PROBABILITES I Vocabulaire Définition 1: Une expérience dont on ne peut pas prévoir de façon certaine le résultat, ou l issue, s appelle une expérience aléatoire. «On lance un dé et on regarde le résultat.» Cette expérience est bien une expérience aléatoire car il y a résultats possibles et on ne sait pas quel résultat on va obtenir. Définition : A partir d une expérience aléatoire, on peut définir ce qu on appelle des événements qui sont des ensembles de résultats (ou d issues). On prend la même expérience aléatoire «On lance un dé et on regarde le résultat». «Obtenir un nombre pair» est un événement car c est l ensemble des résultats suivant: «obtenir un» ou «obtenir un 4» ou «obtenir un». Cas particulier: Un événement élémentaire est un événement constitué d un seul résultat (ou d une seule issue). «obtenir un 5» est un événement élémentaire. Définition 3: Quand on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois alors la fréquence de réalisation d un événement finit par se rapprocher et se stabiliser autour d un nombre, une «fréquence théorique», appelée probabilité de cet événement. Remarques: -La probabilité d un événement est toujours comprise entre 0 et 1. -La somme des probabilités de tous les résultats (issues) d une expérience aléatoire est égale à 1. 95
II Probabilité Définition: La probabilité d un événement A est donnée par la formule: P(A) Nombre de résultats favorables à l'événement A Nombre de résultats possibles Cas particuliers: -La probabilité d un événement qui se produit à coup sûr, événement certain, est égale à 1. -La probabilité d un événement qui ne peut pas se produire, événement impossible, est égale à 0. Exemple 1: tous les résultats (issues) de l expérience ont la même probabilité. On lance un dé à faces. Quelle est la probabilité de l événement A «obtenir un nombre inférieur à 5»? Les résultats (issues) «obtenir un 1», «obtenir un» «obtenir un» sont équiprobables (c'est à dire qu'ils ont la même probabilité). Il y a 4 résultats favorables pour l événement A: «obtenir un 1», «obtenir un», «obtenir un 3» et «obtenir un 4» Il y a résultats possibles Donc P(A) 4 3 Exemple : Probabilité et numération. Οn dispose de 4 boules rouges, boules jaunes et 1 boule verte. On choisit au hasard l une de ces 7 boules et on regarde sa couleur. Quelle est la probabilité d obtenir une boule jaune? 9
Soit B l événement «obtenir une boule jaune». Par comparaison des boules, on a chances sur 7 de choisir une boule jaune. Donc P(B) 7 Exemple 3: Probabilité et géométrie. On considère l expérience aléatoire «on fait tourner une roue de loterie équilibrée et on regarde la couleur désignée par la flèche». Quelle est la probabilité pour que la flèche indique la couleur bleue? J B V R B Soit C l événement «la flèche indique la couleur bleue». Par proportionnalité des secteurs angulaires, on peut définir angle des secteurs bleus 90 + 0 150 15 5 P(C) angle total 30 30 3 1 Exemple 4: Probabilité et fréquence. Le jeu du «franc carreau» consiste à lancer un jeton circulaire à l intérieur d un rectangle quadrillé de carrés. Remarques: diamètre du jeton cm Carrés: 4cm 4cm On définit l événement suivant: D «le jeton ne touche aucune ligne». 97
On a répété cette expérience 00 fois et on a représenté l évolution de la fréquence de réalisation de l événement D: L observation du graphique conduit à la conclusion P(D) 0,5 III D autres événements 1) Evénement contraire Définition : L événement contraire d un événement A est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. Il est noté nona ou Ā. Lors d un lancer de dé, l événement «obtenir un nombre pair» est l événement contraire de «obtenir un nombre impair». Propriété: La somme des probabilité d un événement et de son contraire est égale à 1 P(A) + P(Ā) 1 Lors d un lancer de dé, les événements A «obtenir un nombre inférieur à 5» et E «obtenir un nombre supérieur ou égal à 5» sont contraires. P(A) 4 P(E) 4 P(A) + P(E) + 1 98
) Evénements incompatibles Définition: Deux événements sont incompatibles s ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Lors d un lancer de dé, on définit les événements: F: «obtenir un multiple de trois». Les issues favorables à F sont: 3 et. G: «obtenir un nombre inférieur à 3». Les issues favorables à G sont: 1 et. Aucune issue n est commune à F et G donc les événements F et G sont incompatibles Propriété: Si deux événements sont incompatibles alors la probabilité que l un ou l autre se réalise est égale à la somme de leur probabilité. P(F) P(G) P(F ou G) P(F) + P(G) + 4 3 IV Expérience à deux épreuves On lance deux fois de suite un dé: c est une expérience à deux épreuves. Quelle est la probabilité d obtenir l événement «obtenir un nombre supérieur ou égal à 5» au premier lancer ET l événement «ne pas obtenir un multiple de 3» au second lancer? 99
F (E ; F) E non F (E ; non F) F (non E ; F) non E non F (non E ; non F) P( (E ; non F) ) 4 8 3 9 Conclusion: La probabilité est égale à 9. Propriété: Dans un arbre, la probabilité du résultat auquel conduit un chemin est égale au produit des probabilités rencontrés le long de ce chemin. 100