Attrape-moi si tu peux!

Année 2009 Attrape-moi si tu peux! Prévoir la trajectoire d une balle de tennis et deviner où elle va se stabiliser, deux objectifs dans un article scientifique riche en rebondissements. CIBORSKI Antoine et LUCAS Adrian Etudiants en Classe Préparatoire à l Enseignement supérieur Ecoles des Pupilles de l Air 749 BP33 38332 ST ISMIER

Le corps de notre étude repose sur la recherche des positions d une balle de tennis à l issue de chaque rebond effectué sur un sol dont les variations de hauteur sont données par une fonction. Pour ce faire nous considérerons la balle dans un univers où l absorption des chocs n existe pas. Ainsi ces positions successives seront déterminées avec une suite déduite de l équation de la trajectoire de la balle. Or cette suite s exprime en fonction de deux autres suites qui devront être déterminées en parallèle de la première, une faisant intervenir les vitesses initiales successives de la balle et l autre les angles d inclinaison de la balle lors de son lancement ou après un rebond. Une étude de ces suites sera ainsi nécessaire afin de déterminer la ou les positions de stabilisation de la balle à l issue d un nombre infini de rebonds. The aim of our study is to search different positions of a tennis ball at the end of each bounce: the ball bounces on a ground whose height is defined by a function. We will consider this ball in a universe where impact absorption doesn t exist. Then, these successive positions will be determined thanks to a sequence deduced from the equation of the ball trajectory. Now this sequence expresses itself in terms of two other sequences which will have to be determined too. The first sequence will have the initial speeds intervened. A study of these sequences will be necessary to determine the stabilization positions of the ball at the end of boundless number of bounces. Mots Clés : Principe fondamental de la dynamique Projectile dans un champ de pesanteur Théorème de l énergie cinétique Suites de positions, de vitesses, d angles Limites, suites

Imaginons une balle de tennis lancée sur un sol plat. Celle-ci rebondit puis s arrête. Ensuite prenons cette même balle et lançons-la sur une paroi prenant la forme d une parabole, un sol dont les variations de hauteur sont données par la fonction carrée. La balle rebondit de part et d autre de la paroi puis s immobilise au fond de la cavité. A présent imaginons un univers où la balle ne subit aucune absorption. Comment la balle va-t-elle rebondir? Au bout d un nombre infini de rebonds où sera la balle? Sa trajectoire est-elle régie par une loi mathématique? Les réponses à ces questions seront mises en évidence par l application de principes et théorèmes de physique. L étude que nous allons réaliser nécessite de se placer dans un univers quelque peu particulier. Cet univers ne comportera aucune force d absorption qui pourrait influer sur la trajectoire et la vitesse de notre balle. Cet univers ne comportera pas non plus de force de frottement ni la poussée d Archimède pour la même raison. Nous choisissons donc un univers dans lequel le phénomène recherché, la traduction d un phénomène physique en suites mathématiques, devient suffisamment simple pour pouvoir être étudié en profondeur. Une fois cet univers choisi, définissons une configuration dans laquelle notre balle pourra évoluer. Pour que l on puisse passer d un modèle physique à un modèle mathématique nous devons définir le sol sur lequel rebondira la balle par une fonction mathématique précise. Dans la suite de cet article nous choisirons la fonction carrée définie par pour matérialiser le sol. Comme d habitude dans une étude physique nous considérerons que notre balle de tennis est assimilable à un point. Afin de trouver la position ou la zone où la balle se stabilisera à l issue d un très grand nombre de rebonds, nous devrons passer par plusieurs étapes. Tout d abord l application d une loi de la physique : le Principe fondamental de la dynamique, qui nous amènera à trouver une équation de la trajectoire de la balle en fonction des conditions initiales du lancement. De cette équation de la trajectoire nous pourrons déduire les points d impact successifs de notre projectile et les intégrer dans différentes suites pour les étudier et trouver une éventuelle limite.

Commençons donc notre étude en nous appuyant sur un principe universel de la Physique de Newton, le Principe fondamental de la dynamique. Ce principe nous dit que la somme des forces extérieures appliquées au mobile est égale à la masse de celui-ci multiplié par son accélération : Lors d un mouvement balistique comme celui que nous étudions, une seule force extérieure s applique à la balle, le poids Nous avons donc : m =m <=> A présent exprimons les composantes du vecteur de gravité : ǀ 0 ǀ -g A l aide de l opérateur d intégration, trouvons les composantes du vecteur vitesse ǀ ǀ Et de même trouvons les composantes du vecteur position :

On recherche alors l expression de l équation de la trajectoire du projectile dans un repère orthonormé O,. + +h Trajectoire de la balle à partir des conditions initiales

