BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la réglementation en vigueur Le sujet est composé de 4 exercices indépendants Le candidat doit traiter tous les exercices Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donnés dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l indiquer clairement sur la copie Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies Page 1 / 5
Exercice 1 (6 points) La courbe C ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur 0; On note la fonction dérivée de La courbe C passe par les points ;0 et 1;1 La courbe C admet une tangente parallèle à l axe des abscisses au point d abscisse 1 et la tangente au point d abscisse e passe par le point 0; 1 Déterminer une équation de la droite (AD) Aucune justification n est exigée pour les réponses à la question 2 2 Par lectures graphiques : a) Déterminer 1 et 1 b) Dresser le tableau de signes de sur 0 ; 5 c) Dresser le tableau de signes de sur 0 ; 5 d) Soit une primitive de sur ]0 ; + [ Déterminer les variations de sur 0 ; 5 e) Encadrer par deux entiers consécutifs l aire (en unités d aire) du domaine délimité par l axe des abscisses, la courbe C et les droites d équation 4 et 5 Page 2 / 5
Exercice 2 (8 points) Candidats de la série SES n ayant pas suivi l enseignement de spécialité et candidats de la série L Une entreprise fabrique des appareils électroniques La probabilité pour qu un appareil ainsi fabriqué fonctionne parfaitement est On note l événement «l appareil fonctionne parfaitement» et l événement contraire de 1 Calculer la probabilité de l événement 2 On fait subir à chaque appareil un test avant sa livraison Quand un appareil est en parfait état, il est toujours accepté à l issue du test Quand un appareil n est pas en parfait état de fonctionnement, il peut être néanmoins accepté avec une probabilité de On note T l événement «l appareil est accepté à l issue du test» (a) Construire un arbre pondéré résumant la situation (b) Montrer que la probabilité de est (c) Déterminer la probabilité de l événement «l appareil n est pas en parfait état de fonctionnement et il est accepté à l issue du test» (d) Montrer que la probabilité de est (e) L appareil vient d être accepté Calculer la probabilité qu il est en parfait état Page 3 / 5
Exercice 2 (8 points) Candidats de la série SES ayant suivi l enseignement de spécialité Une grande ville a créé un parc pédagogique sur le thème de l écologie, jardin qui doit être visité par la suite par la majorité des classes de cette ville Ce jardin comporte six zones distinctes correspondant aux thèmes : A Eau B Économie d énergies C Plantations et cultures locales D Développement durable E Biotechnologies F Contes d ici (et d ailleurs) Ces zones sont reliées par des passages (portes) où sont proposés des questionnaires Le jardin et les portes sont représentés par le graphe ci contre (chaque porte et donc chaque questionnaire est représenté par une arête) 1 Si un visiteur répond à tous les questionnaires, à combien de questionnaires aura-t-il répondu? 2 Donner, sans justifier, la matrice d adjacence M associée à ce graphe 3 Qu est-ce qu un graphe connexe? Ce graphe est-il connexe? 4 Qu est-ce qu un graphe complet? Ce graphe est-il complet? 5 Peut-on parcourir le jardin en répondant à tous les questionnaires et sans repasser deux fois devant le même questionnaire : (a) en commençant la visite par n importe quelle zone? (Justifier votre réponse) (b) en commençant la visite par la zone C (plantations et cultures)? Dans ce cas, si la réponse est positive, quelle sera la dernière zone visitée (Justifier votre réponse) 6 Combien y a-t-il de trajets permettant d aller de la zone A à la zone E en répondant exactement à trois questionnaires? On indiquera précisément comment ce nombre a été trouvé et on donnera les trajets Page 4 / 5
