Nombres entiers, nombres décimaux Pour parler on utilise des mots et pour écrire ces mots on utilise des lettres, dans certains pays on n utilise pas des lettres mais des idéogrammes. Pour compter on utilise des nombres et pour écrire ces nombres on utilise des chiffres. Dans notre système dix chiffres permettent d écrire tous les nombres : 0 ; ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8 ;9 I - Nombres entiers. Définition : Un nombre entier naturel est un nombre qui permet de compter tous les «objets» qu on observe dans la nature. Pour obtenir tous les entiers naturels il suffit de faire des additions à partir des nombres zéro et un. 2. Numération décimale de position : Il existe d autres systèmes : numération égyptienne, romaine, chinoise, maya «Décimal» : on effectue des groupements par dix. Dix unités = dizaine ; dix dizaines = centaine ; dix centaines = millier dizaine = 0 unités; centaine = dix dizaines ; dizaine = 0 unités millier = dix centaines = dizaines = 0 unités «de position» : chaque chiffre a une signification différente selon son rang dans l écriture du nombre. 634 = (6 ) + ( 3 0) + (4 ) 434 = (4 )+(3 0)+(4 ) les deux chiffres 4 n ont pas la même valeur 4 centaines 3 dizaines 4 unités Pour pouvoir lire les grands nombres entiers facilement, on regroupe les chiffres par groupes de 3 à partir du chiffre des unités (en partant de la droite) ; on peut s aider d un tableau. Exemple : 049658763 s écrit 049 658 763 Ce nombre se lit : Un milliard quarante-neuf millions six cent cinquante-huit mille sept cent soixante-trois. milliard 49 millions 658 mille 763. Milliards Millions Centaines Unités c d u c d u c d u c d u 0 4 9 6 5 8 7 6 3 Il peut s écrire de la façon suivante : 049 658 763 ou bien 000 000 000 + 4 0 000 000 + 9 000 000+6 000+5 0 000 + 8 000 + 7 +6 0+3
3. Écriture en lettres Règle : vingt et cent sont invariables sauf si ils ne sont suivis de rien. Ex : trois cent quatre-vingts élèves. Quatre-vingt-quatre grammes. Règle 2 : Mille est invariable Ex : cinq mille quatre cents mètres Règle 3 : On place un trait d union à chaque fois que l on relie moins de cent. Ex : soixante-douze heures. Trente-trois mille six cent vingt-deux euros. Trois cent quatre-vingt-dix-sept personnes Exception : le trait d union est parfois remplacé par le mot «et». Ex : quarante et un voleurs. Trente-trois-mille soixante et onze visiteurs II Les nombres décimaux. Définitions : Première définition : Un nombre décimal est un nombre qui peut s écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Exemple : 32,58 est un nombre décimal, 0,26 est un nombre décimal 5 = 0,2 est un nombre décimal mais 3 = 0,3333 n! est pas un nombre décimal. Deuxième définition : Un nombre décimal est un nombre qui peut être écrit sous forme d une fraction décimale c est à dire du quotient d un nombre entier par 0 ; ; 0..,2 = 2 4,2 = 42 0 0, = 0 = on lit un millième 0 on lit un dixième, 0,0 = 0,5 = 5 on lit un centième, 0,00 2. Vocabulaire : Un nombre décimal est formé par un nombre entier, et une partie décimale (située après la virgule), qui est un nombre inférieur à. Exemple : 32,58 = 32 + 0,58 0,58 = 0 + 0,58 2
