Introduction au Calcul quantique

Introduction au Calcul quantique Frédéric Magniez http://www.lri.fr/quantum

Vers la nanotechnologie 2 Fin de la loi de Moore? "No exponential is forever. Your job is to delay forever.", Andrew Gordon Moore Feb. 2003. Phénomènes quantiques vers 2020... Approche actuelle : les supprimer Informatique quantique : les utiliser!

Le photon 3 Caractéristiques direction longueur d onde polarisation

Filtre polarisant 4 Sortie d un filtre polarisant Lumière polarisée selon la direction du filtre. Lumière parallèle au filtre passe. Lumière orthogonale au filtre ne passe pas. Polarisation diagonale Mélange statistique : NON Superposition quantique!

Filtre polarisant 4 50 % 50 % Sortie d un filtre polarisant Lumière polarisée selon la direction du filtre. Lumière parallèle au filtre passe. Lumière orthogonale au filtre ne passe pas. Polarisation diagonale Mélange statistique : NON Superposition quantique!

Superposition quantique 5 Etat polarisation superposition : vecteur à 2 dimensions θ = cos θ + sin θ θ Filtre mesure : projection orthonormée θ Mesure cos 2 θ sin 2 θ L observation perturbe le système

Evolution quantique 6 Transformations qui préservent la superposition? Condition nécessaire : isométrie Une transformation connue : la lame demionde symétrie orthogonale par rapport à son axe Transformation orthogonales : G O(2) G R 2 2 telle que t GG = Id Orthogonale = Réversible

Le qubit 7 Bit classique Element déterministe : Bit probabiliste Distribution probabiliste : avec Bit quantique p, q [0, ] b {0, } d = tels que ( p q) Superposition quantique : ψ C {0,} tel que ψ = p + q = ψ = α 0 + β avec α 2 + β 2 = 0 = = et

Evolution du qubit 8 Mesure : lire et modifier α 0 + β Mesure α 2 β 2 0 Transformations unitaires : G C 2 2 telle que G G = Id G U(2) ψ G ψ = G ψ Unitaire = Réversible ψ = G ψ G ψ

Un premier exemple 9 Problème Entrée : f : {,..., N} {0, } soit constante, soit balancée Sortie : 0 ssi f est constante Contrainte : f est une boîte noire f(3) =? f(3) = Complexité en requêtes Déterministe : + N/2 Quantique :

Solution quantique ( N = 2 ) 0 x f(x) n est pas nécessairement réversible! Implémentation de f b S f ( ) f(b) b

Solution quantique ( N = 2 ) 0 x f(x) n est pas nécessairement réversible! Implémentation de f S f

Solution quantique ( N = 2 ) 0 x f(x) n est pas nécessairement réversible! Implémentation de f α 0 + β S f ( ) f(0) α 0 + ( ) f() β

Solution quantique ( N = 2 ) 0 x f(x) n est pas nécessairement réversible! Implémentation de f α 0 + β S f ( ) f(0) α 0 + ( ) f() β Porte de adamard : lame demionde à 22,5 b 2 ( 0 + ( ) b )

Solution quantique ( N = 2 ) 0 x f(x) n est pas nécessairement réversible! Implémentation de f α 0 + β S f ( ) f(0) α 0 + ( ) f() β Porte de adamard : lame demionde à 22,5 b 2 ( 0 + ( ) b ) Circuit quantique 0 S f Mesure?

Analyse ( N = 2 ) 0 S f Mesure?

Analyse ( N = 2 ) 0 S f Mesure? Initialisation : 0

Analyse ( N = 2 ) 0 S f Mesure? Initialisation : 0 Parallélisation : 2 ( 0 + )

Analyse ( N = 2 ) 0 S f Mesure? Initialisation : 0 Parallélisation : 2 ( 0 + ) Appel de la fonction : 2 (( ) f(0) 0 + ( ) f() )

Analyse ( N = 2 ) 0 S f Mesure? Initialisation : 0 Parallélisation : 2 ( 0 + ) Appel de la fonction : 2 (( ) f(0) 0 + ( ) f() ) Interférences : (( ) f(0) ( 0 + ) + ( ) f() ( 0 ) ) 2

