MODELE A CORRECTION D ERREUR ET APPLICATIONS

MODELE A CORRECTION D ERREUR ET APPLICATIONS Hélène HAMISULTANE Bibliographie : Bourbonnais R. (2000), Econométrie, DUNOD. Lardic S. et Mignon V. (2002), Econométrie des Séries Temporelles Macroéconomiques et Financières, Economica. I. COINTEGRATION ET MODELES A CORRECTION D ERREUR I.1 COINTEGRATION Soient 2 variables x t et y t indépendantes l une de l autre et suivant chacune une marche aléatoire : x t = x t-1 + ε t et y t = y t-1 + ε t. (1) Ces 2 variables sont non stationnaires (ici on a y t ~> I(1), x t ~> I(1) car il suffit de les différencier une seule fois pour les rendre stationnaires). Elles sont non stationnaires car lorsque l on procède par récurrence, on a par exemple pour y t : y 1 = y 0 + ε 1 y 2 = y 1 + ε 2 = y 0 + ε 1 + ε 2 y t = y 0 + i=1 t ε i où ε i ~> iid(0, σ 2 ε) Ce processus est non stationnaire car on a : Var(y t ) = Var t t ε i = i=1 i=1 t Var(ε i ) = σ 2 ε = t σ 2 ε. (2) i=1 On constate que la variance du processus y t dépend du temps t : plus t et plus Var(y t ). Définition de la stationnarité : Un processus y t est stationnaire si les conditions suivantes sont vérifiées : 1

1. E(y t ) est indépendante de t 2. var(y t ) est une constante finie indépendante de t 3. cov(y t, y t-1 ) est une fonction finie de k ne dépendant pas de t. Lorsque l on régresse à l aide des MCO le modèle suivant comprenant les 2 variables non stationnaires : on obtient : y t = ax t + b + ε t (3) y t - ax t - b = ε t ~> I(1). (4) ε t ~> I(0), ε t n est donc pas stationnaire (il y a ici autocorrélation des erreurs car le DW est très faible). De manière générale, si x t et y t sont des séries I(d) alors en général la combinaison linéaire ε t = y t - ax t b est aussi I(d). En outre, la régression effectuée est dite fallacieuse ou illusoire ("spurious regression"). Elle est caractérisée par un R² et des t de Student très élevés alors que les deux variables n ont aucun lien entre elles! Pour éviter ce problème, on peut effectuer la régression sur des variables en différence première qui sont stationnaires ( y t ~> I(0) et x t ~> I(0) si y t ~> I(1), x t ~> I(1)) : y t = α x t + β + µ t. (5) On obtiendrait : y t - α x t - β = µ t ~> I(0). (6) Toutefois, il arrive que l on souhaite travailler avec des variables plutôt en niveau qu en différence première (donc plutôt avec des variables non stationnaires). Dans ce cas, comment régresser des variables non stationnaires et savoir si la régression obtenue n est pas fallacieuse? C est alors qu intervient la notion de cointégration. Nous n avons pas de régression fallacieuse lorsque les variables x t et y t sont cointégrées, c est à dire lorsque l on a y t - ax t - b = ε t ~> I(0) alors que y t ~> I(1) et x t ~> I(1). Granger a montré que si on avait deux variables non stationnaires (y t ~> I(1) et x t ~> I(1)), on pouvait avoir : y t - ax t - b = ε t ~> I(1) (7) ou y t - ax t - b = ε t ~> I(0)! (8) L idée sous-jacente de la cointégration est la suivante : à court terme, x t et y t peuvent avoir une évolution divergente (elles sont toutes les deux non stationnaires) mais elles vont évoluer ensemble à long terme. Il existe alors une relation stable à long terme entre x t et y t. La relation de long terme ou relation de cointégration est donnée par y t = ax t + b. 2

Définition de la cointégration : Deux séries non stationnaires (y t ~> I(1) et x t ~> I(1)) sont dites cointégrées si on a : y t - ax t - b = ε t ~> I(0). (9) Les séries y t et x t sont alors notées : x t, y t ~> CI(1,1). (10) De manière générale, si x t et y t sont deux séries I(d) alors il est possible que la combinaison linéaire ε t = y t - ax t - b ne soit pas I(d) mais I(d-b) où b est un entier positif (avec 0 < b d). Le vecteur (1 -a -b) est appelé "vecteur de cointégration". Les séries sont alors cointégrées (x t, y t ~> CI(d,b)). Les conditions de cointégration : Deux séries x t et y t sont dites cointégrées si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1. elles sont intégrées d ordre d ; 2. la combinaison linéaire de ces 2 séries permet de se ramener à une série d ordre d intégration inférieur. Afin de vérifier si la régression effectuée sur des variables non stationnaires ne sera pas fallacieuse, il faut d abord réaliser un test de cointégration. I.2 COINTEGRATION ENTRE DEUX VARIABLES : L APPROCHE DE ENGLE ET GRANGER (1987) a) Test de cointégration Etape 1 : tester l ordre d intégration des deux variables : Une condition nécessaire de cointégration est que les séries doivent être intégrées de même ordre. Si les séries ne sont pas intégrées de même ordre, elles ne peuvent être cointégrées. Il convient donc de vérifier l ordre d intégration des chroniques étudiées à l aide par exemple du test de Dickey-Fuller (simple ou augmenté). Si les séries considérées ne sont pas intégrées de même ordre, il n y a alors pas de risque de cointégration et la procédure s arrête à cette première étape. Etape 2 : estimation de la relation de long terme 3

