NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX

NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX LA MÉTHODE Un marchand a vendu 72 kilos de sucre pour 82,80 euros. Ce sucre lui a coûté 90 euros les 100 kilos. Quels sont les prix de vente et d achat d un kilo de sucre? Combien le marchand a-t-il gagné en vendant les 72 kilos? SOLUTION 1 On détermine le prix de vente du kilo de sucre : Le marchand vend le kilo de sucre 1,15 euro car 82,80 72 = 1,15. Pour cela, on a posé l opération suivante : 8 2, 8 0 7 2-7 2 1 0 8 1, 1-7 2 3 6 0-3 6 0 0 2 On détermine le prix de revient du kilo de sucre : Le marchand a payé 0,90 euro le kilo de sucre car 90 100 = 0,90. 3 On détermine le bénéfice réalisé par kilo de sucre : Le marchand gagne 0,25 euro par kilo de sucre car 1,15 0,90 = 0,25. Le calcul est posé ci-dessus. 4 On détermine enfin le bénéfice total : Le marchand a donc gagné 72 * 0,25 = 18 euros. 7 2 * 0, 2 5 3 6 0 72 * 5 + 1 4 4 0 72 * 20 1 8, 0 0 5 1, 1-0, 9 0, 2 5 0 5 FICHE 1 : NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX 3

LES CONSEILS Pour résoudre un exercice où interviennent les nombres, il faut connaître ses tables de multiplication et les règles de priorité. LA PRATIQUE Exercice 1 : Les opérations Effectuer les opérations suivantes sans calculatrice : A = 259,18 + 27,419 ; B = 937,5 1,52 ; C = 590,32 47 ; D = 12,1 3,73. Exercice 2 : Le classement 1. Classer les nombres décimaux suivants par ordre décroissant : 25,7 ; 25,07 ; 25,25 ; 25,4 ; 257,2 ; 2,57 ; 25,69 ; 2,500 5 ; 2,05. 2. Classer les nombres décimaux suivants par ordre croissant : 1,01 ; 1,101 ; 1,001 ; 1,1 ; 10,01 ; 10,011 ; 1,11 ; 1,111. Exercice 3 : Le capitaine HADDOCK combien de sabords équivalent «mille milliards de mille sabords»? Exercice 4 : Le tissu Une personne achète 2,75 mètres puis 3,25 mètres et 1,5 mètre de tissu respectivement à 26 euros, 32 euros et 27,50 euros le mètre. Quel est le prix moyen du mètre de tissu? Exercice 5 : Le concours Pour l oral d un concours, il y a 69 candidats pour 6 jurys. Répartir les candidats par jury, le plus équitablement possible. Exercice 6 : Les encadrements Encadrer les nombres suivants par deux nombres à la précision donnée. a) < 257,53 < à l unité près ; b) < 9,27 < au dixième près ; c) < 0,239 < au centième près. Exercice 7 : Les nombres Écrire en lettres les nombres suivants : 2 285 5 000 2 000 500 257,25 3 480 900 7 280 300,7 1 254,341 0,234 5 23,34 0,023

LES APPLICATIONS Exercice 8 : La conversion On découvre dans une armoire la somme de 1 478 francs. Que représente cette somme en euros? On arrondira le résultat au centime d euro près. Exercice 9 : planète Les planètes diamètre (en milliers de km) distance au soleil (en km) Uranus 47 2 869 000 000 Vénus 12,1 108 200 000 Neptune 48 4 497 000 000 Terre 12,76 149 600 000 Mars 6,8 228 000 000 Jupiter 142,2 778 300 000 Mercure 4,84 58 000 000 Saturne 119,3 1 425 800 000 Pluton 3 5 912 400 000 1. Citer les planètes qui ont un rayon compris entre 2 500 km et 7 500 km? 2. Réécrire les distances des planètes au soleil, en prenant comme unité le milliard de kilomètres. 3. Ranger ces planètes de notre système solaire, de la plus proche à la plus éloignée du soleil. Exercice 10 : L inconnue Le but de cet exercice est de déterminer un nombre entier a. Ce nombre s écrit avec 4 chiffres. Il est supérieur à 7000. Il est multiple de 45. Il est impair. Et le chiffre des milliers est le double de celui des centaines. Quel est ce nombre? FICHE 1 : NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX 5

