NOM : NOTES DE COURS MODULE 7 : LES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 7.1 Rappel Probabilité d un événement : P (A) = Nombre de résultats favorables Nombre de résultats possibles Ex : Sur un dé à 6 faces, Dans un jeu de 52 cartes, Événements compatibles : qui Événements qui comportent des résultats en commun et peuvent ainsi se réaliser en même temps. Ex : Dé Jeu Événements incompatibles : Événements qui ne comportent aucun élément en commun ou mutuellement exclusifs et qui ne peuvent donc pas se réaliser en même temps. Ex : Dé Jeu Événements complémentaires : Événements qui ne possèdent pas d'éléments communs (incompatibles) et dont leur réunion corresponde à l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Synonyme d'événements contraires. L'événement complémentaire d'un événement E est noté E'. On a ainsi E E' = Ω (Ω représente l univers des possibles) Ex : Dé Jeu 1
Dans les expériences aléatoires à plusieurs étapes : Événements dépendants : Événements tels que la réalisation ou la non réalisation de l'un affecte la probabilité de la réalisation de l'autre. Ex : expérience aléatoire : Événements Événements indépendants : Événements tels que la réalisation ou la non réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de la réalisation de l'autre. Ex : expérience aléatoire : Événements Exemples : 1. Les événements associés aux situations décrites ci-dessous sont-ils dépendants ou indépendants? a) Dans un groupe de 10 personnes, on tire successivement et sans remise le nom de deux personnes. b) En lançant successivement deux dés, on s intéresse à la probabilité qu ils donnent tous les deux le même résultat. 2. On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Parmi les événements ci-dessous, lesquels sont mutuellement exclusifs? A : Tirer un as. B : Tirer une carte rouge. C : Tirer une figure. 2
7.1 Rappel : Les fractions L addition et la soustraction de fractions : 1. Effectue les opérations suivantes. a) b) c) d) e) f) La multiplication des fractions : 2. Effectue les multiplications suivantes. a) b) c) La division des fractions : 3. Effectue les divisions suivantes. a) b) c) d) 3
7.2 Probabilités conditionnelles Définition : La probabilité conditionnelle est la probabilité qu un événement A se produise sachant qu un autre événement B s est déjà produit. Exemple Voici deux événements, dans un jeu de cartes de 52 cartes : A : Piger une carte de cœur. B : Piger une carte rouge. On s intéresse à la probabilité de tirer une carte de cœur dans un jeu de 52 cartes sachant que la carte pigée est rouge. Notation : La probabilité de A, sachant B : P B (A) ou P(A/B) Dans l exemple, cette probabilité vaut : P (A/B) = Formule : On peut faire le raisonnement suivant : P(A/B) = P (A B) où P(A) 0 P(B) Modes de représentation : Tableau à double entrée, Diagramme de Venn et Diagramme en arbre A) Tableau à double entrée On utilise le tableau à double entrée lorsqu il y a dénombrement dans la situation. Exemple 1 : Le tableau à double entrée suivant présente les préférences des 32 élèves de la classe pour l activité d hiver. Les sports de glisse Ski alpin Planche à neige Garçons 5 9 Filles 10 8 b) Si l ont choisit une personne au hasard et qu il s agit d une fille, quelle est la probabilité qu elle préfère la planche à neige? a) Si l ont choisit une personne au hasard et qu il s agit d une personne qui préfère la planche à neige, quelle est la probabilité qu elle soit un garçon? 4
Exemple 2 : Le tableau ci-dessous représente les gens assistant à une conférence. Hommes Femmes Total 18 ans ou plus 36 64 Moins de 18 ans 34 Total 62 144 À leur sortie de la salle on choisit une personne au hasard. a) Quelle est la probabilité que la personne choisie soit une femme? b) Quelle est la probabilité qu il s agisse d une personne de sexe masculin de moins de 18 ans? c) Quelle est la probabilité, sachant que la personne choisie est de sexe masculin, qu elle ait moins de 18 ans? d) Si l on sait que la personne choisie est âgée de 18 ans ou plus, quelle est la probabilité qu il s agisse d une femme? e) Quelle est la probabilité que la personne choisie soit une femme âgée de 18 ans ou plus sachant que la personne pigéest un homme? 5
B) Diagramme de Venn Un diagramme de Venn permet de représenter graphiquement des relations entre des ensembles. En probabilité, chaque ensemble correspond généralement aux résultats qui satisfont un événement donné. La réunion de deux ensembles, notéea B (lire A union B), est l ensemble formé des éléments qui appartiennent à A ou à B. L intersection de deux ensembles A et B, notée A B (lire A inter B), est l ensemble formé des éléments qui appartiennent à A à B. Exemple 1 : On lance un dé à 10 faces numérotées de 1 à 10. Voici deux événements possibles : Événement A : Obtenir un nombre supérieur à 5. {6, 7, 8, 9, 10} Événement B : Obtenir un nombre pair. {2, 4, 6, 8, 10} Réunion Inter secti on Exemple 2 : On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. Voici deux événements possibles : Événement A : Obtenir un nombre impair. Événement B : Obtenir un nombre supérieur à 2. Quelle est la probabilité d obtenir un nombre impair sachant que la face supérieure du dé montre un nombre supérieur à 2? 6
Exemple 3 : Le diagramme ci-contre représente les inscriptions à trois activités, enregistrées au Service des loisirs d une ville. a) Si l on choisit une personne au hasard parmi toutes celles inscrites, quelle est la probabilité que cette personne soit inscrite en natation? b) Si l on choisit une personne au hasard parmi toutes celles inscrites, quelle est la probabilité que cette personne soit inscrite en natation et en informatique? c) Si l on choisit une personne au hasard parmi celles inscrites en natation, quelle est la probabilité que cette personne soit aussi inscrite à l activité de théâtre? d) Si l on choisit une personne au hasard parmi celles inscrites en natation et en théâtre, quelle est la probabilité que cette personne soit aussi inscrite en informatique? e) Parmi les personnes inscrites à plus d une activité, quelle est la probabilité que cette personne soit inscrite à trois activités? 7
C) Diagramme en arbre On utilise l arbre de probabilités dans les situations oùl expérience aléatoire comporte plusieurs étapes. Exemple : Dans une boîte contenant 3 billes rouges et 2 billes bleues, on tire une bille au hasard. Puis on effectue un second tirage, sans avoir remis la première bille dans la boîte. La situation peut être représentée à l aide du diagramme en arbre suivant. Résultats Probabilités a) Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue et une bille rouge? b) Quelle est la probabilité de tirer deux billes bleues? c) Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue au second tirage? d) Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge au second tirage? e) Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue au 2 e tirage, sachant qu on a tiré une bille bleue au 1 er tirage? 8