e S - programme 0 mathématiques ch.0 cahier élève Page sur 4 Ch.0 : Probabilités Exercice n A page 30 : Probabilités Vrai ou faux? On place dans un sac six jetons de même forme et de même taille : trois rouges, deux bleus et un vert. On tire au hasard un jeton du sac. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. ) Il y a équiprobabilité de tirage de chacun des six jetons. ) Les événements «obtenir un jeton rouge» et «obtenir un jeton vert» sont équiprobables. 3) La probabilité de tirer un jeton bleu est égale à 3. 4) L'événement «obtenir un jeton rouge» et son événement contraire ont la même probabilité. Exercice n B page 30 : Décrire des événements Utiliser des formules Une urne contient trente-quatre billes indiscernables au toucher, vingt sont blanches et numérotées de à 0, quatorze sont rouges et numérotées de à 4. On tire au hasard une bille de l'urne. On considère les événements suivants : A : «obtenir une bille blanche» ; B : «obtenir une bille numérotée» ; C : «obtenir une bille qui porte un numéro pair». ) Déterminer p(a), p( A ), p(b) et p(c). ) Définir par une phrase chacun des deux événements suivants A B et A C. 3) Calculer p(a B) et p(a C). 4) Déterminer l'événement B C. Que peut-on en déduire concernant les événements B et C? 5) Calculer p(b C). p(a) = 0 7 p( A ) = 7 7 p(b) = 7 p(c) = A B A C p(a B) = 34 p(a C) = 7 34 B C B C p(b C) = p(b) + p(c) = 34 + 7 34 = 9 34 Exercice n C page 30 : Associer un nombre à un événement Une roue de loterie est partagée en dix secteurs de quatre couleurs différentes (bleu, rouge, vert et rose), comme représenté sur la figure ci-contre. Quand on lance cette roue, elle tourne, puis s'arrête librement devant le repère (sur la figure cicontre, la couleur de sortie est le rose). On suppose que tous les secteurs ont la même probabilité de s'arrêter devant le repère. ) Calculer la probabilité d'obtenir chacune des quatre couleurs. ) Pour jouer à cette loterie, on mise 5, puis on fait tourner la roue. Si la couleur de sortie est le bleu, on perçoit 5, si c'est le rose, on perçoit 0, si c'est le rouge, on perçoit et si c'est le vert, on ne perçoit rien. Montrer que la probabilité d'avoir un gain global de 0 en jouant une fois à la loterie est égale à 0,. 3) Marie affirme : «Si je joue une fois à cette loterie, j'ai moins d'une chance sur trois de gagner de l'argent, alors je ne jouerai pas». A-t-elle raison? Justifier.
e S - programme 0 mathématiques ch.0 cahier élève Page sur 4 B R V S p(b) = 0 p(r) = 3 0 p(v) = 4 0 p(s) = 0 p( = 0) = P(B) = 0, 0 3 5 5 p(b) + p(s) = 0,3 < 3. VARIABLE ALÉATOIRE ET LOI DE PROBABILITÉ On appelle l'univers fini associé à une expérience aléatoire, c'est-à-dire l'ensemble de tous les résultats possibles pour cette expérience.. Variable aléatoire discrète DÉFINITION Une variable aléatoire discrète sur est une fonction de dans IR qui à tout élément de fait correspondre un réel. Notation : Si x, x,, x k sont les images par des éléments de, alors pour tout entier i tel que i k, on note ( = x i ) l'ensemble des éléments de qui ont pour image x i par. Ainsi ( = x i ) est l'événement formé de tous les résultats possibles dont l'image est x i. Exemple : Une urne contient neuf jetons indiscernables au toucher numérotés de à 9. Un joueur participe à une loterie gratuite qui suit la règle suivante : il prélève au hasard un jeton de l'urne ; si le numéro est pair, il gagne, s'il prélève le jeton n ou le jeton n 9, il gagne 0 ; dans tous les autres cas, il perd 3. On définit une variable aléatoire sur = { ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} égale «au gain algébrique» (positif ou négatif) du joueur. Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont, 0 et 3. On a : ( = ) = { ; 4 ; 6 ; 8} ; ( = 0) = { ; 9} ; ( = 3) = {3 ; 5 ; 7}. Exercice n page 334 Un sondage dans un lycée concernant la première langue vivante étudiée est résumé dans le tableau suivant. ) Recopier le tableau et compléter les cases vides. ) On rencontre un élève au hasard dans ce lycée. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : «l'élève est un garçon» ; B : «l'élève étudie l'allemand» Anglais Allemand Espagnol Total Filles 80 35 30 Garçons 60 40 55 Total 3) Quel est l'événement A B? Quelle est sa probabilité? 4) Quel est l'événement A B? Quelle est sa probabilité? 5) On rencontre une fille. Quelle est la probabilité qu'elle étudie l'espagnol? 6) On rencontre un élève qui étudie l'anglais. Quelle est la probabilité que ce soit un garçon?
