Ministère de l Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Hassiba Benbouali de Chlef Faculté de Génie Civil et d Architecture Département de Génie Civil Polcopié de Résistance des Matériau Réalisé par Professeur Zamila HARICHANE Mars 015
Préface Dans la présent polcopié intitulé «Polcopié de Résistance des Matériau», qui s adresse au étudiants de deuième année LMD en Génie Civil et les élèves ingénieurs des écoles préparatoires, l accent est mis sur le dimensionnement des éléments d une structure soumis au sollicitations simples de sorte à permettre à l étudiant de dimensionner tous tpes d éléments de structures isostatiques simples réalisés en bois, en acier ou en béton. Il est rédigé de manière simplifiée et beaucoup d eemples sont introduits après avoir donné des notions afin que l étudiant puisse assimiler le contenu du cours et ait une vision claire de son application dans la vie courante. Des problèmes sont accompagnés de leurs solutions et à la fin de chaque chapitre des eercices sans solutions sont donnés pour que l étudiant s entraine. Ce polcopié est divisé en si chapitres. Le contenu du premier chapitre concerne une introduction générale à la résistance des matériau. Au chapitres et 3, l étudiant se familiarise avec les notions de sollicitation simple, de diagramme d efforts intérieurs, de section dangereuse, de contrainte et enfin de dimensionnement. Il s agit de la traction (ou la compression) et le cisaillement pur, respectivement. Au chapitre 4, on introduit le calcul des caractéristiques géométriques d une section plane. En effet, pour une sollicitation de traction ou compression simple, seule la donnée de l'aire de la section droite est nécessaire pour étudier ou vérifier la résistance d une section d une poutre par eemple. Tandis que pour tous les autres tpes de sollicitations, la forme et les dimensions de la section droite de la poutre jouent un rôle prépondérant sur le comportement au différentes sollicitations de torsion ou de fleion. Dans le chapitre 5, on aborde le dimensionnement des barres soumises à la torsion pure. Enfin, en 6 ème chapitre, on dimensionne des poutres droites isostatiques sollicitées en fleion simples. - i -
Table des Matières Chapitre 1 Introductions et Généralités Page 1.1. Buts et hpothèses de la résistance des matériau 1.1.1. Définitions 1.1.. Hpothèses de la résistance des matériau 4 1.1..1. Hpothèses sur le matériau 4 1.1... Hpothèses sur les déformations 5 1.1..3. Hpothèses de Navier-Bernoulli 5 1.1..4. Hpothèse de Barré de Saint-Venant 6 1.. Classification des solides (poutre, plaque, coque) 1..1. Poutre 6 1... Plaque 7 1..3. Coque 7 1.3 Différents tpes de chargements 8 1.4. Tpes de liaisons en génie civil 10 1.4.1. Appui simple 10 1.4.. Appui élastique 11 1.4.3. Articulation 1.4.4. Encastrement 1 1 6 1.5 Principe Général d équilibre Équations d équilibres 1.5.1. Enoncé du principe 1.5.. Utilisations pratiques 1.6 Principes de la coupe (ou isolement) Éléments de réduction 1.7. Définitions et conventions de signes des efforts intérieurs 1.8. Conclusion 14 14 14 15 17 19 0 - ii -
Chapitre Traction et Compression Simples.1. Introduction 4.. Définitions 4.3. Contrainte normale 4.4. Diagramme de l effort normal (DEN) 6.5. Courbe contrainte - déformation 7.6. Condition de résistance 8.7. Loi de déformation élastique Eercices 9 33 Chapitre 3 Cisaillement Pur 3.1. Introduction 38 3.. Définition 39 3.3. Contrainte de cisaillement 3.4. Déformation de cisaillement 3.5. Loi de HOOKE 3.6. Condition de résistance au cisaillement 3.7. Applications 39 40 41 4 4 3.7.1. Assemblage par rivets 4 3.7.. Assemblage par boulons 48 Eercices 50 - iii -
Chapitre 4 Caractéristiques géométriques des sections planes 4.1. Introduction 53 4.. Aire d une section 53 4.3. Moment statique 55 4.4. Centre de gravité 56 4.5. Moment d inertie 4.5.1. Définition 59 4.5.. Moment d inertie polaire 61 4.6. Variations des moments d inertie 4.6.1. Translation des aes 6 4.6.. Rotation des aes 64 4.7. Module de résistance 67 59 6 4.8. Raon de giration 4.8. Conclusion Eercices 68 69 70 Chapitre 5 Torsion 5.1. Définition 74 5.. Moment de torsion 74 5..1. Convention de signe 74 5... Diagramme du moment de torsion 75 - iv -
5.3. Contraintes de cisaillement et angle de torsion 75 5.3.1. Hpothèses53 75 5.3.. Angle de torsion 76 5.3.3. Contraintes de cisaillement 76 5.4. Dimensionnement à la torsion 78 5.4.1. Condition de résistance 78 5.4.. Condition de rigidité 79 5.5. Torsion d une barre à section transversale non circulaire 80 Eercices 8 Chapitre 6 Fleion simple 6.1. Sstème isostatique, sstème hperstatique, mécanisme 6.. Définition 6.3. Efforts tranchants, moments fléchissants 86 86 88 6.4. Diagrammes des Efforts tranchants et des moments fléchissants 89 6.5. Relation entre moment fléchissant et effort tranchant 91 6.6. Relation entre effort tranchant et chargement réparti 9 6.7. Déformée d'une poutre soumise à la fleion simple (flèche) 6.8. Calcul des contraintes 6.8.1. Cas de la fleion pure 6.8.. Cas de la fleion simple Eercices Références Bibliographiques Annees 94 95 95 99 109 11 114 - v -
Chapitre 1 Introduction et généralités
Chapitre 1 : Introduction et généralités 1.1. Buts et hpothèses de la résistance des matériau 1.1.1. Définitions Résistance des matériau La résistance des matériau (RDM) est une branche de la mécanique des milieu continus adaptée au déformations des structures (machines en génie mécanique, ou bâtiment en génie civil). C est une science epérimentale concernant les solides réels. Elle permet d étudier dans les pièces mécaniques leur résistance, les actions mécaniques qui s eercent et leur déformation. Pour cela il est nécessaire au préalable de bien modéliser les différentes liaisons mécaniques possibles et les actions etérieures agissant sur le sstème. La statique, quant à elle, est une branche de la mécanique qui étudie les conditions sous lesquelles un corps est en l équilibre, compte tenu des efforts que son milieu etérieur eerce sur lui. Notion de Contrainte Une contrainte est un effort par unité de surface qui s'eerce dans le matériau. Soit un solide Ω soumis à des forces (concentrées ou réparties) schématisé par la figure 1.1-a. S 1 t M n S (a) (b) Fig. 1.1- Schématisation d un solide chargé. On coupe le solide Ω en deu parties S 1 et S. Considérons un point M entouré par une surface S. Le solide S eerce une action mécanique sur le solide S 1 / S1 que l on peut modéliser par un effort réparti et on a: Le vecteur M,n Université Hassiba Benbouali de Chlef - - Cours de Résistance de Matériau F S F S 1 CM,n / S S (1) C est appelé vecteur contrainte au point M et de normale n (où n est le vecteur unitaire normal à S sortant). Le vecteur contrainte au point M relativement à l'élément de surface S orienté par sa normale etérieure, est défini par: C M, f lim S S 0 df ds ()
Chapitre 1 : Introduction et généralités On peut décomposer le vecteur contrainte sur les vecteurs n et t ( t est un vecteur unitaire contenu dans le plan tangent à S) (Figs. 1.1-b, 1.) sous la forme: C M,n n t σ est appelée la contrainte normale est appelée la contrainte tangentielle. (3) La contrainte normale et la contrainte tangentielle s epriment en Pa (ou MPa). n C M,n Fig. 1.- Décomposition du vecteur contrainte sur la normale n et la tangentet. t Epérimentalement, on définit pour chaque matériau une contrainte limite admissible, notée [], au-delà de laquelle la pièce subit des détériorations de ses caractéristiques mécaniques, dimensionnelles, voire une rupture. Le calcul de résistance des matériau consiste à vérifier que les contraintes engendrées par les sollicitations etérieures ne dépassent pas la contrainte limite admissible par le matériau []. Une contrainte est un outil de calcul; on ne peut pas l'observer directement, par contre on peut observer ses effets: études des déformations par eemple. La contrainte étant le rapport d'une force par une surface, les paramètres qui influencent directement une contrainte sont les sollicitations et la section de la pièce. Eemple 1.1 Calculer la contrainte due à un effort de 100 N appliqué perpendiculairement sur une surface de 1mm. Solution de l eemple 1.1 Notons cette contrainte par. Si l'effort est noté F et la surface S, alors: F 100N / S mm Université Hassiba Benbouali de Chlef - 3 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités Remarque La contrainte dépend de la valeur de la sollicitation et de la surface du solide. Pour une même sollicitation, la contrainte sera d'autant plus faible que la surface est grande et inversement (Fig. 1.3). N S 1 S N 1 car S 1 > S Fig. 1.3- Comparaison de contraintes. Notion de déformation Tout solide soumis à un effort se déforme. Les déformations résultent et varient avec les charges appliquées sur les objets. Elles sont mises en évidence par la variation des dimensions, et peuvent être élastiques ou plastiques. - La déformation est dite élastique si le solide reprend sa forme initiale après arrêt de l'action des forces (cas d un ressort chargé normalement). - La déformation est dite plastique si le solide reste déformé après arrêt de l'action des forces (cas d une pâte à modeler). Notons qu aucun matériau n'est parfaitement élastique. Cependant, la déformation est généralement élastique pour les efforts suffisamment faibles, puis devient plastique à partir d'un certain seuil de contrainte e appelé limite élastique. La limite d'élasticité est une contrainte caractéristique du matériau. Elle ne dépend ni des dimensions de la pièce ni des sollicitations qui lui sont appliquées. Dans le cours de la résistance des matériau, nous nous intéresserons eclusivement au matériau élastiques. Ceci veut dire que nous supposerons toujours que les sollicitations auquelles sont soumises les structures étudiées sont suffisamment faibles pour que les déformations soient élastiques. 1.1.. Hpothèses de la résistance des matériau 1.1..1. Hpothèses sur le matériau Continuité La matière est supposée continue, c-à-d que les distances entre les molécules sont toujours très petites; à l'échelle de la RDM, alors la matière apparaît continue. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 4 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités Homogénéité On admettra que tous les éléments du matériau, aussi petits soient-ils, ont une structure identique. Ses propriétés sont identiques en chaque point. Isotropie On admettra, qu'en tous les points et dans toutes les directions autour de ces points, les matériau possèdent les mêmes propriétés mécaniques. 1.1... Hpothèses sur les déformations On fera l hpothèse que les déformations sont petites par rapport à toutes les dimensions de l élément (poutre, par eemple). Ainsi, on assimilera la géométrie en configuration déformée à la géométrie en configuration non déformée (Fig. 1.4). Les efforts sont donc considérés invariants en dépit de la déformation des poutres. 1.1..3. Hpothèses de Navier-Bernoulli Les sections planes, normales au fibres avant déformation restent planes et normales au fibres après déformation. Les sections droites normales à la fibre neutre restent donc perpendiculaires à la fibre neutre après déformation. Si l on connaît la déformée de la fibre neutre, on peut donc en déduire le déplacement de n importe quel point de la poutre. Dans la suite, on ne représentera donc que la fibre neutre pour représenter une poutre (Fig. 1.5). Poutre avant déformation P P Déformée de la ligne moenne Fig. 1.4- Poutre droite déformée. Fig. 1.5- Schématisation de l hpothèse de Navier - Bernoulli. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 5 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités 1.1..4. Hpothèse de Barré de Saint-Venant On fera l hpothèse que les résultats de calculs seront valables loin des points d application des charges. L état des sollicitations dans une région suffisamment éloignée des points d application des charges etérieures appliquées à la poutre ne dépend donc que du torseur associé à ces charges (Fig. 1.6). Fig. 1.6- Schématisation de l hpothèse de Barré de Saint-Venant. 1.. Classification des solides (poutre, plaque, coque) 1..1. Poutre Une poutre est un solide engendré par une surface plane (Σ) dont le centre G décrit une courbe appelée ligne moenne. Le raon de courbure de la ligne moenne est grand par rapport au dimensions de la section droite (Σ). La section droite (Σ) de centre de surface G varie progressivement (Fig. 1.7) ou est constante (Fig. 1.8). La poutre a une grande longueur par rapport au dimensions transversales. La poutre possède un plan de smétrie. Les points disposés de façon identique sur les sections droites constituent des lignes appelées fibres (Fig. 1.7). La ligne moenne est aussi appelée fibre neutre. Lorsque la ligne moenne est une droite, alors la poutre est appelée poutre droite (Fig. 1.8). Les sections droites des poutres étudiées ont un plan de smétrie et qu elles sont chargées dans ce plan. Poutre Section droite Fibre Fig. 1.7- Modèle de poutre. Section droite ou ligne moenne Université Hassiba Benbouali de Chlef - 6 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités Fig. 1.8- Poutre droite. 