Si on a : x t ~> I(1) et y t ~> I(1). On estime par les MCO la relation de long terme : y t = ax t + b + ε t. (11) Pour qu il y ait cointégration, il faut que le résidu e t issu de la régression soit stationnaire : e t = y t âx t b ˆ ~> I(0). (12) La stationnarité du résidu est testée à l aide du test de Dickey-Fuller (simple ou augmenté). On remarque ici que la relation porte sur les résidus estimés et non pas sur les «vrais» résidus de l équation de cointégration. Par conséquent, nous ne pouvons pas nous référer aux tables de Dickey-Fuller pour mener le test de stationnarité. Il faut regarder ici les tables de MacKinnon. Si le résidu est stationnaire nous pouvons alors estimer un modèle appelé modèle à correction d erreur (MCE) qui intègre les variables en variation et en niveau (le théorème de la représentation de Granger met en évidence le lien entre cointégration et modèle à correction d erreur). L emploi d un modèle à correction d erreur dans le cas de la cointégration permet d obtenir des prévisions plus fiables que si on avait utilisé la relation de long terme car les résultats de l estimation de cette relation sont faussés par la non stationnarité des séries. b/ Modèle à correction d erreur Si on a deux séries cointégrées (y t âx t d erreur (MCE) suivant : bˆ ~> I(0)), on peut estimer le modèle à correction y t = γ x t + δ(y t-1 ax t-1 b) + υ t avec δ < 0. (13) On peut remarquer que le paramètre δ doit être négatif pour qu il y ait un retour de y t à sa valeur d équilibre de long terme qui est (ax t-1 + b). En effet, lorsque y t-1 est supérieur à (ax t-1 + b), il n y a une force de rappel vers l équilibre de long terme que si δ < 0. Le MCE permet de modéliser conjointement les dynamiques de court terme (représentées par les variables en différence première) et de long terme (représentées par les variables en niveau). La dynamique de court terme s écrit : y t = α 0 + α 1 y t-1 + α 2 x t + α 3 x t-1 + υ t (14) La dynamique de long terme s exprime de la manière suivante : y t = ax t + b + ε t (15) 4

car à long terme, on a y t-1 = y t, x t-1 = x t et la dynamique de court terme devient à long terme : y t = α 0 + α 1 y t + α 2 x t + α 3 x t + υ t (16) D où (1- α 1 )y t = (α 2 + α 3 )x t + α 0 + υ t (17) y t = ax t + b + ε t (18) avec a = α 2 + α 3 1- α 1, b = α 0 1- α 1, ε t = υ t 1- α 1. Le MCE s obtient à partir de la dynamique de court terme : y t = α 0 + α 1 y t-1 + α 2 x t + α 3 x t-1 + υ t (19) y t y t-1 = α 0 + α 1 y t-1 - y t-1 + α 2 x t - α 2 x t-1 + α 2 x t-1 + α 3 x t-1 + υ t (20) y t = (α 1-1)y t-1 + α 2 (x t -x t-1 ) + α 0 + (α 2 +α 3 )x t-1 + υ t (21) y t = -(1-α 1 )y t-1 + α 2 (x t -x t-1 ) + α 0 + (α 2 +α 3 )x t-1 + υ t (22) α 0 y t = -(1-α 1 ) y t-1 - α 2 + α 3 x t-1-1- α + α 2 x t + υ t (23) 1 1- α 1 y t = γ x t + δ(y t-1 ax t-1 b) + υ t (24) où α 2 = γ, δ = -(1-α 1 ), a = α 2 + α 3 α et b = 0. 1- α 1 1- α 1 c/ Estimation du MCE avec une seule variable explicative Si les séries Y t et X t sont cointégrées : x t, y t ~> CI(1,1) nous pouvons estimer le MCE. Etape 1 : estimation par les MCO de la relation de la relation de long terme : y t = ax t + b + ε t. (25) Etape 2 : estimation par les MCO de la relation du modèle dynamique de court terme : y t = γ x t + δe t-1 + υ t avec δ < 0 (26) 5

