ptique géométrique 3 Formation des s, conditions de Gauss Le rôle de la plupart des instruments d optique (objectif d appareil photo, microscope, lunette) est de produire l nette d un net. Et ce n est généralement le cas que sur une partie limitée de l ou pour une certaine plage de longueurs d ondes. 3.1 Stigmatisme, et réelles et virtuelles ponctuel système optique stigmatique ponctuelle ' axe optique 3.1.1 Système optique et stigmatisme Système optique (S) Un S est une succession de dioptres et de miroirs. Les dioptres sont le plus souvent les faces de s. La plupart du temps, les S possèdent un axe de rotation : on l appelle axe optique. Il est orienté dans le sens d incidence des rayons sur le S. ponctuel n considère un système optique qui est traversé par des rayons provenant d un (qui est donc ici une source lumineuse, la plupart du temps secondaire). Que deviennent les rayons provenants de ces s? Stigmatisme rigoureux Un S est rigoureusement stigmatique s il forme une ponctuelle de chaque ponctuel. système optique astigmatique floue axe optique REMRQUES Si l de chaque ponctuel par un S rigoureusement stigmatique est ponctuelle, alors l de chaque étendu est nécessairement nette! En effet un étendu n est rien d autre qu un ensemble de points. La réciproque est vraie, ce qui implique que le stigmatisme rigoureux peut être défini de façon équivalente par l ponctuelle de tout ponctuel ou par l nette de tout étendu. L d un ponctuel est aussi appelé son conjugué. Soit un couple de points conjugués (, ). lors tout rayon passant par et incident sur le S passe nécessairement par. Réciproquement, tout rayon passant par et sortant du S passe par. FIGURE 1 Haut : système optique stigmatique. Bas : système optique astigmatique. 3.1.2 bjet et réels et virtuels D après ce qui précède, on peut définr les s comme les points de concours des rayons incidents sur le S, et les s comme les points de concours des rayons émergents du S. Sur la figure 2 du haut, l est réel et le S en forme une qu on peut projeter sur un écran. Mais il existe des situations moins intuitives. C est le cas par exemple lorsque le S est une divergente. L d un ponctuel réel ne peut pas être projeté sur un écran : elle n est pas à droite de la mais à gauche. n parle d virtuelle. 1
réel virtuelle ' un écran, on voit une tache) appelée caustique. Mais l étendue de cette tache peut être suffisamment petite pour que la joue son rôle de façon satisfaisante. Cela dépend des exigences de l utilisateur. n parle de stigmatisme approché. Il s agit donc de définir les conditions permettant d obtenir un stigmatisme approché. Les s sont d autant plus astigmatiques que les rayons sont éloignés du centre et qu ils sont inclinés par rapport à l axe optique. Pour assurer un stigmatisme approché, on a donc intérêt à se placer dans les conditions suivates, appelées conditions de Gauss. divergente FIGURE 2 L d un réel par une divergente est virtuelle. Rayon virtuel, virtuel, virtuelle Les rayons réels sont projetables sur un écran. Les prolongements (non projetables) des rayons réels sont appelés rayons virtuels. Le point de concours de rayons virtuels incidents sur le S est appelé virtuel. Le point de concours de rayons virtuels émergent du S est appelé virtuelle. L espace situé en «amont» du S (en fonction de l orientation de l axe optique) est appelé espace réel ; l espace situé en «aval» du S est appelé espace réel. REMRQUE D après les définitions ci-dessus, une réelle peut être projetée sur un écran et une virtuelle non. 3.2 Stigmatisme approché, conditions de Gauss Les s assurant un stigmatisme rigoureux pour une position quelconque de l sont rares. C est le cas par exemple des miroirs, mais pas des s. Dans le cas des s, un faisceau issu d un ponctuel quelconque ne reconverge pas exactement en un point mais dans une zone de l espace (sur Conditions de Gauss Les conditions de stigmatisme approché sont réalisées pour un système optique lorsque : les rayons en jeu sont peu inclinés (au maximum de quelques degrés) par rapport à l axe optique ; ces rayons coupent les dioptres au voisinage de leurs centres. Des rayons satisfaisants aux deux conditions ci-dessus sont appelés rayons paraxiaux. Les conditions de Gauss peuvent se résumer au fait que les rayons soient paraxiaux. 3.3 berrations Les aberrations optiques sont très courantes, notamment en photographie. En voici deux types ; il en existe d autres. 3.3.1 berration chromatique Le verre a un pouvoir dispersif : l indice de réfraction dépendant de la longueur d onde, l angle de réfraction aussi. Il s ensuit que les rayons de longueurs d ondes différentes ne convergent pas au même endroit. Il s agit de l aberration chromatique (voir fig. 3). Un moyen de la corriger (partiellement) consiste à utiliser des matériaux peu dispersifs. 3.3.2 berration géométrique L aberration géométrique se caractérise par une déformation de l liée au fait que les rayons inclinés ne convergent pas au même endroit que les rayons paraxiaux (voir fig. 4). Un moyen d y remédier consiste à se placer dans les conditions de Gauss. 2