1... Plaque Une plaque est un élément prismatique d épaisseur h petite devant les deu autres directions de l espace (Fig. 1.9). Le plan moen sera le plan (O,, ), le déplacement transverse étant la direction z. On suppose que l hpothèse des petits déplacements vérifiée. Fig. 1.9- Plaque. 1..3. Coque Une coque est un solide délimité par deu surfaces proches et approimativement parallèles. Elle est soit fermée sur elle-même, soit délimitée en outre par une surface périphérique (le bord) qui joint les deu surfaces principales. Etrémités fermées Etrémités ouvertes Fig. 1.10- Coques. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 7 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités 1.3 Différents tpes de chargements Les chargements peuvent être classifiés de différentes manières. On distingue deu tpes de chargements (ou actions mécaniques): les actions mécaniques de contact (liaisons de contact entre solides, pression,...); les actions mécaniques à distance (champ de pesanteur, force électromagnétique,... ). Le premier tpe d action est une action qui s applique sur la surface du solide (action surfacique) tandis que le second s eerce au niveau de son volume (action volumique). On distingue aussi les actions etérieures et les actions intérieures à un sstème de solides. On appelle effort (ou action) etérieur appliqué à un sstème matériel isolé, toutes les actions mécaniques agissant sur ce sstème, dont l origine est à l etérieur du sstème. Ces actions sont : soit des actions mécaniques de contact ; soit des actions à distances (gravité). Les efforts intérieurs sont les efforts que s eercent mutuellement les différentes parties du sstème isolé. Remarque La notion d efforts etérieurs et intérieurs ne dépend que de la frontière du sstème isolé. Modélisation des actions mécaniques L analse des actions mécaniques ne peut se faire qu en utilisant des modèles pour représenter les actions et leurs effets sur le solide. On distingue principalement deu modèles pour représenter et étudier les actions mécaniques, le modèle local et le modèle global. Le modèle local (Fig. 1.11) permet d étudier l action et son effet en tout point de la zone où elle s eerce: étude des pressions de contact, contraintes dans les matériau, déformation du solide,... Dans le modèle global (Fig. 1.1) on associe à l action mécanique un torseur (dit Torseur d Action Mécanique). Ce modèle fait disparaître l effet local de l action mais rend son utilisation pratique pour l étude de l équilibre ou de la dnamique. Ces deu modèles, global et local, ne sont pas interchangeables; si on peut déterminer le torseur d action mécanique à partir de la répartition locale des efforts, on ne peut faire le travail inverse sans faire des hpothèses sur la répartition. Charge uniformément répartie Charge concentrée Fig. 1.11- Modèle local. Fig. 1.1- Modèle global. La charge uniformément répartie (Fig. 1.11) est remplacée par l effort équivalent F (Fig.1.1). Université Hassiba Benbouali de Chlef - 8 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités Définition du torseur La définition complète d un effort (force) fait intervenir deu vecteurs : - une force R appelée résultante, M R - un moment / O en un point O quelconque, appelé moment. Ces deu vecteurs, appelés éléments de réduction, peuvent être regroupés en une seule écriture dans un nouvel outil mathématique appelé «Torseur». On note un torseur quelconque et O ses éléments de réduction au point O. Eemple 1. Considérons le cas d un clindre sur un plan. Modéliser l'action du plan sur le clindre. Solution de l eemple 1. L action du plan sur le clindre peut être représentée par une force linéique (force répartie le long d'une ligne) f 0 / 1. Elle se mesure en (N/m). Si la charge est uniforme, alors l'ensemble de la charge linéique est équivalent à une force F 0 / 1située au centre de la ligne de contact. Eemple 1.3 On voudrait modéliser l action d un plan horizontal (0) sur un prisme triangulaire (1) (figure ci-dessous). - Schématiser cette action par un modèle local puis un modèle global. Solution de l eemple 1.3 Le prisme agit sur le plan horizontal par son poids. Dans un modèle local le poids est modélisé par une force répartie. A chaque poids P correspond une force r qui représente la réaction du plan horizontal à ce poids à une abscisse et qui a l epression: Université Hassiba Benbouali de Chlef - 9 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités r L r ma comme montrée sur la figure suivante: R = P r = p r ma L Dans un modèle global, la réaction du plan horizontal est représentée par la force R dont la valeur est égale au poids du prisme P. 1.4. Tpes de liaisons en génie civil Les actions etérieures (forces etérieures) s appliquant sur les solides peuvent être connues ou inconnues. Parmi les efforts connus on retrouve les efforts modélisant, les actions du poids propre des éléments, les actions climatiques (vent, neige, houle) et les actions d eploitation. Ces actions sont données par le cahier des charges d utilisation du bâtiment: poids des machines, action des ponts roulants, utilisation des locau, etc Les efforts inconnus sont développés par les liaisons du solide étudié avec les éléments de transfert des charges. Les liaisons servent à bloquer certains degrés de liberté (ddl) des solides. Nous effectuerons notre analse dans le cadre du plan et du Génie Civil. Les liaisons, pour bloquer les déplacements, génèrent des efforts inconnus appelés efforts de liaison (appelés aussi réactions). On associera à la liaison un torseur d efforts lié à ses caractéristiques cinématiques. Les mouvements élémentaires possibles dans le plan sont: deu translations ( et ) ; une rotation: = k. Les principales liaisons du génie civil sont: - L appui simple: 1 DDL bloqué (1 inconnue de liaison) - L appui élastique: 1DDL contrôlé (1 inconnue de liaison et une loi de comportement) - L articulation: DDL bloqués ( inconnues de liaison) - L encastrement: 3 DDL bloqués (3 inconnues de liaison) 1.4.1. Appui simple L appui simple bloque la translation dans la direction de l appui, il permet une translation dans la direction perpendiculaire et une rotation autour de l ae perpendiculaire au plan de la liaison. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 10 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités La modélisation d un appui simple est schématisée sur la figure 1.13. Y Y Z O k j i (P) X X O Y O j i X Le torseur au centre de la liaison s écrit: Fig. 1.13- Schématisation d un appui simple. RO Y O j O M 0k O 1.4.. Appui élastique L appui élastique contrôle une translation par la connaissance de la raideur de l appareil d appui. On a une relation de comportement de l appui du tpe: F k Il permet une translation contrôlée, peut permettre ou non une translation (appui glissant) et il permet une rotation L appui élastique est modélisé comme le montre la figure 1.14. Y Y Z k j O i Y (P) X O Y O j i X Le torseur au centre de la liaison s écrit: Fig. 1.14- Schématisation d un appui élastique. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 11 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités O RO M Y O O 0k j k. 1.4.3. Articulation L articulation permet de bloquer les deu translations possibles dans le plan. Elle permet donc une rotation libre. L articulation est modélisée comme le montre la figure 1.15. Y.j Y Y Z O k j i (P) X X O O Y O j i X Le torseur au centre de la liaison s écrit: Fig. 1.15- Schématisation d une articulation. RO X Oi YO j O M 0k O 1.4.4. Encastrement Cette liaison bloque les trois degrés de liberté possibles: deu translations élémentaires et une rotation. L encastrement est modélisé comme le montre la figure 1.16. Y Y Z O k j i (P) X X O k Z O j i Y O O X Fig. 1.16- Schématisation d un encastrement. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 1 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités Le torseur au centre de la liaison s écrit: RO X Oi YO j O M k O O Eemple 1.4 Une balançoire 3 est articulée en O (liaison pivot) sur un socle fie 0. P 1 et P représentent les poids respectifs des deu enfants 1 et, appliqués respectivement en G 1 et G. G 1 G Schématiser toutes les actions s eerçant sur la balançoire. - Solution de l eemple 1.4 Les actions s eerçant sur la balançoire sont: - Le poids de la balançoire - Les poids des deu enfants - L action de liaison au point O G R OX P P 1 a R OY b P L Récapitulation sur la modélisation des liaisons Les différentes liaisons souvent réalisées en domaine du génie civil sont récapitulées sur lz tableau 1.1. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 13 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités Tableau 1.1- Modélisation des liaisons Tpe de liaison Modélisation Inconnue de liaison Appui simple (ou mobile) 1 inconnue Appui double (ou fie, ou articulation) Encastrement inconnues 3 inconnues 1.5 Principe Général d équilibre Équations d équilibres 1.5.1. Enoncé du principe Soit un solide (S) soumis à un sstème de forces etérieures modélisé par le torseurf. Soit {} le référentiel associé à (S); (S) est en équilibre si et seulement si: F et 0 1.5.. Utilisations pratiques L égalité de deu torseurs entraîne l égalité de leurs éléments de réduction. et Soit O le point choisi: F et 0 O O R ( F M et ( F ) et 0 ) / O 0 (4) (5) Les équations (4) et (5) sont deu équations vectorielles qui donnent: - 6 équations scalaires en l espace. - 3 équations scalaires en plan. En plan, l équation des forces (1) possède deu équations scalaires et l équation des moments (5) une équation scalaire. Le moment est un produit de vecteurs appartenant toujours à (P) (plan de sollicitations); le moment est autour de l ae z (z étant perpendiculaire au plan (P)). Université Hassiba Benbouali de Chlef - 14 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités Y F OA F (P) A X Z Fig 1.17- Illustration en plan de l équilibre statique. Remarque En génie civil, nous nous ramenons le plus souvent possible à l étude des problèmes plans, c est à dire l étude de structures chargées dans leur plan de smétrie. 1.6 Principes de la coupe (ou isolement) Éléments de réduction Soit deu solides (S 1 ) et (S ) et (S) le sstème formé par (S 1 ) et (S ) comme le montre la figure 3.. (S ) (S 1 ) (S) Fig 1.18- Illustration des frontières d un solide. Soit le torseur des actions du monde etérieur sur (S): F F 1 F (6) - F 1 est le torseur des actions s appliquant sur la frontière etérieure de (S 1 ) - F est le torseur des actions s appliquant sur la frontière etérieure de (S ) Faisons le bilan des actions s eerçant sur (S 1 ). On a, en isolant (S 1 ): D 1 F 1 F 1 / (7) Université Hassiba Benbouali de Chlef - 15 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités Où F 1 est le torseur des actions s appliquant sur la frontière libre de (S 1 ) F / 1 est le torseur des actions eercées par (S ) sur (S 1 ) sur la frontière commune. Ainsi, on peut donner la définition ci-dessous. Définition Si on isole (S), l équation (6) (F F 1 F appliquées sur le solide (S) et F / 1 (S). ) modélise le torseur des actions etérieures représente le torseur des actions intérieures par rapport à Si on isole (S 1 ), F 1 et F / 1modélisent les torseurs des actions etérieures par rapport à (S 1 ). Principe des actions réciproques Si on isole maintenant (S ) le bilan des actions etérieures donne: où On a: D F F 1 / (8) F est le torseur des actions s appliquant sur la frontière libre de (S ) F 1 / est le torseur des actions eercées par (S 1 ) sur (S ) S (9) S 1 S et donc: F D 1 D F 1 F / 1 F F 1 / F 1 F Soit: (7 ) ( 8 ) (6 ) Université Hassiba Benbouali de Chlef - 16 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités F / 1 F 1/ 0 (10) L équation (10) représente le principe des actions réciproques. De façon simplifiée, le principe des actions réciproques ou mutuelles, pour deu solides en contact s écrit: F / 1 F (11) 1/ 1 Plan tangent 1 F / 1 1 F 1/ Fig 1.19- Illustration du principe des actions réciproques. 