Exercice 3 (7 points) Un site de poker en ligne possédait, en 2010, 500 000 abonnés dans le monde Un administrateur remarque que, chaque année, 20 000 nouvelles personnes s abonnent tandis que 10% ne se réabonnent pas On note, pour tout nombre entier naturel, le nombre d abonnés en milliers en 2010 Ainsi 500 1 Calculer et! 2 Exprimer " en fonction de 3 On note, pour tout entier naturel, # 200 (a) Montrer que, pour tout entier naturel, # " 0,9 # Que peut-on en déduire pour la suite #? (b) Exprimer # en fonction de (c) Montrer que 200300'0,9 pour tout entier naturel 4 Dans les questions qui suivent, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation (a) Étudier le sens de variation de la suite et interpréter le résultat obtenu en terme de nombre d abonnés (b) Étudier la limite de la suite et interpréter le résultat obtenu en terme de nombre d abonnés Exercice 4 (9 points) Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant centaines d'objets fabriqués, est modélisé par la fonction ( définie et dérivable sur l'intervalle 1;15 par (5 )* 2 avec 0,02²0,20,5 Si ( est positif il s'agit d'un bénéfice, s'il est négatif il s'agit d'une perte 1 On note ( la fonction dérivée de la fonction ( et la fonction dérivée de la fonction (a) Calculer + et démontrer que, pour tout de l'intervalle 1;15, on a : ( 0,04²0,4 )* (b) Étudier le signe de ( sur l'intervalle 1;15 puis dresser le tableau de variations de la fonction ( 2 Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation (a) Déterminer le nombre minimum d'objets que l'entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice (b) Pour quel nombre d'objets ce bénéfice est-il maximal? Et quel est alors ce bénéfice maximal (arrondi à l'euro près)? 3 (a) Vérifier que (25' )* 2 (b) Démontrer que la primitive de ( qui s annulle en 5 est 25 )* 215 (c) En déduire l'arrondi au millième de la valeur moyenne de ( sur 1;15 Interpréter ce résultat pour l'entreprise Page 5 / 5
Bac blanc de Mathématiques Série ES Date : Corrigé Durée 3h Exercice 1 (6 points) La courbe C ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur -; On note la fonction dérivée de La courbe C passe par les points /0;- et 12;2 La courbe C admet une tangente parallèle à l axe des abscisses au point d abscisse 1 et la tangente au point d abscisse e passe par le point 3-;0 1 Déterminer une équation de la droite (AD) On a ;0 et 0; D où 4 56 avec 5 7 897 : * 8 9* : 99; ;9 ; ; 1 Comme 0; alors 5 Donc 4 Aucune justification n est exigée pour les réponses à la question 2 2 Par lectures graphiques : a) Déterminer 2 et 2 L ordonnée du point de C d abscisse 1 est 1 donc 11 C a une tangente horizontale au point d abscisse 1 donc 10 b) Dresser le tableau de signes de sur - ; = Entre O et A, C est en dessous de l axe des abscisses donc pour > 0;?0 Au-delà de A, C est au dessus de l axe des abscisses donc pour > ;5 @0 0 5 0 c) Dresser le tableau de signes de sur - ; = La fonction est décroissante sur [0 ;1] et croissante sur 1;5 0 1 5 0 d) Soit A une primitive de sur ]0 ; + [ Déterminer les variations de A sur - ; = D après la question b), est décroissante sur 0; et croissante sur ;5 e) Encadrer par deux entiers consécutifs l aire (en unités d aire) du domaine délimité par l axe des abscisses, la courbe C et les droites d équation B C et B = F 2?D E G? 3 Page 6 / 5
Exercice 2 (8 points) Candidats de la série SES n ayant pas suivi l enseignement de spécialité et candidats de la série L Une entreprise fabrique des appareils électroniques La probabilité pour qu un appareil ainsi fabriqué fonctionne parfaitement est H 2- On note A l événement «l appareil fonctionne parfaitement» et AI l événement contraire de A 1 Calculer la probabilité de l événement AI Comme l événement contraire de Alors 6161 Donc 6 2 On fait subir à chaque appareil un test avant sa livraison Quand un appareil est en parfait état, il est toujours accepté à l issue du test Quand un appareil n est pas en parfait état de fonctionnement, il peut être néanmoins accepté avec une probabilité de 2 22 On note T l événement «l appareil est accepté à l issue du test» (a) Construire un arbre pondéré résumant la situation (b) Montrer que la probabilité de JA est H 2- On a 66'6 K '1 On obtient bien 6 (c) Déterminer la probabilité de l événement «l appareil n est pas en parfait état de fonctionnement et il est accepté à l issue du test» On cherche 6 Alors 66'6 K ' On obtient que la probabilité que«l appareil n est pas en parfait état de fonctionnement et il est accepté à l issue du test» est de (d) Montrer que la probabilité de J est 2-22 On sait que et I forment une partition de l univers D après la formule des probabilités totales On obtient 6L6 Donc 6 (e) L appareil vient d être accepté Calculer la probabilité qu il est en parfait état On cherche 6 M Alors 6 M NKM NM O PQ PQ PP ' On obtient que la probabilité que «l appareil est parfait état de fonctionnement sachant qu il vient d être accepté» est de Page 7 / 5
