Addition ; soustraction et multiplication. I Addition et soustraction de nombres décimaux : 1. Des situations : Exercice 1. : Résoudre ces problèmes en les illustrant avec un schéma : -Anne a 28 ans de plus que sa fille Lili qui a 7 ans. Quel est l âge d Anne? schéma : opération :... Anne a... -Thomas mesure 182 cm. Il mesure 5 cm de plus que son père. Quelle est la taille de son père? schéma : opération :... Son père mesure... -Maman a acheté à la boulangerie un croissant à 0,90 euro et un pain au chocolat à 1,15 euro. Elle a payé avec un billet de 5 euros. Combien doit-on lui rendre?...... On lui rend... 2. Vocabulaire : Le résultat d une addition s appelle une somme. Le résultat d une soustraction s appelle une différence. Les nombres utilisés s appellent des termes. Exemples(s) : 14,3 est la somme de 5,8 et de 8,5 car 5,8+8,5 = 14,3. 5,8 et 8,5 s appellent les termes de la somme 5,8+8,5. 5,7 est la différence de 15,8 et de 10,1 car 15,8 10,1 = 5,7. 15,8 et 10,1 s appellent les termes de la différence 15,8 10,1. 3. Ordre et calcul : Dans le calcul d une somme de plusieurs termes, on peut : - changer l ordre des termes. - regrouper différemment les termes. Dans le calcul d une différence, on n a pas le droit de changer l ordre des termes. On soustrait le plus petit du plus grand. Exemples(s) : 13,5+65,8 = 65,8+13,5. On dit que les termes d une somme sont commutatifs. 7,5+18,9+2,5+90+81,1 = (7,5+2,5)+(18,9+81,1)+90. On regroupe les termes pour avoir des calculs plus faciles. http://lux.math.free.fr/ Addition; soustraction et multiplication(6ème) Page 1/13
4. Calcul d une somme, d une différence : (a) Poser l opération : On aligne les virgules : les unités de même rang sont dans la même colonne; on commence par la droite. Exercice 2. : Poser et effectuer ci-contre : 48,6+21,97+4,06 391,2 24,26 (b) Utiliser une calculatrice : Vérifier vos résultats précédents avec votre calculatrice. (c) Calculer le résutat mentalement si c est possible : On additionne ou on soustrait en recherchant des regroupements. Exercice 3. : Exercice 4. : Exercice 5. : Ecrire une phrase en utilisant les mots "somme" et différence traduisant cette égalité :89 (23+5) = 61.... Calculer la somme dont le premier terme est 891, le deuxième est la différence entre 84 et 26 et le troisième est 54. http://lux.math.free.fr/ Addition; soustraction et multiplication(6ème) Page 2/13
Les durées : Exercice 6. : Calculer les durées suivantes : 10h45min45s + 5h49min38s. 2h24min23s 38min48s. 5. Calcul d un nombre inconnu dans une égalité : Exemples(s) : Chercher la valeur de? dans les égalités suivantes :?+18,37 = 39,5 8,14? = 6,982. Méthode : - Représenter cette égalité par un schéma. - Représenter cette égalité par un schéma. - Traduire le schéma par l opération - Traduire le schéma par l opération permettant de calculer le nombre inconnu. permettant de calculer le nombre inconnu.? = 39,5 18,37. - Calculer le nombre inconnu. 39,5 18,37 = 21,13. - Vérifier le résultat. 21,13+18,37 = 39,5, c est juste. - Conclure : Le nombre inconnu est 21,13. Exercice 7. : Appliquer cette méthode ci-dessus à droite pour la deuxième inconnue. 6. Calcul d une suite d additions et de soustractions avec des parenthèses : Dans un calcul d additions et de soustractions avec parenthèses, on calcule en premier les parenthèses. Exercice 8. : Calculer B = 12 (17+8). http://lux.math.free.fr/ Addition; soustraction et multiplication(6ème) Page 3/13
II Multiplications : 1. Des situations : Exercice 9. : Combien de menus différents comprenant une entrée et un plat principal peut-on composer? Le restaurateur propose deux desserts différents. Combien de menus différents avec entrée, plat et dessert propose-t-il? 2. Définition et calcul : Définition : Lorsque l on multiplie deux nombres, on obtient le produit de ces deux nombres. Chaque nombre que l on multiplie est appelé facteur. Exemples(s) : 7,3 4 = 29,2. Les... du produit sont 7,3 et 4. Le... de 7,3 par 4 est égal à 29,2. Exercice 10. : Calculer le produit de 457 et de 309 ( poser l opération ci-contre) puis vérifier avec la calculatrice. Exercice 11. : Ecrire 72 comme produit de deux entiers consécutifs :... Ecrire 700 comme produit de trois facteurs entiers, deux étant pairs :... http://lux.math.free.fr/ Addition; soustraction et multiplication(6ème) Page 4/13
