ENSIEG 1 ère année août 28 AUTOMATIQUE Durée totale de l épreuve : 3 heures Documents autorisés L épreuve comprend 3 exercices indépendants Mettre votre nom et répondre directement sur les feuilles de l énoncé. Aucune autre feuille ne sera examinée. Nom : Série : Prénom : Remarques de la surveillante : Groupe EXERCICE I Synthèse et analyse de correcteurs Il s agit de réguler le système défini par la fonction de transfert : H ( p) = 2 p 1 + 2 p + 1 Le schéma fonctionnel de commande en boucle fermée est défini par la figure suivante : yc + C(p) H(p) d + + y - Où y c désigne l entrée de consigne et d représente une entrée de perturbation en sortie. C ( p) correspond à la fonction de transfert à synthétiser. On utilise d abord un correcteur proportionnel de gain K. 1
1) Pour quelles valeurs du gain K, le système en boucle fermée est-il asymptotiquement stable? Justifier votre réponse. 2) Calculer la fonction de transfert entre la sortie y et l entrée de perturbation d (fonction de sensibilité à la perturbation d). 3) En prenant K=3, évaluer la précision obtenue en boucle fermée, lorsque l entrée de consigne et l entrée de perturbation sont deux échelons d amplitudes respectives 1 et 1/2, en calculant l erreur statique, lim e = y y. t + c 1 On utilise désormais un correcteur PID de la forme C( p) = K p (1 + + Td p). Ti p 4) En utilisant une approche temporelle, calculer les coefficients de ce correcteur de manière à satisfaire le cahier des charges suivant : 2
- la fonction de transfert en boucle fermée doit être du premier ordre ; - la constante de temps de la fonction de transfert en boucle fermée doit être égale à 1 s. 5) Que peut-on dire de la précision de ce schéma de commande en boucle fermée en réponse à un échelon de consigne et en présence d une perturbation en sortie de type échelon? Justifier votre réponse. 6) Calculer la fonction de transfert entre la sortie y et l entrée de perturbation d et tracer son diagramme de Bode asymptotique. En déduire la sensibilité de la sortie y par rapport à une entrée de perturbation d sinusoïdale de pulsation 1 rd/s (on donnera le pourcentage de la perturbation d présentant dans la sortie y). 3
EXERCICE II On donne ci-joint le diagramme de Bode-gain et Bode-phase de 4 systèmes. Donner la fonction de transfert correspondante dans le tableau ci-dessous (avec des valeurs numériques pour les paramètres). Dessiner l allure du diagramme de Nyquist à coté du diagramme de Bode et la réponse indicielle à coté du diagramme de Bode sur la page suivante (ce sont les mêmes diagrammes de Bode). Dans la troisième colonne du tableau, précisez si le système est asymptotiquement stable en boucle ouverte. Dans la quatrième colonne, dites s il est asymptotiquement stable en boucle fermée à retour unitaire. Bode numéro Transfert Stable BO Stable BF 1 2 3 4 4
Bode 1-2 Nyquist 1-3 -4-5 -6-45 -9 1-1 1 1 1 1 2 1 3 Bode 2 Nyquist 2-5 -1-15 -2-45 -9-135 -18 1-4 1-2 1 1 2 1 4 5
Bode 3 5 Nyquist 3-5 -1-9 -135-18 1-1 1 1 1 1 2 1 3 Bode 4 2 Nyquist 4 1-1 -2-3 -179-179.5-18 -18.5-181 1 1 1 6
Bode 1 Réponse indicielle 1-2 -3-4 -5-6 -45-9 1-1 1 1 1 1 2 1 3 Bode 2 Réponse indicielle 2-5 -1-15 -2-45 -9-135 -18 1-4 1-2 1 1 2 1 4 7
Bode 3 5 Réponse indicielle 3-5 -1-9 -135-18 1-1 1 1 1 1 2 1 3 Bode 4 2 Réponse indicielle 4 1-1 -2-3 -179-179.5-18 -18.5-181 1 1 1 8
EXERCICE III Modélisation et analyse du comportement d un attelage de train On considère une locomotive avec un wagon de masse m. L action sur ce système est la vitesse de la locomotive v(t), et la sortie la vitesse du wagon remorqué v 1 (t). On modélise l attelage entre la locomotive et le wagon remorqué par un ressort de raideur k et un frottement visqueux de coefficient f. V k f Wagon 1 m 1. Déterminer la fonction de transfert V 1 /V(p) en fonction de m, k et f. 9
2. Lorsque le wagon est à vide de voyageurs, l attelage est réglé de façon à obtenir la fonction de transfert suivante : V1 1+ 5p ( p) = 2 V 1+ 3p + 2 p a) Calculer la réponse de V 1 (t) lorsque la vitesse V(t) de la locomotive augmente instantanément de 1 km/h. Tracer son allure et expliquer l origine du dépassement obtenu. Calculer la valeur du dépassement et l instant auquel il survient. 1
b) Est-il possible, en jouant sur le réglage de l attelage (c est-à-dire sur f et k), de maîtriser le dépassement? Justifier. 11