ERREUR EXPÉRIMENTALE Module 1, Leçon 2 1.0 LES TYPES D ERREUR Les mesures ne peuvent jamais être exactes. Elles comprennent toujours une certaine erreur ou incertitude. Il existe deux principaux types d erreur, l erreur aléatoire et l erreur systématique. 1.1 Erreur aléatoire Ce type d erreur résulte d'une variation dans les résultats autour d'une valeur moyenne. En d autres mots, lorsqu on répète une mesure plusieurs fois, on obtient des valeurs proches mais qui varient. Ce type d'erreur peut être minimisé en faisant plusieurs mesures mais ne peut jamais être éliminé. On mesure la distance entre Winnipeg et Toronto en servant de l'odomètre dans sa voiture. On obtient une valeur de 2079,2 km. Si l'on répétait la mesure plusieurs fois en suivant le même trajet, on pourrait obtenir d autres valeurs, disons de 2075,5 km ou de 2090,3 km, dépendant du nombre de fois qu'on a dédoublé ou qu'on a viré du chemin. 1.2 Erreur systématique Ce type d'erreur résulte d'un problème constant avec l'instrument de mesure, d une technique erronée, d un échantillon contaminé ou d un autre problème constant. Ce type d erreur peut être éliminé. Une balance dont l'aiguille n'est pas fixée à zéro indiquera des mesures sont trop élevées ou trop basses. Une horloge qui perd une minute chaque journée n'indiquera jamais un intervalle de temps exact. Un élève qui mesure le volume à partir du haut du ménisque au lieu du bas du ménisque.
1.3 Pourcentage d'erreur Le pourcentage d erreur est une expression quantitative simple de l écart entre la valeur expérimentale et la valeur théorique. Le pourcentage d erreur est toujours exprimé comme valeur positive. La formule ci-dessous sert à le calculer : Les lignes verticales dans la formule représentent la fonction mathématique «valeur absolue». Cette fonction rend toujours la valeur positive du nombre à l intérieur. Il est donc impossible d avoir un pourcentage d erreur négatif. On détermine expérimentalement que le point de fusion du naphtalène est 78,9 C, son point de fusion théorique étant 80,2 C. Détermine le pourcentage d erreur sur la mesure. 1.4 Précis ou exact? Les termes «précis» et «exact» sont employés interchangeablement dans la langue courante. Par contre, en sciences de la nature ils ont une signification distincte.
La précision se réfère au nombre de places décimales que porte une mesure. Dans une expérience visant la détermination de π, un résultat de 3,14 est moins précis qu un résultat de 3,1416. L exactitude se réfère plutôt à la proximité entre une valeur expérimentale et la valeur théorique. Dans l expérience susmentionnée, un résultat de 3,19 serait moins exact qu un résultat de 3,15. Il est possible d avoir un résultat exact qui est imprécis (par exemple, un résultat de 3,1) tout comme il est possible d avoir un résultat précis mais inexact (par exemple, un résultat de 3,1943). Les diagrammes ci-dessous illustrent ce point :
2.0 L EXPRESSION DE L'ERREUR DANS LES MESURES 2.1 Instruments de mesure À chaque instrument de mesure s'associe une erreur typique déterminée par sa précision. On peut lire une valeur avec certitude jusqu à la plus petite graduation de l instrument. Cependant, comme on est capable d estimer une valeur entre les graduations, on prend une mesure jusqu au dixième de la plus petite graduation. Un certain thermomètre porte une échelle allant de 20 C jusqu à 120 C avec des graduations de 1 C. On peut lire avec certitude au degré près et avec un peu d incertitude jusqu au dixième de degré près. Une mesure de 32,4 C, porte deux chiffres certains et un chiffre incertain. 2.2 Chiffres significatifs Les chiffres significatifs permettent d inférer rapidement la précision d une mesure expérimentale. Cette convention exige que l'on exprime les mesures avec tout chiffre dont on est certain plus un chiffre dont on est incertain. Pour reprendre l exemple précédent où on a mesuré une température de 32,4 C, on est certain du 3 et du 2, mais on est incertain du 4. Ce nombre comporte donc trois chiffres significatifs.
