Exercice 1: (4 points) On écrit chacune des lettres du mot TAUX sur un carton et on place ces quatre cartons dans un sac. On tire un carton au hasard, puis un second sans remettre le premier dans le sac. On forme ainsi un assemblage de deux lettres sans répétition de lettre, appelé encore "mot", par exemple TA, AT ou TX. 1) Utiliser un arbre pour déterminer combien de tels mots peuvent ainsi être formés. 2) Soit E l'événement : "le mot obtenu commence par la lettre T" et F l'événement : "le mot contient deux voyelles". Ecrire les issues qui réalisent E, puis celles qui réalisent E ; même question pour F et F. 3) Y a-t-il des issues qui réalisent E F? Y a-t-il des issues qui réalisent E F? Exercice 2: (6 points) Dans le cadre d'une campagne publicitaire, une grande surface organise une loterie. Le candidat sélectionné pour la phase finale doit tirer au sort, successivement et sans remise, 2 jetons dans une boîte. La boîte contient 3 jetons blancs, notés B 1, B 2 et B 3 et 1 jeton rouge noté R. Tous les choix sont équiprobables. 1) A l'aide d'un tableau à double entrée déterminer l'ensemble des couples différents que l'on peut obtenir. 2) Le règlement de la loterie est le suivant : le finaliste gagne le voyage s'il tire le jeton B 1 en premier; le finaliste gagne l'ordinateur s'il tire deux jetons de couleurs différentes. Ces deux lots sont cumulables : ainsi le tirage (B 1 ;R) permet de gagner à la fois le voyage et l'ordinateur. Enfin si le client ne gagne ni le voyage ni l'ordinateur, il reçoit un bon d'achat de 200. On considère les événements suivants : V "le finaliste gagne le voyage"; O "le finaliste gagne l'ordinateur"; A "le finaliste gagne le bon d'achat". a) Calculer p(v), p(o) et p(v O). b) Définir par une phrase l'événement V O, puis calculer sa probabilité. c) Définir par une phrase l'événement contraire de V O, puis calculer sa probabilité de deux manières différentes.
Seconde 4 IE7 probabilités Sujet 2 2011-2012 Exercice 1: (4 points) On dispose de quatre cartons sur lesquels on a noté les lettres M, A, T et H. On forme un "mot" de deux lettres en choisissant au hasard successivement et sans remise deux cartons. Ici "mot" désigne tout assemblage ayant un sens ou non, par exemple "TH". 1) En s'aidant d'un arbre, déterminer l'ensemble de tous les mots possibles. 2) Ecrire sous forme d''ensembles les événements : a) E 1 : "le mot contient la lettre M". b) E 2 : "le mot contient la lettre A". 3) On considère l'événement "le mot contient la lettre M ou la lettre A". Décrire cet événement à l'aide de E 1 et de E 2, puis l'écrire sous la forme d'un ensemble. 4) Reprendre la question 3) avec l'événement "le mot contient la lettre M et la lettre A". Exercice 2: (6 points) Une étudiante fabrique chaque semaine un petit stock de bijoux fantaisie qu'elle vend en fin de semaine afin de s'assurer quelques revenus. Sa production hebdomadaire de bijoux se répartit comme suit : 20% de boucles d'oreilles, 40% de colliers et 40% de bracelets. Chaque bijou est réalisé soit en métal argenté, soit en métal doré. 60% des bijoux fabriqués sont argentés. Elle fabrique autant de colliers argentés que de colliers dorés. 75% des bracelets sont argentés. 1) Reproduire et compléter le tableau de fréquences (en %) par rapport à l'ensemble de la production suivant : Colliers Bracelets Boucles d'oreille Total Argentés Dorés Total 20 100 2) Pour se rendre sur le lieu de vente, elle range en général sa production en vrac dans une mallette. Elle prend au hasard un bijou dans la mallette. On suppose que tous les choix possibles sont équiprobables. a) Calculer les probabilités des événements suivants : A : "le bijou pris est argenté"; B : "le bijou pris est un bracelet". b) Décrire par une phrase l'événement A B et calculer sa probabilité. c) Décrire par une phrase l'événement A B et calculer sa probabilité de deux manières différentes. d) Décrire par une phrase l'événement A et calculer sa probabilité.
