Chapitre 4 Statistiques TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 4 Statistiques Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................ I-1 3................................................ I-1 4................................................ I-1 5................................................ I- 6................................................ I-3 7................................................ I-5 8................................................ I-7 II Cours II-1 1 Fréquence et fréquence en pourcentage.......................... II-1 Moyenne d une série statistique.............................. II-1 a Exemple....................................... II-1 b À retenir....................................... II-1 c Moyenne d une série regroupée en classes..................... II-1 3 Étendue d une série statistique............................... II- 4 Médiane et quartiles d une série statistique........................ II- 5 Fréquences et effectifs cumulés, médiane, quartiles.................... II-4 6 Utilisation de la calculatrice................................ II-5 7 Courbe des fréquences cumulées, médiane, quartiles................... II-6
Chapitre 4 Statistiques I EXERCICES page I-1 I Exercices 1 Moyenne d une série statistique Un test a été donné à 5 élèves de seconde. Voici la répartition des notes. Notes 5 1 15 Total Effectifs 8 16 14 1 5 1. Calculer la moyenne de ce devoir, détailler le calcul en une seule expression.. a) Compléter le tableau ci-dessous à gauche. b) Multiplier chaque note par sa fréquence et ajouter les 4 résultats. Quel résultat retrouvet-on? 3. a) Compléter le tableau ci-dessous à droite. b) Faire à nouveau le calcul comme dans le b. Notes 5 1 15 Total Fréquences 8 5 Notes 5 1 15 Total Fréquences en % Le tableau ci-dessous indique les résultats d une enquête statistique dans un village où l on a relevé le nombre d enfants par famille. Nombre d enfants 1 3 4 5 6 7 Fréquences en % 1 8 19 13 9 7 1 Calculer le nombre moyen d enfants par famille. Arrondir au dixième. 3 Un club de plongée compte 8 licenciés. Le tableau suivant donne la fréquence des plongées effectuées par plongeur en un an. Nombre de plongées [ ; 1[ [1 ; [ [ ; 3[ [3 ; 4[ [4 ; 5[ [5 ; 6[ Fréquence %,1,,3,175,15,1 Calculer le nombre moyen de plongées effectuées par plongeur? Détailler le calcul. 4 Médianes et quartiles Dans un centre aéré, on a mesuré la taille de vingt enfants de six ans. 116 ; 11 ; 114 ; 18 ; 15 ; 11 ; 118 ; 119 ; 114 ; 18 11 ; 111 ; 1 ; 1 ; 118 ; 119 ; 11 ; 1 ; 18 ; 113. 1. Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartile de cette série statistique.. Que signifient ces trois nombres?
Chapitre 4 Statistiques I EXERCICES page I- 5 Pour 11 portées de souris blanches, on a dénombré les souriceaux. Les résultats sont dans le tableau ci-dessous. 1. Compléter ce tableau. Les fréquences seront indiquées en pourcentages arrondis au dixième près.. Déterminer la médiane et les quartiles de cette série. 3. Comment utiliser les fréquences cumulées croissantes pour les déterminer facilement? 4. Dans le repère plus bas, tracer un diagramme bâtons représentant cette série statistique. Utiliser les données des deux premières lignes du tableau. 5. Dans le même repère, sous l axe horizontal tracer 5 traits verticaux, un pour le minimum de la série, un pour le maximum, un pour chaque quartile et un pour la médiane. Nombre de petits 1 3 4 5 6 7 8 9 Effectifs (nombres de portées) 7 11 16 17 6 31 11 1 1 Fréquences en % Effectifs cumulés croissants 7 18 Fréquences cumulées croissantes en % Répartition des nombres de petits dans 11 portées de souriceaux 3 Nombre de portées 5 15 1 5 5 1 1 3 4 5 6 7 8 9 Nombre de petits dans une portée