FIGURE 3 Principe de l aberration chromatique : les trois rayons sont de couleurs différentes. schéma d'une convergente schéma d'une divergente 4.1.2 Foyers, distance focale, plans focaux FIGURE 4 Principe et illustration de l aberration géométrique. 4 Lentilles minces 4.1 Définitions 4.1.1 Lentilles minces Lentille mince Une est dite mince si la distance entre ses 2 dioptre (faces) est très faible devant leurs rayons de courbure. n peut alors, de façon approchée, les confondre en un seul plan. Il s agit bien sûr d une approximation, d un modèle. n considère qu une mince possède un seul centre appelé sommet qui est souvent noté. NTTIN Pour une, «convergente» est souvent noté «CV» et «divergente» «DV». Les représentations schématiques suivantes sont utilisées pour les s minces CV et DV. f'(distance focale ) F' plan focal FIGURE 5 Position du foyer principal F et du plan focal pour une convergente. Supposons qu un ponctuel soit situé à l infini dans l espace, et sur l axe optique d une mince. lors son est sur l axe optique et s appelle le foyer principal de la, noté F. Foyer principal (FPI) Le FPI, noté F, est le conjugué d un ponctuel situé à l infini (dans l espace réel) sur l axe optique. Il peut être réel ( CV) ou virtuel (DV). Distance focale (DFI) La DFI est la grandeur algébrique F, aussi notée f. Si la est CV, f > 0 ; si la est DV, f < 0. 3
Résultat important Pour une mince, l d un situé sur le plan focal est nécessairement située dans le plan focal. plan focal F f (distance focale ) FIGURE 6 Position du foyer principal F et du plan focal pour une convergente. n définit de façon similaire le foyer principal de la. Foyer principal (FP) Le FP, noté F, est le conjugué d une ponctuelle situé à l infini (dans l espace réel) sur l axe optique. Le FP peut aussi être réel ( CV) ou virtuel (DV). Distance focale (DF) aussi notée f. La DF est la grandeur algébrique F, Résultat important D après le principe du retour inverse de la lumière : F = F ou f = f. (1) Pour le montrer, il suffit d inverser le sens de l axe optique sur la figure 5. lors le point F n est plus le FPI, renommons-le F pour éviter la confusion. Utilisons le pricipe du retour inverse de la lumière : les rayons convergents vers F en provenance de + sont les mêmes que ceux divergents de F et allant vers +. Donc F = F. REMRQUE Il est courant de parler simplement de la focale d une, pour désigner la distance focale f. Plan focal, plan focal Le plan focal (respectivement ) est le plan perpendiculaire à l axe optique passant par le PF (resp. le PFI). 4.1.3 Vergence, grandissement Vergence d une mince La vergence est la qantité V = n ext f = n ext, (2) f où n ext est l indice optique du milieu environnant. Le plus souvent c est de l air et n ext 1. La vergence est exprimée en dioptries, de symbole δ, et 1δ = 1 m 1. Grandissement (transversal) Soient et B deux points tels que le segment B soit perpendiculaire à l axe optique (voir figure 7), et soient et B leurs s respectives. lors B est aussi perp à l axe optique, et le grandissmeent transversal γ est défini par : Il s agit d une grandeur algébrique. 4.2 Relations de conjugaison γ = B B. (3) Soit un B perpendiculaire à l axe optique, où est sur celui-ci. Soit B son. Le problème posé ici est le suivant : connaissant les positions de et B, comment trouver celles de et B (en fonction des caractéristiques de la : focale ou vergence)? Les relations de conjugaison permettent ça. Elles s écrivent sous deux formes équivalentes : les formules de Descartes et celles de Newton. Elles sont valables quel que soit le type de (convergente ou divergente) et quelles que soient les positions de et B. Mais cela suppose de respecter le caractère algébrique des notations. Dans le cadre du programme de MPSI, elles ne sont pas à apprendre par cœur et seront systématiquement rappelées dans les épreuves écrites ou orales. n pose p = et p =. (4) 4
B F FIGURE 7 Construction géométrique pour une convergente lorsque l et réel et au-delà de F. 4.2.1 Formules de Descartes Positionnement horizontal : Grandissement : 4.2.2 Formules de Newton Positionnement horizontal : F' 1 p 1 p = 1 1 = 1 f (5) γ = B B = p p = F F = F F = f f = f 2 (7) ' B' (6) Pour cela, on utilise trois rayons particuliers (en pratique 2 sur 3 suffisent) : Le rayon provenant de, passant par B et par le sommet : il n est pas dévié. Le rayon provenant de, passant par B et parallèle à l axe optique : il passe par le foyer F (réellement dans le cas d une CV, virtuellement dans le cas d une DV). Le rayon provenant de, passant par B et passant par le foyer F (réellement dans le cas CV, virtuellement ds le cas DV) : il ressort parallèle à l axe optique. Ces 3 rayons convergent en un même point, qui est nécessairement B. D autre part, deux s ponctuels ( et B) situés dans un plan perpendiculaire à l axe optique ont des s ( et B ) par une mince qui sont aussi dans un plan perpendiculaire à l axe optique. La figure 7 représente la construction géométrique de l d un réel situé au-delà du foyer F lorsque la est CV. Il est nécessaire de savoir tracer 5 autres cas : d un réel situé en-deça du foyer F (entre F et ) lorsque la est CV ; d un virtuel lorsque la est CV ; d un réel lorsque la est DV ; d un virtuel situé en-deça du foyer F (entre et F) lorsque la est DV ; d un virtuel situé au-delà du foyer F lorsque la est DV. Grandissement : γ = B B = F F = F F (8) 5 Constructions géométriques pour les s 5.1 Image d un à distance finie À coté des expressions algébriques que sont les relations de conjugaisons, une deuxième façon de déterminer la position de et B consiste à trouver celles-ci géométriquement, par tracé de rayons. 5