où e t = y t âx t bˆ. Le coefficient δ doit être significativement négatif. Dans le cas contraire, la spécification de type MCE n est pas valable. L inconvénient de la méthode de Engle et Granger (1987) est qu elle ne permet pas de distinguer plusieurs relations de cointégration. En effet, si on étudie simultanément N variables avec N > 2, on peut avoir jusqu à (N-1) relations de cointégration. La méthode de Engle et Granger (1987) ne nous permet d obtenir qu une seule relation de cointégration. Afin de pallier cette difficulté, Johansen (1988) a proposé une approche multivariée de la cointégration fondée sur la méthode du maximum de vraisemblance. I.2 COINTEGRATION ENTRE PLUSIEURS VARIABLES : L APPROCHE DE JOHANSEN (1998) a) Test de cointégration Considérons un vecteur X t contenant N variables ~> I(1). La représentation VAR(p) de X t est : X t = A 1 X t-1 + + A p X t-p + ε t avec ε t ~> N(0,Σ) (27) (N,1) (N,N) (N,1) (N,N) (N,1) (N,1) Exemple : un modèle VAR(2) composé de 3 variables (x 1t, x 2t et x 3t ) pour X t avec p = 2 retards : X t = A 1 X t-1 + A 2 X t-2 + ε t (28) x 1t x 2t x 3t = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 1t-1 x 2t-1 x 3t-1 + a 14 a 15 a 16 x 1t-2 a 24 a 25 a 26 a 34 a 35 a 36 x 2t-2 + x 3t-2 ε 1t ε 2t. ε 3t car on a le système d équations suivant : x 1t = a 11 x 1t-1 + a 12 x 2t-1 + a 13 x 3t-1 + a 14 x 1t-2 + a 15 x 2t-2 + a 16 x 3t-2 + ε 1t x 2t = a 21 x 1t-1 + a 22 x 2t-1 + a 23 x 3t-1 + a 24 x 1t-2 + a 25 x 2t-2 + a 26 x 3t-2 + ε 2t x 3t = a 31 x 1t-1 + a 32 x 2t-1 + a 33 x 3t-1 + a 34 x 1t-2 + a 35 x 2t-2 + a 36 x 3t-2 + ε 3t On peut réecrire le modèle VAR(2) sous forme d un VECM ("Vector Error Correction Model") : On écrit le modèle VAR(2) en différence première et en fonction de X t-1 en ajoutant les termes suivants (en gras) : X t X t-1 = A 1 X t-1 X t-1 + A 2 X t-2 + A 2 X t-1 A 2 X t-1 + ε t (29) X t = (A 1 I)X t-1 - A 2 (X t-1 X t-2 ) + A 2 X t-1 + ε t (30) 6

où B 1 = -A 2 et Π = A 1 + A 2 I. X t = -A 2 X t-1 + (A 1 + A 2 - I)X t-1 + ε t (31) X t = B 1 X t-1 + Π X t-1 + ε t (32) Posons Π = α β avec β comprenant r vecteurs de cointégration (avec 0 < r < N) (3,3) (3,r) (r,3) afin de mettre en évidence un modèle VECM. Supposons que r = 2, on a : x 1t x 2t x 3t = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 x 1t-1 x 2t-1 x 3t-1 + α 11 α 12 α 21 α 22 β 11 β 12 β x 1t-1 13 β α 31 α 32 21 β 22 β 23 x 2t-1 x + 3t-1 ε 1t ε 2t. ε 3t De manière générale, si on a la représentation VAR(p) suivante pour X t : X t = A 1 X t-1 + + A p X t-p + ε t avec ε t ~> N(0,Σ) (N,1) (N,N) (N,1) (N,N) (N,1) (N,1) le modèle VECM va s écrire comme suit : X t = B 1 X t-1 + + B p-1 X t-p+1 + Π X t-1 + ε t (33) p où B i = -Aj avec i = 1,, k-1 et Π = A 1 + + A k I. j = i + 1 On pose Π = α β avec α une matrice (N,r) avec r < N contenant les vitesses d ajustement pour chacun des vecteurs de cointégration et β une matrice (r,n) comprenant les r relations de cointégration. Donc pour pouvoir estimer un modèle VECM, il faut que Rg(Π) = Rg(α β ) = r ce qui implique que Π a r valeurs propres non nulles. Or Rg(Π) = Rg(α β ) Min(Rg(α), Rg(β )). Donc il faut que Rg(β ) = r pour que Rg(Π) = r. Donc il faut que β possède r valeurs propres non nulles. Remarque : Le modèle (33) peut également s écrire sous la forme suivante : X t = B 1 X t-1 + + B p-1 X t-p+1 + Π X t-p + ε t (34) En effet, si on ajoute les termes en gras suivants dans le modèle VAR(2), on obtient : X t X t-1 = A 1 X t-1 + A 2 X t-2 - X t-1 + X t-2 X t-2 + A 1 X t-2 - A 1 X t-2 + ε t (35) X t = A 1 (X t-1 X t-2 ) (X t-1 X t-2 ) + (A 1 + A 2 I) X t-2 + ε t (36) X t = A 1 X t-1 X t-1 + (A 1 + A 2 I) X t-2 + ε t (37) 7

