Cours n 9 : Dipôles RC et RL Introduction Au chapitre précédent, nous avons étudié le comportement général d un circuit et également le comportement des conducteurs ohmiques. Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser au comportement de deux nouveaux dipôles : le condensateur et la bobine. 1) Le condensateur 1.1) Définition et propriétés Définition Par définition, un condensateur est un dipôle constitué par deux plaques conductrices en regard, les armatures, séparées par un isolant, le diélectrique (de l air, du mica, ). Les condensateurs diffèrent par leur géométrie. Effectivement, les armatures peuvent avoir plusieurs formes. Dans la pratique, on trouve principalement des condensateurs plans et cylindriques. Lorsque les armatures sont planes, on parle de «condensateur plan». Charge par influence diélectrique +++++++++++ +++++++++++ - - - - - - - - - - - L apparition d une charge aux bornes d un condensateur va entraîner l apparition d un champ électrique autour d elle. Au niveau de l autre armature, il y a mise en mouvement des électrons libres par l action de la force électrostatique, jusqu à l apparition d une charge sur l autre armature. Ce mouvement de charges est un courant induit par le champ électrique à travers le diélectrique. Ce courant s appelle courant de déplacement. Relation entre charge et tension On peut montrer qu aux bornes d un condensateur, la charge est proportionnelle à la différence de potentiel qui existe entre ses armatures. On a : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 1
Où s appelle la capacité du condensateur et vaut pour un condensateur plan : avec la permittivité du diélectrique, la surface des armatures et l épaisseur du diélectrique. La capacité est caractéristique du condensateur considéré et s exprime en Farads de symbole, avec en. : permittivité diélectrique du vide. : permittivité diélectrique relative de l isolant (grandeur sans dimension) 1.2) Le dipôle condensateur Inséré dans un circuit électrique en reliant chaque armature à une borne, le condensateur devient un dipôle. Modélisation Le condensateur est symbolisé par deux traits parallèles de la manière suivante en convention récepteur : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 2
! Avec un générateur de courant, l intensité est constante. On a alors avec : Association de capacités idéales - Condensateurs en série : plusieurs condensateurs en série se comportent comme un unique condensateur de capacité équivalente telle que : Pour deux condensateurs et en série : - Condensateurs en parallèle : plusieurs condensateurs en parallèle se comportent comme un unique condensateur de capacité équivalente telle que : Pour deux condensateurs et en parallèle : 1.3) Energie emmagasinée L énergie totale emmagasinée dans un condensateur vaut : étant la tension aux bornes du condensateur de capacité. Cette énergie est stockée sous forme d énergie potentielle électrostatique. On sait que donc : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 3
1.4) Réponse du dipôle RC à un échelon de tension 1.4.1) Echelon de tension Une source idéale de tension délivre un échelon de tension si la tension qu elle produit est de la forme : La tension va passer instantanément de la valeur à la valeur. Cela se produit notamment lorsque l on bascule l interrupteur à. Ainsi, pour l étude du dipôle RC, on utilisera le circuit suivant : 1.4.2) Charge du condensateur à travers une résistance Le condensateur est initialement déchargé alors :. L interrupteur est basculé en position. On a Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 4
Aux bornes des différents dipôles, on a : - générateur en convention générateur - résistance en convention récepteur - condensateur en convention récepteur La loi des mailles nous donne : Résolution de l équation On a une équation différentielle du premier ordre de solution : A, donc En posant, on obtient : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 5
La tension aux bornes du condensateur est donc donnée par : Aux bornes de la résistance, on a donc est appelée constante de temps du dipôle RC. C est un temps caractéristique d évolution du système. On est en régime permanent à partir de Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 6
Au moment où l on ferme l interrupteur, la tension aux bornes du condensateur est nulle et il s établit un courant. Pendant la charge, augmente et donc diminuent en régime transitoire. En régime permanent charges et. On a :, le condensateur est chargé donc il n y a plus de mouvement de 1.4.3) Décharge du condensateur à travers une résistance L interrupteur est maintenant basculé en position après avoir initialement chargé le condensateur. Il y a décharge lorsque l on supprime le générateur une fois le condensateur chargé. Celui-ci peut débiter un courant dans le sens inverse de celui de la charge. Le condensateur se comporte alors comme un générateur. Conditions initiales du problème : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 7
