LA CNSTRCTIN DE FRESNEL I / Le vecteur de Fresnel associé à une grandeur sinusoïdale : a/ Questions préliminaires : j i y M (t) Le point M se déplace à vitesse angulaire constante ω sur le cercle de centre. Que représente l angle φ?... φ α M 0 (t=0) α est l angle que fait le vecteur M avec l ae à la date t. Donner son epression littérale en fonction de t et de constantes. α =.. Donner l epression littérale de l abscisse du point M à la date t en fonction de t et de constantes) =. Donner l epression littérale de l ordonnée y du point M à la date t, en fonction de t et de constantes) y =. b / Définition du vecteur de Fresnel : A tout vecteur M tournant à vitesse constante autour de, on peut associer une fonction sinusoïdale y représentant l ordonnée de l etrémité du vecteur tournant. Réciproquement, à toute fonction sinusoïdale y, on peut associer un vecteur dit vecteur de Fresnel tournant à vitesse angulaire constante ω autour du point. Ce vecteur est représenté dans la position qu il occupe à la date t=0, l ae de référence des phases étant l ae. y Vecteur de Fresnel : à t = 0 Echelle t = 0 M M Norme : (, M ) =..... φ ae de référence des phases Fonction sinusoïdale associée : y = A Lequitte ENCPB Année 006-007
c/ Applications : Représenter à l échelle les vecteurs de Fresnel suivantes : y = 4 sin (ω t 6 M, M, M associés au fonctions sinusoïdales 4 ) y =,5 sin (ω t - ) y = sin (ω t ) y en cm M Norme : (, M ) =..... M Norme :. (, M ) =..... M Norme :.. (, M ) =.... Pourquoi choisit-on de représenter le vecteur de Fresnel à la date t = 0?. A Lequitte ENCPB Année 006-007
I I / tilisation du vecteur de Fresnel pour les tensions et intensités de courant sinusoïdales: a/ Epression des tensions et intensités de courants sinusoïdau : Eemples : u = m sin (ω t ) = sin (ω t ) 6 6 i = I m sin (ω t) = I sin (ω t). Que représentent et I?... Représentation des vecteurs de Fresnel associés : et I t = 0 t = 0? ae de référence des phases ae de référence des phases (, ) =... Représenter le vecteur de Fresnel I sur le schéma de droite (longueur arbitraire) b/ Addition de deu tensions sinusoïdales : u u u = sin (ω t φ ) u = sin (ω t φ ) n cherche la tension u = u u à u on associe le vecteur de Fresnel tel que Norme : (, ) = ϕ ( à u on associe le vecteur de Fresnel tel que Norme : ((, ) = ϕ A Lequitte ENCPB Année 006-007
à u on associe le vecteur de Fresnel tel que = car u, u, et u sont les projections sur le même ae y des vecteurs et et si l on a u = u u on a aussi =. Norme : ( (, ) = φ n fait la somme géométrique des deu vecteurs et pour obtenir le vecteu r n en déduit u u = sin (ω t Φ ) φ φ Φ c/ applications : / n donne les tensions suivantes : u = 5 sin (00 t 4 ) en V u =,5 sin (00 t ) en V n demande à partir de la construction de Fresnel de déterminer, l epression de la tension sinusoïdale u= f (t) tel que : u = u u Puis toujours à partir de la construction de Fresnel, l epression de la tension sinusoïdale u = f (t) tel que u = u - u n utilisera du papier millimétré pour la construction et on précisera l échelle choisie / n donne les intensités de courant suivantes i = 0,06 sin (00 t ) en A i = 0,04 sin (00 t) en A Ecrire la loi des nœuds au nœud N. A partir de la construction de Fresnel, déterminer l epression de l intensité i = f (t) i N i i n utilisera du papier millimétré pour la construction et on précisera l échelle choisie. A Lequitte ENCPB Année 006-007 4
d/ tilisation d'ecel : / u =u u Ligne N, en se déplaçant d'une colonne à l'autre avec la touche tabulation, on écrit dans l'ordre t, u, u et u avec les unités entre parenthèses Dans la colonne A, ligne c'est à dire dans la cellule A, on écrit 0 dans la cellule A 0,00 A-A = 0,00 s T La période étant T =...ms, l'intervalle de temps séparant ces deu mesures est donc Δt = Pour répéter le même intervalle de temps entre deu mesures consécutives, on sélectionne ensemble les deu cellules A et A et on fait apparaître en bas à droite de la cellule A par un clic gauche une petite croi; on descend la colonne en maintenant la pression sur le bouton gauche. Les valeurs de t séparées par un intervalle constant s'affichent. Afficher un nombre de valeurs correspondant à deu ou trois périodes. Dans la cellule B, écrire l'epression de u =7*sin (4*A 0,785) Dans la cellule C, écrire l'epression de u = 4,95*sin (4*A-,046) Dans la cellule C, écrire l'epression de u = BC Remarque : pour éviter d'écrire le nom des cellules, il suffit de cliquer ( clic gauche) dans la cellule considérée; son nom s'affiche alors à côté du curseur A B C D t (s) u (V) u (V) u (V) 0 4,9477767 4,885874 9,65 0,00 6,57 4,8404978,07570 4 0,00 6,908 4,9667,86694 5 0,00 6,9477494 4,55467,44097 6 0,004 6,40,684679 9,9496949 7 0,005 4,9556566,485448 7,499884 8 0,006,86740,095856 4,595965 9 0,007,0550075-0,506008 0,59946995 0 0,008 -,0847785 -,006 -,0856406 0,009 -,665047 -,050696-6,469067 0,0-4,99886-4,7990-9,978694 0,0-6,09844-4,8877408 -,068975 4 0,0-6,97-4,94468 -,8579 5 0,0-6,9650055-4,5860547 -,44506 6 0,04-6,45755 -,68989704-9,9579 graphique : u =f (t) Sélectionner la colonne A, puis en appuyant sur la touche Ctrl, sélectionner aussi la colonne D La première colonne sélectionnée est l'abscisse, la deuième l'ordonnée. Cliquer sur l'icône graphique. Choisir nuages de points puis le graphique correspondant au courbes lissées. A Lequitte ENCPB Année 006-007 5
tilisation du graphique : sur le graphique relever la valeur de ma, puis celle de u 0 c'est à dire la valeur de la tension u à la date t = 0 u = ma sin (00 t φ) Ecrire la relation entre u 0 et φ. En déduire la valeur de φ Comparer les valeurs de ma et φ avec celles trouvées à partir de la construction de Fresnel. / Refaire le même travail pour les intensités de courant; déterminer la valeur maimale de i et sa phase initiale φ Comparer les résultats avec ceu trouvés avec la construction de Fresnel. A Lequitte ENCPB Année 006-007 6