1950 Partie A : Le bijoutier se pose le problème suivant : quel nombre de pièces produire par mois pour être certain de réaliser un bénéfice positif? 1. Donner les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction B. x s =8 et y s =1250 2. En utilisant par exemple le tableur de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs de B(x) donné en annexe 2. x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B(x) -550 0 450 800 1050 1200 1250 1200 1050 800 450 0-550 3. Tracer le courbe représentant la fonction B sur le repère donné en annexe 2.
4. En laissant les traits de construction, résoudre graphiquement B(x) >0. Apporter une réponse au bijoutier. S = ]3 ; 13[. Le bijoutier doit fabriquer plus de 3 pièces et moins de 13 pièces par mois pour réaliser un bénéfice positif. Partie B : Cet artisan souhaite maintenant connaître le nombre de pièces à produire pour réaliser un bénéfice maximum. 1. Dresser le tableau de variation de B. x 0 8 + B( x) 1950? 2. Apporter une réponse à cet artisan. Le bijoutier doit fabriquer 8 pièces par mois pour réaliser un bénéfice maximum. 1250
Exercice 3 ( 12 points ; 35 minutes) : Vecteurs, coordonnées et équations de droites Soit (O ; i, j) un repère orthonormé du plan. On considère les points A(0 ; 7), B(4 ; 4), C(-2 ; -4) et D(-6 ; -1). 1. Sur l'annexe 3, faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice. Pour les autres questions voir la fin de ce document. Exercice 4 ( 13 points ; 35 minutes) : Algèbre Partie I : Équations Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=( x+ 2) 2 25. 1. Développer et réduire f (x ). x 2 + 4 x 21 2. actoriser f (x ). f (x) = ( x+ 2 5)( x+ 2+5) = ( x 3)(x+7) 3. Résoudre algébriquement les équations : f (x)= 0 les solutions sont 3 et -7 f (x)= 25 la solution est -2 Partie II : Inéquations (voir variante A) On considère les fonctions f et g définie sur R par f (x) = 5 4 x et g (x) = 1 3 x+ 7. 1. Donner le tableau de signe de f. 2. Résoudre l'inéquation f ( x) < g ( x) et interpréter graphiquement les résultats. 3. Résoudre les inéquations a. (5 4 x)( 1 x+ 7)< 0 3 26 3 x b. 3 1 3 x+ 7