1 ère STMG Activité n 5

1 ère STMG Activité n 5 Suites numériques Exercice 1 On définit la suite (u n ) par une relation de la forme u n = f(n). Déterminer dans chacun des cas suivants les cinq premiers termes de la suite. Pour tout n N, u n = 2 3n. Pour tout n N, u n = 1 3n. Pour tout n N, u n = (0,2) n. Pour tout n N, u n = 1+3n. Exercice 2 Calculer les termes u 1, u 2, u 3 et u 4 de chacune des suites arithmétiques suivantes : u 0 = 4 et r = 2 u 0 = 12 et r = 25 u 0 = 9 et r = 0,6 u 0 = 400 et r = 78 u 1 u 2 u 3 u 4 Sens de variation Exercice 3 Calculer les termes u 1, u 2, u 3 et u 4 de chacune des suites géométriques suivantes : u 0 = 4 et q = 2 u 0 = 12 et q = 3 u 0 = 9 et q = 0,01 u 0 = 400 et q = 1,05 u 1 u 2 u 3 u 4 Sens de variation Exercice 4 On considère la suite (u n ) définie par récurrence par : u 0 = 5 et u n+1 = 2u n 1. 1. Déterminer u 1, u 2 et u 3. 2. Pour pouvoir calculer les termes suivants, on s intéresse à l algorithme suivant. 1 ère STMG Activité n 5 1

Effacer l écran u=5 Saisir n Pour i allant de 1 jusqu à n, u = 3 u - 1 Fin de boucle pour Afficher u (a) Corriger l erreur qui s est glissée à l intérieur de cet algorithme. (b) Déterminer à l aide de cet algorithme u 7 et u 8. (c) Déterminer le premier entier n à partir duquel u n > 10 4. (d) Que se serait-il passé pour la suite si u 0 avait été égal à 1? Exercice 5 Soit (b n ) la suite arithmétrique de raison 3 telle que b 1 = 0,4. Calculer b 0, et b 10. Exercice 6 Soit (a n ) la suite arithmétrique de raison 1 2 telle que a 7 = 12. Calculer a 6, a 5, puis a 0. Exercice 7 (a n ) est la suite géométrique de raison 1,05 telle que a 2 = 220,5. Calculer a 0. Exercice 8 Soit (u n ) la suite définie pour tout entier n par : u n = 1 2n 1. Montrer que pour tout entier n, u n+1 = 1 2n. 2. Démontrer alors u n+1 u n est un nombre indépendant de n. 3. Que peut-on en déduire pour la suite (u n )? Quel est son sens de variation? Exercice 9 (v n ) est la suite définie par v 0 = 2 et pour tout n N, u n = 2u n+1. 1. Démontrer que (u n ) est une suite géométrique. 2. Quel est le taux d évolution entre u n et u n+1? 3. Déterminer le sens de variation de (u n ). 1 ère STMG Activité n 5 2

Exercice 10 La figure ci-dessous donne la représentation graphique d une suite arithmétique (u n ) de premier terme u 1 et de raison r. 1. Déterminer graphiquement u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 et r. 2. Calculer u 9. 3. Déterminer le sens de variation de la suite (u n ). 5 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 4 3 2 1 2 1 1 2 3 4 5 6 Exercice 11 1. Soit (u n ) la suite arithmétique telle que u 0 = 2 et de raison r = 4. Déterminer u 2012. 2. Soit (v n ) la suite géométrique telle que v 0 = 1 et de raison r = 1,1. Déterminer v 2012. Exercice 12 Dans les questions suivantes exactement une proposition est exacte. A vous de la trouver en argumentant. Soit une suite (v n ) dont on connait les termes suivants : u 4 = 12, u 5 = 6 et u 6 = 3. (v n ) est une suite arithmétique (v n ) est une suite décroissante (v n ) est une suite géométrique Soit une suite arithmétique (u n ) de raison -4 et telle que u 8 = 5. u 0 est négatif u 0 est positif u 0 est plus petit que u 8 Une population de bactéries croît de 5% par heure. On peut modéliser celle-ci par : 1 ère STMG Activité n 5 3

une suite géométrique de raison 1,05 une suite géométrique de raison 5 une suite arithmétique de raison 5 Exercice 13 Une population de bactéries augmente de 40% toutes les heures. Il y a 200000 bactéries au départ. Calculer le nombre de bactéries au bout de 10 heures en arrondissant à l unité. Exercice 14 En 2010 le Bielokistan a fabriqué deux millions de bicyclettes pour la consommation intérieure et 250 000 pour l exportation. On estime que depuis quelques années, la demande intérieure augmente de 10% par an et la demande extérieure de 32%. 1. Combien de bicyclettes ont été fabriquées en 2009. 2. Selon ce modèle, combien de bicyclettes ont-elles été fabriquées en 2007? 3. Même question, mais pour 2015. 4. Au bout de combien d années les exportations dépasseront-elles la consommation intérieure. Exercice 15 En juin 2009, un automobiliste souhaite acheter un véhicule neuf. Pour cela, il décide de contracter un emprunt de 9200 euros auprès de sa banque. La banque lui envoie une proposition de prêt d une durée de 24 mois au taux mensuel de 0,5 %. Il reçoit le tableau d amortissement suivant, c est-à-dire le tableau indiquant le montant des mensualités que devra verser l emprunteur ainsi que le détail des intérêts, du capital remboursé et du capital restant dû. 1 ère STMG Activité n 5 4

