Unité de cours Probabilités - Exercices corrigés Chapitre : Concepts et Bases élémentaires en probabilité Exercice 8 : Edwige a proposé à Albert et Berthe de venir jouer aux cartes ce soir avec elle. Elle sait qu'il y a 2 chances sur 3 qu'albert vienne, et 2 chances sur 3 que Berthe vienne, mais seulement sur 2 qu'ils viennent ensembles car ils ne s'apprécient pas beaucoup. A : «Albert vient jouer aux cartes». B : «Berthe vient jouer aux cartes». P(A) = P(B) = 2 3 et P(A \ B) = 2. Quelle est la probabilité que l'un des deux au moins vienne? P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B) = 2 3 + 2 3 2 = 5 6 Afin de diminuer le risque de faire une réussite seule, Edwige propose aussi à Carlos de venir jouer. Elle sait qu'il vient 9 fois sur, mais elle estime qu'il n'y a qu'une chance sur qu'il vienne si Albert ou Berthe vient, ou les deux, car il n'aime par jouer avec eux. C : «Carlos vient jouer aux cartes». P(C) = et P(C \ (A [ B)) = 2. Cette dernière estimation est-elle cohérente? P(C [ (A [ B)) = P(C) + P(A [ B) P(C \ (A [ B)) = 9 + 5 6 = 49 30 > Incohérent! Quelle est en réalité la probabilité minimale que Carlos vienne en même temps qu'albert ou Berthe ou les deux? Au minimum : P(C [ (A [ B)) = donc : P(C \ (A [ B)) = P(C) + P(A [ B) P(C [ (A [ B)) = 9 + 5 6 = 5 Exercice 2 (Probabilités composées) Soit une urne contenant 6 boules blanches et 4 boules rouges. Quelle est la probabilité de la suite «blanc, blanc, rouge» si l on tire sans remise? (définir l espace de probabilité, utiliser la formule des probabilités composées et les événements B i = {la i ème boule est blanche}. P(B \ B 2 \ B 3 ) = P(B )P(B 2 jb )P(B 3 jb \ B 2 ) = 6 5 9 4 8 = 6
Exercice 5 Deux joueurs de tennis Arthur et Bernard se livrent une partie. On utilise les règles habituelles du tennis ; le score de chaque joueur passe par 0, 5, 30, 40 à chaque point remporté ; lorsque les deux joueurs atteignent 40/40, on applique la règle d égalité-avantage qui veut qu un joueur soit gagnant s il acquiert deux point d avance. On suppose que tous les points sont perdus ou gagnés de manière indépendante et que la probabilité de gagner un point pour Arthur est p.. On suppose que les deux joueurs arrivent à égalité 40/40. Quelle est la probabilité qu Arthur gagne le jeu sachant cette égalité? Indication : On considère les événements suivants R : «Arthur gagne» et W i : «Arthur gagne le i ème point» pour i, i et on utilise la formule des probabilités avec le système complet formé à partir de : W W2, W, W, W. P(R) = P(RjW \W 2 )P(W \W 2 )+P(RjW \W 2 )P(W \W 2 )+P(RjW \W 2 )P(W \W 2 )+ P(RjW \ W 2 )P(W \ W 2 ) Si Arthur gagne les deux premiers points alors il gagne le jeu : P(RjW \ W 2 ) = Si Arthur gagne le er point et perd le second (ou le contraire) alors on revient à égalité : P(RjW \ W 2 ) = P(RjW \ W 2 ) = P(R) Si Arthur perd les deux premiers points alors il perd le jeu : P(RjW \ W 2 ) = 0 P(R) = P(W \ W 2 ) + P(R)P(W \ W 2 ) + P(R)P(W \ W 2 ) + 0 P(W \ W 2 ) W et W 2 sont indépendants donc P(W \ W 2 ) = P(W )P(W 2 ) Donc : P(R) = P(W )P(W 2 ) + P(R)P(W )P(W 2 ) + P(R)P(W )P(W 2 ) P(R) = p p + P(R) p ( p) + P(R) p ( p) P(R) = p 2 2p( p) 2. On reprend le jeu au début. Quelle est la probabilité pour qu Arthur gagne le jeu? On note G : «Arthur gagne le jeu». Indication : On considère les événements suivants : A k : «Arthur gagne le jeu et Bernard a k points» et A e = {Arthur gagne le jeu après égalité 40/40}. Utiliser la réunion des ensembles A 0, A, A 2 et A e. P(G) = P(A 0 ) + P(A ) + P(A 2 ) + P(A e ) P(A 0 ) = p 4 Arthur gagne les 4 premiers points. P(A ) = C4 ( p)p4 = 4( p)p 4 Jeu en 5 points Arthur perd point parmi les 4 premiers et gagne les 4 autres (dont le dernier) P(A 2 ) = C5 2( p)2 p 4 = ( p) 2 p 4 Jeu en 6 points Arthur perd 2 points parmi les 5 premiers et gagne les 4 autres (dont le dernier) Soit l événement E : «les 2 joueurs arrivent à 40/40». P(A e ) = P(A e je)p(e) = P(R)P(E) P(E) = C6 3( p)3 p 3 = 20( p) 3 p 3 Jeu en 6 points Arthur perd 3 points parmi les 6 premiers et gagne les 3 autres P(A e ) = 20p5 ( p) 3 2p( p) Donc P(G) = p 4 + 4( p)p 4 + ( p) 2 p 4 + 20p5 ( p) 3 2p( p) 2
