La géométrie
1. Les buts de l enseignement de la géométrie
1. les buts de l enseignement de la géométrie - Développer la «vision dans l'espace». - Apprendre à raisonner - Initier les élèves aux aspects culturels et esthétiques - Connaître quelques utilisations courantes et professionnelles : lecture de plans ou de cartes, logiciels, astronomie...
2. Les programmes
2. Les programmes Cycle 1 Les enfants apprennent à se déplacer dans l espace de l école et de son environnement immédiat Ils parvienennent à se situer par rapport à des objets ou à d autres personnes, à situer des objets ou personnes les uns par rapport aux autres : ce qui suppose une décentration pour adopter un autre point de vue. Cycle 2 Les élèves enrichissent leurs c o n n a i s s a n c e s e n m a t i è r e d orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des figures planes. Ils utilisent un vocabulaire spécifique.
2. Les programmes Cycle 3 L objectif principal de l enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure.
2. Les programmes Cycle 3 Les relations et propriétés géométriques : alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, milieu d un segment. L utilisation d instruments et de techniques : règle, équerre, compas, calque, papier quadrillé, papier pointé, pliage.
2. Les programmes Cycle 3 Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers, le cercle : - description, reproduction, construction ; - vocabulaire spécifique relatif à ces figures : côté, sommet, angle, diagonale, axe de symétrie, centre, rayon, diamètre ; - agrandissement et réduction de figures planes, en lien avec la proportionnalité. Les solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide. - reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ; - vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face.
2. Les programmes Cycle 3 Les problèmes de reproduction ou de construction de configurations géométriques diverses mobilisent la connaissance des figures usuelles. Ils sont l occasion d utiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de tracé.
PROGRESSIONS CP - Situer un objet et utiliser le vocabulaire permettant de définir des positions (devant, derrière, à gauche de, à droite de...). - Reconnaître et nommer un carré, un rectangle, un triangle. - Reproduire des figures géométriques simples à l aide d instruments ou de techniques : règle, quadrillage, papier calque. - Reconnaître et nommer le cube et le pavé droit. - S initier au vocabulaire géométrique. CE1 - Décrire, reproduire, tracer un carré, un rectangle, un triangle rectangle. - Utiliser des instruments pour réaliser des tracés : règle, équerre ou gabarit de l angle droit. - Percevoir et reconnaître quelques relations et propriétés géométriques : alignement, angle droit, axe de symétrie, égalité de longueurs. - Repérer des cases, des nœuds d un quadrillage. - Connaître et utiliser un vocabulaire géométrique élémentaire approprié. - Reconnaître, décrire, nommer quelques solides droits : cube, pavé...
CE2 PROGRESSIONS Dans le plan - Reconnaître, décrire, nommer et reproduire, tracer des figures géométriques : carré, rectangle, losange, triangle rectangle. - Vérifier la nature d une figure plane en utilisant la règle graduée et l équerre. - Construire un cercle avec un compas. - Utiliser en situation le vocabulaire : côté, sommet, angle, milieu. - Reconnaître qu une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par pliage ou à l aide du papier calque. - Tracer, sur papier quadrillé, la figure symétrique d une figure donnée par rapport à une droite donnée. Dans l espace - Reconnaître, décrire et nommer : un cube, un pavé droit. - Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet. Problèmes de reproduction, de construction - Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un modèle. - Construire un carré ou un rectangle de dimensions données.
CM1 PROGRESSIONS Dans le plan - Reconnaître que des droites sont parallèles. - Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : points alignés, droite, droites perpendiculaires, droites parallèles, segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre d un cercle, rayon, diamètre. - Vérifier la nature d une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l équerre, le compas. -Décrire une figure en vue de l identifier parmi d autres figures ou de la faire reproduire. Dans l espace - Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, prisme. - Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé. Problèmes de reproduction, de construction - Compléter une figure par symétrie axiale. Tracer une figure simple à partir d un programme de construction ou en suivant des consignes.
CM2 PROGRESSIONS Dans le plan - Utiliser les instruments pour vérifier le parallélisme de deux droites (règle et équerre) et pour tracer des droites parallèles. - Vérifier la nature d une figure en ayant recours aux instruments. - Construire une hauteur d un triangle. - Reproduire un triangle à l aide d instruments. Dans l espace - Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme. - Reconnaître ou compléter un patron de solide droit. - Problèmes de reproduction, de construction - Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un programme de construction ou d un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions).