CORRECTIONS Exercice 1 : 2 5 9, 1 + 2 7, 4 2 8 6, 5 Les opérations 8 0 9 3 7, 5 1 9 * 1, 5 2 9 9 1 8 7 5 0 9 375 * 2 4 6 8 7 5 0 9 375 * 50 9 3 7 5 0 0 9 375 * 100 1 4 2 5, 0 0 0 - - 5 9 0, 3 2 4 7 4 7 1 2, 1 2 0 9 4 2 6 3-2 3 5 2 8 2-2 8 2 0 5 6-1 1 12, 11 13, 17 8, 3 10 3 7 Exercice 2 : Le classement 1. Dans l ordre décroissant, on a : 257,2 > 25,7 > 25,69 > 25,4 > 25,25 > 25,07 > 2,57 > 2,500 5 > 2,05. 2. Dans l ordre croissant, on a : 10,011 < 10,01 < 1,111 < 1,11 < 1,101 < 1,1 < 1,01 < 1,001. Pour classer des nombres négatifs, on peut les classer sans le signe moins puis changer le sens des inégalités. Exercice 3 : Le capitaine HADDOCK Mille = 10 3 ; un milliard = 10 9 ; un million = 10 6. D où mille milliards de mille sabords vaut 10 3 10 9 10 3 sabords. Cela fait donc 10 15 sabords. On rappelle que 10 3 10 9 10 3 = 10 3 + 9 + 3 = 10 15. Comme 10 15 = 10 6 10 9, cela donne un million de milliards de sabords.

Exercice 4 : Le tissu La personne a acheté 2,75 + 3,25 + 1,5 = 7,5 mètres de tissu pour un prix total de 2,75 * 26 + 3,25 * 32 + 1,5 * 27,50 = 216,75 euros. Le prix moyen du mètre de tissu est de 28,90 euros car 216,75 7,5 = 28,90. Exercice 5 : Le concours On effectue la division euclidienne de 69 par 6 : 69 = 6 * 11 + 3. Chacun des 6 jurys aura 11 candidats et il restera 3 candidats que l on répartira sur 3 jurys. 3 jurys vont donc interroger 11 candidats et 3 jurys interrogent 11 + 1 = 12 candidats. On a bien en tout 69 candidats car : 3 * 11 + 3 * 12 = 33 + 36 = 69. Exercice 6 : Les encadrements a) 257 < 257,53 < 258 à l unité près ; b) 9,3 < 9,27 < - 9,2 au dixième près ; c) 0,23 < 0,239 < 0,24 au centième près. Exercice 7 : Les nombres 2 285 = deux mille deux cent quatre-vingt-cinq ; 5 000 = cinq mille ; 2 000 500 = deux millions cinq cents ; 257,25 = deux cent cinquante-sept virgule vingt-cinq ou deux cent cinquante-sept unités vingt-cinq centièmes. 3 480 = trois mille quatre cent quatre-vingts ; 900 = neuf cents. 7 280 = sept mille deux cent quatre-vingts ; 300,7 = trois cents virgule sept ou trois cents unités sept dixièmes. 1 254,341 = mille deux cent cinquante-quatre virgule trois cent quarante et un ou mille deux cent cinquante-quatre unités trois cent quarante et un millièmes. 0,234 5 = zéro virgule deux mille trois cent quarante-cinq ou deux cent trente-quatre millièmes cinq dix-millièmes. 23,34 = vingt-trois virgule trente-quatre ou vingt-trois unités trente-quatre centièmes. 0,023 = zéro virgule zéro vingt-trois ou vingt-trois millièmes. FICHE 1 : NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX 7

