La construction du concept de nombre aux cycles 1 et 2 1) Repères psychologiques et didactiques 2) Les programmes 3) Des pistes de travail prioritaires 4) Bibliographie 2 constats : Les compétences en calcul construites en maternelle (décomposition, recomposition) ET la pratique précoce de la résolution de problème en maternelle SONT des outils déterminants pour faciliter les apprentissages ultérieurs en numération et en résolution de problèmes. 1) Repères psychologiques et didactiques Ce que l'on peut supposer : Les difficultés en calcul et l exploitation des données numériques viennent du fait que les enfants ont mal conceptualisé le nombre Mais qu'est-ce qu'un nombre entier? Les hommes ont inventé des nombres (entiers, puis fractionnaires ) pour résoudre des problèmes de quantité dans le monde réel. Les nombres et les calculs qu on peut réaliser avec eux permettent de modéliser le réel et de répondre à des questions en l absence des quantités sur lesquelles on se pose des questions, c est à dire résoudre des problèmes Le concept de nombre Plusieurs dimensions en interaction : - cardinale (quantité physique : quatre cubes) - ordinale (position : quatrième case d un chemin) - mot nombre (quatre) - symbole numérique (le chiffre 4) Les fonctions du nombre Les nombres constituent un outil extraordinaire qui permet de penser et prévoir des phénomènes en l absence des objets sur lesquels ils s exercent. 1
Les nombres servent à : Conserver la mémoire d une quantité Plusieurs situations à mettre en place dans la classe (dès la maternelle) : - Mettre la table en disposant fourchettes, couteaux, cuillères, verres autour d assiettes (situation présentée dans «vv» chez Accès) Consigne Mettre «juste assez» de fourchettes, couteaux «pas plus, pas moins» - Construire une figure géométrique avec des planchettes selon un modèle. Consigne Chercher juste assez de planchettes pour faire la même chose. - Les wagons et les voyageurs (situation proposée dans «vv» de Ermel) Au cours d une évaluation intermédiaire, demander à un élève d aller chercher les voyageurs et de les déposer sur le quai devant le wagon, et demander aux autres élèves si l action a été réussie. NE PAS DIRE : «combien?» ou «Tu as compté avant d aller chercher?» LAISSER DU TEMPS Conserver la mémoire d une position Effectuer des déplacements sur une ligne graduée La file numérique est une représentation ordinale du nombre. A la maternelle, elle est utilisée dans des situations de quantité (les présents et les absents) Faire un lien entre le cardinal et l ordinal Album : «Le cinquième» de Norman Junge, lutin poche Exemple : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 File numérique Cartes des prénoms de tous les élèves inscrits dans la classe accrochés sous la file numérique Le nombre d absents est matérialisé par des cartes de couleur placées à la fin sur les cartes des prénoms. Dans cette classe, il y a 17 élèves inscrits. Ce jour 3 sont absents. Il y a 14 présents. 2
STAGE MATHEMATIQUES AU CP Comparer des quantités ou des positions C est un aspect qui est assez présent dans les fichiers de maths. Anticiper La place du comptage oral Brissiaud minore la place du dénombrement systématique avec comptage oral pour donner beaucoup plus de place en PS/MS à la construction de collections par analogie et à la reconnaissance immédiate de collections organisées, puis en GS à la décomposition/recomposition. Ceci semblerait faciliter la perception du cardinal et mieux préparer le calcul. Faire fonctionner des cartes «éclair» : - reconnaissance des 10 premiers nombres - reconnaissance de dizaines entières (10, 20, 30 ) Les collections proposées sont celles du dé, organisé autour du 5. 3
2) Les programmes A la maternelle Dans le domaine «Approcher les quantités et les nombres», insistance sur la place du sens construit autour de l utilisation des nombres et quatre grandes compétences de fin de GS : - Comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités - Mémoriser la suite des nombres au moins jusqu à 30 - Dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus - Associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée Au CP et au CE1 Connaître les nombres entiers naturels jusqu à 100 (1000) Comparer, ranger, encadrer (et les repérer et placer sur une droite graduée) Décompositions et tables d addition Ecrire une suite de nombres dans l ordre croissant ou décroissant (écrire ou dire une suite de 10 en 10, de 100 en 100 ) Connaître les doubles et moitiés jusqu à 20 (puis d usage courant) 3) Des pistes prioritaires Pour déterminer le cardinal d une collection Le dénombrement n est pas le seul moyen : - reconnaissance immédiate (jusqu à 3) - reconnaissance globale de collections organisées (constellations, doigts, carte de 10, boîte de picbille ) - dénombrement - estimation Principes du dénombrement (Gelman) La connaissance de la comptine est préalable et cinq principes régissent le dénombrement : Abstraction : toutes sortes d éléments peuvent être rassemblés et dénombrés ensemble (c est la notion de collection et de désignation) Correspondance terme à terme Suite stable des mots nombres Cardinal (dernier mot nombre) 4 Indifférence à l ordre des objets (mais problème d énumération)