X t = (A 1 - I) X t-1 + (A 1 + A 2 I) X t-2 + ε t (38) X t = B 1 X t-1 + Π X t-2 + ε t. (39) Trois cas peuvent se présenter : Rg(Π) = 0 donc r = 0 : il n existe donc pas de relation de cointégration. On ne peut donc pas estimer un modèle VECM. En revanche, il est possible d estimer un modèle VAR sur X t. Rg(Π) = r : il existe r relations de cointégration. Un modèle VECM peut alors être estimé. Rg(Π) = N : il n existe pas de relation de cointégration. Un modèle VAR peut être estimé directement sur X t. Pour déterminer le nombre de relations r de cointégration, Johansen (1988) se base sur la maximisation de la log-vraisemblance suivante : Log L(α, β, B 1,, B p-1, Σ) = - N T log(2π) - T log[ det(σ) ] - 2 1 T ' 1 ε 2 t Σ εt 2 (40) t= 1 où T est le nombre d observations, N le nombre de variables dans X et det(σ) représente le déterminant de la matrice de variance-covariance. Pour obtenir l estimateur du maximum de vraisemblance de β, il faut résoudre l équation suivante : Det [ λs pp S p0 S -1 00 S 0p ] = 0 (41) où S ij = 1 T t=1 T eit e ' jt pour i,j = 0,p. Les termes e et e sont donnés par : 0t pt et X t = Θ 01 X t-1 + + Θ 0p-1 X t-(p-1) + e 0t (42) X t-p = Θ p1 Xt-1 + + Θ pp-1 X t-(p-1) + e pt (43) avec Θ 0i = (B i α β B i ) et Θ pi = B i pour i = 1,, p-1. Ces deux équations découlent de la décomposition de l équation (34) de la manière suivante : X t - α β X t-1 = B 1 X t-1 + + B p-1 X t-p+1 + ε t (44) = B 1 X t-1 + + B p-1 X t-p+1 + α β [ B 1 X t-1 + + B p-1 X t-p+1 ] - α β [ B 1 X t-1 + + B p-1 X t-p+1 ] + ε t (45) 8

X t - α β X t-p = [ B 1 - α β B 1 ] X t-1 + + [B p-1 - α β B p-1 ] X t-p+1 + α β [ B 1 X t-1 + + B p-1 X t-p+1 ] + ε t (46) X t - [ B 1 - α β B 1 ] X t-1 + + [B p-1 - α β B p-1 ] X t-p+1 - α β [ X t-p - B 1 X t-1 + + B p-1 X t-p+1 ] = e 0t - α β e pt = ε t. (47) La résolution de l équation (41) nous donne les N valeurs propres ( λˆ 1,..., λˆ N avec λˆ 1 >... > λˆ N ) et les N vecteurs propres associés. Pour déterminer les r valeurs propres non nulles qui vont nous donner les r relations de cointégration, Johansen a proposé le test de la trace. Ce test repose sur l hypothèse nulle qu il existe au plus r relations de cointégration (ce qui signifie qu il y a r valeurs propres non nulles et N-r valeurs propres nulles) : La statistique de test est la suivante : H 0 : λ i = 0, i = r + 1,, N. N TR = -T ( 1 ) i= r+ 1 log λˆ i. (48) Les valeurs critiques de la statistique TR ont été tabulées par Johansen et Juselius (1990) puis par Osterwald-Lenum (1992). On accepte H 0 lorsque la valeur de la statistique TR est inférieure à sa valeur critique. Remarque : On a supposé jusqu à présent que le modèle VECM n avait pas de constante et que les relations de cointégration ne comportaient ni tendance déterministe ni constante. Or il se peut que le modèle VECM possède une constante et/ou les relations de cointégration admettent une constante et/ou une tendance déterministe. Pour ces cas, les valeurs critiques du test de la trace changent. Par conséquent, il convient de déterminer le cas dans lequel on se trouve avant de procéder au test de la trace. Les cas à distinguer sont : Absence ou présence de constante dans le modèle VECM Absence ou présence de constante et de tendance dans les relations de cointégration. Synthèse de la procédure de test de cointégration et d estimation du VECM : Etape 1 : Test de stationnarité sur les séries pour déterminer s il y a possibilité de cointégration ou non. 9

Etape 2 : Si le test de stationnarité montre que les séries sont intégrées d un même ordre, il y a alors risque de cointégration. On peut envisager l estimation d un modèle VECM. Pour ce faire, on commence par déterminer le nombre de retards p du modèle VAR(p) à l aide des critères d information (Akaike et Schwarz). Etape 3 : Mise en place du test de Johansen permettant de connaître le nombre de relations de cointégration. Etape 4 : Identification des relations de cointégration, c est-à-dire des relations de long terme entre les variables. Etape 5 : Estimation par la méthode du maximum de vraisemblance du modèle VECM et validation des tests usuels : significativité des coefficients et vérification que les résidus sont des bruits blancs (test de Ljung-Box). II. ABSENCE DE COINTEGRATION ENTRE PLUSIEURS VARIABLES ET MODELE VAR L absence de cointégration entre deux séries non stationnaires Y 1t et Y 2t (Y 1t ~> I(1) et Y 2t ~> I(1)), mais l existence d une causalité entre les séries stationnaires Y 1t et Y 2t ( Y 1t ~> I(0) et Y 2t ~> I(0)) nous permet d estimer un modèle VAR. II.1 PRESENTATION DU MODELE VAR Le modèle VAR("Vector AutoRegressive") à k variables et p retards noté VAR(p) s écrit : Y t = A 0 + A 1 Y t-1 + A 2 Y t-2 + + A p Y t-p + ν t y 1,t y 2,t :. y k,t = a 0,1 a 0,2 :. a 0,k + a 1 1,1 a1 1,2 a1 1,k a 1 2,1 a1 2,2 a1 2,k a 1 k,1 a1 k,2 a1 k,k y 1,t-1 y 2,t-1 :. y k,t-1 + a 2 1,1 a2 1,2 a2 1,k a 2 2,1 a2 2,2 a2 2,k a 2 k,1 a2 k,2 a2 k,k y 1,t-2 y 2,t-2 :. y k,t-2 + + a p 1,1 ap 1,2 ap 1,k a p 2,1 ap 2,2 ap 2,k a p k,1 ap k,2 ap k,k y 1,t-p y 2,t-p :. y k,t-p + ν 1,t ν 2,t :. ν k,t Les variables y 1,t, y 2,t,, y k,t sont stationnaires. Les perturbations ν 1,t, ν 2,t,, ν k,t sont des bruits blancs de variances constantes et non autocorrélées. 10