p(a) = 55 300 = 3 60 p(b) = 75 300 = 4 e S - programme 0 mathématiques ch.0 cahier élève Page 3 sur 4 80 35 30 45 60 40 55 55 40 75 85 300 A B p(a B) = 40 300 = 5 A B p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = 3 60 + 4 5 = 9 30 30 45 = 6 9 60 40 = 3 7 Exercice n page 334 On considère deux événements A et B liés à une expérience aléatoire. On donne p(a) = 0,45 ; p(b) = 0,7 et p(a B) = 0,3. Calculer p ( A ) et p( A B). p ( A ) = p(a) = 0,45 = 0,55 p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = 0,45 + 0,7 0,3 = 0,85 Exercice n 3 page 334 Deux événements A et B sont incompatibles. On donne p(a) = 0,63 et p(a B) = 0,8. Calculer p(b) et p ( B ) A B p(b) = p(a B) p(a) = 0,8 0,63 = 0,7 p ( ) B = p(b) = 0,83 Exercice n 4 page 334 Calculs de probabilités avec un arbre Une agence de voyages propose à ses clients des circuits passant par trois capitales européennes : Paris, Rome et Londres que l'on notera respectivement P, R et L. Le client choisit l'ordre dans lequel il désire visiter ces capitales. Par exemple R, L, P constitue un circuit dans lequel on visite dans l'ordre Rome, Londres et Paris. ) Réaliser un arbre représentant les différents circuits possibles. ) Combien de circuits différents l'agence peut-elle proposer? 3) Un client indécis prend un circuit au hasard. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : «le circuit commence par Paris» ; B : «le circuit se termine par Londres» ; C : «le circuit passe par Rome avant Londres» ; D : «le circuit passe par Rome juste avant de passer par Londres».
e S - programme 0 mathématiques ch.0 cahier élève Page 4 sur 4 6 p(a) = 3 p(b) = 3 p(c) = p(d) = 3 Exercice n 5 page 334 Encore avec un arbre Une urne contient cinq boules dont deux sont blanches et trois sont rouges. On prélève une boule de l'urne, on note sa couleur et on la remet dans l'urne. On prélève une deuxième boule et on note sa couleur. ) Modéliser la situation à l'aide d'un arbre (on pourra noter B, B les deux boules blanches, R, R, R 3 les trois boules rouges. ) Calculer la probabilité que les deux boules soient rouges. 3) Calculer la probabilité que les deux boules soient de couleurs différentes. 5 5 5 3 5 9 5 B R 6 5 = 5. Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète DÉFINITION Soit l'univers sur lequel a été définie une loi de probabilité P. On considère une variable aléatoire discrète sur, prenant les valeurs {x ; x ; ; x k }. Définir la loi de probabilité de, c'est donner la valeur de P( = x i ), pour tout i, avec i k. Remarques : On adopte souvent une présentation sous forme de tableau. Valeur x i prise par x x x k Probabilité p i p = p( = x ) p = p( = x ) p k = p( = x k ) k k p + p + + p k = p i = p( = x i ) =. i = i = Pour info. : En mathématiques, l'adjectif «discret» désigne les ensembles dont on pourrait énumérer les éléments. Ici, la variable aléatoire est «discrète», car elle prend un nombre fini de valeurs. Exemple : Dans l'exemple du paragraphe précédent, la loi de probabilité de Valeur prise par ( ) 0 3
