Matrices Année scolaire 006/007 Table des matières 1 Notion de matrice 1.1 Dénition................................................. 1. Égalité de deux matrices......................................... 3 1.3 Addition de matrices........................................... 3 1.4 Multiplication d'une matrice par un réel................................ 3 Multiplication de matrices 4.1 Vecteur-ligne par vecteur-colonne.................................... 4. Matrice par vecteur-colonne....................................... 4.3 Cas général................................................ 5 3 Matrice carrée d'ordre 6 3.1 Inverse d'une matrice carrée d'ordre................................. 6 3. Application à la résolution de systèmes de équations à inconnues................ 6 4 Matrice carrée d'ordre 3 7 4.1 Inverse d'une matrice carrée d'ordre 3................................. 7 4. Application à la résolution de systèmes de 3 équations à 3 inconnues................ 8 1
1 NOTION DE MATRICE En préliminaire : Exercices : C 1 et D page 76 Déclic Activité 1 (fp) : Créer un tableau à double entrée 1 Notion de matrice 1.1 Dénition Dénition : Une matrice de dimension n p est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes. Ces nombres sont appelés coecients de la matrice. Exemples : 1. Dans l'activité 1, la matrice représentant les achats pour le premier trimestre est : 10 0 30 A 3 5 8 Elle est de dimension 3. Le coecient de la 1 ère ligne et de la ème colonne est 0. On le note a 1. On a donc : a 1 0. De même, a 1 3 ; a 13 30 et a 3 8.. Les notes d'un élève en mathématiques pour le premier trimestre peuvent être données sous la forme d'une matrice : B 10 11 13 Elle est de dimension 1 3. On dit que B est un vecteur-ligne. 3. On peut représenter le prix d'un pain au chocolat et d'un croissant dans deux boulangeries concurrentes par la matrice : 1 1, 05 C 0, 9 0, 85 Elle est de dimension. On dit que Cest une matrice carrée d'ordre. Le prix d'un croissant dans la première boulangerie est alors c 1 0, 9 e. Dénition : La matrice transposée de A est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A. On la note A T. Si A est de dimension n p, alors A T est de dimension p n. Exemples : avec les notations des exemples précédents 1. Les achats du premier trimestre dans l'activité 1 peuvent aussi être représentés par : 10 3 A T 0 5 30 8 Elle est de dimension 3.. Les notes de mathématiques de l'élève peuvent aussi être représentées par : 10 B T 11 13 Elle est de dimension 3 1. On dit que B T est un vecteur-colonne. Remarque : La plupart des calculatrices (sauf la Casio Graph 5+) permettent de calculer sur des matrices. Voir page 79 Déclic. Exercices : 10, 11 page 89 3 13, 15 page 89 4 18 page 90 5 5, 6 page 90 6 Déclic 1 Coordonnées de vecteurs Systèmes 3 QCM ou Vrai-Faux. 4 Vocabulaire sur les matrices. 5 Utilisation de la calculatrice. 6 Traduction en écriture matricielle.
1 NOTION DE MATRICE 1. Égalité de deux matrices 1. Égalité de deux matrices Dénition : On dit que deux matrices sont égales si elles ont même dimension et si les coecients situés à la même place sont égaux. Exemples : 1 7 4 14 1 10 1 0, 5 0, 5 0, 1 Exercices : 0, 3 page 90 7 Déclic mais 10 11 13 10 11 et 13 10 0 30 3 5 8 10 3 0 5 30 8 1.3 Addition de matrices Dans l'activité 1, pour calculer les quantités achetées aux deux premiers trimestres, on donne la matrice suivante : 10 + 15 0 + 15 30 + 15 5 35 45 3 + 5 5 + 5 8 + 10 8 10 18 ce qui peut s'écrire : 10 0 30 3 5 8 } {{ } 1ertrimestre 15 15 15 + 5 5 10 } {{ } èmetrimestre Dénition : On appelle somme de deux matrices A et B de même dimension la matrice obtenue en additionnant les coecients situés aux mêmes emplacement. Cette matrice est notée A + B. Remarque : on retrouve les propriétés habituelles de l'addition, c'est-à-dire(a + B)+C A + (B + C) A + B + C et A + B B + A. Exercices : 9 page 91 8 38 page 9 9 44 page 93 10 1.4 Multiplication d'une matrice par un réel Dans l'activité 1, pour calculer les quantités achetées au dernier trimestre, on donne la matrice suivante : 0, 4 15 0, 4 15 0, 4 15 15 15 15 0, 4 5 0, 4 5 0, 4 10 5 5 10 ce qui peut s'écrire : 15 15 15 0, 4 5 5 10 } {{ } èmetrimestre Dénition : On appelle produit d'une matrice A par un réel k la matrice obtenue en multipliant tous les coecients de A par k. Cette matrice est notée k A ou ka. Remarques : 1. On positionnera toujours le réel avant la matrice : 3A et non pas A 3. 7 Égalité de matrices. 8 QCM. 9 Calculs de sommes. 10 Équation à résoudre. 3