II.2 TEST DE CAUSALITE AU SENS DE GRANGER Soit le modèle VAR(p) pour lequel les variables y 1t et y 2t sont stationnaires : y 1t = γ 1 + α 11 y 1t-1 + α 12 y 1t-2 + + α 1p y 1t-p + β 11 y 2t-1 + β 12 y 2t-2 + + β 1p y 2t-p + υ 1t y 2t = γ 2 + α 21 y 1t-1 + α 22 y 1t-2 + + α 2p y 1t-p + β 21 y 2t-1 + β 22 y 2t-2 + + β 2p y 2t-p + υ 2t Le test consiste à poser ces deux hypothèses : y 2t ne cause pas y 1t si l hypothèse H 0 suivante est acceptée : β 11 = β 12 = β 13 = = β 1p = 0 y 1t ne cause pas y 2t si l hypothèse H 0 suivante est acceptée : α 21 = α 22 = α 23 = = α 2p = 0 On teste ces deux hypothèses à l aide d un test de Fisher classique. On peut faire le test équation par équation : H 0 : β 11 = β 12 = β 13 = = β 1p = 0 et y 1t = γ 1 + α 11 y 1t-1 + α 12 y 1t-2 + + α 1p y 1t-p + υ 1t H 1 : au moins un des coefficients β 0 et y cause y 2t 1t H 0 : α 21 = α 22 = α 23 = = α 2p = 0 et y 2t = γ 2 + β 21 y 2t-1 + β 22 y 2t-2 + + β 2p y 2t-p + υ 2t H 1 : au moins un des coefficients α 0 et y 1t cause y 2t Si nous sommes amenés à accepter les deux hypothèses que y 1t cause y 2t et que y 2t cause y 1t, on parle de boucle rétroactif. 11

II.3 ESTIMATION DU MODELE VAR(p) Dans le cas du modèle VAR, chacune des équations peut être estimée par les MCO, indépendamment les unes des autres (ou par la méthode de vraisemblance). Comme il y a énormément de coefficients à estimer dans un modèle VAR, il est préférable d effectuer un test de causalité avant de chercher à estimer le modèle VAR. On pourra ainsi éliminer du modèle à estimer les variables qui n interviennent pas sur la variable à expliquer. CONCLUSION : Si x t, y t ~> I(0) et y t - x t a - b ~> I(0) : on estime y t = x t a + b + ε t ou un modèle VAR en niveau pour plusieurs variables. Si x t, y t ~> I(1) et y t - x t a - b ~> I(0) : on estime un modèle à correction d erreur ou un modèle VECM pour plusieurs variables. Si x t, y t ~> I(1) et y t - x t a - b ~> I(0) et x t, y t ~> I(0) avec lien de causalité : on estime la relation y t = x t a + b + η t ou un modèle VAR en différence première pour plusieurs variables. ANNEXE : TESTS DE STATIONNARITE Les tests de Dickey-Fuller, Dickey-Fuller Augmenté et de Phillips-Perron permettent de rendre compte de la stationnarité ou non d une série. Le test de Dickey-Fuller Augmenté a été proposé pour améliorer le test de Dickey-Fuller en prenant en compte le fait que les erreurs ne soient pas des bruits blancs mais puissent être corrélées. Le test de Phillips-Perron intègre en complément l hétéroscédasticité des erreurs. a) Test de Dickey-Fuller Il repose sur les hypothèses suivantes : H 0 : processus non stationnaire, les formes de non stationnarité sont : [1] X t = ø 1 X t-1 + ε t [2] X t = ø 1 X t-1 + c + ε t [3] X t = ø 1 X t-1 + bt + c + ε t où ø 1 = 1 et ε t ~> iid(0, σ²) H 1 : ø 1 < 1. Ces hypothèses peuvent également s écrire sous la forme suivante : 12