e S - programme 0 mathématiques ch.0 cahier élève Page 5 sur 4 la variable aléatoire est égale au gain algébrique, en euros ; elle est donnée par le tableau : Probabilité Exercice corrigé : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire Un joueur lance deux dés tétraédriques équilibrés. ) On définit la variable aléatoire égale à la somme des deux résultats. a) Quelles sont les valeurs prises par? b) En utilisant un tableau à double entrée, déterminer la loi de probabilité de. 4 9 9 3 9 Résultat : (bleu) et 4 (vert) ) On décide de jouer au jeu suivant : si le nombre obtenu est multiple de 3, le joueur gagne, sinon il perd. En utilisant la variable aléatoire, déterminer la probabilité que le joueur gagne. Solution : Méthode : ) a) On va déterminer l'ensemble des sommes possibles, avec deux dés 3 4 tétraédriques : 3 4 5 L'ensemble des valeurs prises par est { ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}. 3 4 5 6 3 4 5 6 7 b) Ce tableau permet de se ramener à une situation d'équiprobabilité. La variable aléatoire suit donc la loi de probabilité donnée par le tableau ci-dessous : x i 3 4 5 6 7 8 p( = x i ) 6 /6 3 4 3 6 6 6 6 6 4 5 6 7 8 Le tableau permet de se ramener à une situation d'équiprobabilité. En effet, les 6 cases du tableau correspondent à des lancers équiprobables. On a bien : 6 + 6 + 3 6 + 4 6 + 3 6 + 6 + 6 = 6 6 =. On vérifie que la somme des probabilités est bien égale à. ) Appelons G l'événement : «le joueur gagne». Les événements ( = 3) On a : p(g) = p( = 3) + p( = 6) = 6 + 3 6 = 5 6. et ( = 6) sont disjoints et leur réunion est égale à La probabilité que le joueur soit gagnant est donc égale à 5 6. l'événement G. Exercice n page 35 On considère à nouveau l'expérience qui consiste à lancer deux dés cubiques équilibrés. On définit la variable aléatoire égale à si les nombres obtenus sont premiers entre eux, à 0 sinon. Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire. 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 6 0 0 0 0 0 0 4 Exercice n page 35 On considère l'expérience qui consiste à lancer deux dés cubiques équilibrés. On définit la variable aléatoire égale au produit des deux résultats obtenus. ) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire. ) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire. 3 4 5 6 3 4 5 6 4 6 8 0 3 3 6 9 5 8
e S - programme 0 mathématiques ch.0 cahier élève Page 6 sur 4 4 4 8 6 0 4 5 5 0 5 0 5 30 6 6 8 4 30 3 4 5 6 8 9 0 5 6 8 0 4 5 30 3 4 4 Exercice n 3 page 35 On donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire dans le tableau ci-contre. Déterminer les réels p, p, p 3, p 4 sachant qu'ils sont en progression arithmétique de raison 0,. p = p + 0, p 3 = p + 0, = p + 0, p 4 = p 3 + 0, = p + 0,3 p + p + p 3 + p 4 = p + (p + 0,) + (p + 0,) + (p + 0,3) = 4 4p + 0,6 = p = 0, p = p + 0, = 0, p 3 = p + 0, = 0,3 p 4 = p + 0,3 = 0,4 3 4 p p p 3 p 4 Exercice n 4 page 35 On lance deux fois consécutivement un dé tétraédrique équilibré. Si on obtient deux résultats identiques, on marque point, sinon on marque 0 point. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire égale au nombre de points marqués. 0 3 4 4 Exercice n 7 page 38 Effectuer une simulation sur tableur Déterminer une loi de probabilité On rappelle que la distance entre deux réels a et b est définie par le réel a b : c'est la différence entre le plus grand et le plus petit des deux nombres a et b. On lance deux dés à six faces parfaitement équilibrés. On s'intéresse à la variable aléatoire égale à la distance entre les deux nombres sortis. ) Quelles sont les valeurs prises par cette variable aléatoire? ) À l'aide d'un tableur, simuler 000 lancers de ces deux dés. Faire apparaître les distances entre les nombres sortis et les fréquences d'obtention de ces valeurs. Quelle semble être la plus fréquente? La moins fréquente? (On pourra utiliser la touche F9 pour simuler d'autres expériences.) 3) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire (on pourra utiliser un tableau à double entrée). Quelle est la valeur de la variable aléatoire la plus probable? La moins probable? ) L'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire est : Les valeurs prises par vont de 0 (dans le cas où {0 ; ; ; 3 ; 4 ; 5}. les deux chiffres sortis sont égaux) à 5 (dans le cas où on obtient 6 et ou et 6). ) Sur cet extrait de feuille de calcul, où 000 lancers ont été simulés, on peut conjecturer que la distance la plus fréquente est, la moins fréquente est 5. Dans la cellule A on tape = ALEA.ENTRE.BORNES ( ; 6) que l'on recopie vers le bas. Dans la cellule C3 on tape = ABS (A B) que l'on recopie vers le bas. 3) Dans le tableau suivant, on fait apparaître les résultats des deux dés et la distance entre les deux chiffres sortis : 3 4 5 6 er dé 0 3 4 5 Chacune des cases de ce tableau correspond à un couple (a ; b) de sorties du dé. Tous ces couples de résultats sont
e S - programme 0 mathématiques ch.0 cahier élève Page 7 sur 4 0 3 4 équiprobables. 3 0 3 4 3 0 5 4 3 0 6 5 4 3 0 e dé p( = 0) = 6 0 ; p( = ) = ; p( = ) = 8 ; p( = 3) = 6 ; p( = 4) = 4 ; p( = 5) =. La loi de probabilité de la Valeur de 0 3 4 5 On vérifie que la somme des variable aléatoire est donnée 5 probabilités est égale à. par le tableau ci-contre. Probabilité 6 8 9 6 9 8 La valeur de la plus probable est, la moins probable est 5. On confirme la conjecture faite en ). Exercice n 5 page 34 Vrai ou faux? Voici le tableau donnant la loi de probabilité d'une variable aléatoire égale au x i (en ) 3 4 gain, en euros, obtenu à un jeu. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou p fausses. i 0, 0,3 0,4 a a) p( = } = 0,3. b) a = 0,. c) La probabilité de gagner strictement moins de 4 à ce jeu est égale à 0,4. d) On a une chance sur deux de gagner strictement plus de à ce jeu. e) On a moins d'une chance sur quatre de gagner à ce jeu.. ESPÉRANCE, VARIANCE, ÉCART TYPE Dans toute cette page, on considère une variable aléatoire discrète définie sur un univers et dont la loi de probabilité est donnée par :. Définitions DÉFINITIONS 3 L'espérance mathématique de la variable aléatoire est le réel noté E() défini par : E() = x p + x p + + x n p n = x i p i. i = n La variance de la variable aléatoire est le réel positif noté V() défini par : V() = p [x E()] + p [x E()] + + p n [x n E()] ; n V() = p i [x i E()]. i = L'écart type est défini comme la racine carrée de la variance : = V(). Valeur x x x n Probabilité p p p n Remarque : Le calcul de l'espérance est à rapprocher de celui de la moyenne d'une série statistique calculée avec les fréquences. C'est l'un des outils de base de l'assureur, du banquier, mais aussi du joueur de poker averti. Remarque : Résultat admis La variance peut s'écrire sous la forme : V() = p i x i [E()] (théorème de König-Huygens). i = n
