Écoulement (in)compressible? Compressibilté : κ = 1 ρ

Objets du chapitre Écoulement (in)compressible? Compressibilté : κ = 1 ρ ρ p Que veut dire un écoulement compressible? Comment et quand sait on qu un écoulement est compressible ou incompressible? Comment définit on la vitesse du son? Définition du choc. Quand a lieu un choc d onde sonor? Définition de nombre de Mach. vitesse de l écoulement Le nombre de Mach, M = = u vitesse du son a Pour un gaz parfait : M < 0, 3 = écoulement incompressible (< 10% erreur) M > 0, 3 = écoulement compressible Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 1 / 38

Classification Classification d écoulements compressibles Écoulement subsonqiue : 0, 8 > M Écoulement transonqiue : 0, 8 < M < 1, 2 Écoulement sonqiue : M = 1 Écoulement supersonqiue : M > 1, 2 Écoulement hypersonqiue : M > 5 Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 2 / 38

Classification Attribus d écoulements compressibles Tout information propage dans la direction qui dépend de nombre locale de Mach. La dénsité ne plus constante, le principe de Bernoulli n est plus valable. On n est peut plus ignorer le couplage entre l enérgie cinétique et l enérgie interne. Les écoulements subsonique, sonique et supersonique peuvent se presénter dans tout domaine d écoulement type mixte. Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 3 / 38

Rappel Thermodynamique Rappel : Thermodynamique Gaz parfait : p = RρT, e = c v T, h = c p T, c p c v = R, γ = c p /c v ( ) 1 Premier principe : de = d q pd ρ Deuxième principe : ds d q T de + pd(1/ρ) dt ds = = c v T T R dρ, processus réversible. ρ Processus isentropique : ds = 0 = p ρ γ = Cte., T = Cte. ργ 1 Compressibilité : κ = 1 ϑ ϑ p, ϑ = 1 κ T = 1 ( ) ϑ ρ, = ϑ p κ s = 1 ( ) ϑ ϑ p T s Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 4 / 38

Équations de mouvement Équations de bilans - 1 er et 2ème principes de la Thermodynamique Dρ Éq. de masse : + ρ v = 0. Éq. d Euler : ρdv Dt Dt = p Éq. de l énergie : [ De ρ Dt + p D Dt ( )] 1 = ρ ( 1 1 er et 2ème principes : T ds = de + pd D où : T ds dt = T Ds Dt = De Dt + p D Dt Fluide parfait : λ=µ=0 {}}{ Alors : ) ( ) 1. ρ ρ échange thermique par conduction {}}{ (λ T ) + ), processus réversible dissipation thermique due à la viscosité {}}{ Φ (λ T ) + Φ = 0 = ds = 0. Donc : processus isentropique. ( 1 Enthalpie : de + pd = dh + 1 dp. D où : ρdh ρ ρ Dt = Dp Dt (λ T ) + Φ Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 5 / 38

Vitesse du son Onde sonor : onde de petites perturbations de pression propageant à la vitesse du son (a) relativement à la vitesse de source de perturbation Configuration Conservation de masse : ρ a = (ρ + dρ)(a + da) Au premier approximation : a = ρ da dρ Conservation de la quantité de mouvement : a p ρ T a + da p + dp ρ + dρ T + dt x ρa 2 + (ρ + dρ)(a + da) 2 = dp (p + dp) Au premier approximation : a 2 + 2aρ da dρ = dp dρ = a 2 = dp dρ ( ) p En générale : a 2 =, ρ s car l écoulement est en fluide parfait. Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 6 / 38

Ondes sonors Ondes sonors : propagation des petites perturbations de pression Le fluide est supposé initialement au repos (p 0, ρ 0, T 0, v 0 = 0). On considère des perturbations infinitésimales : = p = p 0 + p, ρ = ρ 0 + ρ, v 0 + v, ρ ρ 0, p p 0 et v 1. Éq. de masse (1) : ρ t + ρ 0 v = 0. = Éq. d Euler (2) : v t = 1 p. v = ϕ = p ϕ = ρ 0 ρ 0 t ( ) = Éq. d état d un gaz parfait (3) : ρ = p ρ0 = κ s ρ 0 p p 0 Posons a 2 0 = 1 ρ 0 κ s = ( ) p0 ρ 0. s s Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 7 / 38

