Chapitre n 9 OSCILLATIONS DANS UN CIRCUIT RLC SÉRIE T ale S I- Décharge d un condensateur dans un dipôle RL 1 )Montage (Cf. le montage en annexe p.1) Après avoir chargé le condensateur en basculant l interrupteur en position, celui-ci est basculé en position afin de décharger le condensateur dans la bobine, d inductance L et de résistance interne r, et dans le conducteur ohmique de résistance R 2. 2 )Les trois régimes libres du circuit RLC a) Présentation Un circuit RLC est dit en régime libre Pour une valeur fixée d inductance L et de capacité C, la valeur de la résistance totale du circuit RLC détermine le régime du circuit observé : (Cf. un exemple d évolution de l intensité du courant électrique et de la tension aux bornes du condensateur lors de sa décharge en annexe p.1) b) Le régime pseudo-périodique Le régime pseudo-périodique est observé La tension aux bornes du condensateur tend vers après d autant plus d oscillations que la résistance R tot est La durée entre deux passages successifs par une valeur nulle, avec une pente de même signe, définit la des oscillations amorties. (Cf. le graphe u C = f(t) du régime pseudo-périodique en annexe p.2) Comme la tension aux bornes du condensateur, l intensité électrique varie au cours du temps. Mais Lorsque le condensateur est chargé (u C a une valeur extrême négative ou positive), le courant a une intensité Lorsque le condensateur est déchargé (une décharge est terminée, mais une autre charge va s amorcer à la polarité inversée) le courant a l intensité, négative ou positive selon le sens réel du courant par rapport à l orientation conventionnelle du circuit. (Cf. le graphe i = f(t) du régime pseudo-périodique en annexe p.2) c) Le régime apériodique Le régime apériodique est observé pour des fortes valeurs de résistance R tot : l amortissement des oscillations est important. La tension aux bornes du condensateur tend vers 0 sans aucune oscillation. (Cf. le graphe u C = f(t) du régime apériodique en annexe p.2) d) Le régime apériodique critique Le régime apériodique critique est observé lorsque la résistance R tot prend une valeur particulière : L R tot = 2.. C La durée nécessaire pour que la tension aux bornes du condensateur s annule avec la valeur la plus faible possible est obtenu lors de ce régime. (Cf. le graphe u C = f(t) du régime apériodique critique en annexe p.2) 3 )Équation différentielle du circuit RLC en régime libre A la fermeture de l interrupteur, le condensateur est supposé D après la loi d additivité des tensions : - 1 -
Or donc Or donc Rq. : Le terme traduit l amortissement des oscillations électriques, et sa valeur permet de définir les trois régimes cités précédemment. II- Oscillations non amorties d un circuit LC 1 )«Montage» (Cf. le montage en annexe p.3) Dans cette étude, le condensateur se décharge dans une inductance pure en l absence de conducteur ohmique. Il est en pratique impossible d observer d oscillations non amorties puisque le moindre fil électrique possède une résistance définie par : Ce «montage» n est donc qu un modèle théorique permettant l étude d un cas limite. 2 )Évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours du temps (Cf. le graphe u C = f(t) en annexe p.3) 3 )L équation différentielle a) Son établissement A la fermeture de l interrupteur, le condensateur est supposé D après la loi d additivité des tensions : Comme alors Comme alors b) Sa résolution L équation différentielle du second ordre en u C (t) à coefficients constants et sans second membre peut admettre comme solution générale : avec où ω 0 est appelée et T 0 leur A constitue, (ω 0.t + ϕ) leur et ϕ leur Déterminons l expression des constantes A et ϕ à l aide des conditions expérimentales initiales : à la fermeture de l interrupteur (à t = 0 s), le condensateur est supposé ( u C (0) = ) et l intensité du courant ( i(0) = ) - Sachant que l intensité du courant est définie par et la charge q par alors donc i(0) = = La solution de l équation différentielle s écrit alors : - Nous avons aussi : En tenant compte des conditions expérimentales initiales, la solution de l équation différentielle s écrit : où E est - 2 -