Exercice 2 (8 points) Candidats de la série SES ayant suivi l enseignement de spécialité Une grande ville a créé un parc pédagogique sur le thème de l écologie, jardin qui doit être visité par la suite par la majorité des classes de cette ville Ce jardin comporte six zones distinctes correspondant aux thèmes : A Eau B Économie d énergies C Plantations et cultures locales D Développement durable E Biotechnologies F Contes d ici (et d ailleurs) Ces zones sont reliées par des passages (portes) où sont proposés des questionnaires Le jardin et les portes sont représentés par le graphe ci contre (chaque porte et donc chaque questionnaire est représenté par une arête) 1 Si un visiteur répond à tous les questionnaires, à combien de questionnaires aura-t-il répondu? Chaque questionnaire est une arête, il suffit donc de compter le nombre d arêtes, ou bien d additionner les degrés des sommets dont le résultat est le double du nombre d arêtes : Sommet A B C D E F Total Degré 4 5 3 4 2 2 20 Il y a donc 10 arêtes donc 10 questionnaires 2 Donner, sans justifier, la matrice d adjacence M associée à ce graphe 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 U X 1 1 0 1 0 0 R T 1 1 1 0 1 0 W 0 1 0 1 0 0 S1 1 0 0 0 0V 3 Qu est-ce qu un graphe connexe? Ce graphe est-il connexe? Un graphe est connexe si on peut relier deux sommets quelconque de ce graphe par une chaîne Ce graphe est connexe En effet, la chaîne F-A-B-C-D-E-B passe par tous les sommets, et donc elle permet de relier deux sommets quelconques l un à l autre 4 Qu est-ce qu un graphe complet? Ce graphe est-il complet? Un graphe est complet si chaque sommet est relié par une arête à tous les autres sommets Ce graphe n est pas un graphe complet car aucune arête ne relie les sommets E et F 5 Peut-on parcourir le jardin en répondant à tous les questionnaires et sans repasser deux fois devant le même questionnaire? Si oui, en commençant la visite par n importe quelle zone ou d une zone particulière?(justifier votre réponse) Examinons si le graphe contient une chaîne eulérienne Nous avons vu dans la question 1 que le graphe est connexe et comporte exactement deux sommets impairs D après le théorème d Euler, il contient donc une chaîne eulérienne (et pas de cycle) dont les extrémités sont forcément les sommets impairs : B et C Il n est donc pas possible de répondre à tous les questionnaires sans repasser deux fois devant le même en commençant par n importe quelle zone puisqu il faut débuter en B ou en C 6 Combien y a-t-il de trajets permettant d aller de la zone A à la zone E en répondant exactement à trois questionnaires? On indiquera précisément comment ce nombre a été trouvé et on donnera les trajets Il s agit de déterminer le nombre de chaînes comportant trois arêtes dont les extrémités sont A et E R Y donne le nombre de chaînes de longueur 3 entre les différents sommets D après la calculatrice, le coefficient ligne 1 colonne 5 (ou ligne 5 colonne 1) de R Y est 5 Il y a donc 5 chaînes de longueur 3 entre les sommets A et E qui sont : AFBE, ABDE, ACDE, ADBE, ACBE Page 8 / 5
Exercice 3 (7 points) Un site de poker en ligne possédait, en 2010, 500 000 abonnés dans le monde Un administrateur remarque que, chaque année, 20 000 nouvelles personnes s abonnent tandis que 10% ne se réabonnent pas On note, pour tout nombre entier naturel Z, [ Z le nombre d abonnés en milliers en \-2-Z Ainsi [ - =-- 1 Calculer [ 2 et [ \ ']1 ^20500'0,920470! '0,920470'0,920443 470! 