Analyse ( N = 2 ) 0 S f Mesure? Initialisation : 0 Parallélisation : 2 ( 0 + ) Appel de la fonction : 2 (( ) f(0) 0 + ( ) f() ) Interférences : (( ) f(0) ( 0 + ) + ( ) f() ( 0 ) ) 2 Au final : ( f(0) (( ) + ( ) f() ) 0 + (( ) f(0) ( ) f() ) ) 2

Analyse ( N = 2 ) 0 S f Mesure f constante? f balancée 0 Initialisation : 0 Parallélisation : 2 ( 0 + ) Appel de la fonction : 2 (( ) f(0) 0 + ( ) f() ) Interférences : (( ) f(0) ( 0 + ) + ( ) f() ( 0 ) ) 2 Au final : ( f(0) (( ) + ( ) f() ) 0 + (( ) f(0) ( ) f() ) ) 2

Distribution quantique de clés 2 Problème Initialement : aucune information secrète entre Alice et Bob A la fin : une clé secrète connue uniquement d Alice et de Bob Incertitude de la mesure Mesure 50 %,, 50 % Mesure 50 % 50 %

Distribution quantique de clés 2 Problème Initialement : aucune information secrète entre Alice et Bob A la fin : une clé secrète connue uniquement d Alice et de Bob Incertitude de la mesure Mesure,, Protocole 50 % 50 % Mesure Clé : 0 0 0 0 0 Base : Photons : 50 % 50 %

Distribution quantique de clés 2 Problème Initialement : aucune information secrète entre Alice et Bob A la fin : une clé secrète connue uniquement d Alice et de Bob Incertitude de la mesure Mesure,, Protocole 50 % 50 % Mesure Clé : 0 0 0 0 0 Base : Photons : 50 % 50 % Base : Clé : 0 0 0 0 0

Systèmes à 2qubit 3 Définition ψ C {0,}2 tel que ψ = ψ = α 00 + β 0 + γ 0 + δ avec α 2 + β 2 + γ 2 + γ 2 = C {0,}2 = C {0,} C {0,} C {0,} C {0,} Exemple : 00 + 0 = 0 ( 0 + ) 00 + ψ ψ 2 Transformations unitaires : G U(4) Mesure ψ α x x x {0,} 2 G ψ = G ψ α Mesure x 2 x

Le problème des cadenas 4 Problème Sortie : Entrée : f : {,..., N} {0, } telle que!x 0 : f(x 0 ) = x 0 Contrainte : f est une boîte noire Complexité en requêtes Probabiliste : Quantique : Θ(N) Θ( N)

Remarques préliminaires 5 Implémentation de f α x x x S f ( ) f(x) α x x = x x α x x 2α x0 x 0 Double porte de adamard x x 2 2 ( 0 + ( ) x ) 2 ( 0 + ( ) x 2 ) x = x x 2 ( ) x y y 2 y avec x y = x y + x 2 y 2 mod 2

Solution quantique ( N = 4 ) 6 0 0 S f S δ0 Mesure x 0

Solution quantique ( N = 4 ) 6 0 0 S f S δ0 Mesure x 0 Initialisation : 00

Solution quantique ( N = 4 ) 6 0 0 S f S δ0 Mesure x 0 Initialisation : 00 Parallélisation : ( 00 + 0 + 0 + ) 2

Solution quantique ( N = 4 ) 6 0 0 S f S δ0 Mesure x 0 Initialisation : 00 Parallélisation : ( 00 + 0 + 0 + ) 2 Appel de f : 2 x x 0 x

Solution quantique ( N = 4 ) 6 0 0 S f S δ0 Mesure x 0 Initialisation : 00 Parallélisation : ( 00 + 0 + 0 + ) 2 Appel de f : 2 Interférences : 00 2 x x 0 x x ( ) x 0 y y

Solution quantique ( N = 4 ) 6 0 0 S f S δ0 Mesure x 0 Initialisation : 00 Parallélisation : ( 00 + 0 + 0 + ) 2 Appel de f : 2 x x 0 Interférences : 00 2 Appel de δ 0 : 00 2 x x ( ) x 0 y y ( ( ) x0 y y 2 00 ) = x 0 x

