Probabilités I Rappels sur les variables aléatoires discrètes Définition Définition On considère E l ensemble des résultats possibles d une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire discrète X sur cet ensemble c est associer un nombre réel à chacun des résultats de l expérience aléatoire. Une variable aléatoire discrète est donc une application de l ensemble E dans l ensemble R. La variable aléatoire est dite finie lorsqu elle prend un nombre fini de valeurs que l on note souvent x, x 2,, x n. Le fait que X prenne la valeur x i est un événement que l on note (X = x i ). Exemple : On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de à. Si on obtient un numéro entre et 4 on gagne un nombre d euros correspondant au numéro sorti; si on obtient le numéro 5 ou le numéro, on perd deux euros. On note G la fonction qui au résultat de notre lancer associe notre gain. G est alors une variable aléatoire discrète. Les valeurs prises par G sont, 2, 3, 4 et 2. 2 Loi de probabilité Définition 2 Donner la loi de probabilité d une variable aléatoire X c est donner toutes les valeurs x, x 2,, x n que prend X et pour chacune de ces valeurs calculer la probabilité P(X = x i ). Remarque : On donnera souvent le résultat final sous forme d un tableau contenant deux lignes : dans la première lignes les valeurs x, x 2,, x n et dans la deuxième ligne les valeurs de P(X = x i ). On pensera à vérifier que la somme de toutes les valeurs de la deuxième ligne du tableau est égale à. Exemple 2: Déterminons la loi de probabilité de la variable aléatoire G définie dans l exemple précédent. Les valeurs prises par G sont, 2, 3, 4 et 2. L événement (G = ) correspond au fait d obtenir à notre lancer de dé. Donc P(G = ) =. L événement (G = 2) correspond au fait d obtenir 2 à notre lancer de dé. Donc P(G = 2) =. L événement (G = 3) correspond au fait d obtenir 3 à notre lancer de dé. Donc P(G = 3) =. L événement (G = 4) correspond au fait d obtenir 4 à notre lancer de dé. Donc P(G = 4) =. L événement (G = 2) correspond au fait d obtenir 5 ou à notre lancer de dé. Donc P(G = 2) = 2 = 3. Cours Page Probabilités
En conclusion la loi de probabilité de G est : valeur prise par G 2 3 4-2 probabilité 3 3 Espérance Définition 3 L espérance d une variable aléatoire X, notée E(X), est la moyenne des valeurs prises par X pondérées par leurs probabilités. Si les valeurs prises par X sont x, x 2,, x n on a : E(X) = x P(X = x )+x 2 P(X = x 2 )+ +x n P(X = x n ) Exemple 3: Calculons l espérance de la variable aléatoire G. E(G) = +2 +3 +4 +( 2) 3 = 4 Loi de Bernoulli Définition 4 Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n a que deux résultats possible. Ces deux résultats sont alors appelé succès et échec. Définition 5 On dit qu une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p lorsque les valeurs prises par X sont 0 et et que l on a P(X = ) = p et P(X = 0) = p. On note alors q = p. Remarque : Une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli est toujours associée à une épreuve de Bernoulli pour laquelle X prend la valeur en cas de succès et la valeur 0 en cas d échec. p est alors la probabilité d obtenir un succès. Propriété Si X suit la loi de Bernoulli de paramètre p alors E(X) = p. 5 Loi binomiale Définition Lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes, et dont la probabilité de succès est égal à p, on définit la variable aléatoire X qui est égale au nombre de succès obtenus à la fin des n épreuves. La loi de probabilité de la variable aléatoire X s appelle la loi binomiale de paramètres n et p. On dit aussi que X suit la loi B(n,p). Cours Page 2 Probabilités
Propriété 2 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p. Les valeurs prises par X sont 0,,, n et : ( ) n pour tout k {0;; ;n} P(X = k) = p k q n k où q = p k Exemple 4: Un urne contient 80 billes rouges et 20 billes vertes. On prélève 5 fois de suite, avec remise, une bille de l urne. Quelle est la probabilité d obtenir 3 billes rouges? La probabilité d obtenir au moins une bille rouge? Chaque tirageestune épreuvedebernoullidontlesuccèsestl événement obtenir une billerouge qui est de probabilité 0,8. On définit la variable aléatoire X égale au nombre de bille rouges obtenues après 5 tirages. X suit la loi binomiale de paramètres 5 et 0,8. ( ) 5 On peut maintenant calculer P(X = 3) = 0,8 3 0,2 2 = 0,2048. 3 La probabilité d obtenir 3 billes rouges est égale à 0, 2048. La probabilité d obtenir au moins une bille rouge peut s écrire P(X ). Le plus astucieux( pour ) calculer cette probabilité est de remarquer que P(X ) = P(X = 0). 5 Or P(X = 0) = 0,8 0 0,2 5 = 0,00032. 0 Donc P(X ) = 0,9998. La probabilité d obtenir au mois une bille rouge est égale à 0,9998. Propriété 3 Si X suit la loi B(n,p) alors E(X) = np. Exemple 5: Dans l expérience précédente on gagne 2 euros pour chaque bille rouge prélevée et on perd euros pour chaque bille verte prélevée. Quelle est le gain moyen que l on peut espérer lors de cette expérience. Notons G le gain obtenu pour une expérience. X représente toujours le nombre de billes rouges obtenues. On a donc G = 2 X +( ) (5 X) = 3X 5. Ainsi, E(G) = 3E(X) 5. Or, comme X suit la loi B(5;0,8), on a E(X) = 5 0,8 = 4. Pour finir E(G) = 3 4 5 = 7. Le gain moyen est de 7 euros. Cours Page 3 Probabilités