443 2 Exprimer [ Z"2 en fonction de [ Z On sait que chaque année, 20 000 nouvelles personnes s abonnent : tandis que 10% ne se réabonnent pas, ce qui correspond à 0,9' Ce qui donne : " 0,9' 20 3 On note, pour tout entier naturel Z, `Z [ Z \-- (a) Montrer que, pour tout entier naturel Z, `Z"2 -,H `Z Que peut-on en déduire pour la suite `Z? On sait que, pour tout,# 200 Donc # " " 200 Or " 0,9 20 On a donc : # " 0,9 20200 # " 0,9 180 # " 0,9 200 Comme # 200 Donc pour tout, # " 0,9# Et # 200500200300 La suite # est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme est : # 300 (b) Exprimer `Z en fonction de Z La suite `Z est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme : # 300 Donc pour tout, # 300'0,9 (c) Montrer que [ Z \--b--'-,h Z pour tout entier naturel Z On sait que pour tout, # 300'0,9 Comme # 200, Alors # 200 Donc 300'0,9 200 4 Dans les questions qui suivent, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation (a) Étudier le sens de variation de la suite [ Z et interpréter le résultat obtenu en terme de nombre d abonnés On sait que la suite # est une suite géométrique de raison 0,9 Comme 0 cdc1 et # 300e0 Donc la suite # est décroissante Alors # "?# " 200? 200 "? 20 Donc la suite est décroissante D où le nombre d abonnés du site ne va faire que baisser d une année à l autre (b) Étudier la limite de la suite [ Z et interpréter le résultat obtenu en terme de nombre d abonnés On sait que 300'0,9 200 Comme 0 cdc1, d va tendre vers 0 quand tend vers l infini Donc va tendre vers 200300'0200 D où le nombre d abonnés du site va tendre vers 200 milliers d abonnés Page 9 / 5
Exercice 4 (9 points) Nouvelle Calédonie 2008 Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant x centaines d'objets fabriqués, est modélisé par la fonction 1 définie et dérivable sur l'intervalle 2;2= par fbb=0 [B \ avec [B-,-\B²-,\B-,= Si fb est positif il s'agit d'un bénéfice, s'il est négatif il s'agit d'une perte 1 On note f la fonction dérivée de la fonction f et [ la fonction dérivée de la fonction [ a) Calculer [ + B et démontrer que, pour tout B de l'intervalle 2;2=, on a : f B-,-CB²-,CB0 [B On sait que 0,02²0,20,5 D où + 0,02'20,20,040,2 De plus (5 )* 2 D où ( est dérivable sur 1;15 comme somme de produit de fonctions dériable sur 1;15 Alors ( #' ) 2 avec #5 # + 1 0,02²0,20,5 0,040,2 Donc ( + # + ' ) #' + ' ) 0# + #' + ' ) D où ( + 15'0,040,2' )* ( + 10,04! 0,20,21' )* Donc ( + 0,04! 0,4' )* b) Étudier le signe de f B sur l'intervalle 2;2= puis dresser le tableau de variations de la fonction f On sait que ( + 0,04! 0,4' )* Comme pour tout )* e0 Alors ( est du signe de 0,04! 0,4 0,0410 Comme pour tout > 1;15 e0 Alors ( est du signe de 10 1 10 15 Signe de 0,040,4 Signe de ( + 0 5,033 Variation de ( 0,9 3,353 Et (101 9,!'",!'9,F 2g0,9 (10 105 9,!'²",!'9,F 2g5,033 (15 155 9,!'F²",!'F9,F 2g3,353 2 Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation Déterminer le nombre minimum d'objets que l'entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice Pour quel nombre d'objets ce bénéfice est-il maximal? Et quel est alors ce bénéfice maximal (arrondi à l'euro près)? (a) D'après le tableau des variations, sur l'intervalle 10;15, ( est positif Sur l'intervalle 1;10, la fonction ( est continue, strictement croissante et (1c0c(10 Page 10 / 5
Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation (0 admet une solution unique h >1;10 Or ( est strictement croissante sur h >1;10, Donc sur cet intervalle, ( est positif pour e h À l'aide de la calculatrice, par encadrements successifs, déterminons une valeur approchée de α : 2g0,5 3g0,15 Donc 2ch c3 2,7g0,07 2,8g0,003 Donc 2,7chc2,8 2,79 g0,004 2,80 g0,003 Donc 2,79ch c 2,80 2,795 g0,0007 2,796 g0,00005 Donc 2,795 ch c 2,796 Par conséquent, pour réaliser un bénéfice, l'entreprise doit vendre au moins 280 objets (b) D'après le tableau des variations, le maximum de la fonction ( est atteint pour 10 et 105 9,F 2g5,033 Par conséquent, le bénéfice maximal est de 5033 obtenu avec la vente de 1000 objets 3 a) Vérifier que fb\='[ B0 [B \ On a 25' )* 2250,040,2 )* 2 25'0,0425'0,2 )* 2 5 )* 2 ( Donc (25' )* 2 b) Démontrer que la primitive 1 de f qui s annulle en = est 1B\=0 [B \B2= On sait que (25' )* 2 Or une primitive de la fonction j: l + )* est la fonction m: l )* D où 25 )* 2n Or 50 D où 525' 9,!'Fo ",!'F9,F 2'5n 525' 10n 52510n Alors 015n n 15 Donc la primitive de ( qui s annulle en 5 est 25 )* 215 c) En déduire l'arrondi au millième de la valeur moyenne de f sur 2;2= Interpréter ce résultat pour l'entreprise On sait que 5 p F (E F9 5 G F 5 G 151 5 G 25)F 2'151525 ) 2'115 5 G 259! 301525 9,Y! 215 5 G 259! 25 9,Y! 28 5 3,055 Donc l'arrondi au millième de la valeur moyenne de ( sur [1;15] est 3,055 D où le bénéfice moyen de cette entreprise est de 3055 Page 11 / 5