Solution quantique ( N = 4 ) 6 0 0 S f S δ0 Mesure x 0 Initialisation : 00 Parallélisation : ( 00 + 0 + 0 + ) 2 Appel de f : 2 Interférences : 00 2 Regroupement : x 0 x x 0 Appel de δ 0 : 00 2 x x ( ) x 0 y y ( ( ) x0 y y 2 00 ) = x 0 x

Analyse géométrique 7 Opérateur de Grover G def = S f S δ0 Vect R ( x 0, unif ) x 0 ψ 0 = unif S f = S x0 = S x0 S δ0 = S 0n n S 0n n = S unif x 0 G = S unif S x0 = R 2θ avec sin θ = unif x 0 = N

Analyse géométrique 7 Opérateur de Grover G def = S f S δ0 Vect R ( x 0, unif ) x 0 ψ 0 = unif ψ S f = S x0 = S x0 S δ0 = S 0n n S 0n n = S unif x 0 G = S unif S x0 = R 2θ avec sin θ = unif x 0 = N

Analyse géométrique 7 Opérateur de Grover G def = S f S δ0 Vect R ( x 0, unif ) S f = S x0 = S x0 x 0 ψ 0 = unif ψ ψ 2 S δ0 = S 0n n S 0n n = S unif x 0 G = S unif S x0 = R 2θ avec sin θ = unif x 0 = N

Analyse géométrique 7 Opérateur de Grover G def = S f S δ0 Vect R ( x 0, unif ) S f = S x0 = S x0 S δ0 = S 0n n S 0n n = S unif x 0 ψ 0 = unif ψ ψ 2 ψ 3 x 0 G = S unif S x0 = R 2θ avec sin θ = unif x 0 = N

Analyse géométrique 7 Opérateur de Grover G def = S f S δ0 Vect R ( x 0, unif ) S f = S x0 = S x0 S δ0 = S 0n n S 0n n = S unif x 0 ψ 0 = unif ψ ψ 2 ψ 3 ψ 4 x 0 G = S unif S x0 = R 2θ avec sin θ = unif x 0 = N

Analyse géométrique 7 Opérateur de Grover G def = S f S δ0 Vect R ( x 0, unif ) S f = S x0 = S x0 S δ0 = S 0n n S 0n n = S unif x 0 ψ 0 = unif ψ ψ 2 ψ 3 ψ 4 x 0 G = S unif S x0 = R 2θ avec sin θ = unif x 0 = N Nombre d itérations T π 4 N

Transformée de Fourier quantique 8 QFT n def = QFT n x = 2 n/2 y ( ) x y y avec x y = i x i y i mod 2

Le problème de Simon 9 Problème Entrée : f : {0, } n {0, } n telle que s {0, } n : x y, f(x) = f(y) y = x s s Contrainte : f est une boîte noire Sortie : x w U f x w f(x) Complexité en requêtes Probabiliste : Quantique : Idée 2 Ω(n) O(n) Utiliser QFT pour rechercher la période s.

Solution quantique 20 0 n QFT n U f 0 n Mesure QFT n Mesure

Solution quantique 20 0 n QFT n U f 0 n Mesure QFT n Mesure Initialisation : 0 n 0 n

Solution quantique 20 0 n QFT n U f 0 n Mesure QFT n Mesure Initialisation : 0 n 0 n Parallélisation : 2 n/2 x x 0 n

Solution quantique 20 0 n QFT n U f 0 n Mesure QFT n Mesure Initialisation : 0 n 0 n Parallélisation : Appel de f : 2 n/2 x 2 n/2 x x 0 n x f(x)

Solution quantique 20 0 n QFT n U f 0 n Mesure QFT n f(x) Mesure Initialisation : 0 n 0 n Parallélisation : Appel de f : Filtre : 2 n/2 x 2 n/2 x x 0 n x f(x) 2 ( x + x s ) f(x)