3. Propriétés : Vocabulaire : Le double d un nombre est le produit de ce nombre par 2. Le triple d un nombre est le produit de ce nombre par 3. Le quadruple d un nombre est le produit de ce nombre par 4. ect... Exercice 12. : Calculer le double de 7,9 :... Calculer le triple de 7,9 :... Calculer le double du triple de 7,9 :... Calculer le triple du double de 7,9 :... Que remarque-t-on?... Propriétés : Pour calculer un produit de plusieurs facteurs, on peut : changer l ordre des facteurs ; regrouper différemment les facteurs. Remarque(s) : Cette propriété permet de calculer astucieusement des produits. Exemples(s) : 4 8 25 2 125 5 = (4 25) (8 125) (2 5) = 100 1000 10 = 1000000 Exercice 13. : Calculer les produits K, L et M suivants : K = 9 25 8,1 4 L = 3 1,25 96 8 M = 10 9 0,4 9 25. Propriétés : Le produit d un nombre par 1 est égal à ce nombre. Le produit d un nombre par 0 est nul ( égal à 0). Autrement dit, a étant un nombre quelconque, on a : a 1 = 1 a = a et a 0 = 0 a = 0. Exemples(s) : 1 17,156 = 17,156 et 5 4 3 2 1 0 = 0. Remarque(s) : La multiplication n agrandit pas toujours : si on multiplie un nombre décimal a par un nombre inférieur à 1, le produit sera plus petit que 1. Exemples(s) : 2 0,4 = 0,8. Ce produit 0,8 est plus petit que 2! Exercice 14. : Est-il vrai que 6208 0,99978 est plus grand que 6 208? Justifie sans poser l opération. http://lux.math.free.fr/ Addition; soustraction et multiplication(6ème) Page 5/13
4. Multiplier par 10, 100, 1000 ect... Pour multiplier un nombre par 10, 100 ou 1 000, on déplace la virgule de un, deux, trois rangs vers la droite, en complétant par des zéros si nécessaire. Exemples(s) : 27,578 100 =... 7,57 1000 =... 27 10 =... Remarque(s) : Multiplier un nombre par 10, 100 ou 1 000 "l agrandit". Exercice 15. : Exercice 16. : Exercice 17. : Méthode : http://lux.math.free.fr/ Addition; soustraction et multiplication(6ème) Page 6/13
Remarque(s) : Avec un tableur : 5. Multiplier par 0,1; 0,01; 0,001 ect... Exercice 18. : Calculer les produits suivants : 45,3 0,1 = 2415,3 0,01 = 451,33 0,001 = Pour multiplier un nombre par 0,1; 0,01 ou 0,001, on déplace la virgule de un, deux, trois rangs vers la gauche, en complétant par des zéros si nécessaire. Multiplier un nombre décimal par 0,1; 0,01 ou 0,001... revient à diviser ce nombre par 10; 100; 1 000... Exercice 19. : Calculer les produits suivants : 0,1 0,1 = 0,01 0,1 = 0,1 0,001 = 10 0,1 = 0,01 100 = 1000 0,001 = Quand on déplace la virgule d un nombre vers la gauche, on "diminue ce nombre". Multiplier un nombre par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 "diminue" ce nombre. Quand on déplace la virgule d un nombre vers la droite, on "agrandit ce nombre". Multiplier un nombre par 10 ou 100 ou 1 000 "agrandit" ce nombre. 6. Multiplication de deux décimaux : Exercice 20. : http://lux.math.free.fr/ Addition; soustraction et multiplication(6ème) Page 7/13
Voici donc la méthode à appliquer pour multiplier deux nombres décimaux : Exercice 21. : Poser puis effectuer les produits suivants : 14, 56 3, 49 15, 7 0, 036. Exercice 22. : On sait que : 347 849 = 294603. Utiliser ce résultat pour calculer rapidement chacun des produits suivants : 34,7 8,49 =... 0,347 8490 =... 3470 0,849 =... 3,47 84,9 =... Exercice 23. : Exercice 24. : Une truffe pèse 347 grammes et le cours du marché est de 1325ele kg. Combien vais-je en obtenir? Arrondir le résultat au centime d euro. Exercice 25. : Complèter : 4 25 =... et 8 9 =... En déduire : 0,4 25 =... et 8 0,09 =... Exercice 26. : Peut-on obtenir un nombre entier en multipliant deux nombres décimaux non entiers? Justifier votre réponse. http://lux.math.free.fr/ Addition; soustraction et multiplication(6ème) Page 8/13