1.7. Définitions et conventions de signes des efforts intérieurs Les efforts intérieurs en un point G de la ligne moenne d'une poutre sont les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs. Ces efforts intérieurs prennent les notations suivantes (Fig. 1.0): - N est l'effort normal (dans la direction ) - T est l'effort tranchant dans la direction - T z est l'effort tranchant dans la direction z - T = T Y + T z z est l'effort tranchant - M t est le moment de torsion (autour de l ae ) - M est le moment de fleion ou fléchissant (autour de l ae ) - M z est le moment de fleion ou fléchissant (autour de l ae z ) - M = M + M z z est le moment de fleion Université Hassiba Benbouali de Chlef - 17 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités Y M Y O T Z T Y N M t X Z M Z Fig. 1.0- Efforts intérieurs en un point de la ligne moenne d'une poutre. Diagramme de l effort intérieur On appelle diagrammes des efforts intérieurs les courbes représentant la variation de chacun des efforts intérieurs selon la ligne moenne. Ces représentations sont utiles pour situer rapidement les sections les plus sollicitées. Sollicitations simples Les sollicitations couramment rencontrées sont la traction ou la compression, la fleion, la torsion et le cisaillement. Quelques tpes de sollicitations simples sont donnés sur le tableau 1.. La figure 1.1 schématise ces tpes de sollicitations. Tableau 1.: Quelques tpes de sollicitations Sollicitations Effort Normal Effort Tranchant Moment de Torsion Moment de Fleion Traction/compression N 0 T =0 M t =0 M f =0 Cisaillement pur N =0 T (ou T z ) 0 M t =0 M f =0 Torsion pure N =0 T =0 M t 0 M f =0 Fleion pure N =0 T =0 M t =0 M z (ou M ) 0 Fleion simple N =0 T (ou T z ) 0 M t =0 M z (ou M ) 0 Université Hassiba Benbouali de Chlef - 18 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités Traction / Compression Cisaillement Torsion Fleion Fig. 1.1- Poutre soumise à une sollicitation simple. 1.8. Conclusion Dans ce chapitre, des notions préliminaires de la Résistance des Matériau sont données. Le contenu est consacré, en premier lieu, à la mise en place des hpothèses fondamentales de la RDM ainsi qu au notions de contraintes et déformations. Les principales liaisons de génie et leur modélisation sont, ensuite revues. Le principe fondamental de la statique est également donné. En dernier, les notion de sollicitations simples sont abordées et schématisées. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 19 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités Eercices Eercice N 1 Considérons le cas d une boite sur un plan. Schématiser l'action du plan sur la boite. f 0 / 1 est une charge uniforme qui se mesure en (N/m ). Eercice N Eprimer les torseurs du poids P par rapport au points G et A. Eercice N 3 Soit un plongeoir, schématisé par la figure ci-dessous. - Repérer, identifier et schématiser tous les efforts s eerçant sur la planche (1). Eercice N 4 Calculer la contrainte agissant au niveau de la surface de contact des deu tôles montrées par la figure ci-dessous. - De quel tpe de contrainte s agit-il? Université Hassiba Benbouali de Chlef - 0 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités W L Eercice N 5 Pour un effort P agissant sur un plan incliné, eprimer les contraintes normale et tangentielle agissant sur ce plan. On donne h = 100 mm, b = 50 mm et = 70. Calculer l'effort admissible (P adm ) si les contraintes admissibles en traction et en compression sont, respectivement, []= MPa et []=1,5 MPa. Eercice N 6 Un bâtiment d une hauteur de 60 et de forme rectangulaire est montré sur la figure cidessous. Le vent eerce des forces sur les facettes verticales du bâtiment qui sont eprimées par des pressions supposées uniformément réparties sur les trois facettes. Ces pressions valent 781 N/m sur la couche inférieure, 164 N/m sur la couche du milieu et 1530 N/m sur la couche supérieure. - Déterminer la force de cisaillement que doit eercer la fondation du bâtiment pour résister au forces du vent. 0m 0m 0m 50m 1530 N/m 164 N/m 781 N/m Université Hassiba Benbouali de Chlef - 1 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 1 : Introduction et généralités Eercice N 7 Soit à soulever une caisse de poids qui vaut 736 N par un dispositif avec poulie et câbles (Figure suivante). 1- Isoler la caisse et faire le bilan de toutes les actions etérieures s eerçant sur celle-ci. - En appliquant le principe fondamental de la statique, déterminer les tensions des câbles AB et AC et l effort T que doit eercer l opérateur pour maintenir l ensemble en équilibre. Poulie Plafon d Mur Caisse P = 736 N Eercice N 8 Le sstème montré par la figure suivante est constitué de quatre barres rigides en acier: deu barres supérieures AB et AC et deu barres inférieurs BD et CD, aant chacune un module de Young E et une même section transversale A. Le sstème est sollicité par une force concentrée au point D (P=17,3 knw et une charge répartie (q = 3,46 kn/m). 1- Déterminer les efforts dans les barres AB et AC. On donne L m. - Déterminer les efforts dans les barres BD et CD. Université Hassiba Benbouali de Chlef - - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre Traction et Compression Simples
Chapitre : Traction et Compression Simples.1. Introduction La traction ou compression correspond à des forces s'eerçant perpendiculairement au sections des pièces; elle est dite uni-aiale car les côtés de la pièce ne sont pas contraints, toutes les forces sont sur un même ae... Définitions Soit une barre rectiligne sollicitée par deu forces égales et directement opposées agissant suivant sa fibre moenne est soumise à un effort normal (Fig..1). Cet effort est dit: un effort de traction simple si les forces tendent à allonger la barre, un effort de compression simple si les forces tendent à raccourcir la barre. N S N Fig..1- Barre en traction..3. Contrainte normale On considère une barre rectiligne, de section S liée à un massif fie à son etrémité supérieure (Fig..-a). A l'autre etrémité, elle est soumise à l'action d'une force N suivant son ae. a a' b b' a' b' N N (a) (b) Fig..- Barre encastrée sollicitée en traction. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 4 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre : Traction et Compression Simples D'après le principe de l'action et de la réaction, le massif eerce une force de réaction égale et opposée à N. La barre est alors soumise à un effort normal. Sa base -ab- se déplace alors parallèlement à elle-même pour venir en -a'b'-. Toutes les fibres ont subi, si l'effort est un effort de traction, le même allongement (hpothèse de Navier-Bernoulli: les sections droites restent planes et perpendiculaires à l'ae) et supportent donc la même tension. Imaginons qu'on coupe la barre par un plan perpendiculaire à l'ae de la pièce. Pour maintenir le tronçon inférieur en équilibre, il faut placer dans une force intérieure égale et opposée à N. L hpothèse de Navier-Bernoulli permet d écrire: N (1) S est appelé contrainte normale. Elle représente l intensité de l'effort normal par unité de surface. se mesure en (N/m²) ou Pascal (Pa). Eemple.1 Soit la barre schématisée par la figure ci-dessous. Calculer les contraintes au niveau des sections 1-1, - et 3-3. 5 kn 1 5 kn 3 15 kn 1 5 kn S 1 =,5cm S 3 =4cm S =6cm 3 Solution de l'eemple.1 Section 1-1 F 0 N1 5kN 1 N 1 5 11 10kN / cm 100MPa S,5 1 5 kn N 1 1 Université Hassiba Benbouali de Chlef - 5 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre : Traction et Compression Simples Section - F 0 N 15kN N 15,5kN / cm 5MPa S 6 5 kn 5 kn N 5 kn Section 3-3 F 0 N3 15kN N 3 15 33 3, 75kN / cm 37,5MPa S 4 3 N 3 3 L- 15 kn 3.4. Diagramme de l effort normal (DEN) Le digramme de l effort normal (DEN) donne la valeur de l effort normal dans toutes les sections perpendiculaires à la membrure à l étude. L effort normal dans une section est la résultante des charges aiales s eerçant sur la section. Le DEN est obtenu par la méthode des sections en effectuant une coupe suivant l entrée de chaque force concentrée et, au début et à la fin ainsi qu au minimum et au maimum (s il a lieu) de chaque charge répartie. Eemple avec des forces concentrées La figure ci-dessous schématise le DEF tout au long d'une barre dans le cas où les efforts aiau sont concentrés. R = 40 kn 0 O A B 0 kn C 10 kn D 30 kn 50 kn 10 kn 1 3 4 40 + DEN -40-0 10 - -10 30 + 30 Université Hassiba Benbouali de Chlef - 6 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre : Traction et Compression Simples Eemple avec une charge répartie (poids de l élément) La figure ci-dessous schématise le DEF tout au long d'une barre soumise à son poids propre. P + g A L X L N() = P + W() = P + g A (L - ) L-X P P W() = g A (L - ) P DEN.5. Courbe contrainte - déformation La courbe contrainte déformation est une courbe caractérisant le matériau. Elle est obtenue empiriquement d'une epérience de traction effectuée sur une barre de section constante. Lors de cette epérience l'effort normal est augmenté progressivement provoquant l'allongement de la barre. A chaque incrément d'effort, la contrainte normale et la déformation de la barre sont portées sur une courbe. Cette opération est effectuée régulièrement jusqu'à la rupture de la barre. La courbe ainsi obtenue est la courbe contrainte - déformation du matériau. Elle a généralement (de manière simplifiée) l'allure montrée sur la figure.3. (N/m ) C B e A E P (= (d)/d) Fig..3- Courbe contrainte - déformation de traction. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 7 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre : Traction et Compression Simples La partie (OA) est la partie élastique. La limite élastique n'est pas atteinte. La barre reprend sa forme initiale si l'epérience est interrompue dans cette zone. Dans ce cas l'élasticité est linéaire ((OA) est une droite). La pente E de la droite (OA) est appelée module d'élasticité linéaire ou module de Young (tableau.1). Il représente le rapport entre la contrainte et la déformation dans la zone élastique. La relation entre la contrainte et la déformation dans la zone élastique est donnée par la loi de Hooke: E () La partie (AB) est la partie plastique. La limite élastique est dépassée. Si l'epérience est interrompue (point C), la barre ne reprend pas sa forme initiale. Le chemin de décharge est, de manière simplifiée parallèle à la droite (OA). Lorsque l'effort appliqué s'annule, il persiste une déformation résiduelle p qui ne disparaît plus. Tableau.1: Ordres de grandeur du module de Young (E) Matériau Acier Béton Aluminium E (dan/mm ) 1000 000 7000.6. Condition de résistance Pour vérifier la condition de résistance d'une pièce sollicitée en traction ou en compression, on doit s assurer que: (3) Où [] est la contrainte admissible pour le matériau étudié. Elle est donnée par l epression: e (4) n Où e est la limite élastique en traction et n un coefficient de sécurité (n>1). Limite élastique Pour tous les matériau homogènes et isotropes la limite élastique en traction et est égale à la limite élastique en compression ec. On les désigne alors simplement e (limite élastique). C'est le cas des aciers. Coefficient de sécurité Le coefficient de sécurité vaut 1,5 à pour un plancher, à 3 pour une charpente, 10 à 1 pour ascenseurs et câbles. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 8 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre : Traction et Compression Simples Eemple. Vérifier la résistance de la barre métallique schématisée par la figure ci-dessous, sachant que []=14 kn/cm. 38 kn 10 kn 58 kn S 1 =4cm S =,5cm 10 kn S 3 =7cm Solution de l'eemple. Nous traçons le Diagramme de l Effort Normal (DEN) et nous déduisons le Diagramme de la Contrainte Normale (DCN) puis nous reportons dessus la valeur de la contrainte admissible du matériau: 38 kn 10 kn 58 kn 10 kn 58 (DEN) 38 + + + + + + N(kN) 15, []=14kN/cm 9,5 (DCN) + + + + + + 8,3 (kn)cm ) Nous remarquons que la contrainte maimale est égale à 15, kn/cm et elle est supérieure à la contrainte admissible, d où la barre ne résiste pas à la traction..7. Loi de déformation élastique On considère une barre de longueur initiale L soumise à un effort normal N. Une portion de longueur d de la barre subit une variation de longueur du=(d) (Fig..4). On appelle déformation longitudinale dans la section d'abscisse la quantité adimensionnelle: Université Hassiba Benbouali de Chlef - 9 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre : Traction et Compression Simples d (5) d D'où d d (6) D'autre part, E N ES (7) Ainsi (d) vaut et la déformation totale de la barre est donc N ES d d (8) L N d d (9) ES L L 0 0 a a' N d du b b' L L L Fig..4- Déformation linéaire. Cas particulier Pour une barre homogène de section constante, si N est constant (Fig..5), l allongement absolu s écrit: NL L ES (10) Université Hassiba Benbouali de Chlef - 30 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre : Traction et Compression Simples Revenons à l'équation N ES, on a la relation L (10) L qui eprime la déformation (ou l allongement) relative. L est la déformation absolue. L L Fig..5- Barre homogène soumise à un effort de traction. Eemple.3 Déterminer l'allongement total de la barre métallique, sollicitée comme le montre la figure cidessous, sachant que le module de Young E =,110 6 kg/cm. La section de la barre est constante et vaut 5 cm. 5000 kg 4500 kg 1500 kg 1000 kg 50 cm 75 cm 100 cm Solution de l'eemple.3 Le DEN est montré sur la figure ci-dessous: 5000 kg 1500 kg 1000 kg 4500 kg (DEN) 5000 3500 + 4500 N (kg) Université Hassiba Benbouali de Chlef - 31 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre : Traction et Compression Simples L L 0 N ES d L1 N1 ES 0 1 N1L ES 1 E 3 1 1 i1 d NL ES NiL S i i L1 L L1 N ES N3L ES d 3 3 L N3 ES L1 L 3 d 1 L 500050 350075 4500100 6,1.10 5 Ainsi, l'allongement total de la barre est L 0,09cm Université Hassiba Benbouali de Chlef - 3 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre : Traction et Compression Simples Eercices Eercice N 1 Soit la barre schématisée par la figure ci-dessous: D 1 =18 mm D = mm D 3 =5 mm D 4 =10 mm 10 kn 10 kn 50 kn 10 kn 10 kn 0cm 10 kn 18cm 10cm 1cm 1- Tracer le diagramme de l effort normal tout au long de la barre. - Tracer le diagramme de la contrainte normale tout au long de la barre. 