Chapitre 4 Statistiques I EXERCICES page I-3 6 Le tableau ci-dessous contient les résultats d un sondage réalisé auprès de 1 personnes regardant le journal télévisé pour connaître leur âge. 1. Compléter le tableau ci-dessous.. Dans le premier repère plus bas, au dessus de l axe horizontal, tracer un histogramme qui représente cette série statistique. 3. Calculer l âge moyen d une personne regardant le journal télévisé. 4. Dans le deuxième repère plus bas, tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes (FCC). a) D après cette courbe, quel âge correspond à une FCC de 5 %? b) Que signifie ce résultat? c) Mêmes questions (a) et (b) pour une FCC de 5 % et pour une FCC de 75 %. 5. Dans le premier repère plus bas, en dessous de l axe horizontal, tracer le diagramme en boîte de cette série. 6. D après tous ces résultats, que peut-on dire de la répartition par âges : qui regarde beaucoup le journal télévisé? qui le regarde peu? Essayer d expliquer pour chaque catégorie d âge. Âge [ ; [ [ ; 4[ [4 ; 6[ [6 ; 8[ [8 ; 1] Effectifs 1 3 4 7 9 Fréquences en % Fréquences cumulées croissantes en % Histogramme et diagramme en boîte ci-dessous 4 3 Effectifs 1 1 1 3 4 5 6 7 8 9 Âges
Chapitre 4 Statistiques I EXERCICES page I-4 Courbe des fréquences cumulées croissantes ci-dessous. 9 Fréquences cumulées croissantes en % 8 7 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 7 8 9 Âges
Chapitre 4 Statistiques I EXERCICES page I-5 7 Un groupe est constitué de 5 individus souffrant d une maladie et ne recevant pas de traitement. Pour chaque individu on mesure la quantité dans le sang d une molécule M en microgrammes par litre. 1. Compléter le tableau ci-dessous. Déterminer la médiane et les quartiles. 3. Vérifier avec la calculatrice. 4. Tracer un axe gradué de 1 à de 1 en 1 et tracer le diagramme en boîte de cette série statistique, en prévoyant la place pour un deuxième diagramme en boîte (question 5). 5. Dans un deuxième groupe de 5 personnes souffrant de la maladie, et recevant un traitement on mesure aussi la quantité dans le sang de la molécule M en microgrammes par litre. On obtient les résultats suivants : Min = 15 Q 1 = 15 Méd = 15 Q 3 = 165 Max = 18. Tracer le diagramme en boîte de cette deuxième série statistique, en utilisant le même axe gradué que précédemment. 6. En comparant les deux séries, quel est apparemment l effet du traitement? 7. a) Calculer les étendues des deux séries. b) Que signifient ces résultats? 8. Les proportions normales de la molécule M dans le sang sont inférieures ou égales à 16. Comparer ces deux séries à ce sujet, en donnant des pourcentages. Quantités (µg/l) 13 135 14 145 15 155 16 165 17 175 18 185 19 Effectifs 3 3 5 3 4 3 7 5 6 3 4 ECC FCC en % µg/l microgrammes par litre ECC effectifs cumulés croissants FCC fréquences cumulées croissantes
Chapitre 4 Statistiques I EXERCICES page I-6 Exercices 51 p 61 du manuel Pixel de et 4 p 35 du manuel Hyperbole de
Chapitre 4 Statistiques I EXERCICES page I-7 8 Les histogrammes ci-dessous indiquent la répartition des notes d un même devoir dans 4 classes de troisième différentes, par exemple le premier histogramme indique notes dans l intervalle [ ; [, 7 notes dans l intervalle [ ; 4[, etc. 1. Répondre aux questions suivantes en observant les quatre histogrammes. a) Ranger les 4 classes du meilleur niveau global au plus faible niveau global. b) Pour chaque classe, indiquer si les notes sont dispersées (classe hétérogène) ou groupées (classe homogène). c) L histogramme est-il symétrique? d) Y a-t-il des groupes dans la classe? Si oui, combien? 16 14 1 1 8 6 4 31 4 6 8 1 1 14 16 18 16 14 1 1 8 6 4 3 4 6 8 1 1 14 16 18 16 14 1 1 8 6 4 33 4 6 8 1 1 14 16 18 16 14 1 1 8 6 4 34 4 6 8 1 1 14 16 18
Chapitre 4 Statistiques I EXERCICES page I-8. Le tableau ci-dessous donne les paramètres statistiques de chaque série de notes. Classes 31 3 33 34 Moyenne 8,1 4,5 4,1 1, Min 1,5 1,,,5 Q1 3,,5 1,5 7, Médiane 8, 3,5 3, 1,5 Q3 11,5 6, 6,9 14,5 Max, 1,5 1, 18,5 Étendue = max min 18,5 9,5 1, 18, a) Tracer le diagramme en boîte de chaque série en dessous de chaque histogramme. b) Vérifier les réponses du 1 (a). Quels paramètres utilise-t-on? c) Vérifier les réponses du 1 (b). Quels paramètres utilise-t-on?