H 0 : processus non stationnaire, les formes de non stationnarité sont : [1] X t = (ø 1 1) X t-1 + ε t [2] X t = (ø 1 1) X t-1 + c + ε t [3] X t = (ø 1 1) X t-1 + bt + c + ε t où (ø 1-1) = 0 et ε t ~> iid(0, σ²) H 1 : ø 1 < 1 Sous H 0 vraie, la statistique de test pour l estimateur de ø 1 est donnée par : t φˆ 1 φˆ 1 σˆ 1 =. φˆ 1 La procédure de ce test consiste à analyser successivement les trois formes possibles de non stationnarité (du modèle général [3] au modèle [1]) de la série temporelle. Or sous H 0 vraie, le processus étudié est non stationnaire (X t ~>I(1)) et l estimateur de ø 1 ne suit pas une distribution normale. Par conséquent, le t-student de ø 1 ne peut pas être comparé aux valeurs critiques de la table de Student. Dickey et Fuller (1979) ont donc étudié la distribution asymptotique des estimateurs de b, c et ø 1 sous H 0 vraie. Ils ont tabulé les valeurs critiques pour des échantillons de différentes tailles. Pour une taille supérieure à 500 observations, les valeurs critiques sont 2.78 à 5% pour la tendance du modèle [3], 2.52 à 5% pour la constante du modèle [2] et -1.95 à 5% pour le paramètre ø 1 du modèle [1]. On débute le test par l analyse du modèle [3] et par une comparaison de la statistique t φ ˆ 1 aux seuils tabulés par Dickey et Fuller. Si l hypothèse nulle ø1 = 1 est rejetée, on compare le t-student de l estimateur de b aux valeurs critiques usuelles (1.96 à 5%). Autrement, le t-student de bˆ doit être comparé au seuil déterminé par Dickey et Fuller. Si la tendance n est pas significative, on poursuit le test par l analyse du modèle [2] et ainsi de suite. b) Test de Dickey-Fuller Augmenté Dans le test de Dickey-Fuller que nous venons de présenter, l erreur ε t est par hypothèse un bruit blanc. Or il n y a aucune raison pour que cette hypothèse soit, a priori, vérifiée. Le test de Dickey-Fuller Augmenté prend en considération l autocorrélation des erreurs en proposant une représentation AR(p-1) pour l erreur. Les hypothèses du test de Dickey-Fuller deviennent alors : 13

H 0 : processus non stationnaire, les formes de non stationnarité sont : p [1] X t = ρx t-1 - γ k X t-k+1 + η t k=2 p [2] X t = ρx t-1 - γ k X t-k+1 + c + η t k=2 p [3] X t = ρx t-1 - γ k X t-k+1 + bt + c + η t k=2 où ρ = 0, ø 1 = 1 et η t ~>iid(0, σ 2 η) H 1 : ø 1 < 1 La valeur p permettant de blanchir les résidus peut être déterminée à l aide du corrélogramme partiel de la série différenciée X t. On retiendra alors pour la valeur p le nombre retard p connu, le déroulement du test est identique à celui du test de Dickey-Fuller simple. En adoptant une structure AR(p-1) pour l erreur, Dickey et Fuller (1979) obtiennent des distributions asymptotiques des statistiques de test qui sont similaires à celles obtenues pour les modèles du test de Dickey-Fuller simple. Les valeurs critiques sont donc identiques pour les tests de Dickey-Fuller simple et Augmenté. III. APPLICATIONS AVEC LE LOGICIEL EVIEWS Test de cointégration avec 2 variables (avec des taux d intérêt) : approche de Engle et Granger (1987) On considère les séries de taux d intérêt à court terme des Etats-Unis et du Canada. Ces séries ont été transformées en logarithme. LCUS = logarithme du taux court US LCCAN = logarithme du taux court CAN. 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 50 100 150 200 250 300 LCUS 14

3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 50 100 150 200 250 300 LCCAN Etape 1 : Test de stationnarité sur les séries (test de Dickey-Fuller Augmenté) : 1. Sélectionner une série dans Workfile en double-cliquant dessus 2. Pour déterminer le nombre de retards p à retenir dans les régressions des tests ADF, on peut représenter le corrélogramme de la série en différence première. Dans View, sélectionner Correlogram puis 1st difference. On constate que la première autocorrélation partielle est significativement différente de zéro. Ceci nous conduit à retenir p = 1. 3. Pour effectuer le test ADF, on va dans View puis on choisi Unit Root Test. On sélectionne Augmented Dickey-Fuller, Trend and intercept, level et lagged differences = 1. Tableau 1 : Test ADF : modèle (3) pour la série LCUS ADF Test Statistic -2.020374 1% Critical Value* -3.9892 5% Critical Value -3.4249 10% Critical Value -3.1352 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LCUS) Method: Least Squares Sample(adjusted): 3 336 Included observations: 334 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. LCUS(-1) -0.015592 0.007718-2.020374 0.0442 D(LCUS(-1)) 0.448826 0.049317 9.100863 0.0000 C 0.032295 0.020362 1.586065 0.1137 @TREND(1) -4.55E-05 4.98E-05-0.913180 0.3618 R-squared 0.206742 Mean dependent var -0.003134 Adjusted R-squared 0.199531 S.D. dependent var 0.066119 S.E. of regression 0.059156 Akaike info criterion -2.805385 Sum squared resid 1.154800 Schwarz criterion -2.759742 Log likelihood 472.4993 F-statistic 28.66863 Durbin-Watson stat 1.919548 Prob(F-statistic) 0.000000 15