3- Vérifier la résistante de la barre si la contrainte admissible du matériau est supposée de 14 kn/cm. 4- Calculer la déformation (allongement ou raccourcissement) de la barre. 5- En déduire le pourcentage de l allongement et le pourcentage du raccourcissement dans la barre. Eercice N Soit la barre en acier, schématisé par la figure ci-dessous, encastrée à son etrémité supérieure et tendue par une force de 16 kn à son etrémité inférieure. En tenant compte du poids spécifique du matériau (=7,8 10 4 N/m 3 ), 1- Tracer le diagramme de l effort normal tout au long de la barre. - Tracer le diagramme de la contrainte normale tout au long de la barre. 3- Vérifier la résistante de la barre, à la section dangereuse, si la contrainte admissible du matériau est supposée de 15 kn/cm. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 33 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre : Traction et Compression Simples m 10 cm 5 cm 1 m 16 kn Eercice N 3 Deu barres clindriques en acier, sont reliées ensemble, comme le montre la figure ci-dessous. Le sstème entier est encastré à son etrémité inférieure et sollicité par l'effort P. P=156kg N A d L P P L d B Déterminer la valeur du diamètre d, si la contrainte admissible du matériau constituant chacune des deu barres est égale à 16kN/cm. Eercice N 4 Soit la barre en acier, encastrée à son etrémité supérieure et tendue par une force de 0,8kN/m linéairement répartie comme le montre la figure ci-dessous. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 34 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre : Traction et Compression Simples 0,8 kn/m 3 m 10cm 1- Que pourrait représenter la force de 0,8 kn/m? Schématisé cette force dans un modèle global. - Vérifier la résistante de la barre, à la section dangereuse, si la contrainte admissible du matériau est égale à 150 MPa. 3- Calculer l allongement total de la barre (en mm) si le module de Young vaut 1000daN/mm. Eercice N 5 Soit une barre conique en acier de longueur L, montrée sur la figure suivante. Sa section transversale varie uniformément d un diamètre d à un diamètre D d une limite à une autre. Déterminer l élongation due à la force aiale P appliquée de part et d autre de la barre. Eercice N 6 Soit le sstème articulé constitué des deu barres rigides AB et BC (verticale) soumis à la seule force verticale P appliquée au point B. la barre AB a une section transversale A 1, une longueur L 1 et un module de Young E 1. Les quantités correspondantes à la barre BC sont A, L et E. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 35 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre : Traction et Compression Simples - Déterminer les composantes horizontale et verticale du déplacement du point B. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 36 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 3 Cisaillement pur
Chapitre 3: Cisaillement Pur 3.1. Introduction Considérons un bloc matériel mince (Fig. 3.1), collé à une table; supposons qu'une plaque mince est maintenant collée à la surface supérieure du bloc. Si une force horizontale F est appliquée à la plaque, celle-ci tendra à glisser le long de la surface du bloc, et le bloc lui-même tendra à glisser le long de la table. Si les surfaces collées demeurent intactes, la table résiste au glissement du bloc, et le bloc résiste au glissement de la plaque sur sa surface. Si nous supposons que le bloc soit divisé en n'importe quel plan horizontal imaginaire, tel que le plan ab, la partie du bloc audessus de ce plan tendra à glisser au-dessus de la pièce au-dessous du plan. Chacune des deu parties du sstème divisé tendra à glisser par rapport à l'autre au niveau du plan ab. Chaque partie sera donc soumise à une action de cisaillement; les contraintes résultantes de ces actions s'appellent les contraintes de cisaillement. Les contraintes de cisaillement agissent tangentiellement par rapport à la surface. Plaque F F a Bloc b Fig. 3.1- Contraintes de cisaillement provoquées par des forces de cisaillement. Les contraintes de cisaillement surgissent dans beaucoup d'autres problèmes pratiques. La figure 3. montre deu plaques liées par un rivet simple, soumise à une force de traction F. Nous imaginons que le rivet est divisé en deu parties au niveau du plan ab; alors la moitié supérieure du rivet tend à glisser au-dessus de la moitié inférieure, et une contrainte de cisaillement est établie dans le plan ab (Fig. 3.3). F F a b Fig. 3.- Contraintes de cisaillement dans un rivet; Force de cisaillement transmise au rivet à travers le plan ab. Fig. 3.3- Section du rivet soumise à une contrainte de cisaillement. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 38 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 3: Cisaillement Pur 3.. Définition Il a cisaillement lorsqu'une pièce est sollicitée par deu forces égales, de même droite d'action mais de sens contraires qui tendent à faire glisser l'une sur l'autre des deu parties de la pièce (eemple: action d'une paire de ciseau sur une feuille de papier, action d'un poinçon sur une tôle,...). 3.3. Contrainte de cisaillement On considère une tôle de section S encastrée dans un massif rigide fie (Fig. 3.4). Le long de ce massif, on applique verticalement la lame d'une cisaille avec une force T appelée effort tranchant. Le principe de l'action et de la réaction fait que le massif eerce une force de réaction égale et opposée à T. La tôle est alors soumise au cisaillement. Si la cisaille est suffisamment tranchante, elle fait glisser les sections immédiatement voisines l'une sur l'autre au niveau de l'encastrement. En supposant que toutes les fibres de la tôle supportent la même tension, celleci vaut: T S (1) est appelée contrainte de cisaillement: c'est l'intensité de l'effort tranchant par unité de surface. Elle se mesure en Newton/m² (ou Pascal). T a T C 1 D a Eemple 3.1 Fig. 3.4- Sstème soumis à un effort tranchant. Calculer la contrainte moenne sur le plan ab sur la figure ci-dessous. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 39 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 3: Cisaillement Pur a P=40 kn 30 cm b 0 cm Solution de l'eemple 3.1 La contrainte moenne sur le plan ab est: T S Pcos S D'où pour, par eemple, égale à 45 on a: 40 030 0,047kN/ cm 3.4. Déformation de cisaillement On considère la section cisaillée dans la figure 3.4 et on la montre par la figure 3.5. La section - C'D'- glisse par rapport à la section -CD-. La déviation C' C' 1 d tg T C C C 1 D D a C a L C' C 1 ' d D 1 D L+L D' D 1 ' Fig. 3.5- Déformation de cisaillement. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 40 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 3: Cisaillement Pur Ou bien tg () a D'où L cos45 L a a sin45 s'appelle "distorsion" ou "déformation de cisaillement". (3) 3.5. Loi de HOOKE Pour beaucoup de matériau, la déformation de cisaillement est linéairement proportionnelle à la contrainte de cisaillement dans certaines limites (glissement faible). Cette dépendance linéaire est semblable au cas de la traction et de la compression directe. Dans les limites de la proportionnalité, on a G (4) Le coefficient de proportionnalité G est appelé module d'élasticité transversale ou de cisaillement et est semblable au module de Young E, pour la traction et la compression. Pour la plupart des matériau E est environ.5 fois plus grand que G. Pour les métau G 0.4 E. La relation (a) s'appelle la loi de HOOKE pour le cisaillement. Eemple 3. La contrainte de cisaillement dans un corps métallique est égale à 1050 kg/cm. Si le module de cisaillement vaut 8400 kn/cm, déterminer la déformation de cisaillement. Solution de l'eemple 3. De l'équation (4), on a: G 1050 0,0015rad 0, 5 840000 Université Hassiba Benbouali de Chlef - 41 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 3: Cisaillement Pur 3.6. Condition de résistance au cisaillement Dans certains cas, il peut être important qu'une pièce sollicitée en cisaillement doive résister en toute sécurité à celui-ci (eemple: assemblage par rivets). Pour qu'une pièce sollicitée en cisaillement résiste en toute sécurité, il faut que la contrainte de cisaillement ne dépasse pas une valeur critique [] appelée contrainte admissible en cisaillement: (5) [] est une caractéristique du matériau, elle ne dépend pas des dimensions de la pièce sollicitée en cisaillement. Elle représente généralement (éventuellement à un coefficient de sécurité près) la limite d'élasticité transversale de la pièce, c'est-à-dire la contrainte au-delà de laquelle la pièce ne reprend pas sa forme initiale après annulation de l'application de l'effort tranchant. e (6) n Où e est la limite élastique en cisaillement; n est le coefficient de sécurité. Limite élastique Pour les aciers la limite élastique en cisaillement e est égale à la moitié de la limite élastique en traction et compression e ; e = ec = et = e. 3.7. Applications En pratique, un bon nombre d'éléments de structure travaille principalement sous cisaillement. Le cisaillement peut être utilisé dans le dimensionnement de pièces travaillant en cisaillement. Les eemples les plus simples sont les assemblages par boulons ou par rivets, ou encore les assemblages par soudure. 3.7.1. Assemblage par rivets Les assemblages par rivets servent au pièces d'épaisseur faible ou moenne, comme les tôles et les profilés, en charpente et en chaudronnerie. Ils nécessitent un perçage préalable des pièces à assembler, ainsi que l'emploi de riveteuses, machines qui servent à écraser l'etrémité du rivet opposée à la tête, afin de réaliser l'assemblage. Si le sstème assemblé se trouve sollicité en traction, l'effort de traction va être transmis au rivet qui va travailler en cisaillement pur. Nous traiterons ci-dessous des eemples d'assemblage par rivets. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 4 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 3: Cisaillement Pur Eemple 3.3 On veut assembler, à l'aide de rivets dont le diamètre de chacun vaut 0 mm et d'un couvre joint, deu tôles métalliques de 140 mm de largeur et 10 mm d'épaisseur. L'ensemble est soumis à un effort de traction F = 10 000 dan, comme montré par la figure ci-dessous. 1- Déterminer le nombre de rivets nécessaires à cet assemblage si la contrainte admissible de cisaillement [], pour chaque rivet, est égale à la 90 MPa. - Vérifier la résistance du sstème si la contrainte admissible pour chacune des deu tôles est 1 dan/mm. F 140 mm F 10mm F 80 mm 10mm F Solution de l'eemple 3.3 1- Nous avons ici un seul plan de cisaillement. La force de cisaillement (effort tranchant) appliquée à la section cisaillée, au niveau du plan de cisaillement est Où n est le nombre de rivets. T 1 F n F T=F F Plan de cisaillement T=F F F S'il a un seul rivet, alors T F La contrainte de cisaillement sur la section cisaillée (revenant à chaque rivet) est Université Hassiba Benbouali de Chlef - 43 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 3: Cisaillement Pur 1 T A 1 1 ; A 1 d 4 La condition de résistance étant Alors, on écrit 1 10000 n 0 4 1 9 n 3,5 Le nombre de rivets nécessaire à cet assemblage est donc n 4 Les dispositions pratiques des rivets se fait selon les conditions suivantes " " ' ' 3d ' au voisinage de 1,5d 1,5d ",5d Selon ces conditions, le nombre de rivets obtenu est disposé sur la figure ci-dessous. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 44 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 3: Cisaillement Pur 140mm 10mm 80 mm 10mm F F 1- Pour vérifier la résistance du sstème, on doit vérifier la résistance de chacune des deu tôles au niveau de la section dangereuse qui passe naturellement par les aes des rivets, comme montrée co-dessous, avec b = 14 mm, t = 10 mm, d = 0 mm. 1 Section 1-1 Section - F N 11 ; N F ; A1 1 tb d ) A 11 10000 10 140 0 11 10daN / mm 1 La condition de résistance pour la traction 1 1 est vérifiée, alors le sstème résiste à l'effort de traction appliqué. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 45 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 3: Cisaillement Pur Eemple 3.4 Trois tôles en acier sont assemblées entre elles par deu rivets de diamètre chacun égale à 17 mm. 1- Vérifier la résistance des rivets si la contrainte admissible de cisaillement [] = 900 kg/cm. - Déterminer l'épaisseur minimale de chacune des deu tôles si []= 100 kg/cm. P/ e cm P= 4 tonnes P/ e P/ P L Solution de l'eemple 3.4 1- Nous avons ici deu plans de cisaillement. La force de cisaillement (effort tranchant) appliquée à la section cisaillée, au niveau d'un seul plan de cisaillement est T 1 F F/ T=F/ F F/ Plan de cisaillement F/ T=F/ F/ F Plan de cisaillement S'il a n est rivets. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 46 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 3: Cisaillement Pur T 1 F n La contrainte de cisaillement sur la section cisaillée (revenant à chaque rivet) est 1 F n ; A 1 A 1 d 4 Avec la condition de résistance on écrit 1 1 n F d 3 4.10 1 440,6kg / cm 17 900kg / 1 440,6kg / cm cm Alors la résistance des rivets est vérifiée. - La contrainte normale dans une des deu tôles à la section dangereuse est 11 N A 11 F / e 5 17, 3.10 1,6.e 11 100 e 1,04cm Donc l'épaisseur minimale que devrait avoir chacune de deu tôles est au moins égale à 10,4 mm. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 47 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 3: Cisaillement Pur 3.7.. Assemblage par boulons Les boulons sont composés d'une vis et d'un écrou (Fig. 3.6). Ils sont utilisés lorsque l'on désire démonter ultérieurement les pièces ou que les autres tpes d'assemblages mécaniques ne correspondent pas au performances souhaitées. Dans le cas de l'assemblage par boulons ordinaires, on empêche le déplacement relatif des éléments de l'assemblage en amenant ces éléments au contact du corps de la vis. C'est alors la résistance au cisaillement de la vis qui assure la tenue de l'assemblage (Fig. 3.7). Fig. 3.6- Schématisation d'un boulon. Fig. 3.7- Boulons opposés à la translation des profils. Le calcul au cisaillement se fait de la même manière que pour les rivets. De plus, lors de l'assemblage, le boulon doit vérifier: 1- Le serrage du boulon de sorte que le diamètre de la vis soit égal à celui du trou qui lui est destiné. Les trous sont, en général, percés à un diamètre supérieur de 1 à mm environ du diamètre nominal de la vis (Fig. 3.6). Université Hassiba Benbouali de Chlef - 48 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 3: Cisaillement Pur - La résistance au glissement. En effet, lors du serrage, la vis du boulon sera soumise à un effort de traction N (Fig. 3.8). Cet effort provoquera un cisaillement dans la surface: A c.d.h La condition de résistance au cisaillement sera donc: N A c La condition de résistance à la traction et par conséquent: N A t ; A t d 4 N d h Fig. 3.8- Tête du boulon soumise au cisaillement. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 49 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 3: Cisaillement Pur Eercice N 1 Eercices Une barre en acier d épaisseur e = 10 mm est reliée au reste d une structure par l intermédiaire d un gousset, également en acier, de contrainte admissible []=14 kn/cm. Les deu pièces sont assemblées entre elles à l aide d un nombre n de rivets de diamètres chacun égal à 17 mm et de contrainte admissible []=8 kn/cm répartis comme le montre la figure ci-dessous. 1- Quel est le nombre de rivets nécessaire à cet assemblage? - La barre en acier supportera-t-elle la charge appliquée? Justifier votre réponse. 1 P 8c m P = 70 kn P e 1 P Eercice N Deu pièces métalliques dont l'épaisseur de chacune est égale à 1 cm, sont assemblées à l'aide de 4 rivets dont le diamètre de chacun vaut à 16 mm et de deu couvres joints d'épaisseur égale à 0,6 cm, comme le montre la figure ci-dessous. La contrainte admissible dans les rivets est de 75 MN/m. L 400 mm 0,6cm F 1 cm F 1- Déterminer l'effort F (kn) que supporterait l'ensemble des rivets. - Dimensionner les barres si la contrainte admissible du matériau les constituant est de 16 dan/mm. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 50 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 3: Cisaillement Pur Eercice N 3 Pour l assemblage proposé, à trois boulons ajustés en acier, d=1mm, la contrainte admissible au cisaillement des boulons est égale à 30 dan.mm -. Déterminer l effort admissible F. Eercice N 4 Les plats 1 et sont collés comme l indique la figure. La résistance à la rupture en traction de la colle est de 35 dan.cm -, sa résistance au cisaillement est de 175 dan.cm -. La colle étant uniformément répartie sur la surface rectangulaire (30 70), déterminer l effort de traction admissible F par l assemblage. Eercice N 5 Un crochet est fié dans un plafond de hauteur h et supporte une charge verticale F de 00 dan. a) Si la contrainte admissible au cisaillement du matériau du plafond est de 1 MPa, déterminer h. b) Si la contrainte admissible en traction du crochet est de 100 MPa, déterminer son diamètre d. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 51 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4 Caractéristiques Géométriques des Sections Planes
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes 4.1. Introduction Pour une sollicitation de traction ou compression simple, seule la donnée de l'aire de la section droite est nécessaire pour étudier ou vérifier la résistance d une section d une poutre par eemple. Pour toutes les autres sollicitations, la forme et les dimensions de la section droite de la poutre jouent un rôle prépondérant sur le comportement au différentes sollicitations de torsion ou de fleion. Nous allons nous intéresser dans le présent chapitre au caractéristiques suivantes : - Aire d une section - Moment statique par rapport à une droite (ou un ae) - Centre de gravité - Moment quadratique d'une section par rapport à une droite (ou un ae) - Moment de résistance 4.. Aire d une section Par définition l aire A d une section est définie par l intégrale: A A da (4.1) Eemple 4.1 Calculer l aire d un triangle. Solution 4.1 Soit la surface triangulaire plane montrée par la figure ci-dessous. h h- (h/b) da d b Fig. E4.1 Université Hassiba Benbouali de Chlef - 53 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes Considérons une surface élémentaire telle que: da h1 d b b A da h1 d A 0 b bh Remarque Si la section est composée, nous la décomposons en sections usuelles et l aire est calculée comme: A n A i i1 Eemple 4. Calculer l aire de la section droite de la poutre montrée par la figure ci-dessous. On donne b 1 = 300 mm, b = 150 mm, t w = 10 mm, t f1 = 0mm, t f = 15 mm, h w = 1000 mm. Fig. E4. Solution 4. A = b 1 t f1 + b t f + t w h w A = 300 0 + 150 15 + 10 1000 = 1850 mm Université Hassiba Benbouali de Chlef - 54 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes 4.3. Moment statique Le moment statique S d une section par rapport à un ae o ou o (Fig. 4.1) est donné par l une des epressions suivantes: S X da A S Y A da (4.) (4.3) Y da (ds) r O Fig. 4.1- Section plane. X Si on procède à des translations parallèlement au aes o et o, les moments statiques changent. Soit la section montrée par la figure (4.) telle que S X, S Y, A sont connus et on se propose de déterminer S X et S Y. Y Y da b O X O a X Fig. 4.- Translation des aes. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 55 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes De la figure (4.), on a: Par définition, on a: d où: S S = a ; = b X' Y' A A ' da X' da S X = S X b.a b A a A da da (4.4) S Y = S Y a.a (4.5) 4.4. Centre de gravité On peut choisir a et b de sorte que S X et S Y soient nuls, c-à-d : a = S Y /A ; b = S X /A - l ae pour lequel le moment statique est nul s appelle ae central - le point d intersection de deu aes centrau s appelle centre de gravité d une section. Ainsi, les coordonnées du centre de gravité d une section s écrivent : G = S Y /A ; G = S X /A (4.6) Définition Le centre de gravité G d une section est le point tel que le moment statique de la section par rapport à n importe quel ae passant par ce point est nul. On peut dire que le moment statique d une section est égal au produit de l aire de la section par la distance entre son centre de gravité G et l ae. Les figures (4.3) et (4.4) montrent des eemples de positions de centres de gravité. G G Fig. 4.3- Aire rectangulaire. Fig. 4.4- Aire triangulaire. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 56 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes Remarque Pour une section composée, les coordonnées du centre de gravité sont données par les epressions: S = Gi.A i ; i = 1, n (4.7) S = Gi.A i ; i = 1, n (4.8) Eemple 4.3 Déterminer les coordonnées du centre de gravité de la section triangulaire ci-dessous. h b d Solution4.3 D où X G Fig. E4.3 b h da d A 0 b b da h A d b 0 X G b 3 Y G da A da A b 1 h h d 0 b b b h d b 0 Université Hassiba Benbouali de Chlef - 57 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: D où 1 Y G h 3 Caractéristiques géométriques des sections planes Propriétés Si la section possède un ae de smétrie, le centre de gravité G est situé sur cet ae. A défaut d aes de smétrie on procède à: - Choisir un référenciel (O,,) - Calculer le moment statique S de la section par rapport au aes du référentiel - Calculer l aire totale de la section - Utiliser la propriété du moment statique S Y = X G.A, S X = Y G.A Eemple 4.4 Calculer les coordonnées du centre de gravité de la section plane suivante. Y 3cm 7cm cm 3cm 8cm cm X Fig. E4.4 Solution4.4 S X =,5(510)-4(3)-1,5(3) = 15-4-9 = 9cm 3 S Y =5(510)-1,5(3)-9(3) = 50-9-54 = 187cm 3 X G = S Y / A = 187/38 = 4,9cm Y G = S X / A = 9/38 =,4cm Université Hassiba Benbouali de Chlef - 58 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes 4.5. Moment d inertie 4.5.1. Définition On définit le moment d inertie ou moment quadratique d une section comme le degré de résistance de cette section au efforts etérieurs appliqués, en tenant compte de la forme de cette section. Par définition, les intégrales: I da (4.9) A I da (4.10) A S appellent moments d inertie de la section A par rapport au aes o et o, respectivement, conformément à la figure 4.1. Ces epressions sont déduites de la définition suivante. Le moment d inertie d une surface infiniment petite par rapport à un ae éloigné de cette surface est égal au produit de son aire par le carré de la distance à l ae. Il est toujours positif et s eprime en m 4 (cm 4, mm 4 ). da d I aa = da. d a a Fig. 4.5 Moment quadratique d une section. L intégrale: I da (4.11) A S appelle moment centrifuge ou produit d inertie de la section A par rapport au sstème o. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 59 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes Remarque Les moments quadratiques I et I sont toujours positifs, tandis que le moment produit I peut être positif, négatif ou nul. Eemple 4.5 Calculer les moments quadratiques par rapport au aes o et o et le moment produit pour le rectangle montré par la figure suivante. Y Y da h d G X O b X Fig. E4.5 Solution 4.5 I I ' ' ' A H ' 0 da bh.b.d' 3 3 De la même manière I ' ' A 3 b h da 3 et I I ' ' ' ' '.' A da B b h '.'