e S - programme 0 mathématiques ch.0 cahier élève Page 8 sur 4 Exercice n 5 page 36 Calculer l'espérance mathématique, la variance et l'écart type de la variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : E() = 4 6 + ( ) 3 6 + 5 6 + 4 6 + 4 6 + 5 6 = 4 3 + 5 + 8 + 8 + 5 6 V() = 6 ( 4) + 3 6 ( ) + 5 6 + 4 6 + 6 4 + 6 5 9 = 6 97 6 55 = = 9 56 56 56 4,65 = 9 56 = 9 6,6 Exercice n 9 page 36 Déterminer les valeurs des réels x et p pour que le tableau suivant définisse la loi de probabilité d'une variable aléatoire dont l'espérance mathématique vaut 0,5 : p = (0, + 0,5 + 0,4 + 0,) = 0,05 E() = 0,05x 0, 0,5 + 0,4 + 0,4 = 0,05x + 0,35 0,05x + 0,35 = 0,5 x = 0,5 0,05 = 3 Exercice n 30 page 36 L'espérance mathématique de la variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau suivant vaut 5,6 : Calculer p et q. 0, + p + q + 0, = p + q = 0,7 0, + 5p + 8q + 0 0, = 5,6 5p + 8q = 4,4 p + q = 0,7 5p + 8q = 4,4 p = 0,7 q p = 0,7 q p = 0,4 5(0,7 q) + 8q = 4,4 3q = 0,9 q = 0,3 Exercice n 34 page 36 Gain à une loterie La loi de probabilité ci-contre décrit le gain possible à une loterie sans tenir compte du prix du billet : On appelle G la variable aléatoire égale au gain du joueur. x i 4 4 5 3 5 4 p i 6 6 6 6 6 6 = 9 6 =,875 6 + 3 + 5 + 6 + 3 + 5 6 56 = Valeur x Probabilité 0, 0,5 0,4 0, p Valeur 5 8 0 Probabilité 0, p q 0, Gain (en ) 0 5 0 00 500 Probabilité 0,6 0, 0, 0,075 0,05 ) L'événement «le joueur gagne 5» est noté (G = 5). Comment peut-on noter l'événement «le joueur gagne au moins 5»? Calculer sa probabilité. ) Calculer p(g 00) ; p(g 0). 3) Déterminer la probabilité de l'événement : (G 00) (G 0). 4) L'organisateur du jeu prévoit de fixer le prix du billet à 5. Quel avenir peut-on lui prédire? p(g 5) = p(g = 0) = 0,6 = 0,4 P(G 00) = p(g = 500) = 0,05 = 0,975 5 (G 5) p(g 0) = p(g = 0) + p(g = 00) + p(g = 500) = 0, P(0 G 00) = 0, + 0,075 = 0,75 H 5 0 5 85 485 0,6 0, 0, 0,075 0,05 H
e S - programme 0 mathématiques ch.0 cahier élève Page 9 sur 4 H E(H) = 7 7 Exercice n 47 page 39 Jeu de dés (Partie ) Un jeu consiste à lancer deux dés cubiques non truqués et à faire la somme des deux résultats sortis : si la somme est paire, on perd ; si la somme est impaire, soit c'est un nombre premier et on gagne, soit on gagne 5. Pour participer à ce jeu, on paie une mise de. On appelle G la valeur du gain algébrique, en euros, obtenu après le lancer des deux dés. ) Déterminer la loi de probabilité de G. ) Calculer l'espérance mathématique de cette variable aléatoire. Interpréter ce résultat. p(g = 3) = 8 = p(g = 0) = 4 = 7 8 p(g = 3) = 4 = 9 G 3 0 3 E(G) = 3 + 3 9 = 8 = 7 6,7 Exercice n 8 page 39 Déterminer une espérance et une variance à l'aide de la calculatrice - Utiliser les propriétés du cours Une chaîne de grands magasins a lancé sur le marché des chèques cadeaux d'une valeur comprise entre 5 et 40 euros. Elle mène une enquête auprès d'un échantillon représentatif de clients pour connaître le chèque cadeau qu'ils seraient le plus susceptibles d'acheter. En voici le résultat : Chèque 5 0 5 0 Fréquence 0,6 0,8 0,8 0,3 Chèque 5 30 35 40 Fréquence 0,08 0,08 0,05 0,04 On s'intéresse à un client pris au hasard. On suppose que le nombre de clients de l'enquête est assez grand pour qu'on puisse considérer les fréquences obtenues comme des probabilités. On définit alors la variable aléatoire égale à la somme que le client est prêt à dépenser en bons d'achats. ) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire? ) Déterminer à l'aide de la calculatrice l'espérance E et l'écart type de la variable aléatoire. 3) Le directeur marketing estime qu'en dépensant 00 000 euros de publicité, on pourra attirer ainsi 0 000 clients à acheter chacun un bon d'achat. Le chiffre d'affaire ainsi réalisé est assimilé à une variable aléatoire Y = 0 000 00 000. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire Y.