MULTIPLICATION DE MATRICES. La matrice ( 1) A est notée A et est appelée matrice opposée de A. Ce qui permet de dénir la soustraction de deux matrices : A B A + ( B). 3. On retrouve les règles de calculs habituelles. 4. La calculatrice peut eectuer ce type de calcul sur des matrices (voir page 81 Déclic). Exercices : 30 page 91 11 36, 39 page 93 1 4, 43 page 93 13 31, 33 page 9 14 Déclic Multiplication de matrices Activité (fp) : Étude d'une note à payer.1 Vecteur-ligne par vecteur-colonne Dénition : A étant un vecteur-ligne de dimension 1 p et B un vecteur-colonne de dimension p 1, on appelle produit A B le nombre obtenu en multipliant le premier élément de A par le premier élément de B, le deuxième élément de A par le deuxième élément de B, etc. puis en ajoutant tous ces produits : b 1 b a1 a a p. b p a 1 b 1 + a b +... + a p b p Remarque : Il faut que A ait autant de colonnes que B de lignes pour que le produit soit possible. Par exemple, le produit 1 1 n'a aucun sens. 3 Exemple : Dans l'activité vecteur-ligne des quantités : vecteur-colonne des prix : 1, 5 Le prix total est : 1, 5 8 + 6 1, 5 + 10 3 e. Matrice par vecteur-colonne Dénition : A étant une matrice de dimension n p et B un vecteur-colonne de dimension p 1, on appelle produit A B le vecteur-colonne de dimension n 1 obtenu en multipliant chaque ligne de A par le vecteur-colonne B. Remarque : Il faut que A ait autant de colonnes que B de lignes pour que le produit soit possible. Exemple : Dans l'activité matrice des quantités : 10 8 1 vecteur-colonne des prix : 1, 5 11 Vrai-Faux. 1 Calculs sur des matrices. 13 Équations à résoudre. 14 Utilisation concrète. 4
MULTIPLICATION DE MATRICES.3 Cas général Le vecteur-colonne des prix totaux est : 1, 5 10 8 1 Remarque : Disposition pratique des calculs 10 8 1 8 + 6 1, 5 + 10 10 + 8 1, 5 + 1 1, 5 3 40 Exercices : 50, 51 page 94 15 53 page 94 16 53 page 94 et 58, 59 page 95 17 56, 57 page 95 18 Déclic 3 40.3 Cas général Dénition : A étant une matrice de dimension n p et B une matrice de dimension p m, on appelle produit A B la matrice de dimension n m obtenu en multipliant chaque ligne de A par le chaque colonne de B. Plus précisément, le coecient de la i ème ligne et de la j ème colonne du produit A B est obtenu en multipliant la i ème ligne de A par la j ème colonne de B. Remarque : Il faut que A ait autant de colonnes que B de lignes pour que le produit soit possible. Dans ce cas, le produit A B a autant de lignes que A et autant de colonnes que B. Exemple : Dans l'activité matrice des quantités : 10 8 1 1, 8 matrice des prix : 1, 5 1, 6 0, 68 Le vecteur-colonne des prix totaux est : 10 8 1 1, 8 1, 5 1, 6 0, 68 8 + 6 1, 5 + 10 8 1, 8 + 6 1, 6 + 10 0, 68 10 + 8 1, 5 + 1 10 1, 8 + 8 1, 6 + 1 0, 68 3 30, 8 40 38, 96 Remarques : 1. Disposition pratique des calculs 10 8 1 1, 8 1, 5 1, 6 0, 68 3 30, 8 40 38, 96. Même si le calcul de A B est possible, il n'y a aucune raison pour que le produit B A le soit. 3. La plupart des calculatrices (sauf la Casio Graph 5+) permettent de calculer sur des matrices. Voir page 85 Déclic. 15 Vrai-faux. 16 Calculs de produits. 17 Applications économiques. 18 Équations. 5