c) La période propre T 0 des oscillations La période propre correspond à la durée s écoulant entre deux passages successifs d une grandeur physique ( u C (t) ou i(t) ) par la même valeur et avec le même pente. L équation différentielle du circuit LC s écrit : Or donc donc Par comparaison des deux écritures, nous obtenons : Comme alors Comparaison avec la pseudo-période : Dans le cas d un amortissement des oscillations, la pseudo-période T est que la période propre T 0 des oscillations sinusoïdales, mais d autant plus proche que l amortissement est faible. Pour un amortissement négligeable, 4 )Évolution de l intensité électrique au cours du temps La tension aux bornes du condensateur évolue sinusoïdalement selon l équation : Nous avons montré ( 3 )b) ) que l intensité s exprimait par : ou (Cf. le graphe i = f(t) en annexe p.3) III- Étude énergétique 1 )Le circuit LC L énergie emmagasinée par le condensateur est définie par : Or donc L énergie emmagasinée par la bobine est définie par : Or donc Or donc L énergie totale du circuit LC s exprime par : pour toute date t (Cf. le graphe E = f(t) d un circuit LC en annexe p.4) Conclusion : - L énergie totale (Energie électromagnétique) du circuit LC est - Avant la fermeture de l interrupteur (t = ), le condensateur (étant chargé) est le seul dipôle à posséder de l énergie ( (E cond ) i = et E bob = ). - Après la fermeture de l interrupteur, la décharge du condensateur permet l établissement d un courant dans le circuit LC : - 3 -
- Lorsque le condensateur est déchargé (E cond = ), l intensité électrique est maximale (E bob = ) : toute cette énergie provient - La bobine restitue son énergie au condensateur jusqu à sa charge complète (avec une polarité inversée) et l annulation du courant ; nous avons à nouveau : (E cond ) = et E bob = - Le condensateur se décharge à nouveau en restituant son énergie à la bobine (le courant circule dans le sens inverse à celui de la première décharge) - La bobine restitue ensuite son énergie au condensateur jusqu à sa nouvelle charge complète avec la même polarité que lors de la fermeture de l interrupteur à t = 0 s. 2 )Le circuit RLC (Cf. les graphes E = f(t) d un circuit RLC pour deux amortissements différents en annexe p.4) Dans un circuit RLC, la diminution de l énergie totale du circuit est due et à : une partie de l énergie du circuit est cédée à l extérieur IV-Entretien des oscillations 1 )Principe de l entretien L étude énergétique du circuit RLC a montré que des pertes par effet Joule provoquait une diminution de son énergie totale. Entretenir les oscillations consiste L équation différentielle d un circuit RLC s écrivant :, la compensation des pertes énergétiques doit permettre d obtenir une équation différentielle du type où le dispositif se comporterait comme une résistance R 0 négative. Un montage électronique utilisant un Amplificateur Opérationnel permet d obtenir le résultat escompté. (Cf. le montage en annexe p.5) 2 )Caractéristiques des oscillations entretenues Les oscillations entretenues sont La période des oscillations entretenues est T = L énergie du circuit RLC entretenu est (Cf. les graphes u C = f(t) et E = f(t) d un circuit RLC entretenu en annexe p.5) - 4 -
. A N N E X E S. DÉCHARGE D UN CONDENSATEUR DANS UN DIPÔLE RL Le montage U = 12 V R 1 = 33 Ω C = 1000 µf L = 400 mh r = 2 Ω Un exemple de graphe i = f(t) R 2 = 15 Ω Un exemple de graphe u C = f(t) R 2 = 15 Ω - 5 -
Les trois régimes libres du circuit RLC Le régime pseudo-périodique R 2 = Le régime apériodique R 2 = Le régime apériodique critique R tot = R 2 = 2. L C Résumé - 6 -
LES OSCILLATIONS NON AMORTIES DU CIRCUIT LC Le montage K 1 K 2 C L Le graphe i = f(t) Le graphe u C = f(t) - 7 -
ETUDE ÉNERGÉTIQUE DES OSCILLATIONS LIBRES Energie de la bobine, du condensateur et du dipôle LC E (en mj) 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 E = f(t) Econd (mj) Ebob (mj) Etot (mj) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 t (en s) 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 E (en mj) Energie de la bobine, du condensateur et du dipôle RLC E = f(t) Faible amortissement (Régime pseudo-périodique) (R 2 = 3 Ω) Econd (mj) Ebob (mj) Etot (mj) t (en s) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 E (en mj) 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 E = f(t) Econd (mj) Ebob (mj) Etot (mj) t (en s) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-8 - Fort amortissement (Régime apériodique) (R 2 = 100 Ω)
ENTRETIEN DES OSCILLATIONS Le montage Le graphe u C = f(t) Energie de la bobine, du condensateur et du dipôle RLC E (en mj) 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 E = f(t) Econd (mj) Ebob (mj) Etot (mj) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 t (en s) - 9 -