.d'.d' 4 H 0 0 Université Hassiba Benbouali de Chlef - 60 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes 4.5.. Moment d inertie polaire Le moment d inertie polaire de la section montrée par la figure 4.1 est donné par la relation: Avec d où I P r da (4.1) A r = + I P I I (4.13) Le moment d inertie polaire est toujours positif et n est jamais nul. Théorème Le moment d inertie polaire d une section par rapport à tout point de cette section est égal à la somme des moments d inertie par rapport à deu aes perpendiculaires passant par ce point. Eemple 4.6 Pour le quart de cercle montré par la figure (E4.6-a), calculer le moment quadratique polaire I O. da O Fig. E4.6-a R O d r dr Fig. E4.6-b Solution4.6 De la définition du moment d inertie polaire et la figure (E4.6-b) on écrit: I O r da r rdrd A A Université Hassiba Benbouali de Chlef - 61 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes I O R 3 r dr d 0 0 ou en terme du diamètre I O 4 D 18 R 8 4 4.6. Variations des moments d inertie 4.6.1. Translation des aes Soit une section A, ses moments d inertie dans le sstème o: I, I, I sont connus. On se propose de calculer les moments d inertie de la section A dans le sstème o en procédant au translations des aes o et o conformément à la figure 4.6. = + a ; = + b I ' A ' da A b da D où I ' A da b A da b A da I bs b A (4.14) On suit le même raisonnement pour I et I Si le point O coïncide avec le centre de gravité G, les moments statiques S et S deviennent nuls et on a: I ' I b A (4.15) I ' I a A (4.16) I ' ' I aba (4.17) Université Hassiba Benbouali de Chlef - 6 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes Y Y da b O X O a X Fig. 4.6 Moment d inertie d une section et translation des aes. Théorème de Hugens Le moment d inertie d une section par rapport à un ae quelconque Δ est égal au moment d inertie de la section par rapport à l ae passant par son centre de gravité et parallèle à Δ augmenté du produit de l aire de la section par le carré de la distance entre les deu aes. A G G d Fig. 4.7- Schématisation du théorème de Hugens. I I G d A (4.18) Université Hassiba Benbouali de Chlef - 63 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes Eemple 4.7 Déterminer les moments d inertie par rapport au sstème O pour le rectangle montré par la figure ci-dessous. Y Y h h/ G X O b X Solution 4.7 De la relation de Hugens on écrit: I I ' d A Fig. E4.7 et I bh 3 I ' 3 h d A 3 bh bh 1 3 b h b 3 De même 3 b h bh 1 I I ' ' aba b h 4 b h bh 0 Car les aes et sont centrau. 4.6.. Rotation des aes Soit une section A, ses moments d inertie dans le sstème o I, I, I sont connus. On se propose de calculer les moments d inertie de la section A dans le sstème uov qui fait un angle avec le sstème o (Fig. 4.8). Université Hassiba Benbouali de Chlef - 64 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes V Y da u v U O X Fig. 4.8- Moment d inertie d une section et rotation des aes. D après la figure (4.8) u cos sin v sin cos En utilisant la définition du moment d inertite, on écrit: I u v da A cos A da sin A da sin cos da A cos.i sin.i sin cos.i En utilisant les relations trigonométriques: sin 1 cos 1 cos ; cos l epression ci-dessus devient: I u 1 cos I 1 cos I 1 sin I Ou bien, Université Hassiba Benbouali de Chlef - 65 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes I u 1 I I I I cos I sin 1 (4.19) En suivant le même raisonnement on obtient: I v 1 I I I I cos I sin 1 (4.0) I uv I I sin I cos 1 (4.1) On remarque que I + I = I u + I v (4.) Cela signifie que la somme des moments quadratiques par rapport à deu aes perpendiculaires reste constante quelque soit la valeur de l angle de rotation. I On remarque aussi que I u et I v oscillent autour de la valeur moenne En dérivant I u et I v par rapport à on obtient: I. di d u di d v Les etrema sont donnés pour: d 0 d D où I tg (4.3) I I Cette relation est satisfaite pour deu valeurs de θ entre 0 et π qui correspondent à un maimum I 1 (I ma ) et un minimum I (I min ) qui sont les moments principau d inertie. Les aes correspondant au moments d inertie principau sont appelés aes principau. Pour déterminer (I ma ) et (I min ), on peut utiliser le cercle de Mohr. Pour tracer le cercle de Mohr, on suit les étapes suivantes: 1- tracer un repère orthogonal et orthonormé (O, I Q, I QR ) (Fig. 4.9) - placer les points A(I, I ) et B(I, -I ) dans ce repère 3- déduire le point C, point d intersection de la droite AB et l ae des abscisses 4- déduire du cercle de Mohr I ma (I 1 ) et I min (I ): Université Hassiba Benbouali de Chlef - 66 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes on a I ma I1 I min I OC R OC R D où I ma I I I I I (4.4) I min I I I I I (4.5) I QR ma I V I S D(I u, I uv ) A(I, I ) O I min I C I U P I I ma I Q -I min B(I, -I ) Fig. 4.9- Cercle de Mohr. 4.7. Module de résistance Le moment de résistance d une section droite est le rapport entre le moment d inertie aial et la distance la plus éloignée de cet ae. W min I ma ; W min I ma (4.5) Eemple 4.8 Soit pour la figure suivante déterminer le moment de résistance minimal. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 67 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes a b G Fig. E4.8 Solution 4.8 Deu cas se présentent : Si a b W min = I / b Si a b W min = I / a 4.8. Raon de giration Le raon de giration d une surface A selon l ae ou l ae est défini par: i I A ou i I A (4.6) Eemple 4.9 Calculer les raons de giration d un rectangle. Solution 4.9 Soit la surface rectangulaire montrée par la figure suivante: Université Hassiba Benbouali de Chlef - 68 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes G h b Fig. E4.9 Les raons de giration sont: i 3 3 bh b h 1 bh 0,3h ; i 1 bh 0,3b 4.8. Conclusion Dans ce chapitre, les caractéristiques géométriques des sections planes à manipuler dans le dimensionnement des éléments d une structure sont présentées avec des eemples illustratifs. Ce chapitre est accompagné de deu annees. Dans la première annee, les caractéristiques (aire, coordonnées du centre de gravité et moments quadratiques centrau) pour des sections usuelles sont données. Dans la deuième annee, on a présenté sous forme d un tableau les étapes à suivre pour déterminer les moments d inertie centrau pour des sections composées en procédant par décomposition en sections usuelles. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 69 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes Eercices Eercice N 1 Déterminer l aire et le centre de gravité de la section plane ci-dessous. 3 cm 5 cm 8 cm Eercice N Déterminer les moments statique S X et S Y de la section représentée sur la figure ci-contre. En déduire les coordonnées X G et Y G du centre de gravité de section. 00 mm 16 16 100 mm Université Hassiba Benbouali de Chlef - 70 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes Eercice N 3 Calculer, analtiquement, le moment quadratique polaire I O de la section S représentée sur la figure ci-contre. Eercice N 4 1- Eprimer le moment d'inertie quadratique (I Y ) de la section triangulaire montrée par la figure (a). - Montrer que le moment d'inertie quadratique (I Y ) de la section triangulaire montrée par la figure (b) est: I 3 b h 48 h h G b b/ b/ Figure (a) Figure (b) Eercice N 5 Pour la section plane montrée par la figure ci-dessous, sachant que I X'X =690,44cm 4 I Y'Y =158,44cm 4, déterminer: le raon "R"du creu circulaire, la position "d" du centre de gravité du creu circulaire par rapport à l'ae X'X. et Université Hassiba Benbouali de Chlef - 71 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 4: Caractéristiques géométriques des sections planes Y 6 cm R d 8 cm Eercice N 6 X 3 cm 3 cm Y Pour chacune des sections planes ci-dessous: 1- Calculer les moments d inertie de la section par rapport au aes passant par le centre de gravité G de la section. - Tracer le cercle de Mohr et déduire les moments d inertie centrau principau pour cette section. 3- Dessiner les aes centrau principau dans un plan phsique. 4- Déduire du cercle de Mohr le moment quadratique par rapport à un ae faisant un angle de 45 avec l ae GX. X Y 0 0 3cm 40mm 10 G 40mm X 8cm 10 40 10 6cm Université Hassiba Benbouali de Chlef - 7 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 5 Torsion
Chapitre 5: Torsion 5.1. Définition La torsion (dite aussi torsion pure) est un mode de sollicitation de sorte que dans toute section droite d un corps (ou d une pièce) il n eiste qu un moment de torsion M t. Une barre soumise principalement à la torsion porte le nom d arbre (Fig. 5.1). M A F F B d Fig. 5.1- Eemple d une barre soumise à la torsion. La condition d équilibre de la barre ci-dessus est: M A M F.d (5.1) B De ce fait, toute section droite de la barre n est sollicitée que par un moment de torsion M t M A et on dit que cette barre est en état de torsion pure. 5.. Moment de torsion 5..1. Convention de signe Par convention, le moment de torsion (effort interne) est: positif ( M t 0 ) s il agit dans le sens antihoraire pour un observateur qui regarde la section. négatif ( M t 0 ) s il agit dans le sens horaire pour un observateur qui regarde la section. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 74 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 5: Torsion Fig. 5.- Convention de signe. 5... Diagramme du moment de torsion Le moment de torsion agissant en un point d une barre est égal à la somme algébrique des moments des couples etérieurs appliqués d un côté ou de l autre de la partie considérée (la partie considérée est laissée au choi) Eemple 5.1 Tracer le diagramme du moment de torsion pour la barre montrée par la figure suivante. 40 10 10 t/m 5.3. Contraintes de cisaillement et angle de torsion 5.3.1. Hpothèses Les problèmes de torsion peuvent être résolus en utilisant les méthodes de la résistance des matériau en adoptant les hpothèses: 1- La section droite plane et perpendiculaire à l ae de la pièce (ou d un élément) avant sollicitation reste droite plane et perpendiculaire à l ae après sollicitation. Cette hpothèse peut être vérifiée epérimentalement pour les corps à sections circulaires et est incorrecte pour les sections non circulaires. - Le diamètre de la section avant sollicitation reste droit après déformation suite à l application du moment de torsion. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 75 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 5: Torsion 5.3.. Angle de torsion Considérons une barre de section circulaire soumise à un moment de torsion constant. Coupons un élément de longueur (d) M t d b b d Fig. 5.3- Elément d une barre soumise à la torsion. bb' rd d est appelé déformation (ou angle) de cisaillement. d r d d est l angle de torsion par unité de longueur qui est constante et on la note par de sorte : d r. (5.) 5.3.3. Contraintes de cisaillement La loi de Hooke pour le cisaillement est :.G (5.3) G est appelé module de cisaillement ou module d élasticité transversale, dépend du matériau et est eprimée en MPA. En remplaçant la déformation de cisaillement par son epression, on obtient : r.g. (5.4) Pour calculer les contraintes de cisaillement dans la barre on utilise, au lieu du raon r, la coordonnée polaire au point considéré: Université Hassiba Benbouali de Chlef - 76 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 5: Torsion dt O da Fig. 5.4- Force de cisaillement en un point d une section. La force élémentaire agissant sur la surface da est : dt.da Cette force fait naitre un moment de torsion élémentaire dm t : dm t.dt Ainsi, le moment de torsion est: La quantité A da M t A G...dA A da est appelée le moment d inertie polaire (I P ). d où M t G..I M G.I t P P (5.5) (5.6) Des relations (5.), (5.3) et (5.6), on tire: La contrainte de cisaillement maimale est : Avec W P I r P M t (5.7) I M P M t t ma r (5.8) I P WP est le module de résistance polaire de la section. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 77 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 5: Torsion ma O r Fig. 5.5- Distribution des contraintes de cisaillement dans une section soumise à la torsion. Eemples de Calcul des modules de résistance polaires D Section circulaire pleine: I P r W P 4 D 3 D 3 D 16 D d Section circulaire tubulaire: I P r W P 4 D d 3 D 4 4 D d 16D 4 5.4. Dimensionnement à la torsion 5.4.1. Condition de résistance Pour qu un corps sollicité en torsion pure résiste en toute sécurité, il faut que les contraintes de cisaillement maimales engendrées par un moment de torsion donné dans une section ma Université Hassiba Benbouali de Chlef - 78 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 5: Torsion soient inférieures ou égales à la contrainte de cisaillement admissible du matériau constituant le corps. C-à-d ma (5.9) 5.4.. Condition de rigidité L angle de torsion relatif est donné par l epression: d M d G.I L M G.I t 0 P d t P (5.10) Pour une portion de la barre de longueur L et de section constante (I P =Cste), sollicitée par un moment de torsion constant (M t = Cste), l angle de torsion devient: M G.I M t.l G.I P t P L 0 d (5.11) Et pour toute la barre, on a: i M ti G.I.L P i i (5.1) La condition de rigidité est que l angle de torsion soit inférieur ou égal à la valeur admissible, c- à-d: (5.13) Généralement, 0,3 / m Eemple 5. Calculer le diamètre de l arbre ci-dessous puis vérifier sa rigidité. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 79 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 5: Torsion 7000 5000 5000 000 3000 kg.cm 1m 1m 1m m 5.5. Torsion d une barre à section transversale non circulaire La torsion des barres à sections transversales non circulaires ne peuvent s étudier au moen des méthodes de la résistance des matériau. A cet effet, on donne ici (sans démonstration) quelques résultats obtenus de la théorie de l élasticité. Les contraintes de cisaillement maimales dans une section sont données par: M t ma (5.14) Wt W t est appelé module de résistance à la torsion et il est différent du module de résistance polaire W P sauf pour les sections circulaires et s eprime par la relation: Tels que h et b sont les dimensions de la section avec h b. t W.h. b (5.15) L angle de torsion se calcule dans ce cas par l epression: M.L G.I t (5.16) t Où I t est donné par : I.h. b t 3. Les coefficients α et sont donnés en fonction du rapport h/b dans le tableau 5.. Tableau 5.- Valeurs des coefficients α et en fonction du rapport h/b. h/b 1,0 1, 1,5,0,5 3,0 4,0 5,0 10,0 α 0,08 0,19 0,31 0,46 0,58 0,67 0,8 0,91 0,313 0,333 0,141 0,166 0,196 0,9 0,49 0,63 0,81 0,91 0,313 0,333 Université Hassiba Benbouali de Chlef - 80 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 5: Torsion Eemple 5.3 Calculer les dimensions de la section de la barre ci-dessous sollicitée en torsion sachant que h/b = et []= 500 kg/cm. 60000 4000 18000 10000 kg.cm h b Université Hassiba Benbouali de Chlef - 81 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 5: Torsion Eercice N 1 Eercices Considérons un barreau circulaire de 100 mm de diamètre dont l etrémité inférieure est encastrée et l autre etrémité est soumise à un couple de bras de levier d = 00 mm et une force F = 10 000 N, qui produit un moment de torsion dans le barreau. d F F Calculez la contrainte de cisaillement dans une section quelconque: 1- au centre de gravité de la section; - en un point du pourtour de la section. Eercice N Un arbre clindrique de diamètre d transmet un couple de moment M=100N.m. Le tpe de construction eige une grande rigidité. On limite la déformation unitaire à 0,5 degré/m. Le matériau de cet arbre est un acier pour lequel e =75Mpa et G=8104MPa. 1- Déterminer le diamètre minimal de l'arbre. - Déterminer la contrainte tangentielle maimale pour d=41mm. 3- Quelle est la valeur du coefficient de sécurité dont on dispose? Eercice N 3 Soit deu arbres de transmission pleins construits à partir du même acier, G = 8000 dan/m. Le premier est de diamètre D; le second de diamètre d= 0,8 D. La résistance pratique au cisaillement adoptée pour les deu cas est de 10 dan.mm -. Déterminer les dimensions optimales des deu arbres. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 8 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 5: Torsion D d 100 N.m Eercice N 4 Un arbre creu de diamètre etérieur égal à 50 mm et de diamètre intérieur égal à 40 mm, a une longueur de 1.50 m. 1- Sachant que la contrainte tangentielle est de 30 N/mm, calculer le couple transmis par cet arbre. - De quel angle tournent les sections etrêmes, l une par rapport à l autre? (Prendre G = 80000 N / mm ). Eercice N 5 Estimer la contrainte maimale et l angle total de torsion de l ensemble des tubes d un forage pétrolier, lorsque la profondeur atteinte par le trépan est de 000 m et que le couple de torsion correspondant est de 40 knm. Le train de tubes vissés les uns au autres est assimilable à un tube unique de diamètre etérieur 115 mm et de diamètre intérieur de 9 mm. Eercice N 6 Soit une poutre en acier de section transversale rectangulaire encastrée à son etrémité gauche et sollicitée, comme le montre la figure ci-dessous. F=10kN z 7.5cm 7.5cm L=m 5cm 5cm F=10kN 1- Tracer la distribution des contraintes le long d une section transversale de la poutre. - Vérifier la résistance de la poutre, on donne [] 1100 kg/cm. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 83 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 5: Torsion Eercice N 7 Considérons une tôle d acier de 10 mm d épaisseur et de 1 m de largeur, dont les etrémités A et B sont soumises à des forces égales et opposées. Calculer la contrainte maimale de cisaillement dans la tôle si F = 1 000 N. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 84 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6 Fleion simple
Chapitre 6: Fleion simple 6.1. Sstème isostatique, sstème hperstatique, mécanisme Soit k le nombre d'équations d'équilibre (6 dans l'espace, 3 dans le plan). Soit r le nombre d'inconnues (résultantes de liaison et moments de liaison). Si r = k : Les actions de liaison sont déterminées par les équations de la statique. La structure est dite isostatique (Fig. 6.1-a). Si r> k : Le nombre d'équations d'équilibre est alors insuffisant à la détermination des actions de liaison inconnues. La structure est dite hperstatique de degré r k (Fig. 6.1-b). Si r < k : l'équilibre est impossible en général. Le sstème est hpostatique (mécanisme). L'étude des mécanismes déborde du cadre de la résistance des matériau (Fig. 6.1-c). Fig. 6.1- Eemples de Poutres: (a) isostatiques, (b) hperstatiques, (c) mécanismes. 6.. Définitions Une poutre est soumise à la fleion lorsque les forces qui lui sont appliquées tendent à faire varier sa courbure (Fig. 6.). Université Hassiba Benbouali de Chlef - 86 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple Fig. 6.- Courbure d une poutre. On entend par fleion simple un mode de sollicitation tel que dans les sections droites de la poutre il eiste deu composantes des efforts intérieurs: le moment fléchissant M fz (ou M fy ) et l effort tranchant T Y (ou T Z ). La fleion est aussi dite simple, lorsque la poutre possède un plan de smétrie et que les forces fléchissantes agissent dans ce plan, perpendiculairement au grand ae de la poutre (Fig. 6.3). Nous nous limiterons dans ce cours à l'étude de la fleion des poutres droites isostatiques, c'està-dire celles pour lesquelles les équations d équilibre suffisent à la détermination des actions de liaison. Nous nous limiterons également au poutres dont le plan de smétrie est vertical (G). Fig. 6.3- poutre en fleion simple. Hpothèses a) Les déformations sont élastiques et suffisamment petites pour ne pas modifier l'intensité des forces ni leurs distances respectives. b) Toute fibre contenue dans un plan de smétrie demeure dans ce plan pendant la déformation. c) Hpothèse de Navier-Bernoulli(1705): les sections droites de la poutre demeurent planes et perpendiculaires à l'ae de celle-ci après déformation. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 87 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple 6.3. Efforts tranchants, moments fléchissants Soit la poutre ci-dessous soumise à la fleion simple. Imaginons une coupure en un point C qui divise la poutre en deu parties notées gauche et droite. Chacune de ces deu parties est en équilibre sous l'action des efforts etérieurs qu'elle reçoit et sous l'action des effets de l'autre partie (efforts intérieurs). Fig. 6.4- Eemple illustratif d une poutre sollicitée en fleion simple. Chacune des deu partie agit sur l autre de sorte que: Tous les mouvements horizontau, verticau et de rotation d une partie par rapport à l autre sont nuls. Chaque partie est en équilibre Pour qu il ait concordance en signe entre les deu parties, on utilise la convention de signe montrée sur la figure (6.5). L'effort tranchant T() dans une section d'abscisse, séparant la poutre orientée en une partie gauche et une partie droite, est la résultante des forces etérieures s'eerçant sur la partie gauche. Le moment fléchissant M() dans une section d'abscisse, séparant la poutre orientée en une partie gauche et une partie droite, est la somme des moments etérieurs (dus au couples concentrés et au efforts d'action et de réaction) s'eerçant sur la partie gauche. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 88 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple (a) F = 0 N = 0 F = 0 T Y = Pb/L M/ C = 0 M Z = (Pb/L ). F = 0 N = 0 F = 0 T Y = P - Pa/L T Y = Pb/L M/ C = 0 M Z = (Pa/L ).(L-) - p(l--b) M Z = (Pb/L ). (b) Fig. 6.5 - Conventions de signe. 6.4. Diagrammes des Efforts tranchants et des moments fléchissants Le diagramme des efforts tranchants est la courbe représentative de la fonction T() et le diagramme des moments fléchissants est la courbe représentative de la fonction M(), où est l abscisse de la poutre de l une de ses etrémités. Eemple 6.1 Eprimer et tracer la variation de l effort tranchant et le moment fléchissant le long de la poutre schématisée par la figure ci-dessous. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 89 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple Fig. E6.1-a Solution 6.1 Supposons que la poutre soit coupée au point C (1 ère partie) puis au pont (D) ( ème partie). 1 ère partie : 0 a ème partie : a L Fig. E6.1-b F = 0 N = 0 F = 0 T Y = Pb/L M/ C = 0 M Z = (Pb/L ). M Z (=0) = 0 M Z (=a) = Pab/L Fig. E6.1-c F = 0 N = 0 F = 0 T Y = - Pa/L M/ C = 0 M Z = (Pa/L ).(L-) M Z (=a) = Pab/L M Z (=L) = 0 Aant obtenu les epressions des efforts tranchants et moments fléchissants pour chacune des deu parties, traçons leurs variations le long de la poutre comme montrées par la figure cidessous. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 90 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple Fig. E6.1-d 6.5. Relation entre moment fléchissant et effort tranchant Considérons un élément de poutre pris entre deu sections () et (') infiniment voisines, distantes de d (Fig. 6.6). Fig.6.6 - Elément de poutre isolé non chargé. L'influence de la partie gauche sur l'élément est représentée pat T et M. L'influence de la partie droite sur l'élément est représentée par T et M. Si aucun effort ne s'eerce sur la poutre entre les sections () et ('), les efforts tranchants de ces deu sections sont égau (T = T). Par contre les moments fléchissants M et M (M =M+dM) diffèrent. L'équilibre de l'élément s'écrit: Soit: M + T d - M - dm = 0 Université Hassiba Benbouali de Chlef - 91 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple dm T d (6.1) Ainsi, sur toute portion de poutre comprise entre des charges, l'effort tranchant est la dérivée par rapport à l abscisse du moment fléchissant. 6.6. Relation entre effort tranchant et chargement réparti Considérons le cas où une charge répartie, d'intensité p, s'eerce entre les sections () et (') (Fig. 6.7). La charge totale appliquée sur l'élément est p d. Fig.6.7 - Elément de poutre isolé chargé par une force uniformément répartie. l'équilibre des forces sur l'élément mène à: Ce qui veut dire que: L'équilibre des moments donne: T - p d - T - dt = 0 dt d p (6.) M + T d - p d d/ - M - dm = 0 d dm En négligeant le terme du second ordre ( p ), il reste T. Ce qui veut dire que la d relation entre l effort tranchant et le moment fléchissant reste valable au premier ordre. Eemple 6. Pour la poutre console schématisée par la figure ci-dessous, eprimer et tracer la variation de l effort tranchant et le moment fléchissant le long de la poutre. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 9 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple p p M O L O L R O Fig. E6.-a Solution 6. On a, pour 0 L : T M p. p. Ces epressions montrent la variation de l effort tranchant et du moment fléchissant en fonction de l abscisse. Leurs tracés sont montrés sur la figure E6.-b. p L T pl pl / M Fig. E6.-b Remarque Lorsqu'une charge concentrée s'eerce entre () et (') (Fig. 6.8), l équilibre s'écrit: T' = T F Université Hassiba Benbouali de Chlef - 93 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple Fig.6.8 - Elément de poutre isolé chargé par une force concentrée. L'effort tranchant varie d'une quantité F lorsqu'on dépasse le point d'application de la charge. En ce point, la pente du moment fléchissant (dm/d) varie brusquement (point anguleu). 6.7. Déformée d'une poutre soumise à la fleion simple (flèche) Sous l'effet des sollicitations auquelles elle est soumise, une poutre se déforme. On désigne par flèche à l'abscisse, le déplacement du centre de gravité de la section correspondant à cette abscisse. Elle est comptée positivement si le déplacement s'effectue vers le bas. Le nouveau lieu des centres de gravité de toutes les sections de la poutre prend le nom de déformée (Fig. 6.9). Y () L X Fig.6.9 - Poutre déformée. On admet la relation suivante qui permet le calcul de la déformée ( ) M( ) EI ( ) est la dérivée seconde de la flèche par rapport à M(), le moment fléchissant à la section d'abscisse. E, le module d'élasticité longitudinale (module d'young). (6.3) I, le moment d'inertie de la section par rapport à l'ae passant par le centre de gravité et perpendiculaire au plan moen de la poutre. La figure (6.10) montre des epressions du moment d inertie central pour des sections usuelles. