1 E.N.I.H.P. 1e année 2009-10 Feuille d exercices n 2 : Relations fonctionnelles Exercice 1 Résoudre les équations (1) : ln x + ln x + 1 = 0 et (2) : ln 2x 3 = ln(6 x) 1 ln x. 2 Exercice 2 On considère la fonction f(x) = ln ( ln ( ln(x) )) 1. Pour quelles valeurs de x est-elle définie? 2. Pour quelles valeurs de x s annule-t-elle? 3. Pour quelles valeurs de x est-elle égale à 1? Exercice 3 1. Simplifier les expressions suivantes : e 2 ln x e 3 ln(1/x) 2 3 log 1 0x 2. Ecrire sous forme exponentielle les expressions suivantes : 3. Simplifier les expressions suivantes : 3 x x x e x ln 3 e 2+2x e 5x+2 e 3 ln x+2 2+2 ln x e 4. Déterminer les relations entre coordonnées semi-log (base 10) et coordonnées semi-log népériennes puis déterminer les relations entre b e ax et b 10 a x. Exercice 4 est défini par : Le degré d acidité ou d alcalinité des solutions est indiqué par le ph, qui ph = log 1 0[H+]
2 où [H+] est la concentration (en moles par litre) des ions libres H+ dans la solution. L échelle du ph varie entre 0 et 14. Le bas de l échelle correspond aux solutions les plus acides tandis que le haut correspond aux solutions les plus alcalines. Le suc gastrique a ph égal a 2. Le sang est légérement alcalin, avec un ph autour de 7,4. L ammoniac a un ph égal à 13. (a) Déterminer [H+] pour le suc gastrique, le sang et l ammoniac. (b) De quel facteur change-t-il [H+] lorsque le ph augmente de 1 unité? Exercice 5 Les atomes d une substance radioactive se décomposent en émettant un rayonnement radio- actif. On désigne par le terme demi-vie le temps au cours duquel la quantité de ces atomes radioactives diminue de moitié. La quantité M(t) de substance radioactive au temps t est donnée par M(t) = M 0 2 t/d où M 0 est la quantité de substance au temps initial t = 0 et d est sa demi-vie. La demi-vie du C14 est 5730 ans. (a) Combien restera-t-il de C14 après 10000 ans si, au début, il y a eu 0,02 mg de C14? (b) La portion de C14 dans une fossile est égale à 1 % de la quantité C14 de l organisme vivant. Quel est l âge du fossile? (c) On suppose que la quantité de C14 est 3,4 mg. Combien de temps faudra-t-il avant qu il n en reste plus que 1 mg? (a) : Exercice 6 Déterminer les limites suivantes : lim x + 3x 2 ln x x+ln x (b) : lim x 1 ln x x 1 Exercice 7 1. Calculer lim (1 x ln + 1 x + x 2. Démontrer que lim x + Exercice 8 ). ( 1 + 1 x) x = e. Une formule empirique permet d estimer la taille d un enfant en âge préscolaire. Si h(x) exprime la taille (en cm) à l âge x (en années) pour 1/4 x 6, alors h(x) est définie par : h(x) = 70, 228 + 5, 104x + 9, 222 ln x
3 1. Quelle sera la taille probable et quel sera le taux de croissance d un enfant qui atteint l âge de 2 ans? 2.A quel âge le taux de croissance est-il le plus élevé? Exercice 9 La température θ du lubrifiant d un moteur varie en fonction du temps de fonctionnement t du moteur selon la loi θ = 25 10e kt (où θ est mesuré en degrés Celsius et t en minutes) 1. Quelle est la valeur de θ lorsque le moteur ne fonctionne pas? 2. Quelle et la valeur de la constante k sachant que θ atteint 19 C au bout de 5mn de fonctionnement du moteur? 3. Quelle est la valeur limite de θ pour un fonctionnement prolongé? 4. Tracer la courbe représentant θ en fonction de t. Exercice 10 Lorsqu on applique un produit systémique à une plante celui-ci est véhiculé par la sève et est progressivement éliminé par les racines. On choisit l instant de l application pour origine du temps t et on suppose qu au moment de l application la plante ne contient pas trace de ce produit. Alors, l étude au cours du temps de la concentration du produit appliqué montre qu à un instant t > 0 la concentration c(t) est donnée par c(t) = K ) (e bt e at a b où K, a et b sont des constantes positives telles que a > b. 1. Étudier le signe de la fonction h(t) = a be(a b)t, t > 0. 2. Calculer la dérivée de la fonction c et la relier à h. 3. Montrer que la concentration c atteint une valeur maximale c(τ) en un instant τ > 0. Déterminer les valeurs de τ et de c(τ) en fonction de K, a et b. 4. On choisit pour unités le jour, le litre et le milligramme. Déterminer τ et c(τ) lorsque K = 100, a = 100 et b = 1. Préciser les unités avec lesquelles doivent être mesurés K, a et b. Exercice 11