Nous venons de trouver l équation de la trajectoire de la balle de tennis en fonction des conditions initiales. Nous devons à présent repérer le point d intersection de cette courbe avec la courbe choisie, la fonction carrée. Le point ainsi trouvé représente le premier point d impact de la balle avec le sol. Point d intersection

L équation de la parabole et l équation de la trajectoire est : Les deux étant égaux pour le point d intersection nous avons pour tout : Dans cette équation, fait partie de la suite des positions successives sur l abscisse de la balle. fait partie de balle. fait partie de chaque rebond. la suite des vitesses initiales après chaque rebond de la la suite des angles avec lesquels le projectile repart après Après avoir trouvé la position du point d impact nous recherchons l équation de la trajectoire après le premier rebond en fonction de nouvelles conditions initiales, celles appliquées à la balle au point d impact. On applique cette méthode pour retrouver les positions des points d impact successifs. L équation trouvée : Permet d introduire les suites, et. Or ces suites dépendent toutes les unes des autres, il faudra donc les déterminer et déterminer pour chacune d elles leur limite lorsque la balle effectue un nombre infini de rebonds à l intérieur de la parabole. Trouvons l expression de la position sur l abscisse de la balle au rang n+1 en fonction de sa position au rang n, de l angle α de départ au rang n et de la vitesse initiale de la balle au rang n.

D après l équation trouvée ci-dessus on a : Avec la composante de la vitesse sur l abscisse et la composante de la vitesse sur l ordonnée. Afin de déterminer la suite des vitesses initiales successives de la balle ( appliquons le théorème de l énergie cinétique. Comme nous l avons vu seul le poids s applique à notre projectile, la variation de l énergie mécanique est donc nulle : La variation d énergie mécanique entre l instant t et t+1 est nulle ce qui, appliqué à nos suites donne : L énergie mécanique étant la somme de l énergie cinétique potentielle nous avons : et de l énergie ( On obtient donc l expression de la suite des vitesses. L ultime suite à rechercher est celle de la valeur des angles d inclinaison après chaque rebond. Cette suite est quelque peu particulière. En effet la valeur de l angle se calcule en fonction de la pente locale de la trajectoire de la balle

notée et la pente locale de la parabole notée. Aussi au cours de notre recherche sur les angles nous n avons pas abouti à une seule expression permettant de calculer l ensemble des angles. Nous avons dû distinguer plusieurs cas, suivant l encadrement de l angle entre deux valeurs connues et la position de la balle dans le repère orthonormé choisi pour notre étude (la balle se situe soit du côté des abscisses négatives soit du côté des abscisses positives). La fonction atan est bijective sur l ensemble des réels à valeurs dans, ainsi cela pose certains problèmes de définition de l angle recherché car la valeur de celui peut être en dehors de De plus, nous devons nous ramener à des valeurs de pente positive afin de pouvoir raisonner avec des valeurs positives d angle (car atan bijective strictement croissante sur l ensemble des réels). Dans la suite, définissons l angle courbe représentant le sol. situé entre la courbe de la trajectoire et la si et si la balle se situe du côté des abscisses négatives : si et si la balle se situe du côté des abscisses positives : si et si la balle se situe du côté des abscisses négatives : si et si la balle se situe du côté des abscisses positives :

si et si la balle se situe du côté des abscisses négatives : si et si la balle se situe du côté des abscisses positives : si et si la balle se situe du côté des abscisses négatives : si et si la balle se situe du côté des abscisses positives : Après avoir déterminé ces suites de positions de la balle, de vitesses initiales et d angles d inclinaison, nous tentons à présent de modéliser ce phénomène de rebonds à l aide d un tableur et de visualiser la trajectoire de la balle. Nous rentrons peu à peu les expressions de ces suites dans notre tableur dans le but de nous assurer de la cohérence de nos résultats. Nous entamerons par la suite une étude de limites qui nous donnera la position où la balle se stabilisera à l issue d un nombre infini de rebonds, la recherche est toujours en cours Nous tenons à remercier M. Tilman professeur de Mathématique et M. Excoffon professeur et chercheur en Physique Chimie à l Ecole des Pupilles de l Air, M. Labbé enseignant chercheur en Mathématique Physique à la faculté de Mathématique de Grenoble, qui nous ont apporté une aide inestimable dans cette recherche. Nous remercions aussi l association MATh.en.JEANS qui nous a accueillis cette année à Bordeaux et toutes les personnes ayant participé à cette rencontre scientifique ou qui nous ont aidés à élaborer cette recherche et cet article. EPA749 mai 2009