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 94 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple h 1 h z h b 1 b b D h 1 b I bh 3 z = pr 4 I 1 z = 4 I z = [bh 1 3 /1 +((h+h 1 )/)(bh 1 ) + bh 3 /1 Section rectangulaire Section circulaire Section composée (en I ) Fig.6.10 - Eemples de sections usuelles. Pour avoir la flèche (ou v), il faut donc intégrer cette équation deu fois, d où l obtention d une équation fonction de deu constantes que l on obtient par les conditions au limites. Celles-ci s écrivent, généralement: - Pour un appui : = 0 - Pour un encastrement: = 0 et = 0 (formules de Bresse) 6.8. Calcul des contraintes 6.8.1. Cas de la fleion pure On dit qu une poutre est sollicitée en fleion pure si toutes les composantes des efforts intérieurs sont nulles à l eception du moment fléchissant (M fz of M f 0) (Fig. 6.11). Autrement dit le moment fléchissant est constant, T=dM/d d où T = 0 Eemples de poutres en fleion pure Les figures (6.1-a) et (6.1-b) schématisent une poutre et un tronçon de poutre, respectivement, soumis à la fleion pure. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 95 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple m Z A B A P C D P B L a a m Z (a) Pa (b) Pa Fig. 6.11 Illustration de la fleion pure: (a) poutre en fleion pure, (b) tronçon de poutre en fleion pure. Pour un point P quelconque, selon l hpothèse de Bernouilli, on peut écrire: M Z (6.4) I Avec I Z Z ds (6.5) P est la distance à l ae et I Z le moment d inertie par rapport à l ae de fleion S Y Z P ds X Fig.6.1- Contrainte dans une fibre déformée. Dimensionnement Pour dimensionner la poutre on peut utiliser deu tpes de critères : - un critère en contrainte normale (condition de résistance) - un critère sur la flèche maimale (condition de rigidité) Le critère sur la flèche maimale, traduit le fait que la flèche maimale v(p) en un point P doit rester inférieure à une valeur donnée dépendante des conditions d utilisation: Université Hassiba Benbouali de Chlef - 96 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple Ma(v(P)) [v] (6.6) Pour les poutres ordinaires, la valeur de la flèche admissible est de l ordre de: [v] = [f] = L/100 L/1000 où L est la longueur de la poutre. On pourrait aussi imaginer un critère de rotation maimale de la section droite. 1- Pour les poutres rigides, c à d v L/100, la grandeur u est très petite devant v (Fig. 6.13), d où on néglige son influence sur la déformation de la poutre et on ne tient compte que des deu composantes v et z. - Puisque pour les poutres rigides z est petite ( z 1 ), on admet que: z tg z D autre part, on sait que, mathématiquement, tg z = dv/d, d où: z = dv / d (6.7) Ainsi, la déformation de la poutre fléchie est caractérisée par les composantes v et Z tel que: Ma z [] (6.8) Dimensionnement à la condition de résistance Le dimensionnement d une poutre fléchie à la condition de résistance passe par les étapes suivantes: 1- Tracé du diagramme de M f (M Z ou M Y ) le long de la poutre, - Détermination de la section dangereuse à partir du digramme de M f, 3- Calcul de la contrainte maimale ma, c'est-à-dire la contrainte au niveau du point dangereu le long de la section transversale de la poutre, 4- Satisfaction de la condition de résistance qui s écrit selon la méthode des contraintes admissibles comme suit: ma [] (6.9) ma est obtenue en analsant la variation de dans une section dangereuse de la poutre. Dans ce cas M Z et I Z sont constants et dépend linéairement de la coordonnée (Fig. 6.14). Université Hassiba Benbouali de Chlef - 97 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple a) Z k k v P u b) Z k k v P Fig.6.13- Déformations dans une poutre fléchie. - 1 1 z 1 M Z + Fig.6.14- Distribution des contraintes dans une section d une poutre en fleion pure. =0 pour les points correspondants à l ae z (l ae neutre) Les valeurs maimales de correspondent au points les plus éloignés de l ae neutre (les points 1 et ) De l équation () = (M Z / I Z ). (équation de Navier), on obtient: ma (1) = M Z ma / W Z (1), W Z (1) = I Z / 1 = W Z (t) ma () = M Z ma / W Z (), W Z () = I Z / = W Z (c) (6.10-a) (6.10-b) Université Hassiba Benbouali de Chlef - 98 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple (t) (c) Où W Z et W Z sont les modules de fleion ou de résistance, calculés pour le point le plus tendu (point 1) et le point le plus comprimé (point ), respectivement. D où, les conditions de résistance: (+) ma ma = M Z / W (t) Z [] + (-) ma ma = M Z / W (c) Z [] - Pour la majorité des poutres utilisées en construction: W (t) (c) Z = W Z et (+) (-) ma = ma (6.11-a) (6.11-b) alors les conditions de résistance ci-dessus peuvent être eprimées sous la forme: Remarques ma = M Z ma / W Z [] (6.1) a) Si W Z (t) = W Z (c) mais [] + [] -, on peut utiliser la dernière condition de résistance en prenant pour [] la valeur minimale (en module) entre [] + et [] -. b) Si [] + = [] - mais W Z (t) W Z (c), on peut utiliser la dernière condition de résistance en prenant pour W Z la valeur minimale (en module) entre W Z (t) et W Z (t)-. Notons qu il eiste d autres méthodes de calcul des poutres à la résistance telle que la méthode des états limites. 6.8.. Cas de la fleion simple Pour le cas de la fleion simple, en plus du moment fléchissant qui est variable dans ce cas il eiste la composante de l effort tranchant T, c'est-à-dire en plus de la contrainte normale on a une contrainte tangentielle. La contrainte normale s eprime par l équation précédente (6.4) de Navier (cas de la fleion pure). La contraint tangentielle est donnée par l équation de Jouravsk: Avec T.S 1z I.b (6.13) z S1z ds est le moment statique de la surface située au dessus de la coordonnée et par rapport à l ae z (l ae 3 sur la figure 6.15). La quantité b() est la largeur de la fibre étudiée correspondant à la coordonnée. S 1 Université Hassiba Benbouali de Chlef - 99 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple z b() A 1 (a) (b) Remarques Fig.6.15- Tronçon de poutre non chargé longitudinal (a), transversal (b). - Dans le cas de la figure ci-dessus (S 1z () positif), le signe de dépend uniquement du signe de T. - varie le long de la hauteur de la section en fonction de S 1z () et b(). Pour les points les plus éloignés de l ae neutre = 0. Pour trouver la valeur maimale de il faut (dans le cas général) analser le digramme respectif de. Notons que pour la majorité des poutres utilisées en construction (section smétrique par rapport à l ae z), ma a lieu au niveau de la fibre neutre. Cependant, il a des eemples où est maimale pour une des autres fibres (Fig. 6.16). Pour les sections ordinaires, il est commode de déterminer ma à l aide de l epression: T ma K S (6.14) Où S est l aire de la section et K un coefficient dépendant de la forme de la section (Tableau 6.1). Tableau 6.1- Eemples de valeurs du coefficient de forme K. Forme de la section Rectangulaire Ronde Triangulaire Coefficient K 3/ 4/3 3/ Université Hassiba Benbouali de Chlef - 100 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple ma ma z z ma ma z z Fig.6.16- Eemples de distribution des contraintes tangentielles dans une section de poutre en fleion simple. Dimensionnement Pour dimensionner la poutre on utilise un critère en contrainte ou en flèche maimale comme dans le cas de la fleion pure. Dimensionnement à la condition de résistance Le calcul à la résistance se fait comme dans le cas de la fleion simple (détermination des sections dangereuses et des points dangereu, satisfaction des conditions de résistances). Pour la sélection des sections dangereuses, on distingue, généralement, trois cas: Si M Z et T Y ont des valeurs maimales dans la même section le long de la poutre, cette section est considérée dangereuse et on effectue le calcul à la résistance. Si M Z et T Y ont des valeurs maimales dans des sections différentes le long de la poutre, on effectue le calcul à la résistance dans chacune de celles-ci. Parfois, les sections sont dangereuses sans que les efforts aient des valeurs maimales. Donc, on doit effectuer un calcul à la résistance. Pour la satisfaction des conditions de résistances, on doit considérer les cas suivants: 1- Composer une condition de résistance pour le point où est maimale, dans une section où M Z est maimal. En ce point est généralement nul. La condition de résistance pour ce point s écrit: ma [] Université Hassiba Benbouali de Chlef - 101 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple - Composer une condition de résistance pour le point où est maimale. Si la section est smétrique par rapport à l ae z, ma correspond habituellement à l ae neutre où = 0 (Fig. 6.17 ). La condition de résistance pour ce point (dans une section où T est maimale) s écrit: ma [] 3- Si est maimale dans le point qui ne correspond pas à l ae neutre et où 0 (Fig. 6.17), une satisfaction de la condition de résistance pour ce point doit se faire dans le cadre des théories de résistance (ç-à-d selon un critère de résistance). On utilise habituellement, en fleion plane, le critère de la contrainte tangentielle maimal (critère de Coulomb) ou le critère de l énergie potentielle de déformation qui ont, respectivement, les deu epressions suivantes: Eq 4 (6.15-a) Eq 3 (6.15-b) Et la condition de résistance est: Eq [] (6.16) Remarques Pour la plus part des cas, on peut montrer que ma / ma est du même ordre que h/l. Donc, la valeur de ma peut être proche de la valeur de ma pour les poutres où h est comparable à L ma (pour les consoles courtes par eemple). Dans ce cas la condition [] peut être déterminante en calcul à la résistance. Cependant, habituellement on utilise en construction des poutres pour les quelles h L [] est satisfaite si la condition ma [] est satisfaite. C est pourquoi, ordinairement le calcul à la résistance des poutres fléchies s effectue selon la condition ma [] pour la section où M Z est maimal. La ma condition [] composée pour le point où est maimale (dans la section où T est maimal) sert à la vérification. et par conséquent, ma ma. Dans ce cas la condition ma Université Hassiba Benbouali de Chlef - 10 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple - 3 M Z ma 1 z T 1 1 h L + - h/ h/ z 3 M Z ma T 1 1 h L + Fig.6.17 Distribution des contraintes dans une section de poutre en fleion simple. Eemple 6.3 Calculer les contraintes normale et tangentielle maimales pour une poutre aant une section transversale rectangulaire. Solution 6.3 On a: M I z z ma ma M I z M I z z ma z ma M WZ M W z min z min Z T I z 1 h ma 3 T S T K S ; K 3 Sur la figure (E6.3) on trace la distribution des contraintes normale et tangentielle le long de la section transversale de la poutre. Université Hassiba Benbouali de Chlef - 103 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple ma- h/ ma h/ z b ma+ Fig. E6.3 Eemple 6.4 Pour une poutre simplement appuée, de longueur L et supportant une charge uniformément répartie, montrer que le rapport est supposée rectangulaire. Solution 6.4 ma ma est comparable à L h.la section transversale de la poutre La figure (E6.4) montre la variation de l effort tranchant et le moment fléchissant le long de la poutre. La contrainte normale maimale correspond à la section où le moment fléchissant est maimale ma ql ( = L/, M Z ) et la contrainte tangentielle maimale correspond à la section où 8 ql l effort tranchant est maimal ( = 0 ou = L, T ma Y ). ma ql M Z, 8 ql Y, S = bh, W T ma Z bh 6 ma M W ma z Z 3qL 4bh ma T K S ma 3 ql bh 3qL 4bh ma ma h L Université Hassiba Benbouali de Chlef - 104 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple A q B L ql/ = L/ ql/ ql /8 Fig. E6.4 Eemple 6.5 Soit une poutre en acier de section transversale ronde, comme le montre la figure ci-dessous. 1- Calculer les réactions au appuis. - Tracer les diagrammes des efforts intérieurs tout au long de la poutre. 3- Pour la section où le moment fléchissant est maimal, tracer la distribution des contraintes normale et tangentielle tout au long de la section transversale de la poutre. 4- Déterminer le diamètre D de la section si []=1600 kg/cm, []=1100 kg/cm. Solution 6.5 1- Réactions au appuis Fig. E6.5-a F 0 R 0 A Université Hassiba Benbouali de Chlef - 105 - Cours de Résistance de Matériau
Chapitre 6: Fleion simple F M / M / 0 A B 0 0 Vérification R A R R R B A B 4kN 44kN 0kN R A R B 44kN 0 4 44 - Diagrammes des efforts intérieurs Section 1-1 F F M / 0 N 0 0 C Section - F T 0 0 3m 4 M 0 N 0 z d' où 60 3 6m d' où T T 3 0 M z M z 0 1kN 0 3 60 kn.m 4kN.m C Fig. E6.5-b Mz Mz N T F 0 T 0 4 T 3 8 kn T 6 4kN D 0kN T N M / D 0 M z 60 0( 3 ) Fig. E6.5-c T 0 M M 5m z z 3 6 4kN.m 48kN.m M ma z M z 5m 50kN. m Université Hassiba Benbouali de Chlef - 106 - Cours de Résistance de Matériau