Ondes sonors Équations d onde pour ϕ, p et v 2 ϕ t 2 a2 0 2 ϕ = 0 (4a) 2 p t 2 a2 0 2 p = 0 (4b) 2 v t 2 a2 0 2 v = 0. Éqs. (4) représentent les équations type d ondes. (4c) a 0 : la célérité de propagation d ondes sonores (acoustiques), en abrégé célérité du son. Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 8 / 38

Ondes sonors Ondes planes : ondes unidirectionnelles propageant parallèlement à Ox 2 ϕ t 2 2 ϕ a2 0 x 2 = 0 (5a) 2 p t 2 2 p a2 0 x 2 = 0 (5b) 2 u t 2 2 u a2 0 x 2 = 0. ϕ(x, t) = (5c) Solutions générales u t = 1 p ρ 0 x. p = ρ 0 ϕ t. ρ = κ s ρ 0 p. onde propageant vers x>0 {}}{ onde propageant vers x<0 {}}{ f (x a 0 t) + g(x + a 0 t) Posons ϕ = f (x a 0 t) = u = ϕ x = f (x a 0 t) = p ϕ = ρ 0 t = ρ 0a 0 f (x a 0 t) = p = ρ 0 a 0 u = u = a 0ρ ρ 0 Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 9 / 38

Ondes sonors Interprétation : Ondes de compressions détentes p = u, = ρ sens de déplacement en masse u u u u u u u u compression, p > p0 détente, p < p0 compression, p > p0 détente, p < p0 compression, p > p0 détente, p < p0 compression, p > p0 détente, p < p0 compression, p > p0 sens de propagation Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 10 / 38

Ondes sonors Visualisation d onde sonor Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 11 / 38

Ondes sonors Un film d ondes sonors Visualisation d ondes sonors Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 12 / 38

Compressibilté et la vitesse du son Compressibilité et la vitesse du son Coefficient de compressibilté isotherme : κ T = 1 ( ) ρ ρ p T Coefficient de compressibilté isontropique : κ s = 1 ( ) ρ ρ p γ = κ T κ s ( ) 1/2 γ Vitesse du son : a 0 =. ρ 0 κ T ( Pour un gaz parfait : a 0 = γ p 0 ρ 0 ) 1/2 s Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 13 / 38

Énergie d ondes sonors Énergie et propagation d ondes sonors Éq. de la conservation d énergie en fluide parfait : ρ De Dt = p v. État de base, le fluide est repos : (p 0, ρ 0, T 0, e 0, v 0 = 0) Perturbation : (p, ρ, T, e, v) tels que (.) 0 (.), v 1. Au premier ordre d approximation : e (1)- Éq. d énergie : ρ0 t = (p0 + p ) v (2)- Éq. de continuité : v = 1 ρ ρ 0 Compte tenu de ρ = ρ 0 κ s p, l éq. en (2), se tranforme en : v = κ s p De L éq. en (1) devient : ρ 0 Dt = κ s(p 0 + p ) Dp Dt En intégrant et utilisant l état (.) 0 pour déterminer la constante, énergie acoustique potentielle {}}{ l on obtient : ρ 0 e = κ s p 0 p 1 + 2 κ sp 2 t t Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 14 / 38

Source sonor en mouvement Source mobile en mouvement U < a U = a U > a at at U U at S S S 2α U Ut Ut Ut Trois cas distingues distance source U < a : Écoulement subsonique ; {}}{ Ut < distance onde {}}{ at. distance source distance onde {}}{{}}{ U > a : Écoulement supersonique ; Ut > at. = sin α = at Ut = a U = 1 M. Nombre de Mach, M = U. Angle de Mach, α. a On appel l enveloppe ainsi formée Cône de Mach. U = a : Écoulement sonique. Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 15 / 38

Source sonor en mouvement Source mobile en mouvement U < a U = a U > a S at U S at U S at 2α U Ut Ut Ut U < a : Perturbations de pressions propagent plus rapidement que la source = les ondes sont audibles en aval de source U = a : Perturbations de pressions ne peuvent plus propager en aval de source = les ondes sont inaudibles en aval de source. U > a : Formation d ondes de choc. Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 16 / 38

Formation d onde de choc Formation de l onde de choc : U > a, M > 1 Accumulation de perturbations générée aux instances et positions différentes conduit à la production d une onde de pression plus forte (onde de choc). Nul information de pression ne peut se communiquer à l aval du cône de Mach. Il existe alors une région de silence. Il n y a plus de communication entre les conditions de l écoulement en aval et celles en amont de l onde. Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 17 / 38