III Ordre de grandeur : Exemples(s) : Un ordre de grandeur de 142 est 100; on a pris l arrondi du nombre à l unité. Un ordre de grandeur d une somme ou d une différence ou d un produit fournit une estimation du résultat. Il permet d anticiper ou de contrôler ce résultat. Pour obtenir un ordre de grandeur : - d une somme, on additionne un ordre de grandeur de chaque terme. - d une différence, on soustrait un ordre de grandeur de chaque terme. - d un produit, on multiplie un ordre de grandeur de chaque facteur. Exercice 27. : Calculer un ordre de grandeur de : -la somme 101 + 998 : Un ordre de grandeur de 101 est : ; de 998 est : Un ordre de grandeur de cette somme est donc : -la différence : 1005 98, 9 : Quels sont les résultats exacts de ces opérations? Exercice 28. : Le professeur vient d écrire au tableau la consigne suivante : "calcule à la main 68,4 5,7". Trois élèves s empressent de répondre : Vincent : "Ca fait 418,82". Sarah : "Ca fait 419,878". Thomas : "Ca fait 425,88". Léon, qui n a pas terminé son calcul, dit : "Vous avez tous faux!" Comment a-t-il procédé pour s en apercevoir si vite? Voici une méthode pour contrôler le résultat d une multiplication : -Contrôler le nombre de chiffres après la virgule. -Contrôler le dernier chiffre à droite. -Calculer un ordre de grandeur du résultat. Exercice 29. : Peut-on toujours se fier à la calculatrice? Effectuer avec ta calculatrice les produits suivants et afficher la valeur exacte. A = 295687,5 19577 B = 89,5 361,586 Information : la plupart des calculettes ont 8 à 15 chiffres significatifs sans arrondi des calculs, souvent c est 10 chiffres. http://lux.math.free.fr/ Addition; soustraction et multiplication(6ème) Page 9/13
IV Multiples et diviseurs : 1. Critères de divisibilité : Critères de divisibilité : Un nombre entier est divisible par 2 (on dit encore : pair) si son chiffre des unités est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8. Les nombres entiers non divisibles par 2 sont des nombres impairs. Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0. Exercice 30. : Parmi les entiers suivants : 52, 265, 340, 123, 55368, 2525 ; quels sont ceux que sont divisibles par 2?... par 5?... par 10?... Exercice 31. : Déterminer le plus grand entier de trois chiffres divisible par 5. Critères de divisibilité par 4 : Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Remarque(s) : Un entier divisible par 4 est divisible par 2. Exemples(s) : 2148 est divisible par 4 car 48 est divisible par 4. Exercice 32. : Parmi les entiers suivants :524,2654,340,122,55368,25250 ; quels sont ceux que sont divisibles par 4?... Critères de divisibilité : - Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. - Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Remarque(s) : Un entier divisible par 9 est divisible par 3. Exemples(s) : 2+1+4+8 = 15 et 15 est divisible par 3 donc 2148 est divisible par 3. On sait que 15 n est pas divisible par 9 donc 2148 n est pas divisible par 9. 2+4+8+4 = 18 et 18 est divisible par 9 donc 2484 est divisible par 9. Exercice 33. : Indiquer, en justifiant votre réponse, si l affirmation suivante est vrai ou fausse : "Si un entier est divisible par 3, alors il est divisible par 9." Exercice 34. : Le code d un coffre-fort est un entier de trois chiffres divisible par 5 et par 9. Le chiffre des dizaines est le triple de celui des unités. Déterminer ce code. http://lux.math.free.fr/ Addition; soustraction et multiplication(6ème) Page 10/13
Remarque(s) : Multiples et diviseurs : 36 = 9 4 et on dit que "36 est un multiple de 9" ou "36 est divisible par 9" ou "9 est un diviseur de 36 Exercice 35. : (a) Déterminer tous les diviseurs de 24 :... (b) Déterminer tous les diviseurs de 18 :... (c) En déduire le plus grand commun diviseur de 18 et 24 :... Exercice 36. : (a) Parmi les nombres suivants, lesquels sont multiples de 6? 12 45 54 61 6 666 (b) 56 est-il divisible par 7; 9; 28 ou 112?... (c) Parmi les nombres suivants, lesquels admettent 7 comme diviseur? 57 63 77 73 140 Exercice 37. : (a) Déterminer les 15 premiers multiples de 6 (n oublie pas 0!) :... (b) Déterminer les 10 premiers multiples de 15 :... (c) En déduire le plus petit commun multiple de 6 et 15, différent de 0 :... 2. Conversions de longueurs : http://lux.math.free.fr/ Addition; soustraction et multiplication(6ème) Page 11/13
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Exercice 38. : Exercice 39. : http://lux.math.free.fr/ Addition; soustraction et multiplication(6ème) Page 13/13