Exercice 8 : La conversion 1 euro représente 6,559 57 francs. Les 1 478 francs donnent donc approximativement 225,32 euros car : 1 478 6,559 57 225,32. Exercice 9 : Les planètes 1. On cherche donc les planètes qui ont un diamètre compris entre 5 000 km et 15 000 km soit entre 5 et 15 milliers de km. Il y en a trois : Vénus, Terre et Mars. 2. On rappelle que : 1 milliard de km = 10 9 km. planète distance au soleil (en km) distance au soleil (en milliards de km) Uranus 2 869 000 000 2,869 Vénus 108 200 000 0,108 2 Neptune 4 497 000 000 4,497 Terre 149 600 000 0,149 6 Mars 228 000 000 0,228 Jupiter 778 300 000 0,778 3 Mercure 58 000 000 0,058 Saturne 1 425 800 000 1,425 8 Pluton 5 912 400 000 5, 912 4 3. Ranger ces planètes de la plus proche à la plus éloignée du soleil revient à classer par ordre croissant les distances au soleil. Afin de simplifier les écritures, on classe les distances au soleil exprimées en milliards de km. On compare les parties entières. La plus petite est 0, puis 1, puis 2, puis 4 et enfin 5. Dans l ordre, on a donc les nombres qui commencent par 0, puis 1,425 8 ; 2,869 ; 4,497 et enfin 5,912 4. Il suffit alors de classer les nombres de partie entière 0 : 0,108 2 ; 0,149 6 ; 0,228 ; 0,778 3 et 0,058. Pour les classer, on compare les chiffres des dixièmes, puis les chiffres des centièmes, etc (si nécessaire). Ainsi le plus petit chiffre des dixièmes est 0, puis 1, puis 2 et enfin 7.

Les nombres 0,108 2 et 0,149 6 ont la même partie entière 0 et le même chiffre des dixièmes 1. Pour les classer, on compare les chiffres des centièmes. On a donc : 0,058 < 0,108 2 < 0,149 6 < 0,228 < 0,778 3 < 1,425 8 < 2,869 < 4,497 < 5,912 4. Les planètes, de la plus proche à la plus éloignée du soleil, sont : Mercure ; Vénus ; Terre ; Mars ; Jupiter ; Saturne ; Uranus ; Neptune et Pluton. Exercice 10 : L inconnue Le nombre a cherché s écrit avec 4 chiffres. On le note m c d u. u est le chiffre des unités, d celui des dizaines, c celui des centaines et m celui des milliers. m, c, d et u sont quatre entiers compris entre 0 et 9. On sait que a est supérieur à 7000 et donc m {7 ; 8 ; 9}. Comme le chiffre des milliers est le double de celui des centaines, m est pair et donc m = 8 et par conséquent c = 4. Si un nombre est multiple de 45, il est multiple de 5 et de 9. Si un nombre est multiple de 5, il se termine par 0 ou 5. a est multiple de 5, il se termine par 0 ou 5 et comme il est impair, il se termine par 5 et donc u = 5. Il reste à déterminer d. Si un nombre est multiple de 9, la somme de ses chiffres est multiple de 9. a est aussi multiple de 9 et donc on a : m + c + d + u = 8 + 4 + d + 5 = 17 + d qui est divisible par 9. La seule solution est d = 1. On rappelle que 0 d 9. Le nombre cherché est donc 8 415. FICHE 1 : NOMBRES ENTIERS ET DÉCIMAUX 9

PUISSANCES LA MÉTHODE Écrire le nombre A = 7 * 10-12 * 6 * ( 10 3 ) 2 21 * 10-4 sous forme d une fraction irréductible, sous forme décimale puis en notation scientifique. SOLUTION 1 On regroupe les puissances de 10 avec les puissances de 10 et on simplifie. Pour cela on utilise les formules suivantes : ( a n ) p = a n*p. A = 7 * 10-12 * 6 * 10 3 * 2 21 * 10-4 = 7 * 10-12 * 6 * 10 6 21 * 10-4 ; a n * a p = a n+p. A = 7 * 2 * 3 * 10-12 + 6 3 * 7 * 10-4 = 7 * 2 * 3 * 10-6 3 * 7 * 10-4 = 2 * 10-6 10-4 ; a n a p= an-p = 1 a p-n. A = 2 * 10-6 10-4 = 2 * 10-6 - (- 4) = 2 * 10-6 + 4 = 2 * 10-2. 2 On donne les résultats sous les différentes formes : Sous forme fractionnaire : A = 2 * 10-2 = 2 100 = 1 50 ; Sous forme décimale : A = 2 * 10-2 = 2 * 0,01= 0,02 ; En écriture scientifique : A = 2 * 10-2. Écrire un nombre positif sous forme scientifique, c est le mettre sous la forme a * 10 p avec 1 a <10 et p Î.