Chapitre 4 Statistiques II COURS page II-1 II Cours 1 Fréquence et fréquence en pourcentage Exemple Dans un lycée de 1 élèves, 4 élèves utilisent les transports scolaires, calculer la fréquence d élèves utilisant les transports scolaires en pourcentage. 4 35 La fréquence d élèves utilisant les transports scolaires est : =, 35 = 1 1 = 35 % Moyenne d une série statistique a Exemple La même interrogation a été donnée a 5 élèves de de. Voici la répartition des notes. Notes 5 1 15 Total Effectifs 8 16 14 1 5 Tableau de répartition avec les fréquences et les fréquences en pourcentages. Notes 5 1 15 Total 8 16 14 1 5 Fréquences 5 5 5 5 5 = 1 Notes 5 1 15 Total Fréquences 16 % 3 % 8% 4 % 1% = 1 en % Calcul de la moyenne avec les effectifs : 5 8 + 1 16 + 15 14 + 1 5 8 + 1 16 + 15 14 + 1 = 8 + 16 + 14 + 1 5 Calcul de la moyenne avec les fréquences : 5 8 16 14 1 + 1 + 15 + 5 5 5 5 = 13 = 65 5 = 13 Calcul de la moyenne avec les fréquences en pourcentages : 5 16 3 8 4 + 1 + 15 + = 5, 16 + 1, 3 + 15, 8 +, 4 = 13 1 1 1 1 b À retenir La somme des fréquences est égale à 1. Calcul de la moyenne avec les effectifs : on multiplie chaque nombre par son effectif ; on ajoute ces produits ; on divise cette somme par l effectif total. Calcul de la moyenne avec les fréquences : on multiplie chaque nombre par sa fréquence ; on ajoute ces produits. Remarque La moyenne est toujours comprise entre la valeur minimale et la valeur maximale de la série. c Exemple Moyenne d une série regroupée en classes Notes [ ; 5[ [5 ; 1[ [1 ; 15[ [15 ; ] Total Fréquences en % % 7 % 35 % 18 % 1 % On calcule d abord les centres de classes : + 5 5 + 1 1 + 15 =, 5 ; = 7, 5 ; = 1, 5 ; 15 + = 17, 5
Chapitre 4 Statistiques II COURS page II- Calcul de la moyenne :, 5, + 7, 5, 7 + 1, 5, 35 + 17, 5, 18 = 1, 5 À retenir Pour calculer une moyenne d une série de données regroupée en classes, on utilise les centres de classes. 3 Étendue d une série statistique Définition Étendue d une série statistique = nombre maximum nombre minimum Exemple Dans la série de notes de l exemple a l étendue est égale à : note maximale note minimale = 5 = 15 4 Médiane et quartiles d une série statistique Une méthode de calcul d une médiane Pour obtenir une médiane dans une série ordonnée, on peut prendre le nombre «du milieu». si l effectif total est pair diviser l effectif total par, on obtient un nombre k prendre comme médiane un nombre entre le terme de rang k et celui de rang k + 1 si l effectif total est impair on divise l effectif total par arrondir le résultat à l entier supérieur k on prend comme médiane le terme de rang k. Propriété Dans une série statistique au moins la moitié des termes de la série sont inférieur ou égaux à la médiane ; au moins la moitié des termes de la série sont supérieur ou égaux à la médiane. Une méthode de calculs des quartiles : Pour obtenir le 1 er quartile d une série ordonnée par ordre croissant diviser l effectif total par 4 arrondir le résultat à l entier supérieur r le 1 er quartile est le nombre de rang r Pour obtenir le 3 e quartile d une série ordonnée par ordre croissant calculer les trois quarts de l effectif total arrondir le résultat à l entier supérieur s le 3 e quartile est le nombre de rang s Propriété Un premier quartile d une série statistique est un nombre tel que au moins un quart des termes de la série est inférieur ou égal à ce nombre. Un troisième quartile d une série statistique est un nombre tel que au moins trois quarts des termes de la série est inférieur ou égal à ce nombre.