3 MATRICE CARRÉE D'ORDRE Exercices : 64 page 96 19 65, 67, 68, 70 page 96 et 78, 79 page 97 0 7, 73 page 97 et 8, 85, 86 page 98 1 89 page 98 et 91, 9 page 99 Déclic 3 Matrice carrée d'ordre Activité 3 (fp) : A la découverte de la matrice identité 3.1 Inverse d'une matrice carrée d'ordre Dénition : On appelle matrice identité d'ordre, la matrice suivante : 1 0 I 0 1 Propriété : Pour toute matrice M carrée d'ordre : M I I M M Pour tout vecteur-colonne X de dimension 1 : I X X Pour tout vecteur-ligne Y de dimension 1 : Y I Y Remarque : La matrice identité joue donc le rôle du 1 dans la multiplication de nombres :1 x x 1 x. Dénition : Soit A une matrice carrée d'ordre. Dire que B est la matrice inverse de A signie que : AB BA I. Dans ce cas, on admettra que B est unique et on notera B A 1. Exemples : d'après les résultats de l'activité 3 3 5 5 L'inverse de est 3 4 1 4 La matrice n'est pas inversible. 3 6 Remarques : 1. Contrairement aux nombres, une matrice non nulle peut très bien ne pas être inversible!. La calculatrice permet de calculer, quand elle existe, l'inverse d'une matrice (voir page 85 Déclic). a b 3. On peut montrer que la matrice A est inversible si et seulement si ad bc 0. c d d b Dans ce cas, A 1 1 ad bc. c a Exercice : 75 page 97 3 Déclic Module : Matrice de Léontief 3. Application à la résolution de systèmes de équations à inconnues Un exemple pour comprendre : On considère le système suivant : { x + 4y 8 x 3y 7 (1) 19 QCM. 0 Calculs de produits à la main. 1 Calculs de produits à l'aide de la calculatrice. Applications économiques. 3 Calculs d'inverses à la calculatrice. 6
4 MATRICE CARRÉE D'ORDRE 3 1 4 x 8 On pose A, X et B. 3 y 7 x + 4y On peut remarquer que AX. x 3y Le système 1 peut donc se noter : AX B, où l'inconnue est le vecteur-colonne X. De plus, A est inversible car 1 ( 3) 4 3 8 11 0. On a : A 1 1 3 4 3 4 11 11 11 1 Le système 1 devient : 3 On obtient donc : X 11 8 + 4 11 7 11 8 1 11 7 La solution du système est donc le couple ( 5 11 11 1 11 AX B () A 1 AX A 1 B I X A 1 B X A 1 B. 11 ). 5 11 9 Cas général : le système { ax + by c a x + b y c peut s'écrire sous la forme AX B, où A 9 11 a b a b, X Si A est inversible, en reprenant le calcul, on obtient : X A 1 B. x y et B c c. Remarque : On a admis que A était inversible si et seulement si ab a b 0. On retrouve bien la même condition que dans le cours de Seconde quant à l'existence d'une solution unique au système. Exercices : 93 page 99 4 94 page 99 5 99 page 300 6 Déclic 4 Matrice carrée d'ordre 3 4.1 Inverse d'une matrice carrée d'ordre 3 Dénition : On appelle matrice identité d'ordre 3, la matrice suivante : 1 0 0 I 3 0 1 0 0 0 1 Propriété : Pour toute matrice M carrée d'ordre 3 : M I 3 I 3 M M Pour tout vecteur-colonne X de dimension 3 1 : I 3 X X Pour tout vecteur-ligne Y de dimension 1 3 : Y I 3 Y Remarque : La matrice identité joue donc le rôle du 1 dans la multiplication de nombres :1 x x 1 x. 4 Mise sous forme matricielle d'un système. 5 Résolution de système. 6 QCM de révision. 7
4. Application à la résolution de systèmes de 3 équations à 3 inconnues RÉFÉRENCES Dénition : Soit A une matrice carrée d'ordre 3. Dire que B est la matrice inverse de A signie que : AB BA I 3. Dans ce cas, on admettra que B est unique et on notera B A 1. Remarques : 1. Contrairement aux nombres, une matrice non nulle peut très bien ne pas être inversible!. La calculatrice permet de calculer, quand elle existe, l'inverse d'une matrice (voir page 85 Déclic). 3. Il n'existe pas de formule simple permettant de calculer l'inverse d'une matrice carrée d'ordre 3. Il faudra donc utiliser la calculatrice. Exercice : 84 page 98 7 76 page 97 et 87 page 98 8 Déclic 4. Application à la résolution de systèmes de 3 équations à 3 inconnues On peut reprendre entièrement l'étude menée à la section 3. avec des matrices carrées d'ordre 3 (et même d'ordre 4, 5, 6, etc.). On obtient donc le résultat suivant : Cas général : le système ax + by + cz d a x + b y + c z d a x + b y + c z d a b c peut s'écrire sous la forme AX B, où A a b c, X a b c Si A est inversible, en reprenant le calcul, on obtient : X A 1 B. x y z et B d d d. Exercices : 95, 96 page 99 9 100 page 300 et 101, 103 page 301 30 Déclic Références Déclic Déclic 1 ère ES, enseignement obligatoire et option, Hachette Éducation, 005., 3, 4, 5, 6, 7, 8 7 Matrice identité d'ordre 3. 8 Calculs d'inverses à la calculatrice. 9 Résolutions de systèmes. 30 Applications concrètes. 8