Exercice 6 (Annales Partiel Octobre 2007) Un sondage en Licence d informatique a donné les résultats suivants : a) 2/3 des étudiants disent aimer les maths, parmi eux : 70% préfèrent un examen sans documents, 20% sont pour l interdiction de fumer. b) /3 des étudiants disent ne pas aimer les maths : 20% préfèrent un examen sans documents, 90% sont pour l interdiction de fumer. On appelle M, D et F les événements suivants : M = {aimer les maths} D = {préférer un examen sans documents} F = { être pour l interdiction de fumer } et M, D et F les événements contraires. Sachant qu un étudiant aime les maths, les événements D et F sont indépendants. De même sachant qu un étudiant n aime pas les maths, les événements D et F sont indépendants. - Donner l ensemble O. Après avoir rappelé la définition d une tribu, indiquer une tribu (évidente) à laquelle appartiennent les événements M, D et F. Cf. cours. 2- En traduisant les hypothèses, calculer P(M), P(D M), P(F M), P( M ), P( D M), P( F M), P( D M ), P(D M ), P( F M ) et P(F M ). P(M) = 2 3 et P(M) = 3 P(DjM) = 7 et P(DjM) = 3 P(F jm) = 5 et P(F jm) = 4 5 P(DjM) = 5 et P(DjM) = 4 5 P(F jm) = 9 et P(F jm) = 3- Sachant que l étudiant e préfère un examen sans document et qu il est pour l interdiction de fumer, quelle est la probabilité que cet étudiant aime les maths? Hypothèses : P(D \ F jm) = P(DjM)P(F jm) et P(D \ F jm) = P(DjM)P(F jm). P(D \ F jm)p(m) P(DjM)P(F jm)p(m) P(MjD \ F) = = P(D \ F) P(D \ F) P(D \ F) = P(D \ F \ M) + P(D \ F \ M) = P(D \ F jm)p(m) + P(D \ F jm)p(m) P(D \ F) = P(DjM)P(F jm)p(m) + P(DjM)P(F jm)p(m) P(D \ F) = 7 2 2 3 + 5 9 3 = 23 50 7 P(MjD \ F) = 5 2 3 23 = 4 23 50 3
Exercice 7 (Annales Partiel Octobre 20) Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6% sont défectueux. Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n est cependant pas parfaite. Cette unité de contrôle rejette 98% des lecteurs MP3 défectueux et 5% des corrects. Soit Ω un ensemble de MP3 fabriqués qui subit l ensemble du circuit de contrôle. On note les événements suivants : D = {MP3 défectueux}, R = {MP3 rejetés par l unité de contrôle} ) Quelles sont les probabilités dont vous disposez à partir des données de l énoncé? En particulier, quelles sont les probabilités conditionnelles dont vous disposez? P(D) = 3 49 50, P(RjD) = 50 et P(RjD) = 20 2) a. Calculez la probabilité pour que le MP3 soit défectueux et ne soit pas rejeté. P(D \ R) = P(RjD)P(D) = ( P(RjD)) P(D) = ( 49 50 ) 3 50 = 3 2500 = 0;002 b. On dit qu il y a une erreur de contrôle lorsque le MP3 est rejeté alors qu il n est pas défectueux («faux rejet») ou qu il n est pas rejeté alors qu il est défectueux (fausse acceptation). Calculez la probabilité qu il y ait une erreur de contrôle. P(Err) = P(R \ D) + P(R \ D) P(R \ D) = P(RjD) P(D) = P(RjD) ( P(D)) = 20 ( 3 50 ) = 47 00 = 0;047 P(Err) = 0;047 + 0; 002 = 0; 0482 3) Montrer que la probabilité qu un MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0,8942 P(R) = P(D \ R) + P(R \ D) = P(D \ R) + P(RjD)P(D) P(R) = P(D \ R) + ( P(RjD)) ( P(D)) = 0:002 + ( 20] ) ( 3 50] ) = 0:002 + 0:893 P(R) = 0:8942 4) Quatre contrôles successifs sont maintenant réalisés de manière indépendante pour savoir si un lecteur peut être commercialisé. Un lecteur MP3 est : - commercialisé avec le logo de l entreprise s il subit avec succès les quatre contrôles successifs, - détruit s il est rejeté au moins deux fois sur les quatre, - commercialisé sans le logo sinon. Le coût de fabrication d un lecteur MP3 est de 50. Son prix de vente est de 20 pour un lecteur avec logo, 60 sans logo. On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en (éventuellement négatif) réalisé par l entreprise. E = f 50;; 70g B= P(E) ) Déterminez la loi de probabilité de la variable G (donnez l ensemble de ses valeurs E, la tribu associée B et les éléments de base qui caractérisent la loi de G). P G (E = 70) = P(R) P(R) P(R) P(R) = 0;8942 4 = 0;639 (4 contrôles indépendants) P G (E = ) = P(R) P(R) P(R) P(R) C 3 4 = 0;89423 0; 58 4 = 0;303 ( rejet sur 4) P G (E = 50) = P G (E = 70) P G (E = ) = 0; 639 0; 303 = 0;058 2) Déterminez P(G 0). P(G 0) = P G (E = ) + P G (E = 70) = 0; 639 + 0; 303 = 0; 942 4
3) Calculez l espérance et la variance de cette variable aléatoire. X E(G) = x i P G (x = x i ) = 50 0; 058 + 0; 303 + 70 0; 639 = 44; 86 i2f 50;;70g var(g) = E(G 2 ) E(G) 2 X E(G 2 ) = x 2 i P G (x = x i ) = 50 2 0;058 + 2 0; 303 + 70 2 0;639 = 306;4 i2f 50;;70g var(g) = 306;4 44; 86 2 = 03 4) Donnez une interprétation de ces résultats. La vente du lecteur rapporte de l argent! 5