e S - programme 0 mathématiques ch.0 cahier élève Page 0 sur 4 ) L'ensemble des valeurs prises par est {5 ; 0 ; 5 ; 0 ; 5 ; 30 ; 35 ; 40}. Ici, on n'a pas donné le choix aux clients de répondre : «aucun chèque ne m'intéresse». La variable ne peut donc pas prendre la valeur 0. ) On entre les valeurs comme s'il s'agissait d'effectifs et de fréquences statistiques, puis on utilise les fonctions statistiques : La valeur de l'effectif (n = ) permet de vérifier que la somme des probabilités est bien égale à. L'espérance est donc la moyenne de la série : E = 6,65. L'écart type est égal à : = 9,7. 3) On utilise la formule du cours : E(Y) = 0 000 E() 00 000 = 5 000. Exercice n 5 page 37 On considère la loi de probabilité d'une variable aléatoire : ) Calculer p et q sachant que l'espérance de cette variable aléatoire est égale à,6. ) Calculer la variance et l'écart type de cette variable aléatoire. p + q + 0,6 = p + q = 0,4 p + q +,5 + 0,4 =,6 p + q = 0,7 p = 0, q = 0,3 V() = 0,64 = 0,8 Y est de la forme Y = a + b. On a donc E(Y) = ae( ) + b. 3 4 p q 0,5 0, Exercice n page 33 Q.C.M. On considère une variable aléatoire définie sur l'univers = {a ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h ; i}. On suppose que la loi de la probabilité p définie sur est équirépartie. On définit la variable aléatoire par : (a) = (b) = 5 ; (c) = ; (d) = (e) = (f) = 0 ; (g) = (h) = 3 ; (i) = 7. Dans chacun des cas suivants, indiquer la (ou les) bonne(s) réponse(s). ) p({d ; e ; f}) = a) 0 b) 3 9 c) p({a ; b ; c}) ) p( = 7) = a) 5 b) 7 c) 9 3) p( = 5) = a) p( = 3) b) 9 c) 5 4) L'espérance mathématique de est : E() = a) 9 5) L écart type est : = a) 3 b) 0 c) 5a 5b c + 3g + 3h + 7i b) 8 7 9 c) 088 8. Exercice n 3 page 33 Vrai ou faux? On lance un dé à six faces parfaitement équilibré deux fois de suite. On note les résultats sortis et on définit le jeu suivant. Règle du jeu Si le premier résultat sorti est inférieur ou égal au second, on ne gagne rien, sinon, on soustrait le second résultat au premier et on gagne, en euros, le résultat de cette différence. On appelle la variable aléatoire égale au gain algébrique à l'issue des deux lancers. Dans chacun des cas suivants, indiquer l'unique bonne réponse.
e S - programme 0 mathématiques ch.0 cahier élève Page sur 4 ) L'ensemble des valeurs prises par est : a) { ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} ) p( = 0) = 7 a) 3) E() = a) 35 4) Ce jeu est : a) équitable 5) Une personne joue 500 fois à ce jeu : 3 4 5 6 3 4 5 6 4 6 8 0 3 3 6 9 5 8 4 4 8 6 0 4 5 5 0 5 0 5 30 6 6 8 4 30 a) elle peut espérer gagner plus de 000 b) { ; ; 3 ; 4 ; 5} b) 6 b) 56 b) défavorable au joueur b) elle peut espérer gagner plus de 450 c) {0 ; ; ; 3 ; 4 ; 5} c) 5 c) 0 c) favorable au joueur c) elle peut espérer gagner plus de 000 Exercice n page 35 Fabriquer des mots On écrit les lettres du mot MATHS sur cinq cartons. On met ces cartons dans une boîte et on prélève au hasard trois cartons en remettant à chaque fois le carton dans la boîte. On appellera «mot» une succession de trois lettres, ayant un sens ou non. ) Combien de «mots» différents peut-on obtenir ainsi? ) Quelle est la probabilité d'obtenir le mot «AAA»? 3) Quelle est la probabilité que le mot commence par A? 4) On appelle V la variable aléatoire dénombrant le nombre de voyelles par mot. Déterminer la loi de probabilité de V. 5 5 4 5 4 3 = 4 5 5 5 = 5 Exercice n 4 page 35 On considère une variable aléatoire égale au gain algébrique, en euros, pour une loterie ; elle prend ses valeurs dans l'ensemble { 0 ; 5 ; 0 ; ; 0 ; 5}. La loi de probabilité de est donnée par : x i 0 5 0 0 5 Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. p ) E() = 0,4. i 0, 0,3 0, 0, 0, 0, ) La probabilité de gagner au moins deux euros à cette loterie est égale à 0,6.