Exercice 1: (5 points) On écrit chacune des lettres du mot TAUX sur un carton et on place ces quatre cartons dans un sac. On tire un carton au hasard, puis un second sans remettre le premier dans le sac. On forme ainsi un assemblage de deux lettres sans répétition de lettre, appelé encore "mot", par exemple TA, AT ou TX. 1) Utiliser un arbre pour déterminer combien de tels mots peuvent ainsi être formés. 2) Soit E l'événement : "le mot obtenu commence par la lettre T" et F l'événement : "le mot contient deux voyelles". Ecrire les issues qui réalisent E, puis celles qui réalisent E ; même question pour F et F. 3) Y a-t-il des issues qui réalisent E F? Y a-t-il des issues qui réalisent E F? 1) On peut former 12 mots : "TA", "TU", "TX", "AT", "AU", "AX", "UT", "UA", "UX", "XT", "XA", "XU" 2) Les issues qui réalisent E sont : "TA", "TU" et "TX". E est l'événement contraire E; il se réalise lorsque E ne se réalise pas. Les issues qui réalisent E sont : "AT", "AU", "AX", "UT", "UA", "UX", "XT", "XA", "XU". Les issues qui réalisent F sont : "AU" et "UA". F est l'événement contraire F ; il se réalise lorsque F ne se réalise pas. Les issues qui réalisent F sont : "TA", "TU", "TX", "AT", "AX", "UT", "UX", "XT", "XA" et "XU". 3) E F se réalise lorsque le mot commence par T ou lorsque le mot contient deux voyelles. Les issues qui réalisent E F sont : "TA", "TU", "TX", "AU" et "UA". E F se réalise lorsque le mot commence par T et lorsque le mot contient deux voyelles. Ce n'est pas possible car T est une consonne. 3
Exercice 2: (5 points) Dans le cadre d'une campagne publicitaire, une grande surface organise une loterie. Le candidat sélectionné pour la phase finale doit tirer au sort, successivement et sans remise, 2 jetons dans une boîte. La boîte contient 3 jetons blancs, notés B 1, B 2 et B 3 et 1 jeton rouge noté R. Tous les choix sont équiprobables. 1) A l'aide d'un tableau à double entrée déterminer l'ensemble des couples différents que l'on peut obtenir. 2) Le règlement de la loterie est le suivant : le finaliste gagne le voyage s'il tire le jeton B 1 en premier; le finaliste gagne l'ordinateur s'il tire deux jetons de couleurs différentes. Ces deux lots sont cumulables : ainsi le tirage (B 1 ;R) permet de gagner à la fois le voyage et l'ordinateur. Enfin si le client ne gagne ni le voyage ni l'ordinateur, il reçoit un bon d'achat de 200. On considère les événements suivants : V "le finaliste gagne le voyage"; O "le finaliste gagne l'ordinateur"; A "le finaliste gagne le bon d'achat". a) Calculer p(v), p(o) et p(v O). b) Définir par une phrase l'événement V O, puis calculer sa probabilité. c) Définir par une phrase l'événement contraire de V O, puis calculer sa probabilité de deux manières différentes. 1) Tirage 1 Tirage 2 B 1 B 2 B 3 R B 1 B 1 B 2 B 1 B 3 B 1 R B 2 B 2 B 1 B 2 B 3 B 2 R B 3 B 3 B 1 B 3 B 2 B 3 R R RB 1 RB 2 RB 3 L'ensemble des couples possibles est le suivant : {(B 1 ;B 2 ), (B 1 ;B 3 ), (B 1 ;R), (B 2 ;B 1 ), (B 2 ;B 3 ), (B 2 ;R), (B 3 ;B 1 ), (B 3 ;B 2 ), (B 3 ;R), (R;B 1 ), (R;B 2 ), (R;B 3 )} 2) a) Etant en situation d'équiprobabilité, on p(v) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles L'événement V se réalise pour les tirages (B 1 ;B 2 ), (B 1 ;B 3 ) et (B 1 ;R). Donc p(v) = 3 12 = 1 4 L'événement O se réalise pour les tirages (B 1 ;R), (B 2 ;R), (B 3 ;R), (R;B 1 ), (R;B 2 ), (R;B 3 ). Donc p(o) = 6 12 = 1 2 4