3. Propriétés Propriété : Un nombre décimal dont la partie décimale est zéro est un nombre entier. 43,0 = 43 5 23, 000 = 5 23 Propriété 2 : Tout nombre entier est un nombre décimal Attention tout nombre décimal n est pas un nombre entier!!!! Propriété 3 : Tout nombre décimal peut s écrire sous la forme d une somme d un nombre entier et de fractions décimales dont les numérateurs sont des entiers inférieur à 0. Exemple : 23,5 23,5 = 23 + 5 0, + 0,0 5 = 23 + 0 + III Comparaison de nombres décimaux. Définitions : Définition Comparer des nombres c est dire s ils sont égaux ou si l un est plus petit que l autre. Définition 2 Ranger les nombres par ordre croissant, c est les ranger du plus petit au plus grand. Définition 3 Ranger les nombres par ordre décroissant, c est les ranger du plus grand au plus petit. 2. Écriture mathématique : «est strictement inférieur à» s écrit en langage mathématique "<". «est strictement supérieur à» s écrit en langage mathématique ">". «est inférieur ou égal à» s écrit en langage mathématique " ". «est supérieur ou égal à» s écrit en langage mathématique " ". 2 < 4 mais aussi 2 4 3 > mais aussi 3 3 = 3 mais aussi 3 3 ou 3 3 Toute ces écritures sont justes, la première est à chaque fois plus précise. 3
3. «Méthode» de comparaison ou «algorithme» de comparaison Pour comparer deux nombres décimaux :. On compare leurs parties entières, si elles sont différentes on sait les comparer. 2. Si elles sont égales ; on compare le premier chiffre (celui des dixièmes) de leurs parties décimales si ils sont différents on sait les comparer. 3. S ils sont égaux ; on compare le deuxième chiffre (celui des centièmes) de leurs parties décimales si ils sont différents on sait les comparer. 4. S ils sont égaux ; on continue jusqu à ce que les chiffres soient différents et on conclue. Vocabulaire : un algorithme est une succession d étapes qui permet de réaliser quelque chose de façon «automatique» IV Encadrements et valeurs approchées d un nombre. Encadrement : Encadrer un nombre c est donner un nombre plus petit et un nombre plus grand avec la précision demandée. Exemples Encadrer 4,25 au dixième près : 4,2 < 4,25 < 4,3. Encadrer 34,25 à l unité près : 34 < 34,25 < 35. Encadrer 4,256 au millième près : 4,256 < 4,256 < 4,257 2. Arrondi : Arrondir un nombre c est donner sa valeur approchée avec la précision donner. L arrondi de 4,23 au dixième près est 4,2 car 3 < 5. On note 4,23 4,2 au dixième près. L arrondi de 4,27 au dixième près est 4,3 car 7 5. On note 4,27 4,3 au dixième près. L arrondi de 4,25 au dixième près est 4,3 car 5 5. On note 4,25 4,3 au dixième près. L arrondi de 4,24 au dixième près par excès est 4,3. On note 4,23 4,3 au dixième près par excès. L arrondi de 4,24 au dixième près par défaut est 4,2. On note 4,24 4,2 au dixième près par défaut. 4
3. Troncature : Donner la troncature d un nombre à un rang donné, c est donner la valeur approchée de ce nombre en supprimant les chiffres qui suivent celui du rang donné. La troncature au centième de 2,9562 est 2,95. La troncature à l unité de 8,925 est 8. La troncature au dixième de 8,925 est 8. V Multiplication et division d un nombre décimal par 0,, 0. Multiplication par 0, 0. Pour multiplier un nombre décimal par 0,, 0 on déplace la virgule vers la droite d autant de rang qu il y a de zéros dans le nombre 0,, 0.. 42,684 = 426,84 6,367 0 = 6367 2. Division par 0,, 0 Pour diviser un nombre décimal par 0,, 0 on déplace la virgule vers la gauche d autant de rang qu il y a de zéros dans le nombre 0,, 0 42,684 = 0,42684 36525,4 : 0 = 36,5254 VI Repérage sur une demi-droite munie d un repère. Demi-droite munie d un repère : Munir une demi-droite d un repère c est associer le nombre 0 à son origine et choisir une unité de longueur que l on reporte régulièrement à partir de l origine. 2. Abscisse d un point sur une demi-droite graduée : L abscisse d un point sur une demi-droite graduée est le nombre qui mesure la distance entre l origine et ce point. Plus l abscisse est petite plus le point est proche de l origine 5