II Probabilité conditionnelle Définition Définition 7 Soit E l ensemble des résultats possibles d une expérience aléatoire. On considère A un événement de probabilité non nulle (P(A) 0) et B un événement quelconque. La probabilité de B sachant que A est réalisé se note P A (B). Elle est donnée par : P A (B) = P(A B) P(A) Remarques : On peut déduire de la définition P(A B) = P(A) P A (B). P(B A) Si P(B) 0, on peut aussi écrire P B (A) = et donc P(B A) = P(B) P B (A) P(B) Comme P(A B) = P(B A) on a P(A) P A (B) = P(B) P B (A) Le but de vos exercices est de vous faire jouer avec toutes ces égalités. Exemple : Un sachet de 00 bonbons contient 40 bonbons acidulés, les autres bonbons sont à la guimauve. 8 des bonbons à la guimauve sont au parfum orange et 0 bonbons sont acidulés et au parfum orange. Les bonbons qui ne sont pas au parfum orange sont à la fraise. On choisit un bonbon au hasard dans ce sachet. On note : A l événement le bonbon est acidulé. G l événement le bonbon est à la guimauve. F l événement le bonbon est à la fraise. O l événement le bonbon est à l orange. Grâce à l énoncé on peut donner : P(A) = 40 0 = 0,4 P(G) = 00 00 = 0, P(A O) = 0 = 0, 00 8 P(G O) = 00 = 0,8 P(A F) = 30 = 0,3 00 42 P(G F) = 00 = 0,42 P A (O) = 0 40 = 4 = 0,25 P G(O) = 8 0 = 3 0 = 0,3 P A (F) = 30 40 = 0,75 = P A(O) P G (F) = 42 0 = 0,7 = P G(O) Pour calculer des probabilités comme P(F) ou P(O) l idéal est de représenter l expérience sous forme d un arbre. Cours Page 4 Probabilités
2 Arbre pondéré Dans certains cas, il s avère utile de traduire une situation ou de modéliser une expérience aléatoire par un arbre. Lorsqu on indique sur l arbre les probabilités des événements considérés on dit que l on construit un arbre pondéré ou un arbre de probabilité. Voici l arbre correspondant à l exemple précédent : P(G) = 0, G P G (O) = 0,3 P G (F) = 0,7 O G O P(G O) = 0, 0,3 = 0,8 F G F P(G F) = 0, 0,7 = 0,42 Bonbon P(A) = 0,4 O A O P(A O) = 0,4 0,25 = 0, P A (O) = 0,25 A P A (F) = 0,75 F A F P(A F) = 0,4 0,75 = 0,3 Le premier niveau de l arbre précise les deux type possibles (guimauve ou acidulé) du bonbon. On indique sur les branche du premier niveau issues du nœud de départ les probabilités correspondantes aux deux événements A et G. Le deuxième niveau de l arbre indique les parfums possibles sachant le type du bonbon. Ce deuxième niveau est composé dedeux branches issues dunœud Get deux branches issues du nœuda. Les probabilité que l on indique sur les branches menant à ce deuxième niveau sont des probabilités conditionnelles. Après ce dernier niveau, on indique les feuilles de l arbre qui prennent en compte tous les événements qui ont eu lieu. Cet arbre a donc 4 feuilles qui sont les événements G O, G F, A O et A F. Une succession de branches est appelée un chemin. Chaque chemin mène à une feuille. Les feuilles d un arbres doivent décrire toutes les possibilités liées à l expérience. Toutes les feuilles d un arbre ne sont pas nécessairement situées sur un même niveau. Voici les propriétés qui vous permettront de compléter vos arbres : Propriété 4 La probabilité d une feuille est le produit des probabilités indiquées sur les branches du chemin qui aboutit à cette feuille. La somme des probabilités indiquées sur les branches issues d un même nœud est égale à. La probabilité d un événement associé à plusieurs feuilles est égale à à la somme des probabilités de chacune de ces feuilles. (Cette troisième propriété s appelle la formule des probabilités totales) Cours Page 5 Probabilités
Exemple 7: Grâce à l arbre construit dans l exemple précédent on peut donner : P(O) = P(G O)+P(A O) = 0,8+0, = 0,28 P(F) = P(G F)+P(A F) = 0,42+0,3 = 0,72 Cela peut ensuite permettre de répondre à la question suivante : le bonbon que l on a choisi est à la fraise, quelle est la probabilité qu il soit acidulé? P(F A) On veut donc calculer P F (A). D après le cours P F (A) = et donc grâce à l arbre et au calcul P(F) précédent : P F (A) = 0,3 0,72 = 5 2 Exemple 8: Prenons l exercice page 80. On note : EU : l événement le stage est aux États-Unis. E : l événement le stage est en Europe. A : l événement le stage est en Asie. AL : l événement le stage est en Amérique Latine. R : l événement le stage est rémunéré. L énoncé nous demande de calculer P R (A). Voici tout d abord l arbre correspondant à la situation : EU 0,2 0,8 R EU R P(EU R) = 0,45 0,2 = 0,09 R EU R P(EU R) = 0,45 0,8 = 0,3 Stage 0,45 0,3 0,5 0, E A 0,25 0,75 0,3 0,7 R E R P(E R) = 0,3 0,25 = 0,075 R E R P(E R) = 0,3 0,75 = 0,225 R A R P(A R) = 0,5 0,3 = 0,045 R A R P(A R) = 0,5 0,7 = 0,05 AL 0,2 0,8 R AL R P(AL R) = 0, 0,2 = 0,02 R AL R P(AL R) = 0, 0,8 = 0,08 Cela nous permet de calculer P(R) : P(R) = P(EU R)+P(E R)+P(A R)+P(AL R) = 0,09+0,075+0,045+0,02 = 0,23 Et donc P R (A) = P(R A) P(R) = 0,045 0,23 = 9 4 0,20. Cours Page Probabilités