- Série LCUS est un processus DS car la statistique de test = -2.02 > -3.42 - On compare la t-statistique de la tendance à sa valeur critique qui est 2.78 (voir table ADF) : -0.91 < 2.78 H 0 : la tendance n est pas significative. On passe donc à l étude du modèle (2) du test ADF. Tableau 2 : Test ADF : modèle (2) pour la série LCUS ADF Test Statistic -1.994236 1% Critical Value* -3.4518 5% Critical Value -2.8704 10% Critical Value -2.5714 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LCUS) Method: Least Squares Sample(adjusted): 3 336 Included observations: 334 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. LCUS(-1) -0.010397 0.005214-1.994236 0.0469 D(LCUS(-1)) 0.443466 0.048954 9.058822 0.0000 C 0.015811 0.009418 1.678764 0.0941 R-squared 0.204737 Mean dependent var -0.003134 Adjusted R-squared 0.199932 S.D. dependent var 0.066119 S.E. of regression 0.059141 Akaike info criterion -2.808849 Sum squared resid 1.157718 Schwarz criterion -2.774617 Log likelihood 472.0778 F-statistic 42.60738 Durbin-Watson stat 1.915310 Prob(F-statistic) 0.000000 - Série LCUS est un processus DS car la statistique de test = -1.99 > -2.87 - On compare la t-statistique de la constante à sa valeur critique qui est 2.52 (voir table ADF) : 1.67 < 2.52 H 0 : la constante n est pas significative. On passe donc à l étude du modèle (1) du test ADF. Tableau 3 : Test ADF : modèle (1) pour la série LCUS ADF Test Statistic -1.211698 1% Critical Value* -2.5718 5% Critical Value -1.9405 10% Critical Value -1.6161 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LCUS) Method: Least Squares Sample(adjusted): 3 336 Included observations: 334 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. LCUS(-1) -0.002179 0.001798-1.211698 0.2265 D(LCUS(-1)) 0.440332 0.049052 8.976797 0.0000 R-squared 0.197966 Mean dependent var -0.003134 Adjusted R-squared 0.195551 S.D. dependent var 0.066119 S.E. of regression 0.059303 Akaike info criterion -2.806359 Sum squared resid 1.167575 Schwarz criterion -2.783538 Log likelihood 470.6619 F-statistic 81.94772 Durbin-Watson stat 1.909945 Prob(F-statistic) 0.000000 16

- Série LCUS est un processus DS car la statistique de test = -1.21 > -1.94. Elle est non stationnaire. Elle comporte au moins 1 racine unitaire. Pour déterminer l ordre d intégration de la série, on applique maintenant le test ADF à la série en différence première. Tableau 4 : Test ADF : modèle (1) pour la série DLCUS ADF Test Statistic -10.80468 1% Critical Value* -2.5718 5% Critical Value -1.9405 10% Critical Value -1.6161 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LCUS,2) Method: Least Squares Sample(adjusted): 4 336 Included observations: 333 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D(LCUS(-1)) -0.615399 0.056957-10.80468 0.0000 D(LCUS(-1),2) 0.089481 0.053939 1.658935 0.0981 R-squared 0.296058 Mean dependent var -0.000588 Adjusted R-squared 0.293931 S.D. dependent var 0.069595 S.E. of regression 0.058479 Akaike info criterion -2.834304 Sum squared resid 1.131959 Schwarz criterion -2.811432 Log likelihood 473.9116 F-statistic 139.2089 Durbin-Watson stat 1.910861 Prob(F-statistic) 0.000000 - La série DLCUS est stationnaire car on a -10.80 < -1.94. La série LCUS comporte donc une racine unitaire : LCUS est intégrée d ordre 1 (il faut la différencier une fois pour la rendre stationnaire). Tableau 5 : Test ADF : modèle (1) pour la série LCCAN ADF Test Statistic -1.103550 1% Critical Value* -2.5718 5% Critical Value -1.9405 10% Critical Value -1.6161 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LCCAN) Method: Least Squares Sample(adjusted): 3 336 Included observations: 334 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. LCCAN(-1) -0.001670 0.001513-1.103550 0.2706 D(LCCAN(-1)) 0.509903 0.047093 10.82752 0.0000 R-squared 0.262844 Mean dependent var -0.003220 Adjusted R-squared 0.260624 S.D. dependent var 0.062309 S.E. of regression 0.053578 Akaike info criterion -3.009386 Sum squared resid 0.953040 Schwarz criterion -2.986565 Log likelihood 504.5675 F-statistic 118.3797 Durbin-Watson stat 1.924391 Prob(F-statistic) 0.000000 - Série LCCAN est un processus DS car la statistique de test = -1.10 > -1.94. 17