Chapitre 4 Statistiques II COURS page II-3 Remarques La méthode de calcul du 1 er quartile indiquée ci-dessus fait que un quart ou un peu plus d un quart des termes de la série est inférieur ou égal à ce nombre. Même chose avec le 3 e quartile et trois quart. Il existe d autres méthodes de calcul des médianes et quartiles, comme celles utilisées par les calculatrices ou les tableurs (voir les tableaux plus loin). Exemple 1 : on relève 16 dépenses en euros de clients d un magasin au cours d une journée, et on veut déterminer la dépense médiane, le premier et le troisième quartile. On a ordonné la série de dépenses et on obtient la série ci-dessous : 15 5 4 46 5 5 57 6 6 63 68 7 75 77 85 9 Médiane L effectif total est pair : 16 = 8 Le 8e terme est 6, le 9 e est 6. Médiane = 61 La moitié des dépenses sont inférieures à 61e, l autre la moitié des dépenses sont supérieures à 61e. Quartiles 16 4 = 4 16 3 4 = 1 Le 4e terme est 46, le 1 e est 7. 1 er quartile : 46 ; 3 e quartile 7. Un quart des dépenses sont inférieures ou égales à 46eet trois quarts des dépenses sont inférieures ou égales à 7e. Schéma 15 5 4 46Q 1 5 5 57 6 6 63 68 7Q 3 75 77 85 9 Exemple Me Au cours d une autre journée dans le même magasin, on relève 15 dépenses en euros de clients (série ordonnée ci-dessous). Calculons à nouveau la dépense médiane, le premier et le troisième quartile. 7 1 11 14 15 18 7 34 4 4 44 51 6 67 Médiane 15 = 7, 5, on arrondit à 8. On prend comme médiane le 8e nombre de la série ordonnée soit 7e. La moitié des dépenses sont inférieures ou égales à 7eet l autre la moitié des dépenses sont supérieures ou égales à 7e. Quartiles 15 4 = 3, 75, on arrondit à 4 15 3 4 = 11, 5 on arrondit à 1. Le 4e terme est 14, le 1 e est 44. 1 er quartile : 14 ; 3 e quartile 44. Un peu plus d un quart des dépenses sont inférieures ou égales à 14eet un peu plus de trois quarts des dépenses sont inférieures ou égales à 44e. Récapitulation des médianes et quartiles des deux exemples Le tableau ci-dessous récapitule les résultats des deux exemples, en ajoutant les réponses données par la calculatrice, et par un tableur. Exemple 1 Q 1 Me Q Résultats précédents 46 61 7 Calculatrice 48 61 7,5 Tableur 49 61 71 Exemple Q 1 Me Q Résultats précédents 14 7 44 Calculatrice 14 7 44 Tableur 14,5 7 43
Chapitre 4 Statistiques II COURS page II-4 5 Fréquences et effectifs cumulés, médiane, quartiles. Exemple Les deux premières lignes du tableau ci-dessous indiquent les nombres d essais marqués au cours de 8 matchs de rugby pendant un tournoi : matchs avec essai, 1 matchs avec 1 essai, etc. Nombre d essais 1 3 4 5 6 1 11 Effectifs (nombre de 1 5 3 1 1 matchs) Effectifs cumulés 1 17 19 1 3 6 7 8 croissants Fréquences cumulées 7,1% 4,9% 6,7% 67,9% 75,% 8,1% 9,9% 96,4% 1, % croissantes en % Calcul des effectifs cumulés croissants : ; + 1 = 1 ; 1 + 5 = 17 ; 17 + = 19 ; etc. Signification des effectifs cumulés croissants : par exemple, l effectif cumulé 19 représente 19 matchs où il y a eu entre et 3 essais. Calcul des fréquences cumulées croissantes en % : par exemple 19 67, 9, 679 = = 67, 9% 8 1 La fréquence cumulée 67,9 % représente le pourcentage de matchs où il y a eu entre et 3 essais. Médiane : la médiane correspond à 5 % de l effectif total. La 1 re fréquence cumulée croissante supérieure ou égale à 5 % est 6,7 % qui correspond à. La médiane est donc essais. 1 er quartile : le 1 er quartile correspond à 5 % de l effectif total. La 1 re fréquence cumulée croissante supérieure ou égale à 5 % est 4,9 % qui correspond à 1. Le 1 er quartile est 1 essai. 3 e quartile : le 3 e quartile correspond à 75 % de l effectif total. La 1 re fréquence cumulée croissante supérieure ou égale à 75 % est 75 % qui correspond à 4. Le 3 e quartile est 4 essais.