2.3 Comment déterminer le nombre de chiffres significatifs? A Tout chiffre non zéro compte comme chiffre significatif. 48 2 c.s. 512 3 c.s. 2,3459 5 c.s. B Si le zéro est compris entre deux chiffres non zéro, il compte comme chiffre significatif. 507 3 c.s. 2,00409 6 c.s. C Si le zéro est à la fin d'un nombre entier (c'est-à-dire, sans virgule décimale), il n'est pas significatif. 500 1 c.s. 12000 2 c.s. D Si le zéro est à la fin d'un nombre décimal (c'est-à-dire, il y a une virgule décimale) il compte comme chiffre significatif. 2,50 3 c.s. 400,00 5 c.s.
E significatif. Si le zéro se trouve au début d'un nombre décimal, il ne compte pas comme chiffre 0,01 1 c.s. 0,000 353 3 c.s. F Quand on exprime un nombre en notation scientifique, on n'inclut que les chiffres significatifs. C'est pour cette raison que les nombres exprimés en notation scientifique doivent être entre 1 et 10. 5,07 x 10 2 3 c.s. 3,410 x 10 19 4 c.s. 2.4 Opérations mathématiques sur les quantités mesurées En faisant des calculs avec des mesures, on doit respecter certaines règles pour que la précision de la réponse finale reflète celle des mesures. Ces règles exigent une connaissance de l arrondissement. 2.5 Arrondissement Afin de garder le bon nombre de chiffres significatifs, on doit parfois arrondir la réponse finale. Cet arrondissement suit des règles précises. Quand on arrondit, on emploie toujours le symbole qui veut dire «à peu près égal». On n emploie le symbole d égalité car les deux quantités ne sont pas égales. A Lorsque le premier chiffre à éliminer est inférieur ou égal à 4, le chiffre précédent ne change pas. : 4,24 4,2. B Lorsque le premier chiffre à éliminer est égal ou supérieur à 6, le chiffre précédent est augmenté de 1. : 3,37 3,4.
C Lorsque les chiffres à éliminer sont un 5 suivi de chiffres autres que des zéros, le chiffre précédent est augmenté de 1. : 8,51 8,6. D Lorsque le chiffre à éliminer est un 5 seul, ou un 5 suivi de zéros, le chiffre précédent est augmenté de 1 s'il est impair; il ne change pas s'il est pair. s : 8,150 8,2 8,250 8,2 8,35 8,4 8,45 8,4 La dernière règle existe car une mesure terminant en un 5 seul ou un 5 suivi de zéros se trouve exactement à mi-chemin entre les deux arrondissements. Les statisticiens ont proposé cette technique d arrondissement pour éviter l erreur systématique si l on augmentait toujours de 1 le chiffre précédent, on obtiendrait une moyenne expérimentale trop élevée. La technique proposée par les statisticiens a l avantage d être complètement objectif on augmente de 1 le chiffre précédent seulement s il est impair. Astuce : Si c est pair, laisse faire! 2.6 Multiplication et division des quantités mesurées En calculant l aire d un carré de 1,13 m de chaque côté, on obtient 1,2769 m 2. Est-ce raisonnable de passer d une mesure ayant trois chiffres significatifs à une valeur qui en a cinq? Bien sûr que non. Voici la règle à suivre : Lors de la multiplication ou de la division, la réponse finale doit comporter le même nombre de chiffres significatifs que la mesure qui en a le moins. La même règle s applique aux exposants et aux racines carrées. On considère qu une constante telle que π a un nombre de chiffres significatifs illimité. Le même est vrai pour les quantités dénombrées (c est-à-dire les quantités que l on compte) telles que le nombre d œufs dans une douzaine, le nombre de charges élémentaires, le nombre d items dans une liste. Cette règle découle du fait que ces valeurs ne peuvent être que des nombres entiers.