L'événement V O se réalise si le client gagne à la fois le voyage et l'ordinateur c'est-à-dire pour le couple (B 1 ;R) uniquement. Donc p(v O) = 1 12 b) L'événement V O se réalise si le client gagne le voyage ou l'ordinateur (ou bien les deux) c'est-à-dire pour les couples (B 1 ;B 2 ), (B 1 ;B 3 ), (B 1 ;R), (B 2 ;R), (B 3 ;R), (R;B 1 ), (R;B 2 ), (R;B 3 ). Donc p(v O) = 8 12 = 2 3 Autre méthode : p(v O) = p(v) + p(o) - p(v O) = 1 4 + 1 2-1 12 = 3 + 6 1 = 8 12 12 = 2 3 c) V O : événement contraire de V O : se réalise si le client ne gagne ni le voyage ni l'ordinateur (le client gagne alors le bon d'achat.) V O = {"B 2 B 1 "; "B 2 B 3 ";"B 3 B 2 ";"B 3 B 1 "} Donc p( V O ) = 4 12 = 1 3 Autre manière : p( V O ) = 1 p(v O) = 1 2 3 = 1 3 5
Seconde 4 IE7 probabilités Sujet 2 2010-2011 Exercice 1: (4 points) On dispose de quatre cartons sur lesquels on a noté les lettres M, A, T et H. On forme un "mot" de deux lettres en choisissant au hasard successivement et sans remise deux cartons. Ici "mot" désigne tout assemblage ayant un sens ou non, par exemple "TH". 1) En s'aidant d'un arbre, déterminer l'ensemble de tous les mots possibles. 2) Ecrire sous forme d'ensemble les événements : a) E 1 : "le mot contient la lettre M". b) E 2 : "le mot contient la lettre A". 3) On considère l'événement "le mot contient la lettre M ou la lettre A". Décrire cet événement à l'aide de E 1 et de E 2, puis l'écrire sous la forme d'un ensemble. 4) Reprendre la question 3) avec l'événement "le mot contient la lettre M et la lettre A". 1) L'ensemble de tous les mots possibles est constitué des éléments suivants : MA,MT,MH,MA,TA,AH,TM,TA,TH,HM,HA et HT. Cet ensemble contient 12 éléments. 2) a) L'événement E 1 est constitué des éventualités suivantes : MA, MT, MH, AM, TM et HM. L'événement E 2 est constitué des éventualités suivantes : MA, AM, AT, AH, TA et HA. 3) Nommons U cet événement : U = E 1 E 2 U = {MA, MT, MH, AM, AT, AH, TM, TA, HM, HA} 4) Nommons I cet événement : U = E 1 E 2 I = {MA, AM } Exercice 2: (6 points) Une étudiante fabrique chaque semaine un petit stock de bijoux fantaisie qu'elle vend en fin de semaine afin de s'assurer quelques revenus. Sa production hebdomadaire de bijoux se répartit comme suit : 20% de boucles d'oreilles, 40% de colliers et 40% de bracelets. Chaque bijou est réalisé soit en métal argenté, soit en métal doré. 60% des bijoux fabriqués sont argentés. Elle fabrique autant de colliers argentés que de colliers dorés. 75% des bracelets sont argentés. 1) Reproduire et compléter le tableau de fréquences (en %) par rapport à l'ensemble de la production suivant : Colliers Bracelets Boucles Total d'oreille Argentés Dorés Total 20 100 2) Pour se rendre sur le lieu de vente, elle range en général sa production en vrac dans une mallette. Elle prend au hasard un bijou dans la mallette. On suppose que tous les choix possibles sont équiprobables. a) Calculer les probabilités des événements suivants : 6
Seconde 4 IE7 probabilités Sujet 2 2010-2011 A : "le bijou pris est argenté"; B : "le bijou pris est un bracelet". b) Décrire par une phrase l'événement A B et calculer sa probabilité. c) Décrire par une phrase l'événement A B et calculer sa probabilité de deux manières différentes. d) Décrire par une phrase l'événement A et calculer sa probabilité. 1) Colliers Bracelets Boucles d'oreille Total Argentés 20 30 10 60 Dorés 20 10 10 40 Total 40 40 20 100 2) a) Etant en situation d'équiprobabilité, nombre de cas favorables on a p(a) = nombre de cas possibles Soit p(a) = 60 100 = 0,6 P(B) = 40 100 = 0,4 b) A B : "le bijou pris est un bracelet argenté." P(A B) = 30 100 = 0,3 c) A B : "le bijou pris est argenté ou est un bracelet" 60 + 10 P(A B) = 100 = 0,7 Autre méthode P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 0,6 + 0,4 0,3 = 0,7. d) A est l'événement contraire de A. Il se réalise si le bijou n'est pas argenté (c'est-à-dire s'il est doré). p( A ) = 1 p(a) = 1 0,6 = 0,4 7