Les compétences attendues en fin de GS
Le socle commun - Palier 1 Situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement Reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels Connaître et utiliser un vocabulaire géométrique, élémentaire, approprié
Le socle commun - Palier 1 Utiliser la règle et l'équerre pour tracer avec soin et précision un carré, un rectangle, un triangle rectangle Être précis et soigneux dans les tracés Résoudre des problèmes géométriques très simples
Le socle commun - Palier 2 Compétence 3 - Reconnaître, décrire, nommer des figures géométriques : carré, rectangle, losange, triangle (et ses cas particuliers), parallélogramme, cercle. - Décrire une figure en vue de l identifier parmi d autres figures ou de la faire reproduire. - Reconnaître qu une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie. - Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : côté, sommet, angle, milieu, diagonale, centre d un cercle, rayon, diamètre, axe de symétrie. - Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme. - Reconnaître, décrire et nommer une pyramide. - Reconnaître et compléter un patron de solide droit. - Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet (d un solide).
Le socle commun - Palier 2 Compétence 3 - Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels. - Utiliser la règle, l équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision. - Percevoir et reconnaître parallèles et perpendiculaires. - Résoudre des problèmes de reproduction, de construction.
3. Les obstacles
LES OBSTACLES 4.1. Trois espaces Le micro-espace Le méso-espace Le macro-espace
LES OBSTACLES 4.2. Un vocabulaire Nouveau Coin? Pic? Bout pointu? Sommet! Angle! Polysémique
LES OBSTACLES 4.2. Un vocabulaire Déjà familier? Qu est-ce que c est? Un rectangle penché?
LES OBSTACLES 4.3. Multiplicité des signes L angle droit Une droite Un segment Des symboles // Un point X P P P
4. Les pistes pédagogiques
Quelles activités et avec quel matériel? Manipuler, Nommer, Apparier, Reproduire, Décrire, Représenter, Construire Duplos ou cubes, kaplas, blocs logiques, solides en bois, pliages...
Des situations problèmes Pour mémoriser des formes géométriques Pour utiliser le vocabulaire approprié Pour apprendre à se repérer dans l'espace et à donner des consignes de positionnement à ses camarades
Art et géométrie A partir d'une oeuvre d'art pour découvrir des formes géométriques, pour décrire des figures planes, carrés, rectangles, triangles Pour isoler ces formes, les agencer dans l'espace : pour créer plastiquement
Création et règles mathématiques Des propositions d'activités : Reproduire une forme en faisant varier sa taille, son orientation sur des formats différents Créer des frises en s'inventant une règle de composition Produire plastiquement à partir d'un tableau à double entré, à partir d'un alphabet plastique en référence à A.Herbin
La géométrie
5. Quelques principes didactiques
Quelques principes didactiques 5.1. principe de pluralité Lors de l'introduction d'un concept présenter des exemples riches et variés. Par exemple, pour une même figure, présenter différentes tailles, différentes orientations... une vision-surface une vision-ligne une vision-évidée une vision points singuliers
Quelques principes didactiques 5.1. Principe de pluralité Éviter les représentations stéréotypées : - Les triangles équilatéraux. -Des rectangles qui ont un rapport entre les côtés de 1,5 à 2,5. - Orientations des carrés et des losanges d'où la nécessité de manipuler des «formes-objets».
Quelques principes didactiques 5.2. Principe de hiérarchie Nécessité de replacer un concept parmi d'autres plus généraux, plus particuliers. Ex : l'étude des quadrilatères ne peut se faire de manière isolée.
Diagramme ensembliste de Venn pour la classification des quadrilatères
Définition du parallélogramme Oui Non
Diagramme ensembliste de Venn pour la classification des quadrilatères
Quelques principes didactiques 5.3. principe de négation Lors de la construction d'un concept, il faut le situer par rapport au non-concept. Expliquer pourquoi les figures A et B sont des polygones et la figure C ne l'est pas. A B C Expliquer pourquoi les solides A et B sont des polyèdres et le solide C ne l'est pas. A B C Proposition : utiliser un tri ou une séance non/oui
Quelques principes didactiques 5.4. le principe dynamique Des jeux préliminaires, structurés et concrets apportent des expériences nécessaires à partir desquelles les concepts géométriques peuvent se construire, à condition que chaque type d'activité soit programmé au moment approprié. Manipulations avec un objectif précis.
Quelques principes didactiques 5.5. le principe de constructivité La construction intuitive devra précéder l'analyse et la pensée réflexive. Permettre aux élèves de dessiner un carré à main levée (à partir de repères, points ou grilles) puis progressivement les doter de savoirs qui vont leur permettre d'affirmer qu'il s'agit bien d'un carré (longueurs des côtés et angles par exemple)
Quelques principes didactiques 5.6. le principe de variabilité perceptuelle Pour tenir compte des différences individuelles dans la formation des concepts, le même concept est présenté sous la forme de plusieurs situations équivalentes. Par exemple, un travail d'étude des solides peut être mené à partir de différents outils : logiciel, photos, squelettes, perspectives, construction de patrons sur papier ligné, blanc...
Le prisme droit à base triangulaire Il est composé de 4 faces rectangulaires et de 2 faces triangulaires. Il a 9 arêtes et 6 sommets.