Elle est non stationnaire. Elle comporte au moins 1 racine unitaire. Pour déterminer l ordre d intégration de la série, on applique maintenant le test ADF à la série en différence première. Tableau 6 : Test ADF : modèle (1) pour la série DLCCAN ADF Test Statistic -9.675691 1% Critical Value* -2.5718 5% Critical Value -1.9405 10% Critical Value -1.6161 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LCCAN,2) Method: Least Squares Sample(adjusted): 4 336 Included observations: 333 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D(LCCAN(-1)) -0.523562 0.054111-9.675691 0.0000 D(LCCAN(-1),2) 0.072166 0.054791 1.317130 0.1887 R-squared 0.248552 Mean dependent var -0.000132 Adjusted R-squared 0.246281 S.D. dependent var 0.061698 S.E. of regression 0.053565 Akaike info criterion -3.009872 Sum squared resid 0.949691 Schwarz criterion -2.987000 Log likelihood 503.1437 F-statistic 109.4827 Durbin-Watson stat 2.015501 Prob(F-statistic) 0.000000 - La série DLCAN est stationnaire car on a -9.67 < -1.94. La série LCCAN comporte donc une racine unitaire : LCCAN est intégrée d ordre 1 (il faut la différencier une fois pour la rendre stationnaire). Conclusion : LCUS et LCCAN sont toutes les 3 intégrées d ordre 1. Donc il y a un risque de cointégration. On va donc chercher à estimer un MCE. Etape 2 : Test de causalité au sens de Granger : On peut penser que le taux d intérêt US influence le taux d intérêt CAN et non pas l inverse. Pour déterminer la variable endogène de la relation de long terme, on peut mener le test de causalité au sens de Granger. 1. Pour mener le test de causalité au sens de Granger, on a besoin de déterminer le nombre de retards p du modèle VAR(p) avec les 2 variables stationnaires. Pour cela, on utilise les critères AIC et SC. Allez dans Quick puis dans Estimate VAR. Choisir Unrestricted VAR, Lag intervals : 1 1 (pour un retard), Endogenous : d(lcus) d(lccan). 18

Tableau 7 : Estimation du modèle VAR(1) D(LCUS) D(LCCAN) D(LCUS(-1)) 0.463147 0.211480 (0.05871) (0.05177) (7.88890) (4.08479) D(LCCAN(-1)) -0.042932 0.388011 (0.06239) (0.05502) (-0.68809) (7.05198) C -0.001897-0.001349 (0.00326) (0.00287) (-0.58240) (-0.46946) R-squared 0.196332 0.296261 Adj. R-squared 0.191476 0.292009 Sum sq. resids 1.169954 0.909837 S.E. equation 0.059453 0.052429 F-statistic 40.43080 69.67251 Log likelihood 470.3220 512.3149 Akaike AIC -2.798335-3.049790 Schwarz SC -2.764103-3.015558 Mean dependent -0.003134-0.003220 S.D. dependent 0.066119 0.062309 Determinant Residual Covariance 7.30E-06 Log Likelihood 1027.263 Akaike Information Criteria -6.115349 Schwarz Criteria -6.046885 Tableau 8 : Estimation du modèle VAR(2) D(LCUS) D(LCCAN) D(LCUS(-1)) 0.470619 0.204969 (0.06199) (0.05554) (7.59147) (3.69042) D(LCUS(-2)) -0.073059-0.000496 (0.06316) (0.05658) (-1.15682) (-0.00876) D(LCCAN(-1)) 0.002375 0.419007 (0.07030) (0.06298) (0.03378) (6.65250) D(LCCAN(-2)) -0.034175-0.053446 (0.06792) (0.06085) (-0.50315) (-0.87829) C -0.002580-0.001533 (0.00322) (0.00289) (-0.80101) (-0.53130) R-squared 0.200499 0.297733 Adj. R-squared 0.190749 0.289169 Sum sq. resids 1.128838 0.906088 S.E. equation 0.058665 0.052559 F-statistic 20.56397 34.76472 Log likelihood 474.3713 510.9693 Akaike AIC -2.819047-3.038855 Schwarz SC -2.761868-2.981675 Mean dependent -0.003762-0.003373 S.D. dependent 0.065213 0.062340 Determinant Residual Covariance 7.06E-06 Log Likelihood 1029.951 Akaike Information Criteria -6.125835 Schwarz Criteria -6.011476 19

2. Allez dans Quick puis dans Group Statistics. Choisir Granger Causality Test. Dans le cadre List of Series, tapez les variables stationnaires à étudier : d(lcus) d(lccan). Tableau 9 : Test de causalité au sens de Granger Pairwise Granger Causality Tests Sample: 1 336 Lags: 1 Null Hypothesis: Obs F-Statistic Probability D(LCCAN) does not Granger Cause D(LCUS) 334 0.47347 0.49188 D(LCUS) does not Granger Cause D(LCCAN) 16.6855 5.5E-05 Si la probabilité > 0.05, l hypothèse nulle est acceptée. On constate que DLCCAN n influence pas au sens de Granger DLCUS car probabilité > 0.05. En revanche DLCUS influence DLCCAN car probabilité < 0.05 donc H 0 rejetée. Etape 3 : Estimation de la relation de long terme : On régresse LCCAN sur une constante et sur LCUS. Tableau 10 : Estimation de la relation de long terme Dependent Variable: LCCAN Method: Least Squares Sample: 1 336 Included observations: 336 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 0.504290 0.045171 11.16405 0.0000 LCUS 0.795454 0.024984 31.83816 0.0000 R-squared 0.752165 Mean dependent var 1.854963 Adjusted R-squared 0.751423 S.D. dependent var 0.570391 S.E. of regression 0.284383 Akaike info criterion 0.328944 Sum squared resid 27.01178 Schwarz criterion 0.351665 Log likelihood -53.26253 F-statistic 1013.669 Durbin-Watson stat 0.037922 Prob(F-statistic) 0.000000 On récupère les résidus de cette relation et on applique le test ADF sur les résidus estimés. Dans la fenêtre d estimation de la relation de long terme, on sélectionne Procs puis Make Residuals Series. 20