e S - programme 0 mathématiques ch.0 cahier élève Page sur 4 3) La probabilité de perdre de l'argent à cette loterie est égale à 0,4. 4) Si le joueur joue 000 fois à cette loterie, l'espérance de gain est 400. 5) La probabilité de gagner moins de 0 à cette loterie est égale à 0,9. Exercice n 7 page 36 Déterminer la valeur de x pour que l'espérance de la variable aléatoire dont la loi est définie dans le tableau suivant soit égale à : E() = ( ) 0,5 + ( ) 0, + 0,5 + 0,3 + 0,x = 0,35 + 0,x E() = 0,35 + 0,x = x = 6,5 Exercice n 3 page 36 Un dé truqué (Partie ) Un joueur lance un dé à 6 faces qui a été truqué de la façon suivante : la probabilité de sortie du 6 est le double de celle obtenue dans le cas d'équiprobabilité ; les probabilités de sortie des cinq autres résultats sont égales. On appelle la variable aléatoire égale au résultat sorti. ) Déterminer la loi de probabilité de. ) Quel est le résultat dont la sortie est la plus probable? Expliquer. 3) Calculer E(). p( = 6) = 6 5a + 6 = 5a = 4 6 p( = ) = p( = ) = p( = 3) = p( = 4) = p( = 5) = a x i x p i 0,5 0, 0,5 0,3 0, a = 4 30 = 5 x 3 3 4 5 6 p( = x) 5 5 5 5 5 6 6 6 = 5 5 E() = 4 Exercice n 38 page 37 Avocat Un client intente un procès qui, s'il le gagne, lui rapportera la somme de 00 000. Il a le choix entre deux avocats. Le premier réclame des honoraires fixes de 000. Le second réclame 30 % de la somme si le procès est gagné et rien sinon. Chacun des deux avocats assure que le client a 75 % de chances de gagner le procès. En se basant sur l'espérance de gain dans chaque cas, conseiller le client dans son choix de l'avocat. x 88 000 000 p( = x) 0,75 0,5 E() = 0,75 88 000 0,5 000 = 63 000
x 70 000 0 p( = x) 0,75 0,5 e S - programme 0 mathématiques ch.0 cahier élève Page 3 sur 4 E() = 0,75 70 000 0,5 0 = 5 500. Propriétés de l'espérance et de la variance DÉFINITION ET PROPRIÉTÉ a et b sont deux réels quelconques. La variable aléatoire Y, dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant, est notée a + b. Valeur de Y ax + b ax + b ax n + b Probabilité p p p n On note Y = a + b. On a : E(a + b) = ae() + b. Démonstration : E(a + b) = p (ax + b) + p (ax + b) + + p n (ax n + b) = a(p x + p x + + p n x n ) + b(p + p + + p n ) = ae() + b. PROPRIÉTÉ Soit une variable aléatoire et a un réel quelconque : V(a) = a V(). Idée de démonstration : V(a) = i = ;n;p i [ax i E(a)]. Avec la propriété : E(a) = a E(). On factorise alors a dans chaque terme de la somme. Exercice corrigé : Calculer l'espérance d'une variable aléatoire, sa variance et son écart type Un jeu consiste à lancer trois fois une pièce de monnaie bien équilibrée. Chaque sortie de pile P rapporte 3 points, chaque sortie de face F fait perdre points. On considère la variable aléatoire égale au nombre (positif ou négatif) de points obtenus après les trois lancers. ) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par et la loi de probabilité de. ) Calculer l'espérance E(), la variance V() et l'écart type. Solution : Méthode : ) On construit un arbre qui décrit les trois lancers successifs : Issue Gain (points) PPP 9 PPF 4 PFP 4 PFF FPP 4 FPF FFP FFF 6 L'ensemble des valeurs prises par est donc {9 ; 4 ; ; 6}. Le tableau permet de compter le nombre d'issues correspondant à chaque valeur de. Par exemple, ( = 4) = {PPF ; PFP ; FPP}. Valeur 9 4 6 Compte tenu de D'où la loi de probabilité donnée 3 3 l'hypothèse de «bon par le tableau ci-contre : Probabilité 8 8 8 8 équilibre» de la pièce, toutes ces issues sont équiprobables. Comme elles sont au nombre de 8, chacune
e S - programme 0 mathématiques ch.0 cahier élève Page 4 sur 4 d'elles a donc une probabilité égale à 8. ( = 4) est l'événement formé des issues constituées de deux «pile» et un «face». ) E() = 9 8 + 4 3 8 + ( ) 3 8 + ( 6) 8 = 8 =,5 ; n E() = x i p i ; V() = 8 (9,5) + 3 8 (4,5) + 3 8 (,5) + ( 6,5) 8 soit V() = 75 4 = 8,75. i = n V() = i = p i [x i E()]. = V() = 75 4 = 5 3 ( 4,33 à 0 près).