Pendant la décharge, le courant entre par l armature négative du condensateur, on a donc : La loi des mailles nous donne : On a et d où, on obtient : soit Résolution de l équation En posant, on obtient : Aux bornes du condensateur, on a donc : Aux bornes de la résistance : L intensité du courant est : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 8
La tension aux bornes du condensateur est éteinte après. A l instant où l on bascule l interrupteur, la tension aux bornes du condensateur vaut et il s établit un courant. Pendant la décharge, on est en régime transitoire avec et décroissantes donc décroissante. En régime permanent le condensateur est déchargé et il n y a plus de mouvement de charges donc la tension et l intensité s éteignent. On a : 1.5) Charge à courant constant On branche un dipôle RC en série avec un générateur de courant délivrant une intensité constante. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 9
La charge du condensateur est : Si le condensateur est initialement déchargé alors. La tension augmente linéairement jusqu à une valeur maximale appelée tension de claquage pour laquelle il se produit un arc électrique entre les deux armatures. Le condensateur est alors définitivement détérioré. 2) Le dipôle RL 2.1) La bobine Une bobine est un dipôle constitué d un enroulement de fil conducteur. Quand cette bobine est parcourue par un courant, elle crée un champ magnétique. Lorsque l intensité varie, le champ magnétique créé varie également et il apparaît alors une force électromotrice auto-induite d autant plus importante que le courant varie rapidement. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 10
Loi de Lenz : : inductance de la bobine exprimée en Henry de symbole. Le signe dans l expression de exprime l opposition de la bobine aux variations de l intensité électrique. Ainsi, par définition, une bobine est un dipôle s opposant aux variations d intensité du courant qui le traverse. 2.1.1) Inductance pure La tension aux bornes de la bobine est donnée par la relation : - En régime stationnaire,. La bobine n a pas d effet sur le courant. Elle se comporte comme un fil électrique. - Si augmente alors. Il se crée dans la bobine une f.é.m. qui produit un courant s opposant au sens conventionnel du courant et donc à l augmentation de. - Si diminue alors. Il se crée dans la bobine une f.é.m. qui produit un courant dans le sens conventionnel et donc s oppose à la diminution de. 2.1.2) Energie stockée dans bobine Soit l énergie stockée dans bobine, on a : :inductance de la bobine. : intensité du courant traversant la bobine. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 11
2.1.3) Bobine réelle En réalité, du fait de la grande longueur de fil bobinée, la bobine possède une résistance interne. Ainsi, une partie de l énergie reçue par la bobine va être dissipée par effet Joule dans la résistance interne. On peut ainsi modéliser la bobine de la manière suivante en convention récepteur : On a : d où représente la tension aux bornes d une bobine réelle. 2.1.4) Associations de bobines idéales Bobines idéales en série : plusieurs bobines en série se comportent comme une unique bobine d inductance équivalente telle que : Pour deux bobines et en série : Bobines idéales en parallèle : plusieurs bobines en parallèle se comportent comme une unique bobine d inductance équivalente telle que : Pour deux bobines et en parallèle : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 12
2.2) Réponse du dipôle RL à un échelon de tension Le circuit d étude comporte un générateur parfait de f.é.m., un bobine d inductance résistance interne, et une résistance. et de 2.2.1) Etablissement du courant A, on bascule l interrupteur en position. On a alors le circuit suivant : On a : La loi des mailles donne : soit En posant, on obtient : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 13
Résolution de l équation différentielle En posant on obtient : Equation différentielle du premier ordre de solution : Le courant ne subit pas de discontinuité donc à, car le circuit est initialement ouvert. d où En posant. On en déduit donc les différentes tensions. Aux bornes de la résistance : Aux bornes de la bobine : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 14
La bobine va retarder l établissement du courant dans le circuit par effet inertiel. 2.2.2) Rupture du courant Un fois le régime stationnaire établi, on bascule l interrupteur en position. La bobine se comporte alors comme un générateur. Loi des mailles : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 15
Soit avec : Résolution de l équation différentielle En posant on obtient : Equation différentielle du premier ordre de solution : Le courant ne subit pas de discontinuité donc à, Ainsi On en déduit les différentes tensions : Aux bornes de la résistance : Aux bornes de la bobine : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 16
La bobine va retarder l extinction du courant par effet inertiel. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 17