Construire des collections à travers des situations de tris Dire : «Un et encore un, ça fait deux» et montrer la collection (proposer le geste qui entoure tous les objets de la collection) «Deux et encore un, ça fait trois» et montrer à nouveau la nouvelle collection obtenue Albums : «Un canard, un autre canard» de Charlotte Pomerantz, l école des loisirs «La maison à dormir debout» de Audrey Wood, Mijade indifférence à l ordre des objets Eviter le problème d énumération en proposant une progression pour organiser une collection. Barrer l objet, compter puis matérialiser le chemin. La préparation au calcul en maternelle Activités de reconnaissance et production immédiates de collections organisées Bonne connaissance de la suite (à partir de 1, jusqu à m, à partir de n, à l envers) Correspondance suites orale et écrite Mémorisation de quelques décompositions additives (album à calculer) Mémorisation des premiers doubles Comprendre le fonctionnement de la numération décimale de position Activités de groupement et d échange Exemple : Faire accepter que des jetons de couleurs différentes n aient pas la même valeur jeu du banquier (à introduire avant la notion de dizaine) Activités de manipulation effective de matériel de numération Cubes emboîtables, boulier, abaque, cartes à 10, boîtes de Picbille, 5
Les «cartes Montessori» Penser à l utilisation des cartons du type de ceux utilisés dans la pédagogie Montessori : carrés des unités, rectangles des dizaines, rectangles plus grands des centaines, etc qui se placent l un sur l autre pour ne pas «perdre» le 0 de la dizaine quand on écrit 64 à partir de 60 et 4, il est seulement caché! 2 0 0 6 0 4 La notion de «dizaine» est difficile à construire Dire en écho au mot «dizaine» «une tour de 10», «un paquet de 10» La place laissée à la verbalisation est importante : MANIPULATION VERBALISATION ABSTRACTION «Comment as-tu fait?» «Pourquoi?» «Explique ce qu il doit faire» Etudes des nombres 60 / 70 (organisés autour de 10) et 80 / 90 (organisés autour de 20) Les difficultés dans l écriture des dizaines 70, 80 et 90 sont atténuées par l introduction simultanée des dizaines 60 et 70 d une part, 80 et 90 d autre part. Activités de reconnaissance immédiate de paquets de 10 et collections organisées en paquets de 10 Bonne connaissance de la frise numérique ET du carré de la numération organisé en lignes de 10 (celui qui commence par 0 est préférable). Faire réciter les nombres à partir des dizaines entières : 30, 31, 32, 33, 34, 35, Chemin à parcourir à partir du 7 : +1, +10, +10, -1 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + =18 10 fois 8 + 10 = 18 La calculatrice peut être donnée pour vérifier l hypothèse. Au service de l addition : technique de calcul 23 + 12 C est : 23 + 10 + 2 6
STAGE MATHEMATIQUES AU CP Présentation d une situation problème : le garage L enseignant met 5 voitures rouges dans une boîte représentant le garage puis il en fait rentrer 3. Il ferme le couvercle de la boîte afin que les élèves ne voient plus les voitures. Il dit : «Montre avec tes doigts les voitures qui sont dans le garage.» (C est difficile pour les élèves de faire le lien entre une voiture et un doigt.) Il place une dizaine de voitures vertes et rejoue le même scénario. «Ces 5 voitures vertes, c est comme celles qui sont dans le garage» c est pareil que elles sont à la place des voitures qui sont dans le garage. Puis il ajoute 3 voitures vertes. Le couvercle de la boîte est soulevé pour vérifier. Pour travailler sur des voitures rouges que l on ne voit pas, on travaille sur des voitures vertes. Cette situation est à faire vivre plusieurs fois afin de favoriser le travail de premier niveau d abstraction ou de modélisation.
Le remplacement des voitures par des objets autres est nécessaire et dire : «Ces jetons, c est comme ceux, c est à la place de ceux qui sont dans la boîte» «Les doigts de cette main, c est comme les voitures qui étaient dans la boîte au début» Les représentations «papier» sont très ressemblantes dans un premier temps aux objets avec lesquels a été effectuée la manipulation et un nouvel accompagnement langagier s impose : «ce trait, c est comme», «ce rond, c est à la place de», «ce petit carré, il représente une voiture» L addition et la soustraction n ont de sens que si on ne peut pas dénombrer. Le codage avec les signes + et est introduit bien après le travail de modélisation. 7
Présentation d une situation de jeu : le serpent Matériel : - dés (à 10 faces de 0 à 90 dé des dizaines / à 10 faces de 0 à 9 dé des unités) - 2 jetons rouges et 2 jetons verts - 1 planche avec un serpent - 4 joueurs par équipe de 2 photo 1 Situation 1 (photo 1) Les joueurs «rouges» ont posé leur jeton sur la case 30. L équipe verte arrive sur cette même case et déloge l équipe adverse et leur rend leur jeton rouge. Situation 2 (photo 1) L équipe rouge a 2 jetons sur une même case nombre : l équipe rouge obtient 1 point. photo 2 Situation 3 (photo 2) Jeu d additions et de soustractions (stratégique en fin de CP) Les dés sont lancés par l équipe verte : 3 et 4. La case «1» est libre ( 4 3 ) mais pour chasser l équipe rouge, l équipe verte va prendre la case «7». Dans une équipe de 3 joueurs, 2 jouent et le troisième peut valider les résultats avec une calculatrice. 8
4) Bibliographie Problèmes additifs et soustractifs CP-CE1, Sceren Nord-Pas de Calais (2009) Le calcul mental à l école élémentaire, Gamo et Djament, Hachette Éducation (2009) Livres du maître des collections Cap Maths, Euromaths, Pour comprendre les maths, J apprends les maths... Aider les élèves en difficulté en mathématiques CP/CE1, 2 tomes, Berdonneau, Hachette Éducation (2007) Apprentissages numériques au CP, au CE1, Ermel, Hatier Dix petits amis déménagent, Mitsumata Anno, L école des loisirs 9