Formation d onde de choc Franchissement du mur de son Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 18 / 38

Ondes de compression Onde de compression, p = RρT, p ρ γ, a = γrt t Onde initiale se propageant à la vitesse a Ondes de pression successives se rattrapent avec les précédentes pour former une onde plus forte (choc) Les ondes suivantes se propagent à des vitesses plus grandes que les précédentes dû à l accroissement de température (densité) x Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 19 / 38

Ondes de compression Ondes de compression, p = RρT, p ρ γ, a = γrt t Onde initiale se propageant à la vitesse a Ondes de pression successives se rattrapent avec les précédentes pour former une onde plus forte (choc) Les ondes suivantes se propagent à des vitesses plus grandes que les précédentes dû à l accroissement de température (densité) Ondes de compression se caractérisent par : l accroissement de desnité et de température, l augmentation de vitesse de son (a = γrt ), x les ondes declenchées après l onde initale se propage à des vitesses de propagation plus en plus grandes, ces ondes ratrappent eventuellement l onde initiale, Un raidissemnt de la pente d onde conduisant à une onde de compression encore plus forte (onde de choc). Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 20 / 38

Ondes d expansion Ondes d expansion, p = RρT, p ρ γ, a = γrt Onde de choc Onde d expansion (de détente) Un objet en mouvement à vitesse supersonique Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 21 / 38

Ondes d expansion Onde de choc Un objet en mouvement à vitesse supersonique Onde d expansion (de détente) Ondes d expansion peuvent conduire à : un décroissement dans la densité et la température, = une baisse de vitesse de son. = une vitesse de propagation plus lente que celle de l onde précédente les ondes tendent à se séparer l une de l autre, le changement associés aux ondes d expansion sont plus graduels que celle d ondes de compression. Ondes de choc sur un profil d aile Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 22 / 38

Onde de choc en une dimension L exemple d un piston en mouvement u up > c x 00000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111 00 11 00 11 up 00 11 up 00 11 c 00 11 00 11 u = 0 00 11 00 11 00 11 ρ2, p2 00 11 ρ1, p1 00000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111 Onde de choc produite par un piston en mouvement à la vitesse u p c < u p vitesse du choc. Vitesse de fluid en amont du choc (aval du piston) u = u p. Vitesse de fluide non perturbé en aval du choc u = 0. Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 23 / 38

Onde de choc en une dimension L exemple d un piston en mouvement Mouvement relativement à l onde du choc u u1 = c u2 = up c 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111111 01 01 01 01 u2 = up c 01 c 01 01 01 01 01 ρ2, p2 01 ρ1, p1 0000000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111111 u1 = c Conservation de masse : ρ 1 cs = ρ 2 (u p c)s Quantité de mouvement : ρ 1 c 2 S + ρ 2 (u p c) 2 S = (p 1 p 2 )S D où : p = p 2 p 1 = ρ 1 c 2 ρ2 1 c2 ρ 2 = ρ 1 ρ 2 (ρ 2 ρ 1 ) c 2 = ρ 1 ρ 2 ρ c 2 Quand p 2 p 1, ρ 2 ρ 1 : c = ( ) 1/2 ( ) 1/2 p = p = a, vitesse de son. ρ ρ x Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 24 / 38

Onde de choc normale : Écoulement unidimensionnel Conditions de saut ρ 1, p 1, T 1, u 1 ρ 2, p 2, T 2, u 2 x Choc normale : conditions de saut pour un gaz parfait, c p etc v constantes Conservation de masse (1) : dρu dx = 0, Éq. d Euler (2) : ρu du dx = dp dx, dt Éq. d énergie (3) : ρc p dx = dp dx, où on a posé dh = c p dt. Éq. d état (4) : p = RρT (1) fois u : u dρu dx = 0 (5) Ajouter (2) + (5) : u dρu du + ρu dx dx = dp dx, Résultat (6) : d dx ( ρu 2 ) = dp dx. En intégrant : ρ 1 u 2 1 + p 1 = ρ 2 u 2 2 + p 2 (7) En combinant (3) et (2) : Eq. (1) donne : ρ 1 u 1 = ρ 2 u 2 c p T 1 + 1 2 u2 1 = c p T 2 + 1 2 u2 2 Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 25 / 38