4 1. Deux frères décident de placer leur pécule. L un, A, place un capital a 0 = 4500 euros à un taux de 4%. L autre, B, place un capital b 0 = 4000 euros à un taux de 6%. (a) Remplir le tableau ci-dessous et reporter l évolution annuelle du capital, a n et b n, de chacun des deux frères sur le diagramme semi-log suivant donné en annexe. année 1 2 3 5 10 a n b n (b) Justifier pourquoi les points représentant l évolution de a n en fonction de n sont alignés. (c) Déterminer graphiquement la date à laquelle les deux frères possèdent le même capital. (d) Calculer la date à laquelle les deux frères possèdent le même capital. 2. On étudie la pression du mélange dans un cylindre, pendant la phase de compression d un moteur à essence. On relève les résultats suivants : V ( décilitre ) 7 6 5 4 3 2 1,5 P ( 1000 hpa ) 1,10 1,37 1,76 2,41 3,61 6,36 9,52 (a) Représenter ce tableau dans le papier logarithme en annexe. (b) En déduire graphiquement la relation linéaire existant entre log(v ) et log(p ) puis celle entre V et P. Exercice 12 Lois de croissance de Huxley J.S. Huxley en 1924 puis G. Teissier ont modélisé la croissance d un organe en fonction de l ensemble de l organisme par une loi puissance du type y = ax u où a est l indice de croissance initiale et u est la constante de croissance. Cette formule est valable lorsqu on étudie, par exemple, la longueur d un doigt par rapport à celle du bras mais aussi le poids d un individu par rapport à sa taille,... Voici un tableau donnant la taille et le poids moyen des garçons de 5 à 10 ans :
5 âge (en années) taille (en cm) poids (en kg) 5 113,3 18,8 6 117,5 21,9 7 124,1 24,5 8 130,0 27,3 9 135,5 29,9 10 140,3 32,6 1. a. Déterminer une relation linéaire entre ln y et ln x. 1. b. Porter les points sur papier logarithmique. 2. Tracer une droite passant au plus près des points obtenus. Déterminer sa pente A et son ordonnée á l origine B. 3. En déduire la relation qui lie le poids à la taille. Exercice 13 La quantitée de plomb C s, mesuréee en µg/100ml, contenue dans le sang humain augmente avec la teneur en plomb C a de l air ambiant, mesurée avec les mêmes unités. On a établi qu elle suit la loi C s = 60 log C a 20 du moins, lorsque C a est compris entre 5 et 100. 1. Tracer le graphe de cette fonction sur papier semi-logarithmique. Les deux choix consistant á mettre l échelle logarithmique en abscisses ou en ordonnées sont-ils équivalents? Si non, justifiez votre choix. 2. Déterminer graphiquement la valeur de C s lorsque C a vaut 35, 12 et 8.
6 Exercice 14 Croissance du tournesol. Le tableau suivant, éetabli expérimentalement, donne la hauteur moyenne h en cm des plants de tournesol en fonction de leur âge t en jours. t h 7 17,93 14 36,36 21 67,76 28 98,10 35 131,00 42 169,50 49 205,50 56 228,30 63 247,10 70 250,50 77 253,80 84 254,50 1. Représenter ces points sur papier millimétré et déterminer graphiquement l ordonnée K de l asymptote horizontale du graphe de la fonction h = f(t) ainsi obtenu. ( 2. Reporter sur papier semi-logarithmique les valeurs t, 1 h 1 ) et en déduire graphiquement la fonction h = K f(t). Remarque. Lotka, dans son livre Elements of Mathematical Biology donne la formule Comparer. h = 12, 944 0, 04957 + exp( 0, 08759t). Exercice 15 Optimisation. Une entreprise fabrique deux produits qu elle désire vendre aux USA. Le produit A rapporte 4 epar kg et le produit B rapporte 6 epar kg. Ayant des moyens financiers limités, la société ne peut affréter qu un seul avion. Celui-ci ne peut transporter que 50 tonnes et a un volume de 2100 m3. Le produit A a un volume de 30 m3 par tonne ; le produit B a un volume de 70 m3 par tonne. Combien de kg de chaque produit l entreprise doit-elle mettre dans l avion afin de maximiser ses gains?
7 Exercice 16 Anneaux de von Thüren. Dans une zone agricole non habitée, on cultive du blé et de l avoine. On note O la position du marché agricole. 1. Pour le blé, on note : c le coût du transport par km et unité de volume, p le prix de vente unitaire, y le rendement (volume récolté par unité d surface), a les frais fixes par unité de volume. Donner le profit net R par unité de surface en fonction de la distance r au marché O. Pour l avoine, on adopte des conventaions analogues avec c, p, y, a, r. 2. Application numérique : { c=3/2 p=10 y=1/3 a=1 c =1 p =8.5 y =0.25 a =0.5 Comment doit-on disposer les cultures pour un profit maximal? Exercice 17 Une usine produit deux modèle de machines. La première A, nécessite 2 kg de matière première, 30 heures de fabrication et produit un bénéfice de 7 e. La deuxième B, nécessite 4 kg de matière première, 15 heures de fabrication et produit un bénéfice de 6 e. On dispose de 200 kg de matières premières et 1200 heures de travail. Comment fixer la production pour un bénéfice maximal?