Solution quantique 20 0 n QFT n U f 0 n Mesure QFT n f(x) Mesure Initialisation : 0 n 0 n Parallélisation : Appel de f : Filtre : Interférences : 2 n/2 x 2 n/2 x 2 (n+)/2 x 0 n x f(x) 2 ( x + x s ) f(x) y (( ) x y + ( ) (x s) y ) y f(x)

Solution quantique 20 0 n QFT n U f 0 n Mesure QFT n f(x) Mesure Initialisation : 0 n 0 n Parallélisation : Appel de f : Filtre : Interférences : 2 n/2 x 2 n/2 x 2 (n+)/2 y 2 (n+)/2 x 0 n x f(x) 2 ( x + x s ) f(x) y (( ) x y + ( ) (x s) y ) y f(x) ( ) x y ( + ( ) s y ) y f(x)

Solution quantique 20 0 n QFT n U f 0 n Mesure QFT n f(x) Mesure Initialisation : 0 n 0 n Parallélisation : Appel de f : Filtre : Interférences : 2 n/2 x 2 n/2 x x 0 n 2 (n+)/2 y 2 (n+)/2 y 2 (n )/2 x f(x) 2 ( x + x s ) f(x) y:s y=0 (( ) x y + ( ) (x s) y ) y f(x) ( ) x y ( + ( ) s y ) y f(x) y f(x)

Solution quantique 20 0 n QFT n QFT n Mesure y : y s U f 0 n Mesure f(x) Initialisation : 0 n 0 n Parallélisation : Appel de f : Filtre : Interférences : 2 n/2 x 2 n/2 x x 0 n 2 (n+)/2 y 2 (n+)/2 y 2 (n )/2 x f(x) 2 ( x + x s ) f(x) y:s y=0 (( ) x y + ( ) (x s) y ) y f(x) ( ) x y ( + ( ) s y ) y f(x) y f(x)

Retrouver la période 2 Création du système Après n + k itérations : Si s = 0 n les y sont de rang n avec proba 2 k Si s 0 n les y sont de rang n avec proba Système : y n+k t = 0 y, y 2,..., y n+k s y t = 0 y 2 t = 0... 2 k+ Solutions du système : 0 n et s!

Généralisation 22 Groupe abélien quelconque Trouver la période d une fonction quelconque se résout en temps quantique poly(log G ) Calcul de l ordre se résoud en temps quantique polynomial Entrée : n, a N tels que pgcd(a, n) = Sortie : le plus petit entier q 0 tel que a q = mod n Factorisation Entrée : n N Sortie : un diviseur non trivial de n Réduction : Factorisation R Vérifier que pgcd(a, n) = Calculer l ordre q de a mod n Recommencer si impair ou Sinon Renvoyer pgcd(a q/2 ±, n) Calcul de l ordre q a q/2 = mod n (a q/2 )(a q/2 + ) = 0 mod n

La puissance du calcul quantique 23 Cryptographie Protocole de distribution de clés secrètes [BennettBrassard 984] Implémentation : ~00 km Information quantique Téléportation [BennettBrassardCrépeauJozsaPeresWootters 993] Réalisation : 997 [Innsbruck] Algorithmique Calcul de périodes [Simon, Shor 994] Factorisation, log. discret... Recherche dans une liste non triée [Grover 996] Implémentation sur combien de qubits? 995 : 2 [ENS], 998 : 3, 2000 : 5 [IBM] 7 [Los Alamos] 200 : 8 [IBM]

Téléportation quantique 24 Problème Alice veut transmettre un qubit ψ à Bob Bob : position éloignée et inconnue d Alice Communication possible : classique à sens unique Alice Bob ψ ψ Réalisation Alice 0 0 Bob ψ Interaction quantique Interaction interne Interaction classique Alice ψ Bob La communication classique ne révèle rien sur ψ!

Tirage à pile ou face 25 Problème Alice et Bob sont éloignés Ils veulent tirer à pile ou face de manière équitable Classiquement Solutions basées sur des difficultés combinatoires Aucune solution inconditionnellement sure Quantiquement Biais possible : 0,25 [Ambainis 200] Biais impossible : 0,207 [Kitaev 2002] Version faible : élection Alice voudrait pile Bob voudrait face Aucune impossibilité connue! Biais possible : 0,207 [Ambainis et al 2002]