Onde de choc normale : Écoulement unidimensionnel Conditions de saut ρ 1, p 1, T 1, u 1 ρ 2, p 2, T 2, u 2 Choc normale : conditions de saut pour un gaz parfait, c p etc v constantes Pour un gaz parfait : ( ) p a 2 = = ρ s ρ (Cte. ργ ) = γ p ρ = γrt = γ(c p c v )T = (γ 1)c p T Éq. d énergie se réécrit : γ 1 + 1 2 u2 1 = a2 2 γ 1 + 1 2 u2 2 Introduisons le nombre de Mach : M = a 2 1 Quand M = 1 = u = u c = a c : x vitesse de l écoulement vitesse de son dans le milieu fluide = u a a 2 1 γ 1 + 1 2 u2 1 = a2 2 γ 1 + 1 2 u2 2 = γ + 1 γ 1 a 2 c 2 Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 26 / 38

Onde de choc normale : Écoulement unidimensionnel L équation de Rankine-Hugoniot Relations de saut : l équation de Rankine-Hugoniot Éq. de la conservation de masse (1) : dρu dx = 0 ρ 1u 1 = ρ 2 u 2 Éq. de quantité de mouvement (2) : dt Éq. d énergie (3) : ρc p dx = dp dx = h 2 h 1 = 1 2 ρu du dx = dp dx ρ 1u 2 1 + p 1 = ρ 2 u 2 2 + p 2 ρ dh dx = ρ d dx ( u 2 1 u 2 2) = 1 2 (u 1 + u 2 ) (u 1 u 2 ), ( 12 u2 ) soit, en utilisant (1) et (2) : h 2 h 1 = 1 2 (u 1 + u 2 ) p 2 p 1 ρ 1 u 1 En utilisant (1), on obtient l équation de Rankine-Hugoniot : h 2 h 1 = 1 ( 1 + 1 ) (p 2 p 1 ) 2 ρ 1 ρ 2 Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 27 / 38

Onde de choc normale : Écoulement unidimensionnel Relation de saut entre p et ρ Relations de saut entre la pression et la densité Gaz parfait : h = c p T = γ p γ 1 ρ Alors, h 2 h 1 = 1 ( 1 + 1 ) (p 2 p 1 ) donne : 2 ρ 1 ρ 2 ( ) [ p 2 = 1 + ρ 1 2γ ] [ 1 γ + 1 p 1 ρ 2 γ 1 γ 1 ρ 1 ρ 2 ] 1, courbe dite adiabate dynamique du gaz Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 28 / 38

Onde de choc normale : Écoulement unidimensionnel Relation de saut entre p et ρ Illustration de courbe de Rankine-Hugoniot d un gaz parfait à γ = 1.4. Une singularité se produit quand ρ 1 = γ 1 ρ 2 γ + 1 10 8 p 2 p 1 = ( ) γ ρ2 ρ 1 p2/p1 6 4 [ p 2 = 1 + ρ1 2γ ] [ 1 γ + 1 p 1 ρ 2 γ 1 γ 1 ] 1 ρ 1 ρ 2 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ 1 γ + 1 ρ 1/ρ 2 Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 29 / 38

Écoulement unidimensionnel isentropique Écoulement unidimensionnel isentropique Il s agit d un écoulement en fluide parfait d un gaz parfait, en régime permanent dans une conduite de section A(x). Objet : étudier l évolution des variables physiques en fonction de nombre de Mach le long de la conduite. Pourquoi? 1. Obtenier d informations sur l évolution de l écoulement, 2. mettre en évidence des paramètres importants, 3. Introduire ultérieurement des facteurs pouvant tenir compte des déviations de l état idéal. Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 30 / 38

Écoulement unidimensionnel isentropique État de stagnation (.) 0 L état de stagnation du modèle de gaz parfait, c p et c v constantes Il s agit de l état où le fluide est en état d équilibre à vitesse nulle sans faisant intervenir aucune force extérieure. On notera un tel état par l indice zéro 0 Éq. d énergie : h + 1 2 u2 = h 0 = c p T + 1 2 u2 = c p T 0 pour un gaz parfait. u 2 D où : T 0 T = 1 + 1 2 c p T Gaz parfait : R = c p c v = c p (γ 1) γ et donc a 2 = γp ρ = γrt a 2 0 = γp 0 ρ 0 = γrt 0 Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 31 / 38