6. Les images mentales en géométrie
6. Les images mentales en géométrie Comment se fabriquer un stock dynamique d'images mentales géométriques reliées les unes aux autres par de nombreuses relations et comment les exploiter dans des activités variés?
LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construction 6.1. développer les activités d'observation à partir de formes-objets (ex : moisson des formes, mosaïques, matériel fabriqué...) Activités de classements ou de tris : Dans le plan : - côtés droits/courbes/mélangés - réguliers/non réguliers - avec ou sans axe de symétrie - polygones : en fonction du nombre de côtés Dans l'espace : - solides qui roulent/ceux qu'on pose - par nombre de faces ou de sommets ou d'arêtes - par formes de faces
LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construction 6.1. développer les activités d'observation à partir de formes-objets (ex : moisson des formes, mosaïques, matériel fabriqué...) Activités d association : Dans le plan : - par forme : l un est l agrandissement de l autre - une pièce et sa moitié
LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construction 6.1. développer les activités d'observation à partir de formes-objets (ex : moisson des formes, mosaïques, matériel fabriqué...) Activités d association : Dans l'espace : - polyèdre et les polygones qui le composent - squelette et solide
LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construction 6.2. Développer la dynamique des images mentales Travail de dénomination Pendant les activités de classements, la place du langage est très importante : - Faire verbaliser et expliquer tout choix, tout critère. - On utilisera les noms véritables : trapèze, hexagone, pyramide, prisme...
LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construction 6.2. Développer la dynamique des images mentales Travail d évocation C'est un rappel conscient des images engrangées dans le plan ou l'espace. - reconnaissance à l'aveugle - jeu du portrait - jeu de kim - jeu des erreurs
LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construction 6.3. Prévoir l extension des images mentales Par compositions But : créer des RELATIONS entre ce monde d'objets perçus d'abord comme ISOLES. Dans le plan : - composition libre - reproduction de modèles - composer une figure avec un ensemble de pièces fixé. - essayer de composer le plus possible de figures dont le nom est donné.
LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construire 6.3. Prévoir l extension des images mentales Dans l'espace : - construire les polyèdres à partir des polygones (jeu de la marchande ou du vendeur)
LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE construire 6.3. Prévoir l extension des images mentales Par puzzle type tangram Retrouver la composition d'un modèle à partir d'une silhouette noire sans ligne de coupes (en réduction ou non)
LESIMAGES MENTALES EN GEOMETRIE construction 6.4. PENSER AUX SUPERPOSITIONS En posant les pièces l'une sur l'autre, on remarque: - des relations d'inscription: - des relations de fractions simples:
LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE Une fois que l'élève est capable de : - Reconnaître des formes simples dans un ensemble complexe, - Classer et nommer ces formes par des mots appropriés, - Composer des figures, il va être confronté à des créations de dessins géométriques. Les formes deviennent outils pour dessiner en devenant gabarits.
LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE Créations des dessins géométriques 7.1 Utiliser tous les jeux de répétitions : - frises : créer une bande infinie - étoiles, anneaux, rosaces - pavages
LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE Création de dessins géométriques 7.2 Transformation et construction de figures La moisson des formes : associer gabarit et règle non graduée. Les 2 fonctions de la règle non graduée :" " - joindre 2 points placés sur le dessin" - prolonger un segment placé sur le dessin"
LES IMAGES MENTALES EN GÉOMÉTRIE Création de dessins géométriques 7.2 Transformation et construction de figures Figures inscrites : il s'agit de dessiner l'une en disposant de l'autre. Exemples : - pentagone et étoile - hexagone et triangle équilatéral
BIBLIOGRAPHIE Apprentissages géométriques, spatialité et maîtrise de la langue : au cycle 2 Jean-François Grelier, Scérén-CRDP Midi-Pyrénées, 2011
BIBLIOGRAPHIE Devenir élève par les apprentissages géométriques Jean-François Grelier, Scérén-CRDP Midi-Pyrénées, 2011
BIBLIOGRAPHIE Apprentissages géométriques et résolution de problèmes au cycle 3 Par ERMEL Roland Charnay, Jacques Douaire, Jacques Colomb Septembre 2006
BIBLIOGRAPHIE Apprentissages géométriques et résolution de problèmes au cycle 3 Par Hélène Gosset et Catherine Taveau Juin 2010
BIBLIOGRAPHIE Travaux géométriques Apprendre à résoudre des problèmes au cycle 3 Par IREM de Lille Sceren
BIBLIOGRAPHIE La moisson des formes Bernard Bettinelli Aléas Editeur
BIBLIOGRAPHIE La moisson des formes Bernard Bettinelli Aléas Editeur
BIBLIOGRAPHIE De la géométrie à l école maternelle Irem de Besançon PUF