Chapitre 4 Statistiques II COURS page II-5 6 Utilisation de la calculatrice Consignes et remarques pour tous les modèles. Saisir les valeurs de la série statistique dans la première colonne et les effectifs ou les fréquences dans la deuxième colonne. TI 8 (voir aussi manuel Transmath page 13). Saisie des données : touche stats, puis choisir 1:Edite Calculs : appuyer à nouveau sur stats, choisir CALC, puis 1:Stats 1-Var, puis compléter ainsi : Stats 1-Var(L 1,L ) et valider. Liste des résultats (appuyer sur les flèches pour descendre et monter dans la liste) x moyenne ; n effectif total ; minx minimum ; Q1 premier quartile ; Méd médiane ; Q3 troisième quartile ; maxx maximum TI89 Saisie des données Touche APPS, icône Stats/List, valider. Saisir les données dans list1 et list Calculs Touche F4, 1:1-Var Stats..., une fenêtre s ouvre On voit : List: list1 Freq: list Modifier si nécessaire Appuyer une fois sur ENTER Les résultats apparaissent dans une fenêtre. CASIO (voir aussi manuel Transmath page 1). Saisie des données Touche MENU, icône STAT, valider, puis compléter les colonnes List 1 et List. Calculs Touche MENU, icône STAT, valider, puis appuyer sur F (CALC), puis sur F6 (SET), et compléter ainsi : 1 Var X List : List1 (appuyer sur F1 ) 1 Var Freq : List (appuyer sur F ) Appuyer sur EXIT F1 (1 VAR) Liste des résultats (appuyer sur les flèches pour descendre et monter dans la liste) x moyenne ; n effectif total ; minx minimum ; Q1 premier quartile ; Méd médiane ; Q3 troisième quartile ; maxx maximum
Chapitre 4 Statistiques II COURS page II-6 7 Courbe des fréquences cumulées, médiane, quartiles Exemple : exercice 1 page 119 Un ornithologue a mesuré la taille des œufs de coucous pondus dans des nids de fauvettes. La répartitions des tailles des œufs est indiquée dans le tableau ci-dessous : 7 % des œufs ont une taille entre et 1 mm, 17 % entre et mm, etc. Intervalles de tailles en mm [ ; 1[ [ ; [ [ ; 3[ [ ; 4[ [ ; 5] Fréquences cumulées croissantes en % 7 % 17 % 31 % 86 % 1 % Courbe des fréquences cumulées croissantes, et détermination graphique de la médiane et des quartiles. À l aide de la courbe des fréquences cumulée croissantes, on lit les tailles qui correspondent à 5 %, 5 %, 75 %, et on obtient : Q 1, 6 mm Me 3, 3 mm Q 3 3, 8 mm Fréquences cumulées croissantes en % 1 8 75 % 6 5 % 4 5 % 1 3 4 5 Tailles en mm Q 1 Me Q 3 Comment tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes? On a un tableau tel que le tableau ci-dessous à droite. Le début du tracé de la courbe est représenté ci-dessous à droite. la graduation verticale va de à 1 ; la graduation horizontale commence à la plus petite valeur du premier intervalle (ici c est a) ; on place d abord le point de coordonnées (a, ) en bas à gauche ; les points suivants sont les points de coordonnées (b ; f 1 ), (c ; f ) et ainsi de suite ; cette courbe est en fait une ligne brisée, qu il faut tracer à la règle. f Intervalles [a ; b[ [b ; c[ Fréquences cumulées croissantes f 1 f a b c f 1