Écoulement unidimensionnel isentropique Relations de saut en fonction de M Relations de saut en fonction de M de part et d autre du choc Rapport des températures : T 0 T = 1 + γ 1 M 2 2 Rapport des pressions : p ( ) γ/(γ 1) ( 0 p = T0 = T 1 + γ 1 ) γ/(γ 1) M 2 2 Rapport des densités : ρ ( ) 1/(γ 1) ( 0 ρ = T0 = 1 + γ 1 ) 1/(γ 1) M 2 T 2 Rapport des vitesses de son : a ( ) 1/2 ( 0 a = T0 = 1 + γ 1 ) 1/2 M 2 T 2 Notons le choc par l indice c. Alors, M = M c = 1. Et T c 1. = a2 c = 2 T 0 a0 2 γ + 1 ( p c 2 2. = p 0 γ + 1 ( ρ c 2 3. = ρ 0 γ + 1 ) γ/(γ 1) ) 1/(γ 1) Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 32 / 38

Écoulement unidimensionnel isentropique Relations de saut en fonction de M 1 0.8 T/T 0 p/p 0 ρ/ρ 0 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 Nombre de Mach, M Évolution des proprietés physiques par rapport aux conditions de stagnation avec le nombre de Mach ; un gaz parfait à γ = 1.4 Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 33 / 38

Tuyère-de-Laval Théor`mes de Hugoniot Chambre de stagnation, p0, ρ0, T0, v = 0. Conditions à l entrée da dx < 0 da dx = 0 T p ρ u T + dt p + dp ρ + dρ u + du da dx > 0 Conditions à la sortie, ps p0, ρs, Ts Tuyère de Laval Tuyère de Laval avec un volume de contôle. Nous cherchons à déterminer l évolution de grandeurs physiques en fonction de nombre de Mach M et la section de conduite A(x). Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 34 / 38

Tuyère-de-Laval Théor`mes de Hugoniot La démarche Conservation de masse : ρua = constante = ρ c u c A c dρ D où (1) : ρ + du u + da A = 0. Eq. d énergie (2) : dh + udu = 0 avec la relation thermodynamique (3) : T ds = dh dp ρ dp conduit, pour un processus isentropique, à (4) : ρ + udu = 0 En utilisant l éq. d état p = RρT, puis en divisant par RρT, on obtient : dp p = dρ ρ + dt T (5) En remplaçant du u de (1) dans (4) : dp ρ u2 du u {[ }}{ da A + dρ ] ρ = 0 (6) Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 35 / 38

Tuyère-de-Laval Théor`mes de Hugoniot La démarche, suite... Théorèmes de Hugoniot Processus istentropique est un processus polytrope : pρ γ = Cte. Alors : Éq. (6) devient : dρ = dρ dp dp = 1 a dp 2 ] [1 u2 dp a 2 ρ = da u2 A, ou en fonction de M : dp = ρu 2 1 da 1 M 2 A soit On obtient aussi : dp p = γ M 2 da M 2 1 A du u = 1 da M 2 1 A dρ ρ = M2 da M 2 1 A dt T = (1 γ) M 2 da M 2 1 A dm M = 1 + 1 (γ 1)M2 2 da M 2 1 A Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 36 / 38

Tuyère-de-Laval Variations le long de Tuyère de Laval Variation de grandeurs physiques le long de Tuyère 1. Cas subsonique : M < 1 M < 1 : 2. Cas supersonique : M > 1 M > 1 : da dx da dx da dx da dx 3. Cas sonique : M = 1 quand da/dx = 0. < 0 = dm dx > 0, > 0 = dm dx < 0, < 0 = dm dx < 0, > 0 = dm dx > 0, dp dx du dx dp dx du dx dp dx du dx dp dx du dx < 0, > 0 > 0, < 0 > 0, < 0 < 0, > 0 Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 37 / 38

Tuyère-de-Laval Variations le long de Tuyère de Laval p0 Tuyère de Laval ρ0 T0 da dx = 0 0 M 1 p/p0 (a) Subsonique M < 1 Supersonique M > 1 xc (b) ps/p0 ps/p0 = 1 1 Valeurs 2 décroissanttes 2 de ps 3 x 3 Valeurs décroissanttes Variations de la pression statique, (a), et de nombre de Mach, (b), dans une tuyère convergente convergente. p 0 désigne la pression de stagnation (supposée constante) régnant à l entrée de tuyère, p s la pression statique à la sortie de tuyère. M = 1 de ps 2 0 xc x 2 1 Adil Ridha (Université de Caen) Écoulement compressible 2008-2009 38 / 38