s : 3,81 m x 0,89 m 3,3909 m 2 3,4 m 2 Dans cet exemple, un facteur a trois chiffres significatifs alors que l autre en a deux. Le produit est donc limité à deux chiffres significatifs. 1 125 m 2 9,0 m = 125 m 120 m Dans cet exemple la première mesure a quatre chiffres significatifs alors que la deuxième en a deux. La réponse finale est limitée à deux chiffres significatifs. Attention en arrondissant la réponse finale c est bien 120 m et non 130 m. = 2,80909... m 2,809 m Cet exemple souligne que les racines carrées respectent la même règle que la multiplication et la division en ce qui concerne les quantités mesures. Comme la mesure a quatre chiffres significatifs, la réponse finale doit en avoir quatre aussi.
Si un cube de zyconox (une substance récemment découverte sur la planète Zyconoxia) a une masse de 3,934 g. Quelle serait la masse de douze cubes de cette substance? Comme le nombre de cubes est une quantité dénombrée, il a un nombre de chiffres significatifs illimité. La réponse finale doit comporter le même nombre de chiffres significatifs que la mesure originale, c est-à-dire quatre. 12 x 3,934 g = 47,208 g 47,21 g 2.7 Addition et soustraction des quantités mesurées En additionnant les distances 4,5 m et 0,231 m, on doit se demander si la somme devrait avoir la précision de la première ou de la deuxième mesure. Devrait-on écrire 4,731 m ou 4,7 m? C est en fait le dernier. Voici la règle à suivre : Lors de l addition ou de la soustraction, la réponse finale doit avoir la même précision que la mesure la moins précise. Il faut souligner que ce n est pas le nombre de chiffres significatifs qui entre en ligne de compte ici. C est plutôt en quelle colonne apparaît le dernier chiffre significatif.
s : 42,911 m + 311,9 m + 1,23 m 356,041 m 356,0 m Dans cette addition, la première mesure est précise au millième, la deuxième au dixième et la troisième au centième. La réponse finale doit donc être précise au dixième. Il ne suffit pas d écrire 356 m même si cette mesure a la même valeur numérique que 356,0 m, elle n a pas la même précision. Soulignons que ce n est pas le nombre de chiffres significatifs qui importe lorsqu on additionne une série de mesures. Dans cet exemple, la réponse finale a un chiffre significatif de plus que la mesure qui en a le moins. Le nombre de chiffres significatifs n a pas rapport ici. 3 622 000 m 34 230 m 3 587 770 m 3 588 000 m Dans cette soustraction, la première mesure est précise à la colonne des milliers alors que la deuxième est précise à la colonne des dizaines. La réponse finale doit donc être précise à la colonne des milliers. C est une coïncidence que la réponse finale comporte le même nombre de chiffres significatifs que la mesure qui en a le moins. 2.8 Opérations multiples Lorsqu on effectue une série de calculs, on doit éviter d arrondir avant la dernière étape. Si l on arrondissait trop souvent, on introduirait de l erreur dans la réponse.
: Une voiture se déplace à une vitesse uniforme de 67 km/h pendant 2,3 heures. Quelle distance parcourt-elle en km? en milles? d = v t = (67 km/h)(2,3 h) = 154,1 km 150 km (154,1 km)(0,6215 milles/km) = 95,77315 milles 96 milles Pour calculer la distance, on multiplie la vitesse par la durée du trajet. Comme les deux mesures comportent deux chiffres significatifs, la réponse finale doit comporter deux chiffres significatifs. Ainsi, on arrondit 154,1 km à 150 km. En calculant la distance en milles, on prend la valeur non arrondie de 154,1 km. En ce faisant, on obtient une réponse arrondie de 96 milles. Si l on avait pris la valeur arrondie de 150 km, on aurait obtenu une réponse inexacte : (150 km)(0,6215 milles/km) 93 milles. On cherche à éviter ce genre d inexactitude.