A B C D E F 1 Taux d intérêt mensuel 0,5 % 2 Échéance Date Mensualité Dont n o intérêts Dont capital remboursé Capital restant dû 3 9200,00 = C 4 1 01/07/09 407,75 = C 46,00 = C 361,75 = C 8838,25 = C 5 2 01/08/09 407,75 = C 44,19 = C 363,56 = C 8474,69 = C 6 3 01/09/09 407,75 = C 42,37 = C 365,38 = C 8109,31 = C 7 4 01/10/09 407,75 = C 40,55 = C 367,20 = C 7742,11 = C 8 5 01/11/09 407,75 = C 38,71 = C 369,04 = C 7373,07 = C 9 6 01/12/09 407,75 = C 36,87 = C 370,88 = C 7002,19 = C 10 7 01/01/10 407,75 = C 35,01 = C 372,74 = C 6629,45 = C 11 8 01/02/10 407,75 = C 33,15 = C 374,60 = C 6254,85 = C 12 9 01/03/10 407,75 = C 31,27 = C 376,48 = C 5878,37 = C 13 10 01/04/10 407,75 = C 29,39 = C 378,36 = C 5500,01 = C 14 11 01/05/10 407,75 = C 380,25 = C 5119,76 = C 15 12 01/06/10 407,75 = C 25,60 = C 382,15 = C 4737,61 = C 16 13 01/07/10 407,75 = C 23,69 = C 384,06 = C 4353,55 = C 17 14 01/08/10 407,75 = C 21,77 = C 385,98 = C 3967,57 = C 18 15 01/09/10 407,75 = C 19,84 = C 387,91 = C 3579,66 = C 19 16 01/10/10 407,75 = C 17,90 = C 389,85 = C 3189,81 = C 20 17 01/11/10 407,75 = C 15,95 = C 391,80 = C 2798,01 = C 21 18 01/12/10 407,75 = C 13,99 = C 393,76 = C 2404,25 = C 22 19 01/01/11 407,75 = C 12,02 = C 395,73 = C 2008,52 = C 23 20 01/02/11 407,75 = C 10,04 = C 397,71 = C 1610,81 = C 24 21 01/03/11 407,75 = C 8,05 = C 399,70 = C 1211,11 = C 25 22 01/04/11 407,75 = C 6,06 = C 401,69 = C 809,42 = C 26 23 01/05/11 407,75 = C 4,05 = C 403,70 = C 405,72 = C 27 24 01/06/11 407,75 = C 2,03 = C 405,72 = C 0,00 = C 28 Total 9786,00 = C 586,00 = C 9200,00 = C Attention : le contenu de la cellule D14 a été volontairement caché. Exemple de lecture (ligne n o 7) : La 4 e mensualité sera payable le 01/10/09. Son montant sera de 407,75 C =, dont 40,55 C = d intérêts, 367,20 C = de remboursement du capital emprunté. Avant le paiement de cette mensualité, le capital restant dû était de 8109,31 C =. Après le paiement de cette mensualité, le capital restant dû sera de 7742,11 C =. Partie A 1. Les intérêts de chaque mois représentent 0,5 % du capital restant dû le mois précédent. On a placé ce taux d intérêt mensuel dans la cellule D1, au format pourcentage. Pour calculer les intérêts, on a saisi dans la cellule D4 la formule =D$1*F3 que l on a recopiée vers le bas jusqu à la cellule D27. (a) Quelle formule contient la cellule D14? 1 ère STMG Activité n 5 5

(b) Quelle valeur (arrondie au centime) contient la cellule D14? 2. Pour chaque mois, le capital remboursé est calculé à partir du montant de la mensualité et des intérêts. Quelle formule, faisant intervenir C4 et D4, a-t-on saisie dans la cellule E4 et recopiée vers le bas jusqu à la cellule E27? 3. Pour chaque mois, le capital restant dû est calculé à partir du capital restant dû le mois précédent et du montant du capital remboursé. La cellule F3 contient le montant initial du prêt. Quelle formule parmi les quatre suivantes a-t-on saisie dans la cellule F4 et recopiée vers le bas jusqu à la cellule F27? =F3 C4 =F$3 C4 =F3 E4 =F$3 E4 4. Quelle formule, saisie dans la cellule C28 et recopiée vers la droite jusqu à la cellule E28 permet de calculer les totaux par colonne? 5. À quel pourcentage du capital emprunté (arrondi à 0,1 %), le total des intérêts payés correspond-il? Partie B Après un examen attentif du tableau d amortissement, l automobiliste émet l hypothèse que les valeurs de la colonne E (que l on appellera dans la suite «capital remboursé») ont une croissance exponentielle. Pour tout entier n entre 1 et 24, on note u n le capital remboursé lors de l échéance n. On a donc u 1 = 361,75. On suppose que chaque mois, le montant du capital remboursé augmente de 0,5 % 1. Montrer que u n+1 = 1,005 u n pour tout entier n entre 1 et 23. 2. Quelle est la nature de la suite (u n )? 3. Retrouver par le calcul, la valeur u 18 (arrondie au centime). 1 ère STMG Activité n 5 6